14.7 Viscosidad y turbulencia

Viscosidad y flujo laminar

Cuando se sirve un vaso de jugo, el líquido fluye libre y rápidamente. Pero si vierte sirope de arce sobre sus panqueques, ese líquido fluye lentamente y se pega a la jarra. La diferencia es la fricción del fluido, tanto dentro del propio fluido como entre este y su entorno. A esta propiedad de los fluidos la llamamos viscosidad. El jugo tiene una baja viscosidad, mientras que el sirope tiene una alta viscosidad.

La definición precisa de la viscosidad se basa en el flujo laminar, o no turbulento. La Figura 14.34 muestra de forma esquemática en qué se diferencian el flujo laminar y el turbulento. Cuando el flujo es laminar, las capas fluyen sin mezclarse. Cuando el flujo es turbulento, las capas se mezclan y se producen velocidades significativas en direcciones distintas de la dirección general del flujo.

Figura 14.34 (a) El flujo laminar se produce en capas sin mezclarse. Obsérvese que la viscosidad provoca un arrastre entre las capas, así como con la superficie fija. La velocidad cerca del fondo del flujo ($v_{\text{b}}$) es menor que la velocidad cerca de la cima ($v_{\text{t}}$) porque en este caso, la superficie del recipiente contenedor está en el fondo. (b) Una obstrucción en el recipiente provoca un flujo turbulento. El flujo turbulento mezcla el fluido. Hay más interacción, mayor calentamiento y más resistencia que en el flujo laminar.

La turbulencia es un fluido circulante en el cual las capas se mezclan entre sí mediante torbellinos y remolinos. Tiene dos causas principales. En primer lugar, cualquier obstrucción o esquina afilada, como en un grifo, crea turbulencia al impartir velocidades perpendiculares al flujo. En segundo lugar, las altas velocidades provocan turbulencia. El arrastre entre capas adyacentes de fluido y entre el fluido y su entorno puede formar remolinos y torbellinos si la velocidad es lo suficientemente grande. En la Figura 14.35, la velocidad del humo que se acelera alcanza el punto en que comienza a arremolinarse debido al arrastre entre el humo y el aire circundante.

Figura 14.35 El humo se eleva suavemente durante un tiempo y luego comienza a formar remolinos y torbellinos. El flujo suave se denomina flujo laminar, mientras que los remolinos y torbellinos tipifican el flujo turbulento. El humo se eleva más rápidamente cuando fluye suavemente que después de volverse turbulento, lo que sugiere que la turbulencia plantea más resistencia al flujo (créditos: “Creativity103”/Flickr).

La Figura 14.36 muestra cómo se mide la viscosidad de un fluido. El fluido que se va a medir se coloca entre dos placas paralelas. La placa inferior se mantiene fija, mientras que la placa superior se mueve hacia la derecha y arrastra el fluido con ella. La capa (o lámina) de fluido en contacto con cualquiera de las placas no se mueve con respecto a la placa, por lo que la capa superior se mueve a una velocidad v mientras que la capa inferior permanece en reposo. Cada capa sucesiva, de arriba hacia abajo, ejerce una fuerza sobre la que está por debajo, tratando de arrastrarla, lo que produce una variación continua de la velocidad desde v hasta 0, como se muestra. Se procura que el flujo sea laminar, es decir, que las capas no se mezclen. El movimiento de la figura es como un movimiento de cizallamiento continuo. Los fluidos tienen una resistencia al cizallamiento cero, pero la velocidad a la que se cizallan está relacionada con los mismos factores geométricos A y L que la deformación por cizallamiento de los sólidos. En el diagrama, el fluido está inicialmente en reposo. La capa de fluido en contacto con la placa móvil se acelera y comienza a moverse debido a la fricción interna entre la placa móvil y el fluido. La siguiente capa está en contacto con la capa en movimiento; como hay fricción interna entre las dos capas, también se acelera, y así sucesivamente a través de la profundidad del fluido. También hay fricción interna entre la placa estacionaria y la capa más baja de fluido, junto a la placa de la estación. La fuerza es necesaria para mantener la placa en movimiento a una velocidad constante debido a la fricción interna.

Figura 14.36 Medición de viscosidad para el flujo laminar de un fluido entre dos placas de área A. La placa inferior es fija. Cuando la placa superior es empujada hacia la derecha, arrastra el fluido con ella.

