2.2 Zwierciadła sferyczne

Zwierciadła zakrzywione

Możemy zdefiniować dwa podstawowe typy zwierciadeł sferycznych. Jeżeli powierzchnia odbijająca jest zewnętrzną powierzchnią kuli – zwierciadło nazywa się zwierciadłem sferycznym wypukłym (ang. convex mirror). Jeżeli powierzchnia odbijająca jest wewnętrzną powierzchnią sfery – zwierciadło nazywa się zwierciadłem sferycznym wklęsłym (ang. concave mirror).

Symetria jest jedną z głównych cech wielu układów optycznych, dotyczy także zwierciadeł i soczewek. Oś symetrii tych elementów optycznych jest często nazywana osią główną (ang. principal axis) lub osią optyczną (ang. optical axis). Dla zwierciadła sferycznego oś optyczna przechodzi przez środek krzywizny zwierciadła i jego wierzchołek (ang. vertex), tak jak pokazano na Ilustracji 2.5.

Ilustracja 2.5 Zwierciadło sferyczne jest wykonane przez wycięcie fragmentu kuli i pokrycie srebrem wewnętrznej lub zewnętrznej powierzchni. Zwierciadło wklęsłe jest posrebrzone na wewnętrznej powierzchni, a wypukłe na zewnętrznej.

Przeanalizujmy bieg promieni równoległych do osi optycznej zwierciadła parabolicznego przedstawionych w części (a) Ilustracji 2.6. Zgodnie z prawem odbicia promienie te zostają odbite w taki sposób, że spotykają się w jednym punkcie, nazywanym ogniskiem (ang. focal point). W części (b) Ilustracji 2.6 widzimy zwierciadło sferyczne oraz promienie równoległe do osi optycznej, ale znacznie od niej oddalone. Promienie odbite w tym zwierciadle nie spotykają się w jednym punkcie, a więc nie ma ono dobrze zdefiniowanego ogniska. Zjawisko to nazywamy aberracją sferyczną (ang. spherical aberration), a jej skutkiem jest nieostry obraz przedmiotu rozciągłego. W części (c) Ilustracji 2.6 widzimy zwierciadło sferyczne, którego rozmiar jest mały w porównaniu z jego promieniem krzywizny. Zwierciadło to jest zbliżone kształtem do zwierciadła parabolicznego, a więc promienie, które padają równolegle do osi optycznej, są odbite i skupiają się dokładnie w jednym punkcie – ognisku zwierciadła. Odległość wzdłuż osi optycznej od zwierciadła do jego ogniska nazywamy ogniskową (ang. focal length) zwierciadła.

Ilustracja 2.6 (a) Równoległe promienie odbite od zwierciadła parabolicznego przecinają się w jednym punkcie $F$ nazywanym ogniskiem. (b) Równoległe promienie biegnące blisko osi optycznej i te w znacznej odległości od niej po odbiciu od zwierciadła sferycznego nie przecinają się w jednym punkcie. (c) Dla promieni równoległych biegnących blisko osi optycznej krzywizna zwierciadła jest dobrym przybliżeniem paraboli, więc promienie te przecinają się w jednym punkcie.

Zwierciadło sferyczne wypukłe również ma ognisko, jak widać na Ilustracji 2.7. Promienie padające równolegle do osi optycznej są odbijane od zwierciadła i wydają się wychodzić z punktu $F$ znajdującego się na ogniskowej $f$ za zwierciadłem. Ognisko to jest pozorne, ponieważ w rzeczywistości żadne promienie nie przechodzą przez to ognisko, a jedynie wydają się z niego wychodzić.

