William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać powstawanie obrazów tworzonych przez pojedynczą powierzchnię załamującą;
określać położenie obrazu oraz obliczać jego właściwości, korzystając z konstrukcji biegu promieni;
określać położenie obrazu oraz obliczać jego właściwości, używając równania pojedynczej powierzchni załamującej.

Kiedy promienie światła przechodzą z jednego ośrodka do drugiego, wówczas na powierzchni granicznej pomiędzy dwoma ośrodkami ulegają one załamaniu (ang. refraction). Powierzchnia załamująca może tworzyć obraz w podobny sposób jak powierzchnia odbijająca, a zjawisko załamania odbywa się zgodnie z prawem załamania (prawo Snella).

Załamanie na płaskiej powierzchni – głębokość pozorna

Jeżeli spojrzysz na prosty pręt częściowo zanurzony w wodzie, wyda ci się, że jest on ugięty przy powierzchni wody (Ilustracja 2.13). Przyczyną tego ciekawego zjawiska jest to, że obraz pręta pod wodą tworzy się nieco bliżej jej powierzchni, niż faktycznie znajduje się pręt, czyli nie pokrywa się on z kierunkiem części pręta znajdującej się nad wodą. To samo zjawisko tłumaczy, dlaczego ryba pod wodą wydaje się być bliżej powierzchni, niż jest naprawdę.

Figura widok boczny pręta zanurzonego w wodzie. Obraz pręta przedstawiono za pomocą cieńszej linii w taki sposób, że daję on wrażenie jak gdyby pręt był złamany na granicy powietrza i wody. Punkt P znajduje się na pręcie a punkt Q na obrazie pręta. Linia przerywana PQ jest prostopadła do powierzchni wody. Z punktu P wychodzą dwa promienie P, które biegną ku powierzchni wody, następnie załamują się i wpadają do oka obserwatora. Przedłużenia promieni wydają się wychodzić z punktu Q.

Ilustracja 2.13 Pozorne ugięcie pręta na powierzchni granicznej powietrze-woda. Dla obserwatora punkt

P

na pręcie zdaje się znajdować w położeniu punktu

Q

– w miejscu, gdzie powstaje obraz punktu

P

w wyniku załamania światła na powierzchni granicznej powietrze-woda.

Analizując powstawanie obrazu w wyniku załamania światła, zastanówmy się nad następującymi pytaniami:

Co się dzieje z promieniami światła, gdy wchodzą do innego ośrodka?
Czy załamane promienie pochodzące z pojedynczego punktu spotykają się w jakimś punkcie, czy odchylają się od siebie?

Rozważmy prosty układ składający się z dwóch ośrodków oddzielonych gładką powierzchnią graniczną (Ilustracja 2.14). Przedmiot znajduje się w jednym ośrodku, a obserwator w drugim. Przykładowo ryba jest w ośrodku 1 (w wodzie) o współczynniku załamania światła $1,33$ , a obserwator jest w ośrodku 2 (w powietrzu) o współczynniku załamania światła $1$ . Gdy obserwator patrzy na rybę znad powierzchni wody, widzi, że znajduje się ona powyżej miejsca, w którym faktycznie jest. Głębokość, na której dla obserwatora znajduje się ryba, równa się wysokości obrazu $h_{o}$ i jest nazywana głębokością pozorną (ang. apparent depth). Prawdziwa głębokość, na jakiej znajduje się ryba, jest równa wysokości przedmiotu $h_{p}$ .

Figura przedstawia boczny widok naczynia z wodą. Punkt P leży w wodzie. Dwa promienie wychodzące z punktu P, załamują się na powierzchni wody i wpadają do oka obserwatora. Przedłużenia promieni załamanych przecinają się w punkcie Q. PQ jest prostopadła do powierzchni wody i przecina ją w punkcie O. Odległość OP jest oznaczona jako h subscript o, a odległość OQ jest oznaczona jako h subscript i. Kąt utworzony pomiędzy promieniem załamanym a linią prostopadłą do powierzchni jest oznaczony jako teta.

