15.1 Movimiento armónico simple

Periodo y frecuencia en oscilaciones

En ausencia de fricción, el tiempo para completar una oscilación permanece constante y se denomina periodo (T). Sus unidades suelen ser segundos, pero pueden ser cualquier unidad de tiempo conveniente. La palabra “periodo” se refiere al tiempo de algún acontecimiento, ya sea repetitivo o no, pero en este capítulo nos ocuparemos principalmente del movimiento periódico, que es por definición repetitivo.

Un concepto estrechamente relacionado con el de periodo es el de frecuencia de un evento. La frecuencia (f) se define como el número de eventos por unidad de tiempo. Para el movimiento periódico, la frecuencia es el número de oscilaciones por unidad de tiempo. La relación entre frecuencia y periodo es

La unidad del SI para la frecuencia es el hercio (Hz) y se define como un ciclo por segundo:

Un ciclo es una oscilación completa.

Características de movimiento armónico simple

Un tipo muy común de movimiento periódico es el llamado movimiento armónico simple (Simple Harmonic Motion, SHM). Un sistema que oscila con SHM se llama oscilador armónico simple.

Un buen ejemplo de SHM es un objeto con masa m unido a un resorte sobre una superficie sin fricción, como se muestra en la Figura 15.3. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio, y la fuerza neta sobre el objeto es igual a la fuerza proporcionada por el resorte. Esta fuerza obedece a la ley de Hooke $F_s=\text{−}kx,$ como se ha comentado en un capítulo anterior.

Si la fuerza neta se puede describir mediante la ley de Hooke y no hay amortiguación (ralentización debido a fricción o a otras fuerzas no conservativas), entonces un oscilador armónico simple oscila con igual desplazamiento a ambos lados de la posición de equilibrio, como se muestra para un objeto sobre un resorte en la Figura 15.3. El desplazamiento máximo desde el equilibrio se llama amplitud (A). Las unidades de amplitud y desplazamiento son las mismas, pero están sujetas al tipo de oscilación. Para el objeto sobre el resorte, las unidades de amplitud y desplazamiento son metros.

Figura 15.3 Un objeto unido a un resorte que se desliza sobre una superficie sin fricción es un oscilador armónico simple sin complicaciones. En las figuras anteriores, una masa está unida a un resorte y colocada sobre una mesa sin fricción. El otro extremo del resorte se fija a la pared. La posición de la masa, cuando el resorte no está ni estirado ni comprimido, se marca como $x=0$ y es la posición de equilibrio. (a) La masa se desplaza a una posición $x=A$ y se libera del reposo. (b) La masa se acelera mientras se mueve en la dirección x negativa, y alcanza una velocidad negativa máxima en $x=0$. (c) La masa continúa moviéndose en la dirección xnegativa, y frena hasta detenerse en $x=\text{−}A$. (d) La masa comienza ahora a acelerar en la dirección x positiva, y alcanza una velocidad máxima positiva en $x=0$. (e) La masa continúa entonces moviéndose en la dirección positiva hasta que se detiene en $x=A$. La masa continúa en SHM que tiene una amplitud A y un periodo T. La velocidad máxima del objeto se produce al pasar por el equilibrio. Cuanto más rígido sea el resorte, menor será el periodo T. Cuanto mayor sea la masa del objeto, mayor será el periodo T.

¿Qué tiene de significativo el SHM? Por un lado, el periodo T y la frecuencia f de un oscilador armónico simple son independientes de la amplitud. La cuerda de una guitarra, por ejemplo, oscila con la misma frecuencia tanto si se puntea con suavidad como con fuerza.

