9.2 Model przewodnictwa w metalach

Prędkość dryfu

Sygnały elektryczne przenoszone są bardzo szybko. Rozmowy telefoniczne, możliwe dzięki przepływowi prądu przez przewody na dalekie odległości, nie mają zauważalnych opóźnień. Światło włącza się od razu po przełączeniu kontaktu. Większość sygnałów elektrycznych przenoszonych przez prąd porusza się z prędkością rzędu ${10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}$, co jest znaczącym ułamkiem prędkości światła. Co ciekawe, pojedyncze ładunki, które tworzą prąd elektryczny, poruszają się średnio o wiele wolniej, zazwyczaj dryfując z prędkością rzędu ${10}^{-4}\mathrm{m}∕\mathrm{s}$. Jak pogodzić te dwie wielkości i co one nam mówią o standardowych przewodnikach?

Duża prędkość przesyłania sygnałów elektrycznych wynika z nagłej siły oddziaływania pomiędzy ładunkami. Gdy swobodny elektron wpływa do przewodu, tak jak na Ilustracji 9.7, popycha inne ładunki do przodu na skutek występowania sił odpychania pomiędzy nimi. Poruszające się ładunki popychają kolejne wzdłuż przewodu. Ze względu na występowanie sił odpychania między elektronami gęstość ładunków w układzie nie może łatwo ulec zwiększeniu, więc sygnał jest przekazywany momentalnie. Powstająca elektryczna fala uderzeniowa porusza się wzdłuż układu nieomal z prędkością światła. Ten szybko poruszający się sygnał, czyli fala uderzeniowa, to zmiana pola elektrycznego zachodząca w krótkim odcinku czasu.

Ilustracja 9.7 Gdy ładunki wpływają do przewodnika, taka sama ich ilość musi go opuścić. Siły odpychające pomiędzy ładunkami powodują, że bardzo trudno zwiększyć gęstość ładunku w objętości. Gdy jeden ładunek wpływa, inny prawie natychmiast wypływa, niosąc ze sobą sygnał.

Dobre przewodniki mają dużą liczbę swobodnych nośników ładunków. W metalach są to swobodne elektrony (dobre przewodniki elektryczne są przeważnie także dobrymi przewodnikami ciepła, ponieważ duża liczba swobodnych elektronów może przenosić energię cieplną tak samo jak przenosi prąd). Ilustracja 9.8 pokazuje, jak swobodne elektrony poruszają się w zwykłym przewodniku. Odległość, jaką pokonuje elektron pomiędzy zderzeniami z atomami i innymi elektronami, jest bardzo mała. Droga elektronu wydaje się zupełnie losowa, tak jak ruch atomów w gazie. Jednak istniejące pole elektryczne w przewodniku powoduje dryf elektronów w pokazanym kierunku (przeciwnym do kierunku wektora natężenia pola elektrycznego, ponieważ są to ładunki ujemne). Prędkość dryfu (ang. drift velocity) ${\overrightarrow{v}}_{\text{d}}$ jest średnią prędkością swobodnych ładunków. To wielkość dosyć mała z powodu dużej liczby swobodnych nośników. Jeśli oszacujemy gęstość (koncentrację) swobodnych elektronów w przewodniku, będziemy w stanie obliczyć prędkość dryfu dla danego natężenia prądu. Im większa gęstość prądu, tym mniejsza prędkość wymagana dla takiego samego natężenia prądu.

Ilustracja 9.8 Swobodne elektrony poruszają się w przewodniku i zderzają z pozostałymi elektronami oraz innymi cząstkami. Pokazana została typowa droga elektronu. Średnia prędkość swobodnych nośników nazywa się prędkością dryfu ${\overrightarrow{v}}_{\text{d}}$, która dla elektronów ma zwrot przeciwny do kierunku wektora natężenia pola elektrycznego. Zderzenia, które odpowiadają za przekazywanie energii wzdłuż przewodnika, wymagają ciągłego dostarczania energii, aby płynący prąd się nie zmieniał.

Swobodne elektrony podczas zderzeń z atomami w przewodniku przekazują im energię. Pole elektryczne wykonuje pracę nad elektronami podczas ich przemieszczania się, jednak nie wpływa ona na zwiększenie ich energii kinetycznej (ani prędkości). Energia kinetyczna jest przekazywana atomom w przewodniku, co powoduje wzrost jego temperatury. Ciągłe dostarczanie energii jest konieczne do podtrzymania przepływu prądu stałego (wyjątkiem są nadprzewodniki, które przewodzą stały prąd i nie potrzebują dostarczania im energii – to doskonała oszczędność energii). W przewodnikach, które nie są nadprzewodnikami, dostarczanie energii może być wykorzystywane tak jak we włóknie żarówki (Ilustracja 9.9). Jest ono konieczne do podgrzania włókna żarówki, które zaczyna świecić.