Ilustracja 2.7 (a) Promienie odbite przez zwierciadło sferyczne wypukłe. Promienie światła biegnące równolegle do osi optycznej zostają odbite od zwierciadła sferycznego wypukłego i wydają się wychodzić z ogniska leżącego w odległości równej ogniskowej $f$ po przeciwnej stronie zwierciadła. To ognisko jest pozorne, ponieważ żadne rzeczywiste promienie z tego ogniska nie wychodzą. (b) Zdjęcie przedstawia obraz pozorny utworzony przez zwierciadło wypukłe. Źródło (b): modyfikacja pracy Jenny Downing

Jaki jest związek pomiędzy ogniskową zwierciadła a jego promieniem krzywizny? Na Ilustracji 2.8 przedstawiono pojedynczy promień, który został odbity przez zwierciadło sferyczne wklęsłe. Padający promień jest równoległy do osi optycznej. Punkt, w którym odbity promień przecina oś optyczną, jest ogniskiem. Zauważ, że wszystkie promienie, które padają równolegle do osi optycznej, po odbiciu skupiają się w ognisku (dla uproszczenia na rysunku został pokazany tylko jeden taki promień). Chcemy znaleźć zależność między ogniskową $FP$ (oznaczoną jako $f$) a promieniem krzywizny zwierciadła $R$, którego długość jest równa $R=CF+FP$. Z prawa odbicia wiemy, że kąty $OXC$ i $CXF$ są takie same, a ponieważ promień padający jest równoległy do osi optycznej, kąty $OXC$ i $XCP$ również są takie same. Z tego wynika, że trójkąt $CXF$ jest trójkątem równoramiennym, gdzie $CF=FX$. Jeżeli kąt $\theta$ jest mały tzn. mamy do czynienia z promieniami biegnącymi blisko osi optycznej, wówczas korzystamy z przybliżenia małych kątów (ang. small-angle approximation), czyli przyjmujemy, że $sin\theta \approx \theta$, a więc $FX\approx FP$ lub $CF\approx FP$. Podstawiając te zależności do równania na promień $R$, otrzymujemy

Ilustracja 2.8 Odbicie w zwierciadle wklęsłym. Jeśli skorzystamy z przybliżenia małych kątów, to każdy promień padający równolegle do osi optycznej $FP$ po odbiciu przechodzi przez ognisko zwierciadła $F$.

Innymi słowy, w przybliżeniu małych kątów ogniskowa $f$ zwierciadła sferycznego wklęsłego jest równa połowie jego promienia krzywizny, $R$

W tym rozdziale będziemy zakładać, że przybliżenie małych kątów, nazywane także przybliżeniem przyosiowym (ang. paraxial approximation), jest zawsze spełnione. W tym przybliżeniu wszystkie promienie są promieniami przyosiowymi, czyli są one odchylone pod niewielkim kątem od osi optycznej i ich odległość od osi optycznej jest znacznie mniejsza niż promień krzywizny. W takim przypadku ich kąty odbicia $\theta$ są małymi kątami, więc możemy przyjąć, że $sin\theta \approx tg\theta \approx \theta$.

Zastosowanie konstrukcji biegu promieni do określenia położenia obrazu

Aby znaleźć położenie obrazu utworzonego przez zwierciadło sferyczne, najpierw musimy poznać zasady konstrukcji biegu promieni (ang. ray tracing), tj. techniki rysowania biegu promieni światła po odbiciu od zwierciadła, przy zastosowaniu prawa odbicia światła. Stosując prawa geometrii, jesteśmy w stanie znaleźć ognisko, położenie obrazu oraz inne informacje o tym, jak zwierciadło operuje światłem. Do tej pory stosowaliśmy konstrukcję biegu promieni wykorzystującą prawo odbicia, aby określić położenie ogniska zwierciadeł sferycznych, czy też odległość obrazu dla zwierciadeł płaskich. Aby znaleźć położenie obrazu przedmiotu, musimy znaleźć położenia przynajmniej dwóch punktów tego obrazu. Znalezienie każdego z nich wymaga narysowania przynajmniej dwóch promieni wychodzących z przedmiotu i skonstruowania przebiegu promieni odbitych. Punkt, w którym odbite promienie przecinają się – w przestrzeni rzeczywistej lub pozornej – jest miejscem, gdzie znajduje się punkt obrazu odpowiadający danemu punktowi przedmiotu. Aby uprościć technikę konstrukcji biegu promieni, skoncentrujmy się na biegu czterech głównych promieni, których odbicia są proste do skonstruowania.