Hay dos factores importantes que afectan el periodo de un oscilador armónico simple. El periodo está relacionado con la rigidez del sistema. Un objeto muy rígido tiene una constante de fuerza (k) grande, lo que hace que el sistema tenga un periodo menor. Por ejemplo, se puede ajustar la rigidez de un trampolín: cuanto más rígido sea, más rápido vibrará y más corto será su periodo. El periodo también está sujeto a la masa del sistema oscilante. Cuanto más masivo sea el sistema, más largo será el periodo. Por ejemplo, una persona pesada en un trampolín rebota hacia arriba y hacia abajo más lentamente que una persona liviana. De hecho, la masa m y la constante de fuerza k son los únicos factores que afectan el periodo y la frecuencia del SHM. Para obtener una ecuación para el periodo y la frecuencia, primero debemos definir y analizar las ecuaciones de movimiento. Obsérvese que la constante de fuerza se denomina, a veces, constante de resorte.

Ecuaciones de SHM

Consideremos un bloque unido a un resorte en una mesa sin fricción (Figura 15.4). La posición de equilibrio (la posición en la que el resorte no está ni estirado ni comprimido) se marca como $x=0$. En la posición de equilibrio la fuerza neta es cero.

Figura 15.4 Un bloque está unido a un resorte y se coloca en una mesa sin fricción. La posición de equilibrio, en la que el resorte no está ni extendido ni comprimido, se marca como $x=0.$

Se trabaja en el bloque para sacarlo a una posición de $x=+A,$ y así se libera del reposo. La posición x máxima (A) se llama amplitud del movimiento. El bloque comienza a oscilar en SHM entre $x=+A$ y $x=\text{−}A,$ donde A es la amplitud del movimiento y T es el periodo de la oscilación. El periodo es el tiempo de una oscilación. La Figura 15.5 muestra el movimiento del bloque cuando completa una oscilación y media después de soltarlo. La Figura 15.6 muestra un gráfico de la posición del bloque versus tiempo. Cuando se representa posición versus tiempo, es evidente que los datos pueden ser modelados por una función coseno con una amplitud A y un periodo T. La función coseno $\text{cos}\theta$ se repite cada múltiplo de $2\pi ,$ mientras que el movimiento del bloque se repite cada periodo T. Sin embargo, la función $\text{cos}\left(\frac{2\pi }{T}t\right)$ se repite cada múltiplo entero del periodo. El máximo de la función coseno es uno, por lo que es necesario multiplicar la función coseno por la amplitud A.

Recordemos del capítulo sobre la rotación que la frecuencia angular es igual a $\omega =\frac{d\theta }{dt}$. En este caso, el periodo es constante, por lo que la frecuencia angular se define como $2\pi$ dividido entre el periodo, $\omega =\frac{2\pi }{T}$.

Figura 15.5 Se fija un bloque a un extremo de un resorte y se coloca sobre una mesa sin fricción. El otro extremo del resorte se ancla a la pared. La posición de equilibrio, donde la fuerza neta es igual a cero, se marca como $x=0\text{m}\text{.}$ Se trabaja en el bloque, sacándolo para $x=+A$, y el bloque se libera del reposo. El bloque oscila entre $x=+A$ y $x=\text{−}A$. La fuerza también se muestra como un vector.

Figura 15.6 Un gráfico de la posición del bloque mostrado en la Figura 15.5 como una función de tiempo. La posición se puede modelar como una función periódica, como una función coseno o seno.

La ecuación de la posición como una función de tiempo $x\left(t\right)=A\text{cos}\left(\omega t\right)$ es bueno para modelar datos, donde la posición del bloque en el momento inicial $t=\mathrm{0,00}\text{s}$ está en la amplitud A y la velocidad inicial es cero. A menudo, cuando se toman datos experimentales, la posición de la masa en el momento inicial $t=\mathrm{0,00}\text{s}$ no es igual a la amplitud y la velocidad inicial no es cero. Considere 10 segundos de datos recogidos por un estudiante en el laboratorio, que se muestran en la Figura 15.7.