Ilustracja 9.9 Budowa żarówki jest bardzo prosta. Żarnik wolframowy umieszcza się w szklanej bańce, w której wytworzono niską próżnię. Jedna końcówka żarnika jest przymocowana do gwintu z materiału przewodzącego. Druga końcówka jest podłączona do drugiego styku na spodzie żarówki. Obydwa styki są rozdzielone izolatorem. Prąd przypływający przez żarnik powoduje wzrost jego temperatury do momentu zaświecenia. Takie żarówki mają bardzo małą wydajność ze względu na straty cieplne. W 2009 r. rozpoczęto w Polsce proces zastępowania tradycyjnych żarówek energooszczędnymi lampami, np. lampami opartymi na diodach LED oraz świetlówkami kompaktowymi (CFL) (ang. compact fluorescent lamps). Źródło: modyfikacja pracy Serge Saint

Wyrażenie na zależność między prądem a prędkością dryfu można uzyskać, rozważając liczbę swobodnych nośników w objętości przewodu, jak pokazano na Ilustracji 9.10. Liczba swobodnych elektronów przypadająca na jednostkę objętości, czyli ich gęstość (koncentracja), jest oznaczana symbolem $n$, gdzie $n$ jest liczbą ładunków podzieloną przez objętość. Wielkość $n$ zależy od materiału przewodnika. Jeśli zaznaczony obszar ma objętość $S{v}_{\text{d}}dt$, to liczba swobodnych nośników wynosi $nS{v}_{\text{d}}dt$. Ładunek $dQ$ w tym kawałku przewodu wynosi $qnS{v}_{\text{d}}dt$, gdzie $q$ jest ładunkiem każdego nośnika. (Ładunek elektronu wynosi $q=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$). Natężenie prądu to ładunek przenoszony w czasie; jeśli wszystkie ładunki, które początkowo znajdowały się w tym fragmencie przewodu, wypłyną z niego w czasie $dt$, to natężenie prądu będzie wynosiło

Po przekształceniu wzoru

gdzie $v_{\text{d}}$ jest prędkością dryfu, $n$ gęstością swobodnych ładunków, $S$ przekrojem poprzecznym przewodu, a $I$ jest natężeniem prądu płynącego przez przewód. Każdy z nośników ma ładunek $q$ i porusza się z prędkością dryfu $v_{\text{d}}$.

Ilustracja 9.10 Wszystkie ładunki w zaznaczonym kawałku przewodu wypływają w czasie $dt$ i mają prędkość dryfu $v_{\text{d}}$.

Zauważmy, że prędkość dryfu nie wyczerpuje tematu ruchu ładunków. Prędkość elektronu jest czasami większa niż prędkość dryfu. Dodatkowo nie wszystkie elektrony w przewodniku mogą się poruszać swobodnie, i właśnie te, które mogą się poruszać, poruszają się szybciej lub wolniej niż prędkość dryfu. Co zatem rozumiemy przez swobodne elektrony?

Atomy w metalowych przewodnikach są upakowane w strukturze krystalicznej. Niektóre elektrony są wystarczająco daleko od jąder atomowych, aby nie odczuwać przyciągania tak mocno jak elektrony znajdujące się bliżej jądra. To właśnie są elektrony swobodne. Nie są związane z pojedynczym atomem, lecz mogą poruszać się pomiędzy nimi w morzu elektronów. Gdy zostaje przyłożone pole elektryczne, wówczas swobodne elektrony przyspieszają. Podczas poruszania zderzają się z atomami w sieci oraz innymi elektronami, generując energię cieplną, co powoduje grzanie się przewodnika. W izolatorach ułożenie atomów i struktura krystaliczna nie pozwalają na istnienie swobodnych elektronów.

