William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać główne cechy nadprzewodnika;
opisywać teorię BCS nadprzewodnictwa;
wyznaczać krytyczne pole magnetyczne dla $T=\SI{0}{\kelvin}$ , korzystając z danych dla pola magnetycznego;
obliczać maksymalną siłę elektromotoryczną (SEM) lub prąd dla przewodu, przy których pozostaje on jeszcze nadprzewodzący.

Opór elektryczny można uznać za miarę siły tarcia towarzyszącej przepływowi prądu elektrycznego. Stąd opór elektryczny jest głównym źródłem rozpraszania energii w układach elektrycznych, jak elektromagnesy, silniki elektryczne czy linie transmisyjne. Miedź jest powszechnie używana do wytwarzania przewodów elektrycznych, ponieważ w temperaturze pokojowej ma jedną z najmniejszych wartości oporności właściwej spośród znanych przewodników. (Co prawda srebro ma mniejszą oporność od miedzi, ale jego wysoka cena i mała dostępność przeważają nad potencjalnymi oszczędnościami energii).

Mimo iż powyższe stwierdzenie sugeruje, że opór elektryczny jest właściwością wszystkich materiałów, wiemy, że tak nie jest. Gdy temperatura spada poniżej pewnej krytycznej wartości, w wielu materiałach opór właściwy spada do zera i stają się one nadprzewodnikami (patrz Nadprzewodniki).

Materiały pomocnicze

Popatrz na fragment NOVA video, ochładzanie ciał jako wprowadzenie do tematu nadprzewodnictwa i jego licznych zastosowań.

Właściwości nadprzewodnika

Oprócz zerowej rezystywności nadprzewodniki charakteryzują się idealnym diamagnetyzmem. To znaczy, że w obecności pola magnetycznego wypadkowe pole magnetyczne wewnątrz nadprzewodnika jest zawsze zerowe (Ilustracja 9.29). Tak więc linie pola magnetycznego przechodzące przez próbkę nadprzewodnika, kiedy znajduje się jeszcze w stanie normalnym, są wypchnięte na zewnątrz, gdy próbka staje się nadprzewodząca. W ten sposób manifestuje się efekt Meissnera, który omówiliśmy w rozdziale dotyczącym zagadnienia prądu elektrycznego i oporu elektrycznego.

Na rysunku pokazane są dwie podobne prostokątne płytki. Przed pierwszą płytką widnieją pionowe strzałki skierowane w górę. Strzałki te zakrzywiają się wokół drugiej płytki. Rysunek b jest fotografią, na której widać małą kostkę zawieszoną w powietrzu ponad metalową płytką.

Ilustracja 9.29 (a) W efekcie Meissnera pole magnetyczne jest wypychane z materiału, w momencie gdy staje się on nadprzewodnikiem. (b) Magnes lewituje nad płytką nadprzewodnika, podtrzymywany siłą towarzyszącą wypychaniu pola magnetycznego.

Co ciekawe, efekt Meissnera nie jest konsekwencją zerowej oporności. Aby to wyjaśnić, przypuśćmy, że w wyniku przemiany w próbce umieszczonej w polu magnetycznym opór spada do zera. Zgodnie z prawem Ohma gęstość prądu $j$ w próbce związana jest z wypadkowym wewnętrznym polem elektrycznym $E$ i z opornością właściwą $\rho$ przez $j=E/\rho$ . Jeśli $\rho$ jest zerowa, $E$ musi mieć również wartość zero, aby $j$ miała wartość skończoną. Pole elektryczne $E$ i strumień magnetyczny $\Phi_B$ przez próbkę związane są prawem Faradaya

\oint E\d l =-\frac{\d \Phi_B}{\d t}\text{.}

9.38

Jeśli $E$ ma wartość zero, $\d \Phi_B/ \d t$ również wynosi zero, czyli strumień magnetyczny przechodzący przez próbkę nie może się zmieniać. Z tego punktu widzenia linie magnetyczne nie mogłyby być wypchnięte z próbki, gdy następuje przemiana. Nie można więc stwierdzić, że w materiale, w którym rezystancja spada do zera, musi wystąpić efekt Meissnera. Efekt Meissnera jest raczej specjalną właściwością nadprzewodników.