Ilustracja 2.9 przedstawia dwa zwierciadła: wklęsłe i wypukłe – przed każdym znajduje się przedmiot w postaci strzałki. Strzałki to przedmioty, których obrazy chcemy znaleźć, stosując opisaną powyżej technikę konstrukcji biegu promieni. Żeby to zrobić, rysujemy bieg czterech głównych promieni z punktu $Q$ leżącego na wierzchołku przedmiotu. Promień 1 wychodzący z punktu $Q$ rozchodzi się równolegle do osi optycznej. W rezultacie, jak wspomniano wcześniej, promień odbity przechodzi przez ognisko zwierciadła. Z tego wynika, że dla zwierciadła wklęsłego promień odbity dla promienia 1 przechodzi przez ognisko $F$, jak pokazano w części (b) rysunku. Dla zwierciadła wypukłego przedłużenie promienia odbitego dla promienia 1 przechodzi przez ognisko pozorne. Promień 2 początkowo rozchodzi się wzdłuż linii przechodzącej przez ognisko, a następnie odbija się w kierunku równoległym do osi optycznej. Promień 3 przechodzi przez środek krzywizny zwierciadła, pada na zwierciadło pod kątem prostym i odbija się wzdłuż tej samej prostej. Wreszcie, promień 4 pada na wierzchołek zwierciadła (punkt przecięcia osi zwierciadła z jego powierzchnią), a następnie odbija się symetrycznie względem osi optycznej.

Ilustracja 2.9 Cztery główne promienie pokazane dla (a) zwierciadła wklęsłego i (b) zwierciadła wypukłego. Obraz zostaje utworzony tam, gdzie promienie (dla obrazów rzeczywistych) lub ich przedłużenia (dla obrazów pozornych) się przecinają.

Cztery główne promienie przecinają się w punkcie $Q^{\prime }$, czyli w miejscu, gdzie znajduje się obraz punktu $Q$. Aby znaleźć punkt $Q^{\prime }$, wystarczy narysować dowolne dwa z tych promieni. Możemy zatem wybrać dwa dowolne charakterystyczne promienie, aby znaleźć położenie obrazu. Rysowanie więcej niż dwóch promieni może jednak przydać się do sprawdzenia, czy nie został popełniony błąd.

Żeby ostatecznie znaleźć położenie obrazu rozciągłego przedmiotu oraz stwierdzić, jaka jest jego orientacja, należy znaleźć położenie drugiego punktu przedmiotu. Aby tego dokonać, śledzimy bieg promieni wychodzących od podstawy przedmiotu. W tym przypadku cztery główne promienie biegnące wzdłuż osi optycznej odbijają się od zwierciadła i następnie wracają wzdłuż osi optycznej. Trudność polega tu na tym, że promienie te są współliniowe i nie możemy zdefiniować jednego punktu, w którym się przecinają. Wiemy jedynie, że podstawa obrazu jest na osi optycznej. Ponieważ zwierciadło jest symetryczne, to orientacja pionowa przedmiotu się nie zmienia. Z tego wynika, że skoro przedmiot jest prostopadły do osi optycznej, to obraz też musi być prostopadły. Ponadto obraz podstawy przedmiotu znajduje się na osi optycznej powyżej obrazu wierzchołka przedmiotu, jak widać na Ilustracji 2.9.

W przypadku zwierciadła wklęsłego obraz przedmiotu rozciągłego powstaje pomiędzy ogniskiem i środkiem krzywizny zwierciadła. Jest on odwrócony i pomniejszony w stosunku do przedmiotu i jest obrazem rzeczywistym. Gdy przesuniemy przedmiot bliżej lub dalej względem zwierciadła, obraz się zmieni. Przykładowo, przedmiot znajdujący się pomiędzy zwierciadłem wklęsłym a jego ogniskiem będzie tworzył obraz pozorny, prosty i powiększony względem przedmiotu. W przypadku zwierciadła wypukłego obraz przedmiotu rozciągłego powstaje pomiędzy ogniskiem a zwierciadłem i jest prosty, pozorny i pomniejszony w stosunku do przedmiotu.

