8.2 Łączenie szeregowe i równoległe kondensatorów

Łączenie szeregowe kondensatorów

Na Ilustracji 8.11 przedstawiono trzy kondensatory połączone w obwodzie w sposób szeregowy. Tak jak w przypadku pojedynczych kondensatorów pojemność zastępcza ich układu wiąże się z ładunkiem i napięciem zgodnie z Równaniem 8.1. Po podłączeniu układu kondensatorów połączonych szeregowo do akumulatora o napięciu $U$ na okładkach każdego z nich gromadzi się identyczny ładunek $Q$. Aby zrozumieć, dlaczego tak się dzieje, musimy pamiętać, że ładunek na okładce połączonej z dodatnim biegunem akumulatora wynosi $+Q$, a ładunek na okładce połączonej z biegunem ujemnym wynosi $-Q$. Następnie na pozostałych okładkach ładunki indukują się w taki sposób, aby ich całkowita suma w obwodzie oraz suma na każdej sąsiadującej parze okładek była równa zero. Spadek potencjału $U_1=Q∕C_1$ na jednym kondensatorze nie musi być jednak równy spadkowi potencjału $U_2=Q∕C_2$ na innym kondensatorze, ponieważ mogą one mieć różne pojemności elektryczne. Połączenie szeregowe dwóch lub większej liczby kondensatorów jest tożsame z pojedynczym kondensatorem (zastępczym), którego pojemność (zwana pojemnością zastępczą (ang. equivalent capacitance)) jest mniejsza od najmniejszej z pojemności łączonych kondensatorów. Ładunek na takim kondensatorze zastępczym równa się ładunkowi na każdym z kondensatorów w układzie.

Ilustracja 8.11 (a) Trzy kondensatory połączone szeregowo. Wielkość ładunku na każdej z okładek wynosi $Q$. (b) Układ kondensatorów w części (a) jest równoważny jednemu kondensatorowi o ładunku $Q$ i o pojemności mniejszej od pojemności każdego z kondensatorów składowych.

Wyrażenie na pojemność zastępczą układu można uzyskać na podstawie analizy napięcia na każdym z kondensatorów. Spadki potencjału na kondensatorach 1, 2 i 3 to odpowiednio $U_1=Q∕C_1$, $U_2=Q∕C_2$ i $U_3=Q∕C_3$. Muszą się one sumować do napięcia na akumulatorze, co daje równość

Na kondensatorze zastępczym o ładunku $Q$ i pojemności zastępczej $C_{\text{S}}$ napięcie wynosiłoby $U$. Po podstawieniu wyrażenia na $U_1$, $U_2$ i $U_3$, otrzymamy

Po skróceniu przez ładunek $Q$ otrzymamy wyrażenie na pojemność zastępczą $C_{\text{S}}$ trzech kondensatorów połączonych szeregowo

Wyrażenie to można uogólnić, by odnosiło się do dowolnej liczby kondensatorów połączonych szeregowo.

Łączenie równoległe kondensatorów

Na Ilustracji 8.12 (a) przedstawiono układ trzech kondensatorów połączonych równolegle. Jedna okładka każdego z nich podłączona jest do jednego bieguna akumulatora, druga zaś do drugiego. Ponieważ kondensatory są połączone równolegle, to na każdym z nich występuje takie samo napięcie $U$, jednakże zgromadzone ładunki mogą być różne. Aby obliczyć pojemność zastępczą $C_{\text{R}}$ układu, musimy uwzględnić fakt, że całkowity ładunek $Q$ jest sumą ładunków na poszczególnych kondensatorach

Lewą stronę tego wyrażenia przekształcamy zgodnie z zależnością $Q=C_{\text{R}}U$ dla układu jako całości. Po prawej stronie wykorzystujemy zależności $Q_1=C_{1}U$, $Q_2=C_{2}U$ oraz $Q_3=C_{3}U$ dla każdego z kondensatorów z osobna. W ten sposób otrzymujemy

Po skróceniu przez $U$ równanie to opisuje pojemność zastępczą układu trzech kondensatorów połączonych równolegle

Łatwo uogólnić je do postaci dla dowolnej liczby kondensatorów połączonych równolegle.

Ilustracja 8.12 (a) Trzy kondensatory połączone równolegle. Każdy z nich jest podłączony bezpośrednio do akumulatora. (b) Ładunek na kondensatorze zastępczym stanowi sumę ładunków na poszczególnych kondensatorach.

Łączenie równoległe i szeregowe kondensatorów

Układy kondensatorów to najczęściej zestawienia kondensatorów połączonych szeregowo i równolegle, tak jak na Ilustracji 8.13. Aby obliczyć pojemność zastępczą takich układów, należy odszukać podukłady, w których występuje tylko jeden typ łączenia, i wyliczyć ich pojemności zastępcze. Następnie proces powtarza się aż do momentu, gdy będzie możliwe ustalenie pojemności zastępczej całego układu. Proces ten przedstawiono na poniższym przykładzie.

