William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać siłę elektrostatyczną zarówno jakościowo, jak i ilościowo;
obliczać siłę, z jaką działają na siebie ładunki elektryczne;
określać kierunek siły elektrostatycznej dla różnych ładunków źródłowych;
poprawnie formułować i stosować zasadę superpozycji dla wielu ładunków punktowych.

Doświadczenia z ładunkami elektrycznymi pokazały, że dwa ciała obdarzone ładunkami elektrycznymi działają na siebie siłą elektrostatyczną. Siła ta jest wprost proporcjonalna do ładunku każdego z ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi. (Co ciekawe, siła ta nie zależy od masy ciał). Kierunek wektora siły pokrywa się z domyślną linią łączącą oba ciała, a jego zwrot jest określony za pomocą znaków ładunków.

Przyjmijmy, że

$q_1, q_2$ ładunki elektryczne dwóch ciał;
$\vec{r}_{1\sep 2}$ wektor łączący ładunki $q_{1}$ i $q_{2}$ .

Siła elektrostatyczna $\vec{F}$ działająca na dany ładunek jest proporcjonalna zarówno do wielkości tego ładunku, jak i wielkości drugiego ładunku i jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi

F \propto \frac{q_{1} q_{2}}{r_{1⁣ 2}^{2}} .

Ta proporcjonalność przekształca się w równość po wprowadzeniu stałej proporcjonalności. Z przyczyn, które zostaną wyjaśnione w kolejnym podrozdziale, stała proporcjonalności, jaką stosujemy, składa się z kilku stałych. (Tę stałą omówimy wkrótce).

Prawo Coulomba

Siła elektrostatyczna (lub siła Coulomba, ang. Coulomb force) pomiędzy dwoma naładowanymi elektrycznie cząsteczkami wynosi

{\vec{F}}_{1⁣ 2} (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{|q_{1} q_{2}|}{r_{1⁣ 2}^{2}} {\hat{r}}_{1⁣ 2} .

5.1

Posługujemy się wartością bezwzględną iloczynu $q_{1} q_{2}$ , ponieważ jeden z ładunków może być ujemny, a wartość siły jest zawsze dodatnia. Wektor jednostkowy (wersor) $\hat{r}$ wskazuje kierunek od ładunku $q_{1}$ do $q_{2}$ . Jeżeli $q_{1}$ oraz $q_{2}$ mają te same znaki, to wektor siły działającej na $q_{2}$ jest skierowany w stronę przeciwną do $q_{1}$ ; gdy mają znaki przeciwne, to siła działająca na $q_{2}$ jest skierowana w stronę $q_{1}$ (Ilustracja 5.14).

W części a rysunku, pokazano dwa ładunki q jeden i q dwa umieszczone w odległości r od siebie. Wektor siły F jeden dwa, działającej na ładunek q jeden, jest zwrócony w lewo. Wektor siły F dwa jeden, działającej na ładunek q dwa, jest zwrócony w prawo. Obie siły są zwrócone w przeciwnych kierunkach i są przedstawione za pomocą strzałek o jednakowych długościach. W części b, pokazano dwa ładunki q jeden i q dwa umieszczone w odległości r od siebie. Wektor siły F jeden dwa, działającej na ładunek q jeden, jest zwrócony w prawo. Wektor siły F dwa jeden, działającej na ładunek q dwa, jest zwrócony w lewo. Obie siły są zwrócone do siebie i są przedstawione za pomocą strzałek o jednakowych długościach.

Ilustracja 5.14 Siła elektrostatyczna

\vec{F}

oddziaływania pomiędzy ładunkami punktowymi

q_{1}

i

q_{2}

oddalonymi o

r

jest wyrażona prawem Coulomba. Zauważmy, że trzecia zasada dynamiki (oddziaływania ciał są zawsze wzajemne) obowiązuje bez zmian – siła działająca na

q_{1}

jest równa co do wartości i przeciwnie skierowana do siły, z jaką działa na

q_{2}

. (a) Ładunki jednoimienne. (b) Ładunki różnoimienne.