Inną ważną cechą nadprzewodnika jest jego temperatura krytyczna (ang. critical temperature) $T_{\text{c}}$ , temperatura, poniżej której materiał jest nadprzewodzący. Zakres temperatur krytycznych (znany do tej pory) zaczyna się od ułamków $\SI{1}{\kelvin}$ , a kończy niewiele powyżej $\SI{100}{\kelvin}$ . Nadprzewodniki o wyższych temperaturach krytycznych znane są jako „wysokotemperaturowe”. Z praktycznego punktu widzenia ważne są nadprzewodniki, dla których $T_{\text{c}}\gg \SI{77}{\kelvin}$ . Obecnie w zastosowaniach często nadal wymaga się, aby materiał nadprzewodzący był zanurzony w ciekłym helu ( $\SI{4,2}{\kelvin}$ ) w celu utrzymania temperatury niższej od krytycznej. Ciekły hel musi być ciągle uzupełniany z powodu parowania i koszty chłodzenia łatwo przekraczają oszczędności wynikające z zastosowania nadprzewodnika. Jednak $\SI{77}{\kelvin}$ to temperatura ciekłego azotu, który jest o wiele bardziej dostępny i tańszy od helu. Z ekonomicznego punktu widzenia byłoby więc znacznie korzystniej, gdybyśmy mogli łatwo wytwarzać nadprzewodniki wysokotemperaturowe, które chłodzone ciekłym azotem zachowywałyby swoje właściwości nadprzewodzące.

Nadprzewodniki wysokotemperaturowe mają obecnie rozmaite zastosowania. Przykładem jest wytwarzanie pól magnetycznych w akceleratorach cząstek. Ostatecznym celem jest odkrycie materiałów nadprzewodzących w temperaturze pokojowej. Brak wymogu chłodzenia spowodowałby, że liczne elementy elektroniczne i linie transmisyjne mogłyby być nadprzewodzące, co zaowocowałoby bezprecedensowym zwiększeniem ich funkcjonalności i wzrostem efektywności.

Inną ważną właściwością materiału nadprzewodzącego jest krytyczne pole magnetyczne (ang. critical magnetic field) $B_{\text{c}}\apply(T)$ , które w danej temperaturze jest maksymalną wartością zewnętrznego pola magnetycznego, przy której materiał pozostaje w stanie nadprzewodzącym. Przekroczenie tej wartości pola magnetycznego skutkuje zniszczeniem stanu nadprzewodzącego. Pole krytyczne wynosi zero w temperaturze krytycznej i rośnie w miarę obniżania temperatury. Wykresy zależności pola krytycznego od temperatury dla kilku materiałów nadprzewodzących pokazano na Ilustracji 9.30. Zależność temperaturową pola krytycznego opisuje przybliżona formuła

B_{\text{c}}\apply(T)=B_{\text{c}}\apply(\SI{0}{\kelvin})\cdot[1-(\frac{T}{T_{\text{c}}})^2]\text{,}

9.39

gdzie $B_{\text{c}}\apply(\SI{0}{\kelvin})$ jest polem krytycznym w temperaturze zera bezwzględnego. Tabela 9.5 zawiera krytyczne temperatury i pola dla dwóch klas nadprzewodników: nadprzewodników typu I (ang. type I superconductor) i nadprzewodników typu II (ang. type II superconductor). Ogólnie nadprzewodniki typu I to materiały takie jak aluminium czy rtęć. Są doskonałymi diamagnetykami dla pól niższych od krytycznego pola $B_{\text{c}}\apply(T)$ i przechodzą w stan normalny, gdy wartość ta jest przekroczona. Krytyczne pola nadprzewodników typu I są zwykle małe (sporo poniżej $\SI{1}{\tesla}$ ). Z tego powodu nie mogą być stosowane w sytuacjach, w których wytwarza się duże pole magnetyczne, ponieważ duże pole zniszczyłoby stan nadprzewodzący.

Wykres zależności B z indeksem c w teslach od T w Kelvinach. Jest 6 krzywych. Krzywa Ti zaczyna się (od prawej) tuż powyżej 2 na osi x i kończy tuż poniżej wartości 0.02 na osi y. Krzywe In i Sn zaczynają się (od prawej) tuż powyżej 3 na osi x i kończą ok. wartości 0,03 na osi y. Krzywa Hg zaczyna się (od prawej) nieco powyżej 4 na osi x i kończy tuż powyżej wartości 0,04 na osi y. Krzywa Ta zaczyna się (od prawej) tuż powyżej 4 na osi x i kończy nieco poniżej wartości 0,1 na osi y. Krzywa Pb zaczyna się (od prawej) nieco powyżej 7 na osi x i kończy na wartości 0,08 na osi y.

Ilustracja 9.30 Zależność temperaturowa pola krytycznego dla kilku nadprzewodników. Nadprzewodnictwo występuje przy polach magnetycznych i temperaturach poniżej tych krzywych.