Jak wiemy, moc elektryczna zwykle dostarczana jest do sprzętu i urządzeń przez sferyczny przewód wykonany z przewodzącego materiału (miedź, aluminium, srebro, złoto), który jest w postaci pojedynczego drutu lub linki splecionej z wielu pojedynczych cienkich drutów. Rozmiar przewodu decyduje o maksymalnym natężeniu płynącego prądu. Im większy promień, tym większy prąd może płynąć. Mimo że przenoszenie prądu zależy od średnicy drutu, jego rozmiar nie jest opisywany przez tę wielkość. Zwykle sprzedaje się przewody opisane jednostką $\mathrm{AWG}$ (ang. american wire gauge). Przewody produkuje się metodą przeciągania materiału przez kołowe formy zwane cięgłami do drutów. Aby wykonać cieńsze przewody, druty są przeciągane przez coraz mniejsze formy. W przeszłości $\mathrm{AWG}$ drutu było związane z liczbą procesów jego przeciągania. Z tego powodu większe $\mathrm{AWG}$ oznacza mniejszą średnicę. W Stanach Zjednoczonych został opracowany standardowy system $\mathrm{AWG}$. Przewody w gospodarstwach domowych są wykonane z drutu od $10\mathrm{AWG}$ ($\mathrm{2,588}\mathrm{mm}$ średnicy) do $14\mathrm{AWG}$ ($\mathrm{1,628}\mathrm{mm}$ średnicy). Przyrząd do pomiaru $\mathrm{AWG}$ drutu przedstawia Ilustracja 9.11.

Ilustracja 9.11 Przyrząd do pomiaru rozmiaru drutu elektrycznego. Jak można zauważyć, większa wartość $\mathrm{AWG}$ oznacza cieńszy drut.

Gęstość prądu

Mimo że niezwykle wygodnie jest przypisywać natężeniu prądu znak dodatni lub ujemny, aby określić kierunek jego przepływu, to jest to wielkość skalarna, $I=dQ∕dt$. Czasami niezbędne jest opisywanie dokładnego ruchu ładunku, a nie wyłącznie ogólnego kierunku. W takich przypadkach należy rozważać skorzystanie z gęstości prądu, $\overrightarrow{J}$, która jest wielkością wektorową. Gęstość prądu (ang. current density) oznacza ładunek przepływający przez nieskończenie małą powierzchnię, podzielony przez tę powierzchnię. Ta wielkość uwzględnia miejscową wartość i kierunek przepływającego ładunku, które zmieniają się w kolejnych punktach. Jednostką gęstości prądu jest amper na metr kwadratowy, natomiast kierunek jest zdefiniowany na podstawie kierunku przepływu dodatnich ładunków przez powierzchnię.

Związek między natężeniem prądu a jego gęstością przedstawia Ilustracja 9.12. Przepływ bardzo małego prądu przez powierzchnię $\text{d}\overrightarrow{S}$ można opisać wzorem

gdzie $\theta$ to kąt pomiędzy wektorem jednostkowym powierzchni a wektorem gęstości prądu. Całkowite natężenie prądu przepływającego przez powierzchnię $d\overrightarrow{S}$ można wyznaczyć poprzez całkowanie po powierzchni $S$

Można rozważyć wartość gęstości prądu, która jest stosunkiem natężenia prądu i powierzchni

Z tego wynika, że gęstość prądu równa się $\overrightarrow{J}=nq{\overrightarrow{v}}_{\text{d}}$. Jeśli $q$ jest dodatnie, to ${\overrightarrow{v}}_{\text{d}}$ ma taki sam zwrot jak zwrot wektora natężenia pola elektrycznego $\overrightarrow{E}$. Jeśli $q$ jest ujemne, to ${\overrightarrow{v}}_{\text{d}}$ ma zwrot przeciwny do $\overrightarrow{E}$. Z tego wynika, że kierunek gęstości prądu $\overrightarrow{J}$ ma taki sam zwrot jak zwrot wektora natężenia pola elektrycznego $\overrightarrow{E}$.

Ilustracja 9.12 Gęstość prądu $\overrightarrow{J}$ jest zdefiniowana jako prąd przepływający przez nieskończenie mały przekrój poprzeczny, podzielony przez jego powierzchnię. Kierunek wektora gęstości prądu jest taki sam jak kierunek wektora prędkości ładunków dodatnich, natomiast wartość równa się stosunkowi natężenia prądu do nieskończenie małej powierzchni.

Jakie znaczenie ma gęstość prądu? Jej wartość jest wprost proporcjonalna do natężenia prądu, natomiast natężenie prądu to liczba ładunków przepływających przez przekrój poprzeczny na sekundę. Ładunki poruszają się w przewodniku dzięki sile elektrycznej wynikającej z obecności pola elektrycznego. Jest ono wytwarzane, gdy do przewodnika przykłada się napięcie. W podrozdziale Prawo Ohma zastosujemy związek między gęstością prądu a polem elektrycznym, żeby rozważać zależności między natężeniem prądu w przewodniku a napięciem do niego przyłożonym.