Ważne jest, aby pamiętać, że siła elektrostatyczna nie jest stała; zależy od odległości między dwoma ładunkami. Jeżeli ładunek próbny lub ładunek źródłowy (albo oba) przemieści się, to zmieni się $\vec{r}$ i w konsekwencji zmieni się siła. Oznacza to, że bezpośrednie stosowanie zasad dynamiki Newtona może okazać się trudne, w zależności od zagadnienia, z jakim mamy do czynienia. Na ogół potrafimy to zrobić, jednak zazwyczaj szukamy najłatwiejszych sposobów obliczania interesujących nas wielkości fizycznych. (Zasada zachowania energii jest wybierana najczęściej).

Na koniec, nowa stała $ε_{0}$ występująca w prawie Coulomba nazywana jest przenikalnością elektryczną wolnej przestrzeni lub (lepiej) przenikalnością elektryczną próżni (ang. permittivity of vacuum). Stała ta ma bardzo istotne znaczenie fizyczne, które omówimy w kolejnym podrozdziale; w tym miejscu przyjmijmy, że to po prostu doświadczalnie wyznaczona stała proporcjonalności. Jej wartość (z dokładnością do trzech znaczących miejsc) wynosi około

ε_{0} = 8,85 \cdot 10^{-12} C^{2} ∕ (N m^{2}) .

Jednostki są niezbędne, aby siła w prawie Coulomba była prawidłowo wyrażona w niutonach ( $\si{\newton}$ ). Zauważmy, że w prawie Coulomba przenikalność elektryczna próżni stanowi tylko część stałej proporcjonalności. Dla udogodnienia często wprowadzamy stałą elektrostatyczną

k = \frac{1}{4 π ε_{0}} \approx 8,99 \cdot 10^{9} N m^{2} ∕ C^{2} .

Przykład 5.1

Siła działająca na elektron w atomie wodoru

Atom wodoru składa się z pojedynczego protonu i pojedynczego elektronu. Proton ma ładunek

+ e

, a elektron

- e

. W atomie będącym w stanie podstawowym elektron okrąża proton w najbardziej prawdopodobnej odległości

5,29 \cdot 10^{-11} m

(Ilustracja 5.15). Obliczmy siłę, z jaką proton działa na elektron.

Na rysunku pokazany jest dodatni ładunek umieszczony w środku sfery o promieniu r. Elektron jest przedstawiony jako cząstka znajdująca sie na sferze. Siła działająca na elektron jest zwrócona wzdłuż promienia, w stronę jądra.

Ilustracja 5.15 Na rysunku przedstawiono schematycznie atom wodoru z zaznaczoną siłą działającą na elektron. Ten obrazek ma nam pozwolić obliczyć tę siłę; w rzeczywistości atom wodoru tak nie wygląda. Zobacz Ilustrację 5.7.

Strategia rozwiązania

W tym przykładzie traktujemy elektron i proton jako dwie obdarzone ładunkiem elektrycznym punktowe cząstki znajdujące się w podanej odległości; szukamy siły działającej na elektron. Zatem posłużymy się prawem Coulomba.

Rozwiązanie

Wartości ładunków elektrycznych i odległość między nimi wynoszą odpowiednio

\begin{align} q_1 &= +e = + \SI{1,602e-19}{\coulomb} \text{,} \\ q_2 &= -e = - \SI{1,602e-19}{\coulomb} \text{,} \end{align}

r = \SI{5,29e-11}{\metre} \text{.}

Siła działająca na elektron wynosi

\begin{multiline} F &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{\abs{e}^2}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \cdot \SI{8,85e-12}{\squared\coulomb\per\newton\per\squared\metre}} \cdot \frac{(\SI{1,602e-19}{\coulomb})^2}{(\SI{5,29e-11}{\metre})^2} \\ &= \SI{8,25e-8}{\newton} \text{.} \end{multiline}

Co do kierunku, to skoro ładunki obu cząsteczek są przeciwne, to siła jest przyciągająca; siła działająca na elektron jest zwrócona radialnie, wprost w stronę protonu w każdym punkcie orbity. Siłę można więc zapisać w postaci

\vec{F} = 8,25 \cdot 10^{-8} N \cdot \hat{r} .