Materiał	Temperatura krytyczna ( $\si{\kelvin}$ )	Krytyczne pole magnetyczne ( $\si{\tesla}$ )
Typ I
Al	$\num{1,2}$	$\num{0,011}$
Ga	$\num{1,1}$	$\num{0,0051}$
Hg ( $\alpha$ )	$\num{4,2}$	$\num{0,041}$
In	$\num{3,4}$	$\num{0,029}$
Nb	$\num{9,3}$	$\num{0,2}$
Pb	$\num{7,2}$	$\num{0,08}$
Sn	$\num{3,7}$	$\num{0,31}$
Th	$\num{1,4}$	$\num{0,00016}$
Zn	$\num{0,87}$	$\num{0,0053}$
Typ II
Nb₃Al	$\num{18}$	$32$
Nb₃Ge	$\num{23}$	$38$
Nb₃Sn	$\num{18}$	$25$
NbTi	$\num{9,3}$	$15$
YBa₂Cu₃O₇	$\num{92}$	$\prefop{>}100$

Tabela 9.5 Temperatura krytyczna i krytyczne pole magnetyczne w

T=\SI{0}{\kelvin}

dla różnych nadprzewodników.

Nadprzewodniki typu II są zwykle związkami lub stopami zawierającymi metale przejściowe lub aktynowce. Prawie wszystkie nadprzewodniki o stosunkowo wysokiej krytycznej temperaturze są typu II. Charakteryzują się dwoma polami krytycznymi, oznaczanymi przez $B_{\text{c}1}\apply(T)$ i $B_{\text{c}2}\apply(T)$ . Gdy pole ma mniejszą wartość niż $B_{\text{c}1}\apply(T)$ , nadprzewodniki typu II są doskonałymi dielektrykami, a strumień magnetyczny nie wnika do materiału. Gdy pole przekracza wartość $B_{\text{c}2}\apply(T)$ , przechodzą w stan normalny. Gdy pole jest większe niż $B_{\text{c}1}\apply(T)$ , lecz mniejsze niż $B_{\text{c}2}\apply(T)$ , mówimy, że nadprzewodniki typu II znajdują się w stanie mieszanym. Mimo że strumień magnetyczny wnika częściowo do materiału, rezystancja materiału ciągle jest równa zero. W stanie tym wewnątrz nadprzewodnika znajdują się „włókna” o normalnych właściwościach elektrycznych i magnetycznych splecione między obszarami, które są nadprzewodzące i doskonale diamagnetyczne. Taki stan pokazany jest schematycznie na Ilustracji 9.31. Pole magnetyczne jest wypchnięte z obszarów nadprzewodzących, ale istnieje w obszarach normalnych. Ogólnie $B_{\text{c}2}\apply(T)$ jest bardzo duże w porównaniu z krytycznymi polami nadprzewodników typu I, dlatego przewód wykonany z nadprzewodnika typu II może być użyty w uzwojeniach elektromagnesów wytwarzających silne pola.

Na rysunku znajduje się pionowy prostokąt (sztabka) ze zmieniającymi się na przemian niebieskimi i szarymi obszarami (w kształcie kwadratów), jeden nad drugim. Niebieskie obszary opisane są jako normalne a szare jako nadprzewodzące. Równoległe poziome i równo oddalone od siebie linie (oznaczone strzałkami) wchodzą do sztabki od lewej strony i grupują się (zbiegają) w taki sposób, że przechodzą tylko przez obszary normalne. Po prawej stronie, po wyjściu ze sztabki znowu stają się równoległe i równo oddalone od siebie.

Ilustracja 9.31 Schematyczna reprezentacja stanu mieszanego nadprzewodnika typu II. Obszary nadprzewodzące (szare kwadraty) wypychają pole magnetyczne do sąsiednich obszarów (niebieskie kwadraty).

Przykład 9.7

Przewód niobowy

W pewnym eksperymencie przewód niobowy (Nb) o promieniu

\SI{0,25}{\milli\metre}

zanurzono w ciekłym helu (

T=\SI{4,2}{\kelvin}

). Jeśli przez ten przewód miałby popłynąć prąd

\SI{300}{\ampere}

, czy pozostałby on nadal nadprzewodzący?

Strategia rozwiązania

Powstałe pole magnetyczne można wyznaczyć z promienia przewodu i prądu. Pole magnetyczne krytyczne dla Nb można znaleźć w Równaniu 9.1, właściwości nadprzewodnika zależne są od temperatury. Jeśli powstałe pole magnetyczne jest większe od krytycznego, wówczas stan nadprzewodzący Nb jest zniszczony.