Se requiere una fuerza F para mantener la placa superior en Figura 14.36 movimiento a una velocidad constante v, y hay experimentos que han demostrado que esta fuerza depende de cuatro factores. En primer lugar, F es directamente proporcional a v (hasta que la velocidad es tan alta que se produce turbulencia; entonces se necesita una fuerza mucho mayor, y tiene una dependencia más complicada de v). En segundo lugar, F es proporcional al área A de la placa. Esta relación parece razonable, ya que A es directamente proporcional a la cantidad de fluido que se mueve. En tercer lugar, F es inversamente proporcional a la distancia entre las placas L. Esta relación también es razonable; L es como un brazo de palanca, y cuanto mayor sea el brazo de palanca, menor será la fuerza necesaria. En cuarto lugar, F es directamente proporcional al coeficiente de viscosidad, $\eta$. Cuanto mayor sea la viscosidad, mayor será la fuerza necesaria. Estas dependencias se combinan en la ecuación

Esta ecuación nos da una definición de trabajo de la viscosidad del fluido $\eta$. Resolver para $\eta$ da

que define la viscosidad en términos de cómo se mide.

La unidad SI de la viscosidad es $\text{N}\cdot \text{m/}\left[\left(\text{m/s}\right){\text{m}}^2\right]=\left({\text{N/m}}^2\right)\text{s o Pa}\cdot \text{s}$. En la Tabla 14.4 se enumeran los coeficientes de viscosidad de varios fluidos. La viscosidad varía de un fluido a otro en varios órdenes de magnitud. Como es de esperar, las viscosidades de los gases son mucho menores que las de los líquidos, y estas viscosidades suelen depender de la temperatura.

Flujo laminar confinado en tubos: Ley de Poiseuille

¿Qué causa el flujo? La respuesta, como es lógico, es una diferencia de presión. De hecho, existe una relación muy sencilla entre flujo horizontal y presión. La tasa de flujo Q está en la dirección de alta a baja presión. Cuanto mayor sea la diferencia de presión entre dos puntos, mayor será la tasa de flujo. Esta relación se puede expresar como

donde $p_1$ y $p_2$ son las presiones en dos puntos, como por ejemplo en cada extremo de un tubo, y R es la resistencia al flujo. La resistencia R incluye todo, excepto la presión, que afecta la tasa de flujo. Por ejemplo, R es mayor para un tubo largo que para uno corto. Cuanto mayor es la viscosidad de un fluido, mayor es el valor de R. La turbulencia aumenta mucho R, mientras que el aumento del diámetro de un tubo disminuye R.

Si la viscosidad es cero, el fluido no tiene fricción y la resistencia al flujo también es cero. Al comparar el flujo sin fricción en un tubo con el flujo viscoso, como en la Figura 14.37, vemos que para un fluido viscoso, la velocidad es mayor a mitad de camino debido al arrastre en los límites. Podemos ver el efecto de la viscosidad en la llama de un mechero Bunsen [parte (c)], aunque la viscosidad del gas natural es pequeña.

Figura 14.37 (a) Si el fluido circulante en un tubo tiene una resistencia insignificante, la velocidad es la misma a lo largo de todo el tubo. (b) Cuando un fluido viscoso circula a través de un tubo, su velocidad en las paredes es cero, y aumenta constantemente hasta su máximo en el centro del tubo. (c) La forma de la llama de un mechero Bunsen se debe al perfil de velocidad a través del tubo (créditos c: modificación de trabajo de “jasonwoodhead23”/Flickr).

La resistencia R al flujo laminar de un fluido incompresible con viscosidad $\eta$ a través de un tubo horizontal de radio uniforme r y longitud l, viene dada por

Esta ecuación se denomina ley de Poiseuille para la resistencia, llamada así en honor al científico francés J. L. Poiseuille (1799-1869), que la dedujo en un intento de comprender el flujo de la sangre a través del cuerpo.

Examinemos la expresión de Poiseuille para R para ver si tiene un buen sentido intuitivo. Vemos que la resistencia es directamente proporcional a la viscosidad del fluido $\eta$ y la longitud l de un tubo. Al fin y al cabo, ambos afectan directamente a la cantidad de fricción encontrada: cuanto mayor sea uno de ellos, mayor será la resistencia y menor el flujo. El radio r de un tubo afecta la resistencia, lo que también tiene sentido, porque cuanto mayor sea el radio, mayor será el flujo (los demás factores permanecen iguales). Pero es sorprendente que r se eleve a la cuarta potencia en la ley de Poiseuille. Este exponente significa que cualquier cambio en el radio de un tubo tiene un efecto muy grande en la resistencia. Por ejemplo, duplicar el radio de un tubo disminuye la resistencia en un factor de $2^4=16$.