Znaczenie

W tym układzie trójwymiarowym elektron (a co za tym idzie i siła działająca na niego) może znajdować się w dowolnym miejscu umownej sfery wokół protonu. W tym klasycznym modelu atomu wodoru siła elektrostatyczna działająca na elektron jest siłą dośrodkową, utrzymującą elektron w ruchu po orbicie. Pamiętajmy jednak, że kwantowo-mechaniczny model wodoru (omawiany w rozdziale Mechanika kwantowa) jest całkowicie inny.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.1

Jak zmieniłaby się sytuacja w powyższym przykładzie, gdyby elektron miał także ładunek dodatni?

Wiele ładunków źródłowych

Analiza, którą przeprowadziliśmy dla dwóch cząsteczek, może być rozszerzona na dowolną ich liczbę – wystarczy, że powtórzymy nasze rozumowanie, biorąc po dwa ładunki za każdym razem. Zadajemy pytanie: jaka jest siła wywierana przez $N$ ładunków (które określamy jako ładunki źródłowe) na inny ładunek punktowy (który określamy jako ładunek próbny)? Posługujemy się takimi pojęciami, bo stosujemy ładunek próbny do sprawdzenia wielkości siły generowanej przez ładunki źródłowe.

Tak jak w przypadku sił, z którymi dotychczas mieliśmy do czynienia, wypadkowa siła działająca na ładunek próbny jest po prostu sumą wektorową poszczególnych sił elektrostatycznych wywieranych na ten ładunek przez poszczególne ładunki źródłowe. Zatem możemy obliczyć siłę wypadkową działającą na ładunek próbny $Q$ , obliczając siłę pochodzącą od każdego ładunku źródłowego, biorąc za każdym razem jeden ładunek źródłowy i sumując potem te wszystkie siły (wektorowo). Ta możliwość prostego dodawania poszczególnych sił, którą określamy jako zasadę superpozycji (ang. principle of superposition), jest jedną z najważniejszych właściwości siły elektrostatycznej. Wyrażamy to wzorem

\vec{F} (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} Q \sum_{i = 1}^{N} \frac{q_{i}}{r_{i}^{2}} {\hat{r}}_{i} .

5.2

W tym wyrażeniu $Q$ jest ładunkiem cząsteczki, która jest pod wpływem działania siły elektrostatycznej $\vec{F}$ i znajduje się w położeniu $\vec{r}$ względem początku układu współrzędnych; $q_{i}$ to $N$ ładunków źródłowych, a wektory ${\vec{r}}_{i} = r_{i} {\hat{r}}_{i}$ opisują położenia tego ładunku względem położenia ładunku $Q$ . Każdy z $N$ wersorów jest skierowany od danego ładunku źródłowego do ładunku próbnego. Całość jest pokazana na Ilustracji 5.16. Zauważmy, że z punktu widzenia fizyki nie ma różnicy pomiędzy $Q$ a $q_{i}$ ; różnica w nazewnictwie ma wyłącznie ułatwić analizę, a $Q$ oznacza ładunek, dla którego wyznaczamy siłę nań działającą.

Na rysunku pokazano osiem ładunków w postaci kulek rozmieszczonych w układzie współrzędnych x, y, z. Ładunki źródłowe są oznaczone odpowiednio jako q z indeksem 1, q z indeksem 2, itd. Ładunki źródłowe 1, 2, 4, 7 i 8 są w kolorze czerwonym, a ładunki źródłowe 3, 5 i 6 w kolorze niebieskim. Ładunek próbny jest zaznaczony na zielono i oznaczony plus Q. Wektory r od każdego ładunku źródłowego do ładunku próbnego Q są zaznaczone jako strzałki skierowane od ładunków źródłowych do ładunku próbnego. Wektor od ładunku q, z indeksem 1, do ładunku próbnego jest oznaczony jako r z indeksem 1. Wektor od ładunku q, z indeksem 2, do ładunku próbnego jest oznaczony jako r z indeksem 2 itd. dla wszystkich ośmiu wektorów.