Rozwiązanie

W

T=\SI{4,2}{\kelvin}

krytyczne pole magnetyczne dla Nb wynosi, na podstawie Równania 9.1 i Tabeli 9.5,

B_{\text{c}}\apply(\SI{4,2}{\kelvin})=B_{\text{c}}\apply(0)\cdot[1-(\frac{\SI{4,2}{\kelvin}}{\SI{9,3}{\kelvin}})^2]=\SI{0,2}{\tesla}\cdot\num{0,8}=\SI{0,16}{\tesla}\text{.}

W jednym z poprzednich rozdziałów dowiedzieliśmy się, że pole magnetyczne na zewnątrz przewodnika, w którym płynie prąd elektryczny, jest dane przez

B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\text{,}

gdzie $r$ jest odległością od osi środkowej przewodu. Tak więc pole na powierzchni przewodu wynosi $\mu_0 I/(2\pi r)$ . Dla naszego przewodu niobowego

B=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\si[inter-unit-product = ⋅]{\tesla\metre\per\ampere}\cdot\SI{300}{\ampere}}{2\pi\cdot\SI{2,5e-4}{\metre}}=\SI{0,24}{\tesla}\text{.}

Ponieważ przekracza ono krytyczne pole $\SI{0,16}{\tesla}$ , przewód przestanie być nadprzewodzący.

Znaczenie

Nadprzewodnictwo występuje przy niskich temperaturach i małych polach magnetycznych. Jednoczesne spełnienie obu tych warunków w przypadku Nb jest łatwiejsze niż w wielu innych metalach. Na przykład aluminium nadprzewodzi w temperaturze

7

-krotnie niższej i polu magnetycznym

18

-krotnie mniejszym.

Sprawdź, czy rozumiesz 9.6

Jakie warunki są konieczne, by wystąpiło nadprzewodnictwo?

Teoria nadprzewodnictwa

Teoria nadprzewodnictwa, która odniosła sukces, została rozwinięta w roku 1950 przez Johna Bardeena (1908–1991), Leona Coopera (ur. 1930) i J. Roberta Schrieffera (ur. 1931). Otrzymali oni za to osiągnięcie Nagrodę Nobla w 1972 roku. Znana jest jako teoria BCS (ang. BCS theory; od nazwisk twórców). Jest to teoria złożona, dlatego poniżej przedstawimy tylko jej zarys.

W zwykłym przewodniku właściowości elektryczne materiału zdeterminowane są przez najbardziej energetyczne elektrony, o energii zbliżonej do energii Fermiego. W roku 1956 Cooper pokazał, że jeśli istnieje jakieś przyciągające oddziaływanie między dwoma elektronami na poziomie Fermiego, wówczas elektrony te mogą tworzyć stan związany, w którym ich całkowita energia jest mniejsza niż $2E_{\text{F}}$ . Takie dwa elektrony znane są jako para Coopera (ang. Cooper pair).

Trudno wyobrazić sobie dwa elektrony przyciągające się. Skoro mają one taki sam ładunek, powinny się odpychać. Jednakże zaproponowane przyciąganie może się pojawić, jeśli uwzględnimy wpływ sieci atomów otoczenia. Mechanizm takiego przyciągania przedstawiony jest na Ilustracji 9.32. Elektron 1, przemierzając sieć, powoduje, że w danej chwili otaczające go atomy przemieszczają się lekko ku sobie z powodu przyciągania elektrostatycznego. Elektron 2 „widzi” rejon o zwiększonej gęstości ładunku dodatniego w porównaniu z otoczeniem i w związku z tym jest przyciągany w tym kierunku, czyli pośrednio przez elektron 1. Z powodu zakazu Pauliego te dwa elektrony muszą mieć przeciwne spiny.

Pokazana jest sieć zawierająca z 25 czerwonych kropek, w pięciu kolumnach i pięciu rzędach. Kropki połączone są w tle liniami tworzącymi regularną kwadratową siatkę. Pomiędzy czterema czerwonymi kropkami znajduje się punkt opisany jako elektron 1. Od każdej otaczającej go kropki skierowana jest ku niemu strzałka, a inna strzałka skierowana jest ku górze. Czerwone kropki otaczające elektron 1 są lekko przemieszczone w stronę tego elektronu. Dwa rzędy poniżej inny punkty nazwany jest elektronem 2 i prowadzi od niego strzałka również skierowana ku górze. (elektron 1 'ciągnie za sobą elektron 2')

Ilustracja 9.32 Para Coopera może się uformować na skutek przemieszczeń dodatnich jonów metalu. Elektron 1, przemierzając sieć, powoduje, że w danej chwili otaczające go atomy przemieszczają się lekko ku sobie z powodu przyciągania elektrostatycznego. Elektron 2 „widzi” rejon o zwiększonej gęstości ładunku dodatniego w porównaniu z otoczeniem i w związku z tym jest przyciągany w tym kierunku, czyli pośrednio przez elektron 1.