Ilustracja 2.14 Głębokość pozorna powstająca w wyniku załamania światła. Rzeczywisty przedmiot znajdujący się w punkcie

P

tworzy obraz w punkcie

Q

. Obraz nie znajduje się na tej samej głębokości co przedmiot, a więc obserwator widzi obraz na głębokości pozornej.

Głębokość pozorna $h_{o}$ zależy od kąta, pod którym widzisz obraz. Gdy patrzysz z góry, kąt załamania $θ$ jest mały i w przybliżeniu możemy zastąpić $sin θ$ w prawie Snella przez $tg θ$ . Stosując to przybliżenie oraz korzystając z podobieństwa trójkątów $Δ O P R$ i $Δ O Q R$ , można wyprowadzić następującą zależność

h_{o} = \frac{n_{2}}{n_{1}} \cdot h_{p} .

2.10

Wyprowadzenie tego wzoru pozostawiono jako zadanie. Z tej zależności wynika, że w omawianym wcześniej przykładzie ryba wydaje się być na $3 ∕ 4$ głębokości, na jakiej faktycznie się znajduje, gdy patrzymy na nią z góry pod niewielkim kątem.

Załamanie na powierzchni sferycznej

Kształty kuliste mają duże znaczenie w optyce przede wszystkim dlatego, że wykonanie wysokiej jakości sferycznych powierzchni jest bez porównania łatwiejsze niż wykonanie jakiejkolwiek innej zakrzywionej powierzchni. Aby dowiedzieć się, jak zachodzi załamanie na pojedynczej powierzchni sferycznej, przyjmujemy, że ośrodek ze sferyczną powierzchnią z jednej strony jest nieograniczony.

Załamanie na powierzchni wypukłej

Rozważmy punktowe źródło światła $P$ znajdujące się naprzeciw wypukłej powierzchni wykonanej ze szkła (Ilustracja 2.15). Niech $R$ będzie promieniem krzywizny, $n_{1}$ współczynnikiem załamania światła ośrodka, w którym znajduje się punkt $P$ (przedmiot), a $n_{2}$ współczynnikiem załamania światła ośrodka z powierzchnią sferyczną. Chcemy się dowiedzieć, jak załamuje się światło na tej powierzchni.

Figura przedstawia sferę. Współczynnik załamania powietrza wynosi n subscript 1, a sfery n subscript 2. Środek sfery to punkt C. Promień sfery wynosi R. Promień biegnący z punktu P leżącego na osi optycznej, na zewnątrz sfery pada na powierzchnię wklęsłą sfery i ulega załamaniu. Promień przecina oś optyczną w punkcie P prim wewnątrz sfery, po drugiej stronie środka. Linia przerywana, opisana jako A normalna do interfejsu łączy środek sfery z punktem, w którym promień pada na sferę. Linia tworzy kąt fi z osią optyczną. Promienie padający i odbity tworzą odpowiednio kąty alfa i beta z osią optyczną i kąty teta 1 i teta 2 z normalną do interfejsu.

Ilustracja 2.15 Załamanie promienia na powierzchni wypukłej (

n_{2} > n_{1}

).

Ze względu na symetrię zagadnienia ograniczymy się do sprawdzenia promieni tylko w jednym punkcie powierzchni. Rysunek przedstawia promień światła, który wychodzi z punktu $P$ , załamuje się na powierzchni granicznej i przechodzi przez obraz w punkcie $P^{'}$ . Wyprowadzimy wzór opisujący zależność pomiędzy odległością przedmiotu $d_{p}$ , odległością obrazu $d_{o}$ oraz promieniem krzywizny $R$ .

Z prawa Snella dla promienia wychodzącego z punktu $P$ wynika, że (stosując przybliżenie małych kątów)

n_{1} θ_{1} \approx n_{2} θ_{2} .

Ponadto, jak widać na rysunku, kąty $θ_{1}$ i $θ_{2}$ są odpowiednio równe

θ_{1} = α + ϕ, θ_{2} = ϕ - β .

Podstawienie tych wyrażeń do prawa Snella daje zależność

n_{1} (α + ϕ) \approx n_{2} (ϕ - β) .

Korzystając ponownie z rysunku, określamy także zależności dla tangensów kątów $α$ , $β$ i $ϕ$

tg α \approx \frac{h}{d_{p}}, tg β \approx \frac{h}{d_{o}}, tg ϕ \approx \frac{h}{R} .