Ilustracja 8.13 (a) Układ składa się z kondensatorów łączonych zarówno szeregowo, jak i równolegle. (b) Kondensatory $C_1$ i $C_2$ są połączone szeregowo; ich pojemność zastępcza wynosi $C_{\text{S}}$. (c) Kondensator zastępczy $C_{\text{S}}$ jest połączony równolegle z kondensatorem $C_3$, a więc pojemność zastępcza całego układu $C_{\text{rw}}$ to suma $C_{\text{S}}$ i $C_3$.

Przykład 8.7

Układ kondensatorów

Obliczmy pojemność zastępczą $C$ układu kondensatorów przedstawionego na Ilustracji 8.14, jeśli ich pojemności wynoszą $C_1=12\mathrm{\mu F}$, $C_2=2\mathrm{\mu F}$ i $C_3=4\mathrm{\mu F}$. Obliczmy także ładunek i napięcie na każdym z kondensatorów, jeśli układ podłączony jest do napięcia $12\mathrm{V}$.

Ilustracja 8.14 (a) Układ kondensatorów. (b) Równoważny układ dwóch kondensatorów.

Strategia rozwiązania

Najpierw należy obliczyć pojemność zastępczą $C_{23}$ równoległego połączenia kondensatorów $C_2$ i $C_3$. Pojemność całkowita $C$ jest wtedy pojemnością zastępczą szeregowo połączonych kondensatorów o pojemnościach $C_1$ i $C_{23}$. Z równości $C=Q∕U$ wyliczamy ładunki $Q_1$, $Q_2$ i $Q_3$ oraz napięcia $U_1$, $U_2$ i $U_3$ odpowiednio na kondensatorach o pojemnościach $C_1$, $C_2$ i $C_3$.

Rozwiązanie

Pojemność zastępcza dla kondensatorów $C_2$ i $C_3$ wynosi

$$C_{23}=C_2+C_3=2\mathrm{\mu F}+4\mathrm{\mu F}=6\mathrm{\mu F}\text{.}$$

Cały układ trzech kondensatorów jest równoważny szeregowemu połączeniu dwóch kondensatorów $C_1$ i $C_{23}$, a więc

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{12\mathrm{\mu F}}+\frac{1}{6\mathrm{\mu F}}=\frac{1}{4\mathrm{\mu F}}\Rightarrow C=4\mathrm{\mu F}\text{.}$$

Rozważmy równoważny układ dwóch kondensatorów przedstawiony na Ilustracji 8.14 (b). Kondensatory połączone są szeregowo, dlatego mają na okładkach równe ładunki $Q_1=Q_{23}$. Podłączone są do jednego źródła prądu, a więc

$$12\mathrm{V}=U_1+U_{23}=\frac{Q_1}{C_1}+\frac{Q_{23}}{C_{23}}=\frac{Q_1}{12\mathrm{\mu F}}+\frac{Q_1}{6\mathrm{\mu F}}\Rightarrow Q_1=48\mathrm{\mu C}\text{.}$$

Różnica potencjałów na okładkach kondensatora $C_1$ wynosi

$$U_1=\frac{Q_1}{C_1}=\frac{48\mathrm{\mu C}}{12\mathrm{\mu F}}=4\mathrm{V}\text{.}$$

Ponieważ kondensatory $C_2$ i $C_3$ są połączone równolegle, napięcie jest na nich jednakowe

$$U_2=U_3=12\mathrm{V}-4\mathrm{V}=8\mathrm{V}\text{.}$$

Ładunki na nich wynoszą więc odpowiednio

$$\begin{array}{c}{Q}_2=C_2{U}_2=2\mathrm{\mu F}\cdot 8\mathrm{V}=16\mathrm{\mu C}\text{,}\\ Q_3=C_3{U}_3=4\mathrm{\mu F}\cdot 8\mathrm{V}=32\mathrm{\mu C}\text{.}\end{array}$$

Znaczenie

Zgodnie z przypuszczeniami ładunek na układzie połączonych równolegle kondensatorów $C_2$ i $C_3$ wynosi $Q_{23}=Q_2+Q_3=48\mathrm{\mu C}$.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.5

Oblicz pojemność zastępczą dla każdego z przedstawionych poniżej układów kondensatorów. Załóż, że $C_1=1\mathrm{pF}$, $C_2=2\mathrm{pF}$, $C_3=4\mathrm{pF}$ i $C_4=5\mathrm{pF}$. Oblicz ładunek na każdym z kondensatorów przy założeniu, że każdy z układów podłączony jest do źródła prądu o różnicy potencjałów $12\mathrm{V}$.