9.3 Rezystywność i rezystancja

Rezystywność

Gdy napięcie jest przyłożone do przewodnika, wówczas powstaje pole elektryczne. Jego natężenie oznaczamy $\overrightarrow{E}$. Ładunki zaczynają się poruszać pod wpływem siły działającej na nie w polu elektrycznym. Gęstość prądu $\overrightarrow{J}$, która jest wynikiem tego ruchu, zależy od natężenia elektrycznego oraz właściwości materiału. Ta zależność może być bardzo skomplikowana. W niektórych materiałach, również metalach w określonej temperaturze gęstość prądu jest w przybliżeniu wprost proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego. W takim przypadku gęstość prądu można opisać wzorem

gdzie $\sigma$ to przewodność elektryczna (ang. electrical conductivity). Przewodność elektryczna analogicznie do przewodności cieplnej jest miarą zdolności materiału do przewodzenia i transmitowania prądu. Przewodniki mają większą przewodność elektryczną niż izolatory. Przewodność elektryczna to $\sigma =J∕E$, co oznacza, że jej jednostką jest

Zdefiniujemy jednostkę nazwaną om (ang. ohm), oznaczaną dużą grecką literą omega $\mathrm{\Omega }$. Została ona tak nazwana na cześć Georga Simona Ohma, o którym będziemy jeszcze mówili w tym rozdziale. Oznaczenia $\mathrm{\Omega }$ używa się, aby nie mylić jej z cyfrą 0. Jeden om jest równy jednemu voltowi na jeden amper: $1\mathrm{\Omega }=1\mathrm{V}∕1\mathrm{A}$. Jednostką przewodności elektrycznej jest więc ${\left(\mathrm{\Omega }\mathrm{m}\right)}^{-1}$.

Przewodność to wewnętrzna właściwość materiału. Kolejną jest rezystywność (ang. resistivity) lub inaczej rezystywność elektryczna. Rezystywność materiału określa to, jak bardzo opiera się on przepływowi prądu elektrycznego. Oznacza się ją małą grecką literą $\rho$. Ta wielkość jest odwrotnością przewodności elektrycznej

Jednostką rezystywności w układzie SI jest om pomnożony przez metr ($\mathrm{\Omega }\mathrm{m}$). Oporność możemy zdefiniować jako zależność między polem elektrycznym a gęstością prądu

Im większa rezystywność, tym większe pole elektryczne jest potrzebne do wytworzenia tej samej wartości gęstości prądu. Im mniejsza jest rezystywność, tym większą wartość gęstości prądu wytwarza takie samo pole elektryczne. Dobre przewodniki mają dużą przewodność oraz małą rezystywność. Dobre izolatory mają małą przewodność, natomiast dużą rezystywność. Tabela 9.1 przedstawia wartości rezystywności oraz przewodności dla różnych materiałów.

Materiały wymienione w tabeli zostały podzielone pod względem wielkości rezystywności na przewodniki, półprzewodniki oraz izolatory. Przewodniki mają najmniejszą rezystywność, natomiast izolatory największą; rezystywność półprzewodników mieści się pomiędzy tymi wartościami. W przewodnikach gęstość swobodnych nośników zależy od ich rodzaju, ale zawsze jest duża, natomiast większość ładunków w izolatorach jest związana z atomami i nie może się swobodnie poruszać. Sytuacja w półprzewodnikach jest pośrednia. Mają dużo mniej swobodnych nośników niż przewodniki, ale ich właściwości sprawiają, że liczba nośników zależy od typu i zawartości domieszek. Te wyjątkowe właściwości sprawiają, że półprzewodniki są wykorzystywane we współczesnej elektronice, o czym dokładnie opowiemy w dalszych rozdziałach.

Temperaturowa zależność rezystywności

Wróćmy do Tabeli 9.1 i przyjrzyjmy się kolumnie „Współczynnik temperaturowy”. Rezystywność niektórych materiałów bardzo silnie zależy od temperatury. W niektórych, na przykład w miedzi, rośnie ona wraz z temperaturą. W zasadzie w większości przewodzących metali parametr ten zwiększa się wraz z temperaturą. Podwyższenie temperatury zwiększa amplitudę drgań atomów w strukturze metali, co utrudnia przepływ elektronów. W innych materiałach, takich jak węgiel, rezystywność spada ze wzrastającą temperaturą. W metalach ta zależność jest liniowa i może być opisana równaniem

gdzie $\rho$ to rezystywność materiału w temperaturze $T$, $\alpha$ to współczynnik temperaturowy materiału, a ${\rho }_0$ to rezystywność w temperaturze $T_0$; zwykle zakłada się, że $T_0=293\mathrm{K}$.

Zauważmy, że w Tabeli 9.1 współczynnik temperaturowy $\alpha$ dla półprzewodników jest ujemny, co oznacza, że ich rezystywność maleje wraz ze wzrostem temperatury (należy zauważyć, że podane współczynniki temperaturowe są prawdziwe dla półprzewodników jedynie w wąskim zakresie temperatur, w okolicach temperatury pokojowej; rezystywność półprzewodników jest bowiem silną wykładniczą funkcją temperatury, w odróżnieniu od metali, dla których zależność ta ma charakter liniowy). Półprzewodniki lepiej przewodzą prąd w wyższych temperaturach, ponieważ wzbudzenia termiczne zwiększają liczbę swobodnych ładunków, które są nośnikami prądu. Zależność $\rho$ od temperatury wiąże się także z typem i liczbą domieszek w półprzewodnikach.

Rezystancja

Rozważymy teraz rezystancję przewodu albo elementu obwodu elektrycznego. Określa ona, jak trudno jest przepłynąć prądowi przez przewód lub element, i zależy od rezystywności. Rezystywność to właściwość materiału wykorzystywanego do produkcji przewodów lub innych elementów elektrycznych, natomiast rezystancja to właściwość przewodu lub elementu.

Żeby policzyć rezystancję, rozważymy kawałek przewodu o powierzchni przekroju poprzecznego $S$, długości $L$ oraz rezystywności $\rho$. Baterię podłączono do przewodnika, zapewniając różnicę potencjałów $U$ między jego końcami (Ilustracja 9.13). Jest ona źródłem pola elektrycznego, które wywołuje przepływ prądu zgodnie ze wzorem $\overrightarrow{E}=\rho \overrightarrow{J}$.

Ilustracja 9.13 Różnica potencjałów (napięcie) dostarczana z baterii jest przyłożona do przewodnika o powierzchni przekroju poprzecznego $S$ oraz długości $L$.

Natężenie pola elektrycznego wzdłuż kawałka przewodnika równa się stosunkowi napięcia do długości przewodu, $E=U∕L$, natomiast gęstość prądu jest równa stosunkowi natężenia prądu do powierzchni przekroju czynnego, $J=I∕S$. Wykorzystując te informacje oraz wiedząc, że natężenie pola elektrycznego pozostaje proporcjonalne do rezystywności oraz gęstości prądu, możemy udowodnić, że natężenie prądu jest proporcjonalne do przyłożonego napięcia

Jednostką rezystancji jest om ($\mathrm{\Omega }$). Przy danym napięciu płynie tym mniejszy prąd im większa jest rezystancja.

Rezystory

Typowym elementem w obwodach elektrycznych jest rezystor. Używa się go do ograniczania przepływającego prądu lub zapewnienia spadku napięcia. Na Ilustracji 9.14 pokazane są symbole używane do oznaczania rezystorów na schematach obwodów elektrycznych ustalone przez Amerykański Instytut Normalizacyjny (ANSI) (ang. American National Standard Institute) oraz Międzynarodową Komisję Elektrotechniczną (IEC) (ang. International Electrotechnical Commission). W Polsce i Europie stosuje się system IEC, natomiast w Stanach Zjednoczonych – system ANSI.

Ilustracja 9.14 Symbole używane do oznaczania rezystorów w obwodach elektrycznych. (a) Standard ANSI. (b) Standard IEC.

Zależność rezystancji od materiału oraz kształtu

Rezystor może być zaprojektowany jako walec o powierzchni przekroju poprzecznego $S$ i długości $L$ oraz wykonany z materiału o rezystywności $\rho$ (Ilustracja 9.15). Rezystancja rezystora wynosi $R=\rho \cdot L∕S$.

Ilustracja 9.15 Model rezystora jako jednorodnego walca o długości $L$ i powierzchni przekroju poprzecznego $S$. Jego rezystancja wobec przepływającego prądu jest analogiczna do oporu stawianego przez rurę przepływającej cieczy. Im dłuższy walec, tym większa rezystancja. Im większa powierzchnia przekroju poprzecznego $S$, tym mniejsza rezystancja.

Materiałem najpowszechniej wykorzystywanym do produkcji rezystorów jest węgiel. Węglową ścieżkę nawija się na ceramiczny rdzeń, do którego przyłącza się dwa miedziane wyprowadzenia. Innym rodzajem są rezystory wykonane z metalowej warstwy, która również ma ceramiczny rdzeń. Ścieżki są wykonane z tlenków metali, które mają właściwości półprzewodnikowe, podobnie jak węgiel. Miedziane doprowadzenia przyłącza się do końców rezystora. Następnie rezystor jest malowany i oznaczany. Posiada on cztery kolorowe paski, takie jak pokazane na Ilustracji 9.16.

Ilustracja 9.16 Wiele rezystorów wygląda tak, jak przedstawiono powyżej. Cztery paski są używane do identyfikacji rezystora. Dwa pierwsze reprezentują dwie pierwsze cyfry wartości rezystancji rezystora. Trzeci kolor to mnożnik. Czwarty kolor oznacza tolerancję. Rezystor przedstawiony na rysunku ma rezystancję $20\cdot {10}^5\mathrm{\Omega }\pm 10\mathrm{\%}$.

Zakres rezystancji to kilka rzędów wielkości. Niektóre izolatory ceramiczne, używane do wspomagania linii energetycznych, mają rezystancję na poziomie ${10}^{12}\mathrm{\Omega }$ i więcej. Suchy człowiek może mieć rezystancję między ręką a stopą rzędu ${10}^5\mathrm{\Omega }$, natomiast rezystancja ludzkiego serca to ok. ${10}^3\mathrm{\Omega }$. Metrowy miedziany przewód o dużej średnicy ma rezystancję ${10}^{-5}\mathrm{\Omega }$, a nadprzewodniki w niskich temperaturach mają rezystancję równą zero. Jak widać, parametr ten zależy od kształtu i materiału obiektu.

Rezystancja przedmiotu zależy również od temperatury, ponieważ $R_0$ jest odwrotnie proporcjonalne do $\rho$. Dla walca, jak już wiemy, $R=\rho \cdot L∕S$, więc jeśli $L$ i $S$ nie zmieniają się wraz z temperaturą, to $R$ ma taki sam współczynnik temperaturowy jak $\rho$. (Badania dotyczące współczynnika rozszerzalności liniowej pokazują, że jest on o dwa rzędy mniejszy niż typowy współczynnik temperaturowy rezystywności, z czego wynika, że wpływ temperaturowy $L$ oraz $S$ jest blisko dwa rzędy mniejszy niż $\rho$). A zatem

jest temperaturową zależnością rezystancji przedmiotu, gdzie $R_0$ to początkowa rezystancja (zwykle w temperaturze $20\mathrm{°}\mathrm{C}$), a $R$ to rezystancja po zmianie temperatury o $\Delta T$. Rezystancję zakodowaną kolorem na rezystorze zwykle mierzy się w temperaturze $T=20\mathrm{°}\mathrm{C}$.

Działanie wielu termometrów opiera się na zależności temperaturowej rezystancji (Ilustracja 9.17). Jeden z najczęściej używanych rodzajów termometrów działa w oparciu o termistor, półprzewodnikowy kryształ o silnej zależności rezystancji od mierzonej temperatury, którą chcemy poznać. Urządzenie jest małe, więc bardzo szybko wchodzi w równowagę termiczną z dotykaną częścią ciała.

Ilustracja 9.17 Te powszechnie używane termometry działają na zasadzie automatycznego pomiaru zależnej od temperatury rezystancji termistora.

Sprawdź, czy rozumiesz 9.6

Tensometr, pokazany na rysunku poniżej, jest elektrycznym urządzeniem do pomiaru naprężeń. Składa się on z elastycznego izolatora, na którym znajdują się ścieżki z przewodzącej folii. Rezystancja folii zmienia się, gdy podkładka ulega rozciągnięciu. Jak zmienia się rezystancja tensometru? Czy na odczyt tensometru ma wpływ zmiana temperatury?

Przykład 9.7

Rezystancja kabla koncentrycznego

Długie kable mogą się zachowywać jak anteny, zbierając elektroniczny szum, pochodzący od innych urządzeń. Kabli koncentrycznych używa się w urządzeniach, które wymagają eliminacji zakłóceń, m.in. w gospodarstwach domowych w kablach telewizyjnych oraz połączeniach audiowizualnych. Kabel koncentryczny zawiera przewodzący rdzeń o promieniu $r_{\text{wew}}$ otoczony przez drugi, zewnętrzny koncentryczny przewodnik o promieniu $r_{\text{zew}}$ (Ilustracja 9.18). Przestrzeń pomiędzy nimi zwykle wypełnia izolator, taki jak tworzywo polietylenowe, w rezultacie jedynie znikoma ilość prądu przenika pomiędzy dwoma przewodnikami. Wyznacz rezystancję kabla koncentrycznego o długości $L$.

Ilustracja 9.18 Kable koncentryczne składają się z dwóch przewodników rozdzielonych izolatorem. Są zwykle stosowane jako kable telewizyjne i do innych połączeń audiowizualnych.

Strategia rozwiązania

Nie możemy zastosować wprost równania $R=\rho \cdot L∕S$. Natomiast rozważymy koncentryczne cylindryczne powłoki o grubości $dr$ i scałkujemy.

Rozwiązanie

Najpierw wyprowadzimy wyrażenie na $dR$, a następnie scałkujemy je w granicach od $r_{\text{wew}}$ do $r_{\text{zew}}$

$$dR=\frac{\rho }{S}dr=\frac{\rho }{2\pi rL}dr\text{,}$$

$$R=\underset{r_{\text{wew}}}{\overset{r_{\text{zew}}}{\int }}dR=\underset{r_{\text{wew}}}{\overset{r_{\text{zew}}}{\int }}\frac{\rho }{2\pi rL}dr=\frac{\rho }{2\pi L}\underset{r_{\text{wew}}}{\overset{r_{\text{zew}}}{\int }}\frac{dr}{r}=\frac{\rho }{2\pi L}ln\frac{r_{\text{zew}}}{r_{\text{wew}}}\text{.}$$

Znaczenie

Rezystancja kabla koncentrycznego zależy od jego długości, wewnętrznego i zewnętrznego promienia oraz rezystywności materiału rozdzielającego przewodniki. Ze względu na to, że rezystancja nie jest nieskończona, zawsze dochodzi do przenikania pomiędzy dwoma przewodnikami. Powoduje ono osłabienie sygnału przesyłanego przez kabel.