Figura 15.7 Los datos recogidos por un estudiante en el laboratorio indican la posición de un bloque unido a un resorte, medida con un telémetro sónico. Los datos se recogen a partir del momento $t=\mathrm{0,00}\text{s,}$ pero la posición inicial está cerca de la posición $x\approx -\mathrm{0,80}\text{cm}\ne \mathrm{3,00}\text{cm}$, por lo que la posición inicial no es igual a la amplitud $x_0=+A$. La velocidad es la derivada temporal de la posición, que es la pendiente en un punto del gráfico de posición versus tiempo. La velocidad no es $v=\mathrm{0,00}\text{m/s}$ en el momento $t=\mathrm{0,00}\text{s}$, como se desprende de la pendiente del gráfico de posición versus tiempo, que no es cero en el momento inicial.

Los datos de la Figura 15.7 pueden seguir siendo modelados con una función periódica, como una función coseno, pero la función está desplazada hacia la derecha. Este deslizamiento se conoce como deslizamiento de fase y suele representarse con la letra griega pi $(\varphi )$. La ecuación de la posición como una función de tiempo para un bloque sobre un resorte es

Esta es la ecuación generalizada para el SHM donde t es el tiempo medido en segundos, $\omega$ es la frecuencia angular con unidades de segundos inversos, A es la amplitud medida en metros o centímetros y $\varphi$ es el deslizamiento de fase medido en radianes (Figura 15.8). Cabe señalar que, dado que las funciones seno y coseno solo se diferencian por un deslizamiento de fase, este movimiento podría modelarse usando la función coseno o la función seno.

Figura 15.8 (a) Una función coseno. (b) Una función coseno desplazada hacia la izquierda por un ángulo $\varphi$. El ángulo $\varphi$ se conoce como el deslizamiento de fase de la función.

La velocidad de la masa sobre un resorte, que oscila en SHM, se puede encontrar tomando la derivada de la ecuación de posición:

Dado que la función sinusoidal oscila entre –1 y +1, la velocidad máxima es la amplitud por la frecuencia angular, $v_{\text{máx.}}=A\omega$. La velocidad máxima se produce en la posición de equilibrio $\left(x=0\right)$ cuando la masa se mueve hacia $x=+A$. La velocidad máxima en sentido negativo se alcanza en la posición de equilibrio $\left(x=0\right)$ cuando la masa se mueve hacia $x=\text{−}A$ y es igual a $\text{−}{v}_{\text{máx.}}$.

La aceleración de la masa sobre el resorte se puede encontrar tomando la derivada temporal de la velocidad:

La aceleración máxima es $a_{\text{máx.}}=A{\omega }^2$. La aceleración máxima se produce en la posición $\left(x=\text{−}A\right)$, y la aceleración en la posición $\left(x=\text{−}A\right)$ y es igual a $\text{−}{a}_{\text{máx.}}$.

Resumen de ecuaciones de movimiento para SHM

En resumen, el movimiento oscilatorio de un bloque sobre un resorte puede modelarse con las siguientes ecuaciones de movimiento:

Aquí, A es la amplitud del movimiento, T es el periodo, $\varphi$ es el deslizamiento de fase y $\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$ es la frecuencia angular del movimiento del bloque.

El periodo y la frecuencia de una masa en un resorte

Una característica interesante del SHM de un objeto unido a un resorte es que la frecuencia angular, y por tanto el periodo y la frecuencia del movimiento, dependen únicamente de la masa y la constante de fuerza, y no de otros factores como la amplitud del movimiento. Podemos usar las ecuaciones de movimiento y la segunda ley de Newton $({\overrightarrow{F}}_{\text{neta}}=m\overrightarrow{a})$ para encontrar ecuaciones para la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo.

Considere el bloque sobre un resorte en una superficie sin fricción. Hay tres fuerzas sobre la masa: el peso, la fuerza normal y la fuerza debido al resorte. Las únicas dos fuerzas que actúan perpendicularmente a la superficie son el peso y la fuerza normal, que tienen magnitudes iguales y direcciones opuestas, y por tanto suman cero. La única fuerza que actúa paralela a la superficie es la fuerza debido al resorte, por lo que la fuerza neta debe ser igual a la fuerza del resorte:

Al sustituir las ecuaciones de movimiento para x y a nos da

Al anular los términos similares y resolver la frecuencia angular se obtiene

La frecuencia angular solo depende de la constante de fuerza y de la masa, y no de la amplitud. La frecuencia angular se define como $\omega =2\pi \text{/}T,$ que da una ecuación para el periodo del movimiento:

El periodo también depende solo de la masa y de la constante de fuerza. Cuanto mayor sea la masa, mayor será el periodo. Cuanto más rígido sea el resorte, más corto será el periodo. La frecuencia es

Movimiento vertical y resorte horizontal

Cuando se cuelga un resorte en vertical y se coloca un bloque y se pone en movimiento, el bloque oscila en SHM. En este caso, no hay fuerza normal, y el efecto neto de la fuerza de gravedad es cambiar la posición de equilibrio. Considere la Figura 15.9. Sobre el bloque actúan dos fuerzas: el peso y la fuerza del resorte. El peso es constante y la fuerza del resorte cambia al variar su longitud.

Figura 15.9 Un resorte está colgado del techo. Cuando se fija un bloque, este se encuentra en la posición de equilibrio en la que el peso del bloque es igual a la fuerza del resorte. (a) El resorte se cuelga del techo y la posición de equilibrio se marca como $y_o$. (b) Se fija una masa al resorte y se alcanza una nueva posición de equilibrio ($y_1=y_o-\text{Δ}y$) cuando la fuerza proporcionada por el resorte es igual al peso de la masa. (c) El diagrama de cuerpo-libre de la masa muestra las dos fuerzas que actúan sobre la masa: el peso y la fuerza del resorte.

Cuando el bloque alcanza la posición de equilibrio, como se ve en la Figura 15.9, la fuerza del resorte es igual al peso del bloque, $F_{\text{neta}}=F_{\text{s}}-mg=0$, donde

Según la figura, el cambio de posición es $\text{Δ}y=y_0-y_1$ y dado que $\text{−}k\left(\text{−}\text{Δ}y\right)=mg$, tenemos

Si el bloque se desplaza y se suelta, oscilará alrededor de la nueva posición de equilibrio. Como se muestra en la Figura 15.10, si la posición del bloque se registra como una función de tiempo, el registro es una función periódica.

Si el bloque se desplaza a una posición y, la fuerza neta se convierte en $F_{\text{neta}}=k\left(y-y_0\right)-mg=0$. Pero encontramos que en la posición de equilibrio, $mg=k\text{Δ}y=k{y}_0-k{y}_1$. Al sustituir el peso en la ecuación se obtiene

Recordemos que $y_1$ es solo la posición de equilibrio y cualquier posición puede ser el punto $y=\mathrm{0,00}\text{m}\text{.}$ Así que vamos a establecer $y_1$ hasta $y=\mathrm{0,00}\text{m}\text{.}$ La fuerza neta se convierte entonces en

Esto es justo lo que encontramos anteriormente para una masa que se desliza horizontalmente sobre un resorte. La fuerza de gravedad constante solo sirvió para desplazar el lugar de equilibrio de la masa. Por lo tanto, la solución debe tener la misma forma que para un bloque sobre un resorte horizontal, $y\left(t\right)=A\text{cos}\left(\omega t+\varphi \right).$ Las ecuaciones para la velocidad y la aceleración también tienen la misma forma que para el caso horizontal. Obsérvese que la inclusión del deslizamiento de fase significa que el movimiento se puede modelar usando una función coseno o seno, ya que estas dos funciones solo se diferencian por un desplazamiento de fase.

Figura 15.10 Gráficos de y(t), v(t) y a (t) versus t para el movimiento de un objeto sobre un resorte vertical. La fuerza neta sobre el objeto puede ser descrita por la ley de Hooke, por lo que el objeto experimenta SHM. Nótese que la posición inicial tiene el desplazamiento vertical en su valor máximo A; v es inicialmente cero y luego negativo a medida que el objeto se desplaza hacia abajo; la aceleración inicial es negativa, hacia la posición de equilibrio y se vuelve cero en ese punto.