Podsumowanie zasad konstrukcji biegu promieni

Konstrukcja biegu promieni jest bardzo przydatna w przypadku zwierciadeł. Oto krótkie podsumowanie jej zasad:

• Promień biegnący równolegle do osi optycznej zwierciadła sferycznego zostaje odbity wzdłuż linii przecinającej ognisko zwierciadła (promień 1 na Ilustracji 2.9).
• Promień biegnący wzdłuż prostej, która przechodzi przez ognisko zwierciadła sferycznego, zostaje odbity równolegle do osi optycznej (promień 2 na Ilustracji 2.9).
• Promień biegnący wzdłuż prostej, która przechodzi przez środek krzywizny zwierciadła sferycznego, zostaje odbity wzdłuż tej samej prostej (promień 3 na Ilustracji 2.9).
• Promień, który pada na wierzchołek zwierciadła sferycznego, zostaje odbity symetrycznie względem osi optycznej zwierciadła (promień 4 na Ilustracji 2.9).

Opisaną metodę konstrukcji biegu promieni można stosować do graficznego przedstawiania obrazów powstających w zwierciadłach, a także do obliczania parametrów optycznych zwierciadeł. Jeżeli założymy, że zwierciadło jest małe w porównaniu z promieniem jego krzywizny, to możemy wyprowadzić równanie zwierciadła, wykorzystując podstawowe prawa algebry i geometrii. Połączenie konstrukcji biegu promieni z równaniem zwierciadła jest dobrą metodą analizy układów zwierciadeł.

Tworzenie obrazu w zwierciadłach – równanie zwierciadła

Dla zwierciadła płaskiego pokazaliśmy, że utworzony obraz ma taką samą wysokość i orientację jak przedmiot i znajduje się w takiej samej odległości za zwierciadłem co przedmiot przed zwierciadłem. Mimo że w przypadku zwierciadeł zakrzywionych sytuacja jest bardziej skomplikowana, zastosowanie praw geometrii prowadzi do prostych wzorów opisujących relację pomiędzy odległościami przedmiotu i obrazu a ogniskowymi zwierciadeł wklęsłych i wypukłych.

Popatrzmy na przypadek pokazany na Ilustracji 2.10. Środek krzywizny zwierciadła, oznaczony literą $C$, znajduje się w odległości $R$ od wierzchołka zwierciadła, jak zaznaczono na rysunku. Odległości przedmiotu i obrazu są oznaczone jako $d_{\text{p}}$ i $d_{\text{o}}$, a ich wysokości odpowiednio jako $h_{\text{p}}$ i $h_{\text{o}}$. Ponieważ kąty $\varphi$ i ${\varphi }^{\prime }$ są odpowiadającymi sobie kątami wewnętrznymi, wiemy, że są równe. $tg\theta =-tg{\theta }^{\prime }$ ze względu na to, że $h_{\text{p}}>0$ (leży nad osią optyczną) zaś (leży pod osią optyczną). Analogicznie kąty $\theta$ i ${\theta }^{\prime }$ są równe, ale ich znaki różnią się, jeżeli mierzymy kąty względem osi optycznej, czyli $\theta =-{\theta }^{\prime }$. Wyznaczając następnie tangensy kątów $\theta$ i ${\theta }^{\prime }$ oraz korzystając z własności $tg\left(-\theta \right)=-tg\theta$, otrzymujemy

Ilustracja 2.10 Obraz utworzony przez zwierciadło wklęsłe.