Uwzględniając przybliżenie małych kątów, możemy przyjąć, że $tg θ \approx θ$ , a więc powyższe wyrażenia możemy zapisać w postaci

α \approx \frac{h}{d_{p}}, β \approx \frac{h}{d_{o}}, ϕ \approx \frac{h}{R} .

Po podstawieniu tych zależności do prawa Snella otrzymujemy

n_{1} (\frac{h}{d_{p}} + \frac{h}{R}) = n_{2} (\frac{h}{R} - \frac{h}{d_{o}}) .

Równanie powyższe możemy także zapisać w bardziej czytelnej postaci

\frac{n_{1}}{d_{p}} + \frac{n_{2}}{d_{o}} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R} .

2.11

Jeżeli przedmiot znajduje się w szczególnym punkcie nazywanym ogniskiem pierwszym (ang. first focus) lub ogniskiem przedmiotu (ang. object focus) $F_{1}$ , to obraz powstaje w nieskończoności, jak pokazano w części (a) Ilustracji 2.16.

Figura a przedstawia sferę i punkt F1 leżący na zewnątrz sfery, na osi optycznej. Promienie wychodzące z F1 padają na wypukłą powierzchnię, ulegają załamaniu i po przejściu przez sferę biegną jako promienie równoległe. Odległość punktu F1 od powierzchni wynosi f subscript 1. Figura b przedstawia promienie równoległe do osi optycznej padające na wklęsłą powierzchnię i ulegające załamaniu. Promienie skupiają się w punkcie F2 wewnątrz sfery. Punkt F2 leży na osi optycznej pomiędzy powierzchnią a środkiem sfery. Odległość punktu F2 od powierzchni wynosi f subscript 2. Na obu figurach współczynnik załamania powietrza wynosi n1, zaś sfery n2, który jest większy od n1.

Ilustracja 2.16 (a) Ognisko pierwsze (nazwane ogniskiem przedmiotu) dla załamania na powierzchni wypukłej. (b) Ognisko drugie (nazwane ogniskiem obrazu) dla załamania na powierzchni wypukłej.

Możemy określić ogniskową $f_{1}$ ogniska pierwszego $F_{1}$ , przyjmując $d_{\text{o}} \to \infty$ w poprzednim równaniu (Równanie 2.11)

\frac{n_1}{f_1} + [\frac{n_2}{\infty}] = \frac{n_2-n_1}{R} \text{,}

2.12

f_{1} = \frac{n_{1} R}{n_{2} - n_{1}} .

2.13

Podobnie możemy zdefiniować ognisko drugie (ang. second focus) lub ognisko obrazu (ang. image focus) $F_{2}$ , gdzie obraz jest utworzony przez przedmiot znajdujący się w dużej odległości (część (b) Ilustracji 2.16). Położenie ogniska drugiego $F_{2}$ obliczamy z wcześniej wyprowadzonego równania, podstawiając $d_{p} = \infty$

[\frac{n_1}{\infty}] + \frac{n_2}{f_2} = \frac{n_2-n_1}{R} \text{,}

f_{2} = \frac{n_{2} R}{n_{2} - n_{1}} .

Zauważ, że ognisko przedmiotu jest w innej odległości od wierzchołka niż ognisko obrazu, ponieważ $n_{1} \neq n_{2}$ .

Konwencja znaków dla pojedynczej powierzchni załamującej

Mimo że wyprowadziliśmy równanie dla załamania na powierzchni wypukłej, to samo wyrażenie jest poprawne dla powierzchni wklęsłej, jeśli przyjmiemy następującą konwencję znaków:

$R > 0$ , jeżeli powierzchnia jest wypukła w kierunku przedmiotu; w innym przypadku $R < 0$ .
$d_{o} > 0$ , jeżeli obraz jest rzeczywisty i znajduje się po przeciwnej stronie niż przedmiot; w innym przypadku $d_{o} < 0$ .

2.3 Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła

Załamanie na płaskiej powierzchni – głębokość pozorna

Załamanie na powierzchni sferycznej

Załamanie na powierzchni wypukłej

Konwencja znaków dla pojedynczej powierzchni załamującej