Teoria BCS rozszerza ideę Coopera (która dotyczy pojedynczej pary elektronów) na cały gaz elektronowy. Gdy następuje przejście do stanu nadprzewodzącego, wszystkie elektrony zaczynają tworzyć pary Coopera. W skali atomowej odległość między dwoma elektronami tworzącymi parę Coopera jest całkiem duża. Pomiędzy tymi elektronami znajduje się zwykle około $10^6$ innych elektronów, każdy z nich sparowany z jakimś odległym elektronem. Stąd mamy do czynienia z silnym nakładaniem się funkcji falowych par Coopera, co z kolei skutkuje silną korelacją ruchu par. Wszystkie one poruszają się „równym krokiem”, jak członkowie maszerującej orkiestry. Przy przejściu do nadprzewodnictwa gęstość stanów w okolicy poziomu Fermiego drastycznie się zmienia. Jak pokazano na Ilustracji 9.33, pojawia się przerwa energetyczna wokół $E_{\text{F}}$ , ponieważ zbiór par Coopera ma niższą energię niż gaz Fermiego nieoddziałujących elektronów. Pojawienie się tej przerwy jest charakterystyczne dla stanu nadprzewodzącego. Jeśli stan ten jest zniszczony, wówczas przerwa znika i gęstość stanów staje się taka jak dla gazu swobodnych elektronów.

Wykres g w nawiasach E, w zależności od E. Wykres zaczyna się w początku układu i krzywa biegnie w prawo i w górę. Na wykresie znajdują się dwie pionowe linie. Odległość między nimi oznaczona jest jako przerwa energetyczna. Wartość y na krzywej znajduje się bardzo wysoko tuż przed przerwą i tuż za nią. Wartość x w środku przerwy oznaczona jest jako E z indeksem F. Obszar znajdujący się pod krzywą z lewej strony przerwy jest zacieniowany.

Ilustracja 9.33 Kiedy materiał przechodzi w stan nadprzewodący, wokół energii Fermiego tworzy się stosunkowo duża przerwa energetyczna. Gdy stan nadprzewodzący jest zniszczony, przerwa znika i gęstość stanów wraca do postaci charakterystycznej dla gazu swobodnych elektronów.

Teoria BCS jest w stanie przewidzieć wiele właściwości obserwowanych w nadprzewodnikach. Przykłady to: efekt Meissnera, temperatura krytyczna, krytyczne pole magnetyczne i, co być może jest najważniejsze, oporność dążąca do zera w temperaturze krytycznej. O tym ostatnim zjawisku możemy myśleć w sposób jakościowy. W normalnym przewodniku oporność bierze się między innymi z oddziaływania elektronów przewodnictwa z siecią. W oddziaływaniu tym wymieniana energia jest rzędu energii termicznej $k_{\text{B}}T$ . W nadprzewodniku prąd przewodzony jest przez pary Coopera i jedynym sposobem rozproszenia energii pary przez sieć jest jej rozbicie. Rozbicie jednej pary skutkuje przerwaniem kolektywnego ruchu wszystkich par. Wymagana do tego energia ma wartość rzędu $10^{-3}\si{\electronvolt}$ , czyli rzędu przerwy energetycznej. Poniżej temperatury krytycznej energia termiczna jest zbyt mała, aby taki proces nastąpił, i pary Coopera przemierzają sieć bez przeszkód.

Na koniec warto zwrócić uwagę na fakt, że nie wykryto nadprzewodnictwa w najlepszych normalnych przewodnikach, takich jak miedź czy srebro. W świetle teorii BCS ma to jednak uzasadnienie. Podstawą tworzenia stanu nadprzewodzącego jest oddziaływanie między elektronami i siecią. W najlepszych przewodnikach oddziaływanie to jest najsłabsze i dlatego przewodnictwo właściwe jest duże. Można zatem przypuszczać, że w tych materiałach oddziaływanie elektron–sieć jest zbyt małe, aby mogły uformować się pary Coopera, co wyklucza możliwość zaistnienia stanu nadprzewodzącego.

9.8 Nadprzewodnictwo