Podobnie, wyznaczając tangensy kątów $\varphi$ i ${\varphi }^{\prime }$, otrzymujemy

Połączenie tych dwóch równań daje nam zależność

Po przekształceniach otrzymujemy równanie

Dla uzyskania tego wyniku nie jest konieczne żadne przybliżenie, więc możemy stwierdzić, że jest on dokładny. Jednakże, jak wspomnieliśmy wcześniej, w przybliżeniu małych kątów (tj. dla promieni biegnących blisko osi optycznej tzw. przyosiowych) ogniskowa zwierciadła sferycznego jest połową jego promienia krzywizny, czyli $f=R∕2$. Podstawiając tę zależność do Równania 2.3, otrzymujemy równanie zwierciadła (ang. mirror equation)

Równanie zwierciadła opisuje zależność pomiędzy odległościami obrazu i przedmiotu a długością ogniskowej i jest poprawne jedynie w przybliżeniu małych kątów. Mimo że zostało ono wyprowadzone dla zwierciadła wklęsłego, to stosuje się je również dla zwierciadeł wypukłych (udowodnienie tego równania stanowi cel zadania). Możemy rozszerzyć stosowanie równania zwierciadła także dla przypadku zwierciadła płaskiego, przyjmując, że zwierciadło płaskie ma nieskończony promień krzywizny. Oznacza to, że ognisko zwierciadła płaskiego jest w nieskończoności, a więc równanie zwierciadła upraszcza się do postaci

co odpowiada Równaniu 2.1 wyprowadzonemu wcześniej dla zwierciadeł płaskich.

Pamiętajmy, że przy wyprowadzaniu równania zwierciadła trzeba zwracać szczególną uwagę na znaki. Dla zwierciadła płaskiego odległość obrazu ma przeciwny znak niż odległość przedmiotu. Zatem obraz rzeczywisty utworzony przez zwierciadło wklęsłe na Ilustracji 2.10 jest po przeciwnej stronie osi optycznej względem przedmiotu. W tym przypadku wysokość obrazu powinna mieć przeciwny znak niż wysokość przedmiotu. Znaki poszczególnych zmiennych w równaniu zwierciadła określamy zgodnie z konwencją opisaną poniżej.

Powiększenie obrazu

Zastosujmy konwencję znaków przy interpretacji równania zwierciadła. Wyprowadzając to równanie, dowiedzieliśmy się, że wysokości przedmiotu i obrazu pozostają w zależności

$$-\frac{h_{\text{p}}}{h_{\text{o}}}=\frac{d_{\text{p}}}{d_{\text{o}}}\text{.}$$

2.7

Spójrzmy na Równanie 2.3. Zarówno przedmiot, jak i obraz utworzony przez zwierciadło na Ilustracji 2.10 są rzeczywiste, a więc ich odległości od zwierciadła są dodatnie. Najwyższy punkt przedmiotu jest ponad osią optyczną, a zatem jego wysokość jest dodatnia. Natomiast obraz znajduje się poniżej osi optycznej, czyli jego wysokość jest ujemna. W rezultacie przyjęta konwencja znaków jest zgodna z równaniem zwierciadła.

W rzeczywistości Równanie 2.7 opisuje powiększenie liniowe (ang. linear magnification), często nazywane po prostu powiększeniem (ang. magnification) obrazu w odniesieniu do odległości przedmiotu i obrazu. Bezwymiarowe powiększenie $p$ definiujemy zatem w następujący sposób

$$p=\frac{h_{\text{o}}}{h_{\text{p}}}\text{.}$$

2.8

Jeżeli $p$ jest dodatnie, to obraz jest prosty, a jeżeli $p$ jest ujemne, to obraz jest odwrócony. Jeżeli $\left|p\right|>1$, to obraz jest większy niż przedmiot, a jeżeli $\left|p\right|<1$, to obraz jest mniejszy niż przedmiot. Na podstawie definicji powiększenia otrzymujemy następującą zależność pomiędzy pionowymi wielkościami obrazu i przedmiotu oraz ich odległościami od wierzchołka zwierciadła

$$p=\frac{h_{\text{o}}}{h_{\text{p}}}=-\frac{d_{\text{o}}}{d_{\text{p}}}\text{.}$$

2.9

Jest to bardzo przydatne równanie, ponieważ pozwala obliczyć powiększenie obrazu względem przedmiotu oraz odległość obrazu lub przedmiotu bezpośrednio z równania zwierciadła.

Przykład 2.1

Elektrownia słoneczna

Jedną z metod uzyskiwania energii elektrycznej ze światła słonecznego jest stosowanie tzw. kolektorów koncentrujących, w których światło słoneczne skupiane jest przez układ zwierciadeł na zaczernionej rurze wypełnionej cieczą. Podgrzana energią słoneczną ciecz jest następnie pompowana do wymiennika ciepła, gdzie energia cieplna zostaje przekazana do kolejnego układu służącego do generowania pary. Ostatecznie prąd elektryczny generowany jest z wykorzystaniem konwencjonalnego cyklu parowego. Na Ilustracji 2.11 przedstawiono zdjęcie takiego układu znajdującego się w południowej Kalifornii. Zastosowane w tym układzie zwierciadło jest walcem parabolicznym z ogniskiem na powierzchni rury, jednakże możemy założyć, że powierzchnia zwierciadła stanowi jedną czwartą powierzchni bocznej walca o promieniu równym promieniowi zwierciadła.

Ilustracja 2.11 Paraboliczne zwierciadła wykorzystywane do generowania energii elektrycznej w południowej Kalifornii. Źródło: „kjkolb”/Wikimedia Commons

1. Jaka powinna być wartość promienia zwierciadła, aby promienie słoneczne skupiły się w odległości $40\mathrm{cm}$ od zwierciadła?
2. Jaka ilość (moc) światła słonecznego jest skupiona na $1\mathrm{m}$ rury, jeśli nasłonecznienie wynosi $900\mathrm{W}∕{\mathrm{m}}^2$?
3. Jeżeli rura z cieczą ma średnicę wewnętrzną $2\mathrm{cm}$, to o ile wzrośnie temperatura $1\mathrm{m}$ bieżącego cieczy w czasie $1\min$? Przyjmij, że całe promieniowanie słoneczne padające na zwierciadło jest pochłaniane przez rurę oraz że cieczą jest olej mineralny.

Strategia rozwiązania

Najpierw określ, z jakimi prawami fizyki mamy do czynienia. Część (a) odnosi się do optyki zwierciadeł sferycznych. Część (b) wymaga znajomości matematyki i geometrii. Część (c) wymaga wykorzystania wiadomości dotyczących ciepła i gęstości.

Rozwiązanie

1. Przedmiotem jest Słońce, a więc możemy przyjąć, że odległość przedmiotu jest równa nieskończoności: $d_{\text{p}}⟶\infty$. Odległość obrazu wynosi $d_{\text{o}}=40\mathrm{cm}$. Aby obliczyć ogniskową, skorzystamy z równania zwierciadła
   $R=2f=80\mathrm{cm}$.
2. Nasłonecznienie wynosi $900\mathrm{W}∕{\mathrm{m}}^2$. Musimy obliczyć powierzchnię $A$ przekroju zwierciadła wklęsłego, ponieważ dostarczana moc wynosi $900\mathrm{W}∕{\mathrm{m}}^2\cdot A$. Zwierciadło w tym przypadku stanowi jedną czwartą powierzchni bocznej walca, więc odcinek zwierciadła o długości $L$ ma powierzchnię $A=1∕4\cdot 2\pi RL$. Podstawiając za $L=1\mathrm{m}$, otrzymujemy, że powierzchnia wynosi
   $$A=\frac{\pi }{2}RL=\frac{\mathrm{3,14}}{2}\cdot \mathrm{0,8}\mathrm{m}\cdot 1\mathrm{m}=\mathrm{1,26}{\mathrm{m}}^2\text{.}$$
   Nasłonecznienie na jeden metr długości rury wynosi więc
   $$900\mathrm{W}∕{\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{1,26}{\mathrm{m}}^2=1130\mathrm{W}\text{.}$$
3. Wzrost temperatury obliczymy ze wzoru $Q=mc\Delta T$. Masa $m$ oleju mineralnego znajdującego się w jednym metrze rury wynosi
   $$m=\rho V=\rho \pi \cdot {\left(\frac{d}{2}\right)}^2\cdot L=800\mathrm{kg}∕{\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{3,14}\cdot {\left(\mathrm{0,01}\mathrm{m}\right)}^2\cdot 1\mathrm{m}=\mathrm{0,251}\mathrm{kg}\text{.}$$
   W związku z tym wzrost temperatury na minutę wynosi
   $$\Delta T=\frac{Q}{mc}=\frac{1130\mathrm{W}\cdot 60\mathrm{s}}{\mathrm{0,251}\mathrm{kg}\cdot 1670\mathrm{J}∕\left(\mathrm{kg}\mathrm{°}\mathrm{C}\right)}=162\mathrm{°}\mathrm{C}\text{.}$$

Znaczenie

W słoneczny dzień szereg takich rur na kalifornijskiej pustyni może zapewnić moc $250\mathrm{MW}$. Ciecz w rurach osiąga temperaturę nawet $400\mathrm{°}\mathrm{C}$. W powyższych obliczeniach rozważaliśmy tylko jeden metr rury i pomijaliśmy straty ciepła.

Przykład 2.2

Obraz w zwierciadle wypukłym

Keratometr jest urządzeniem wykorzystywanym do mierzenia krzywizny przedniej powierzchni rogówki oka, co jest szczególnie przydatne przy dobieraniu rozmiaru soczewek kontaktowych. Światło zostaje odbite od rogówki, która zachowuje się jak zwierciadło wypukłe, a keratometr mierzy powiększenie obrazu. Im mniejsze powiększenie, tym mniejszy promień krzywizny rogówki. Jaki jest promień krzywizny rogówki, jeżeli źródło światła znajduje się $12\mathrm{cm}$ od rogówki, a powiększenie obrazu wynosi $\mathrm{0,032}$?

Strategia rozwiązania

Jeżeli znajdziemy ogniskową zwierciadła wypukłego tworzonego przez rogówkę, wtedy możemy określić promień jego krzywizny (równy podwojonej wartości ogniskowej). Odległość przedmiotu wynosi $d_{\text{p}}=12\mathrm{cm}$, a powiększenie wynosi $p=\mathrm{0,032}$. Najpierw obliczymy odległość obrazu $d_{\text{o}}$, a następnie rozwiążemy równanie na ogniskową $f$.

Rozwiązanie

Z równania na powiększenie, $p=-d_{\text{o}}∕d_{\text{p}}$, wyznaczamy $d_{\text{o}}$, a następnie po podstawieniu podanych wartości otrzymujemy

$$d_{\text{o}}=-p{d}_{\text{p}}=-\mathrm{0,032}\cdot 12\mathrm{cm}=-\mathrm{0,384}\mathrm{cm}\text{.}$$

Otrzymana wartość zostanie wykorzystana do obliczenia ogniskowej $f$ z równania zwierciadła. Po przekształceniu równania zwierciadła i podstawieniu wartości dla odległości przedmiotu i obrazu otrzymujemy

$$\begin{array}{c}\frac{1}{d_{\text{p}}}+\frac{1}{d_{\text{o}}}=\frac{1}{f}\Rightarrow f={\left(\frac{1}{d_{\text{p}}}+\frac{1}{d_{\text{o}}}\right)}^{-1}\text{,}\\ f={\left(\frac{1}{12\mathrm{cm}}+\frac{1}{-\mathrm{0,384}\mathrm{cm}}\right)}^{-1}=-\mathrm{0,4}\mathrm{cm}\text{.}\end{array}$$

Promień krzywizny jest równy podwojonej wartości ogniskowej, a więc

$$R=2f=-\mathrm{0,8}\mathrm{cm}\text{.}$$

Znaczenie

Ogniskowa jest ujemna, a więc ognisko jest pozorne, jak należało oczekiwać dla zwierciadła wklęsłego i rzeczywistego przedmiotu. Wartość promienia krzywizny, który obliczyliśmy, jest typowa dla rogówki. Odległość od rogówki do siatkówki oka u dorosłego człowieka wynosi około $2\mathrm{cm}$. W rzeczywistości rogówki nie są sferyczne, co komplikuje dobieranie soczewek kontaktowych. Zauważmy, że odległość obrazu w tym zagadnieniu jest ujemna, zgodnie z faktem, że przedmiot znajduje się za zwierciadłem. Z tego wynika, że obraz jest pozorny, ponieważ w rzeczywistości promienie nie przechodzą przez ten obraz. W zadaniach pokażemy, że dla stałej odległości obrazu mniejszy promień krzywizny oznacza mniejsze powiększenie.

Strategia rozwiązywania zadań

Sposób rozwiązywania zadań: zwierciadła sferyczne

1. Najpierw sprawdź, czy zwierciadło sferyczne tworzy obraz.
2. Ustal, czy konieczne jest wykonanie rysunku konstrukcji biegu promieni lub zastosowanie równania zwierciadła, czy może jedno i drugie. Rysunek jest bardzo przydatny, nawet gdy konstrukcja biegu promieni nie jest konieczna do rozwiązania zadania. Nanieś na rysunku symbole i znane wartości.
3. Określ, co ma być wyznaczone w zadaniu (określ niewiadome).
4. Zrób listę danych, które mogą być wykorzystane przy rozwiązywaniu zadania (określ dane).
5. Jeżeli konieczna jest konstrukcja biegu promieni, wykorzystaj zasady jej tworzenia opisane na początku tego rozdziału.
6. Większość zadań wymaga użycia równania zwierciadła. Wykorzystaj podane powyżej przykłady uwzględniające równanie zwierciadła.
7. Sprawdź, czy odpowiedzi są sensowne. Czy znaki są właściwe? Czy rysunek konstrukcji biegu promieni jest zgodny z obliczeniami?

Uwzględnienie promieni biegnących w dalszej odległości od osi optycznej

Możliwość zastosowania przybliżenia małych kątów jest podstawowym założeniem w powyższych analizach obrazu tworzonego przez zwierciadło sferyczne. Kiedy możliwość ta nie występuje, obraz tworzony przez zwierciadło sferyczne jest zniekształcony. Takie zniekształcenie nazywamy aberracją (ang. aberration). W tym podrozdziale zostaną omówione dwa szczególne rodzaje aberracji: aberracja sferyczna oraz aberracja komatyczna (koma).

Aberracja sferyczna

Rozważmy szeroką wiązkę równoległych promieni padającą na zwierciadło sferyczne, jak pokazano na Ilustracji 2.12.

Ilustracja 2.12 (a) W aberracji sferycznej promienie, które są dalej od osi optycznej, skupiają się w innych punktach niż promienie, które są bliżej osi optycznej. Zauważmy, że aberracja jest tym większa, im dalej od osi optycznej znajduje się promień. (b) W aberracji komatycznej padające równoległe promienie, które nie są równoległe do osi optycznej, skupiają się na różnych wysokościach i w różnych ogniskowych, a więc obraz zawiera „ogon” jak kometa (łac. coma). Uwaga: kolor promieni nie ma związku z barwą światła.

Im dalej od osi optycznej padają promienie, tym mniej zwierciadło sferyczne działa jak zwierciadło paraboliczne. A zatem promienie nie skupiają się w jednym punkcie w pobliżu osi optycznej, jak pokazano na Ilustracji 2.12. Aberracja sferyczna (ang. spherical aberration) sprawia, że obraz rozciągłego przedmiotu powstający w zwierciadle sferycznym jest nieostry. Aberracje sferyczne cechują wszystkie zwierciadła i soczewki, które będziemy omawiać w tym rozdziale. Aberracje te można wyeliminować tylko przez zastosowanie zwierciadeł i soczewek niesferycznych bądź układów korekcyjnych.