En conjunto, $Q=\frac{p_2-p_1}{R}$ y $R=\frac{8\eta l}{\pi r^4}$ dan la siguiente expresión para la tasa de flujo:

Esta ecuación describe el flujo laminar a través de un tubo. A veces se denomina ley de Poiseuille para el flujo laminar, o simplemente ley de Poiseuille (Figura 14.38).

Figura 14.38 La ley de Poiseuille se aplica al flujo laminar de un fluido incompresible de viscosidad $\eta$ a través de un tubo de longitud l y radio r. El sentido del flujo es de mayor a menor presión. La tasa de flujo Q es directamente proporcional a la diferencia de presión $p_2-p_1$, e inversamente proporcional a la longitud l del tubo y a la viscosidad $\eta$ del fluido. La tasa de flujo aumenta con el radio en un factor de $r^4$.

El flujo y la resistencia como causas de caídas de presión

La presión del agua en los hogares es, a veces, más baja de lo normal en momentos de mucho uso, como los días calurosos de verano. La caída de presión se produce en el conducto de agua antes de que llegue a los hogares. Consideremos el flujo a través del conducto de agua como se ilustra en la Figura 14.39. Podemos entender por qué la presión $p_1$ a la vivienda disminuye en los momentos de mayor uso, reordenando la ecuación de la tasa de flujo:

En este caso, $p_2$ es la presión en la obra de agua y R es la resistencia del conducto de agua. En los momentos de mayor uso, la tasa de flujo Q es grande. Esto significa que $p_2-p_1$ también debe ser grande. Así, $p_1$ debe disminuir. Es correcto pensar que el flujo y la resistencia hacen que la presión baje de $p_2$ hasta $p_1$. La ecuación $p_2-p_1=RQ$ es válido tanto para flujos laminares como turbulentos.

Figura 14.39 Durante los momentos de mayor uso se produce una importante caída de presión en el conducto de agua, y $p_1$ suministrado a los usuarios es significativamente menor que $p_2$ creado en las obras de agua. Si el flujo es muy pequeño, la caída de presión es insignificante y $p_2\approx p_1$.

También podemos usar $p_2-p_1=RQ$ para analizar las caídas de presión que se producen en sistemas más complejos en los que el radio del tubo no es el mismo en todas partes. La resistencia es mucho mayor en lugares estrechos, como en una arteria coronaria obstruida. Para una tasa de flujo dada Q, la pérdida de carga es mayor donde el tubo es más estrecho. Así es como los grifos de agua controlan el flujo. Además, R aumenta mucho con la turbulencia, y una constricción que crea turbulencia reduce mucho la presión descendente. La placa en una arteria reduce la presión y, por tanto, el flujo, tanto por su resistencia como por la turbulencia que crea.

Medición de turbulencia

Un indicador llamado número de Reynolds $N_{\text{R}}$ puede revelar si el flujo es laminar o turbulento. Para un flujo en un tubo de diámetro uniforme, el número de Reynolds se define como

donde $\rho$ es la densidad del fluido, v su velocidad, $\eta$ su viscosidad y r el radio del tubo. El número de Reynolds es una cantidad sin dimensiones. Hay experimentos que han revelado que $N_{\text{R}}$ está relacionado con el inicio de turbulencia. Para $N_{\text{R}}$ por debajo de unos 2.000, el flujo es laminar. Para $N_{\text{R}}$ por encima de unos 3.000, el flujo es turbulento.

Para valores de $N_{\text{R}}$ entre 2.000 y 3.000 aproximadamente, el flujo es inestable, es decir, puede ser laminar, pero pequeños obstáculos y la rugosidad de la superficie pueden hacerlo turbulento, y puede oscilar aleatoriamente entre ser laminar y turbulento. De hecho, el flujo de un fluido con un número de Reynolds entre 2.000 y 3.000 es un buen ejemplo de comportamiento caótico. Un sistema se define como caótico cuando su comportamiento es tan sensible a algún factor que es extremadamente difícil de predecir. Es difícil, pero no imposible, predecir si el flujo es turbulento o no cuando el número de Reynolds de un fluido cae en este rango debido a la dependencia extremadamente sensible de factores como rugosidad y obstrucciones en la naturaleza del flujo. Una pequeña variación de un factor tiene un efecto exagerado (o no lineal) en el flujo.