Ilustracja 5.16 Osiem ładunków źródłowych działających siłą na pojedynczy ładunek próbny

Q

. Każda z sił może być obliczona niezależnie od pozostałych siedmiu. To istota zasady superpozycji.

(Zauważmy, że wektor siły ${\vec{F}}_{i}$ nie musi mieć takiego samego zwrotu jak wersor ${\hat{r}}_{i}$ , może być zwrócony w przeciwną stronę $- {\hat{r}}_{i}$ . Znaki ładunku źródłowego i ładunku próbnego decydują o zwrocie siły działającej na ładunek próbny).

Mamy jednak pewien dylemat. Tak jak ładunki źródłowe działają siłą na ładunek próbny, to także ładunek próbny (zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona) działa na ładunki źródłowe siłą o takiej samej wartości, ale przeciwnie skierowaną. W wyniku tego działania każdy ładunek źródłowy zmieniałby położenie. Jednak zgodnie z Równaniem 5.2 siła wypadkowa działająca na ładunek próbny jest funkcją położenia, zatem podczas zmiany położenia siła wypadkowa działająca na ładunek próbny musi się zmienić, co z kolei powoduje zmianę siły i kolejną zmianę położeń. Wskutek tego cała analiza matematyczna staje się trudna do przeprowadzenia. Poznamy później metodę postępowania w takiej sytuacji, ale teraz przyjmujemy upraszczające założenie, że ładunki są zlokalizowane i ich położenia nie zmieniają się z czasem (ładunek próbny może się przemieszczać). Przy tym założeniu mamy do czynienia z dziedziną fizyki nazywaną elektrostatyką (ang. electrostatics), gdzie określenie „statyka” odnosi się do stałego (statycznego) położenia ładunków źródłowych i wtedy też mówimy o sile elektrostatycznej (ang. electrostatic force).

Przykład 5.2

Siła wypadkowa pochodząca od dwóch ładunków źródłowych

Trzy małe, naładowane elektrycznie ciała są rozmieszczone, tak jak pokazano na Ilustracji 5.17. Ładunki

q_{1}

i

q_{3}

są zlokalizowane,

q_{2}

może się przemieszczać. Mając dane

q_{1} = 2 e

,

q_{2} = - 3 e

i

q_{3} = - 5 e

oraz wiedząc, że

d = 2 \cdot 10^{-7} m

, obliczmy wypadkową siłę działającą na ładunek środkowy

q_{2}

.

Na rysunku są pokazane trzy ładunki w układzie współrzędnych x, y. Ładunek q z indeksem 1 znajduje się w punkcie x=0, y=d. Ładunek q z indeksem 2 znajduje się w punkcie x=2 d, y=0. Ładunek q z indeksem 3 znajduje się w początku układu. Siła F 1 2 działa na ładunek q z indeksem 2 i jest skierowana w górę. Siła F 2 3 działa na ładunek q z indeksem 2 i jest skierowana w lewo. Siła F działa na ładunek q z indeksem 2 i jest skierowana pod kątem theta od ujemnej osi x.

Ilustracja 5.17 Każdy z ładunków źródłowych

q_{1}

i

q_{3}

działa siłą na

q_{2}

.

Strategia rozwiązania

Posługujemy się prawem Coulomba. Z treści zadania wynika, że

q_{2}

jest ładunkiem próbnym, zatem

q_{1}

i

q_{3}

są ładunkami źródłowymi. Zgodnie z zasadą superpozycji siła, z jaką każdy ładunek działa na

q_{2}

, nie zależy od obecności innego ładunku. Dlatego zapisujemy siłę, z jaką każdy ładunek działa na

q_{2}

, i następnie dodajemy je wektorowo.

Rozwiązanie

Mamy dane dwa ładunki źródłowe (

q_{1}

i

q_{3}

), ładunek próbny (

q_{2}

), odległości (

r_{2⁣ 1}

i

r_{2⁣ 3}

), a pytamy o siłę. Korzystamy z prawa Coulomba i zasady superpozycji. Mamy do czynienia z dwiema siłami

\vec{F} = {\vec{F}}_{2⁣ 1} + {\vec{F}}_{2⁣ 3} = \frac{1}{4 π ε_{0}} [\frac{q_{2} q_{1}}{r_{2⁣ 1}^{2}} \hat{j} + (- \frac{q_{2} q_{3}}{r_{2⁣ 3}^{2}} \hat{i})] .

Nie możemy tak po prostu dodać tych dwóch sił, bo nie są zwrócone w tym samym kierunku: ${\vec{F}}_{2⁣ 3}$ jest zwrócona w kierunku $- x$ , podczas gdy ${\vec{F}}_{2⁣ 1}$ jest zwrócona w kierunku $+ y$ . Wypadkowa siła, wyznaczona z twierdzenia Pitagorasa, zastosowanego do jej składowych $x$ i $y$ jest równa

F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}},

gdzie

\begin{multiline} F_x &= -F_{23} = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_2q_3}{r^2_{23}} \\ &= - \SI{8,99e9}{\newton\metre\squared\per\squared\coulomb} \cdot \frac{\SI{4,806e-19}{\coulomb} \cdot \SI{8,01e-19}{\coulomb}}{(\SI{4e-7}{\metre})^2} = -\SI{2,16e-14}{\newton} \end{multiline}

oraz

\begin{multiline} F_y &= F_{21} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_2q_1}{r^2_{21}} \\ &= \SI{8,99e9}{\newton\metre\squared\per\squared\coulomb} \cdot \frac{\SI{4,806e-19}{\coulomb} \cdot \SI{3,204e-19}{\coulomb}}{(\SI{2e-7}{\metre})^2} = -\SI{3,46e-14}{\newton} \text{.} \end{multiline}

Stąd otrzymujemy

F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}} = 4,08 \cdot 10^{-14} N,

pod kątem

ϕ = arc tg (\frac{F_{y}}{F_{x}}) = arc tg (\frac{3,46 \cdot 10^{-14} N}{- 2,16 \cdot 10^{-14} N}) = - 58 °,

to znaczy $58 °$ powyżej półosi $- x$ , tak jak to pokazano na rysunku.

Znaczenie

Zauważmy, że gdy podstawialiśmy do obliczeń wartości ładunków, nie uwzględnialiśmy ujemnego znaku dla

q_{2}

czy też

q_{3}

. Przypomnijmy, że znak ujemny w przypadku wielkości wektorowych oznacza ich przeciwny zwrot. Jednak dla sił elektrostatycznych zwrot siły jest określony przez to, jakie są (jakiego znaku) oba oddziałujące ładunki; określamy zwroty sił, biorąc pod uwagę, czy znaki obu ładunków są takie same, czy przeciwne. Jeżeli, podstawiając do obliczeń wartości liczbowe, uwzględnimy także dla ładunków ujemnych ich ujemne znaki, to istnieje ryzyko, że otrzymamy przeciwny zwrot obliczanej siły. Tak więc najlepiej jest obliczyć wartość siły, biorąc do obliczeń wartości absolutne ładunków, a następnie wyznaczyć zwroty sił niezależnie.

Warto również zauważyć, że w tym przykładzie nowy jest tylko pomysł sposobu obliczania sił elektrostatycznych, wszystko pozostałe (wyznaczanie siły na podstawie jej składowych, rozkład sił na składowe, wyznaczanie kierunku i zwrotu siły wypadkowej) jest takie samo jak w zadaniach wykorzystujących obliczanie siły, które rozwiązywaliśmy poprzednio.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.2

Co zmieniłoby się, gdyby wartość $q_{1}$ była ujemna?

5.3 Prawo Coulomba

Siła działająca na elektron w atomie wodoru

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Wiele ładunków źródłowych

Siła wypadkowa pochodząca od dwóch ładunków źródłowych

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie