16.2 Płaskie fale elektromagnetyczne

Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w jednym kierunku

Na fale elektromagnetyczne składa się pole elektryczne, zwyczajowo definiowane jako siła działająca na ładunek stacjonarny, przypadająca na jednostkę ładunku, oraz pole magnetyczne, zwyczajowo definiowane przez siłę działającą na poruszający się ładunek. Zakładamy, że indukcja pola magnetycznego zależna jest jedynie od współrzędnej $x$ oraz czasu. M. in. składowa $y$ pola elektrycznego ma postać $E_y\left(x,t\right)$, a składowa z wektora indukcji pola magnetycznego $B_z\left(x,t\right)$. Zakładamy również, że fala rozchodzi się w próżni, a więc nie występują żadne ładunki ani prądy – czynniki $q$ i $i$ w równaniach Maxwella zerują się.

Poprzeczność fal elektromagnetycznych

Przeanalizujmy najpierw, co prawo Gaussa dla pól elektrycznych mówi na temat kierunku rozchodzenia się fal elektromagnetycznych. Tworzymy powierzchnię Gaussa w postaci prostopadłościanu, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem o bokach $l$ i $\Delta x$, tak jak na Ilustracji 16.6. Ponieważ składowa $y$ natężenia pola elektrycznego jest taka sama zarówno na górnej podstawie (oznaczonej jako Ściana 2), jak i na dolnej podstawie (oznaczonej jako Ściana 1) prostopadłościennej powierzchni Gaussa, wkłady od tych powierzchni do strumienia elektrycznego wzajemnie się znoszą. Powyższy argument jest też prawdziwy dla sumarycznego strumienia od składowej $z$ przez Ścianę 3 i Ścianę 4. Tym samym każdy niezerowy strumień elektryczny przechodzący przez powierzchnię Gaussa musi pochodzić od składowej $x$ natężenia pola elektrycznego. Ponieważ pole elektryczne nie jest w ogóle zależne od wartości $y$ i $z$, to $E_x\left(x,t\right)$ jest stałe na całej ścianie frontowej o polu powierzchni $A$. Wartość natężenia pola elektrycznego na przeciwległej ścianie będzie więc też stała na całej jej powierzchni i wynosiła będzie $E_x\left(x+\Delta x,t\right)$. Stosujemy prawo Gaussa

$${\mathrm{\Phi }}_E=-E_x\left(x,t\right)A+E_x\left(x+\Delta x,t\right)A=\frac{q}{{\epsilon }_0}\text{,}$$

16.13

gdzie $A=l\cdot l$ jest powierzchnią ściany frontowej i ściany tylnej prostopadłościennej powierzchni Gaussa. Ładunek zamknięty wewnątrz tej powierzchni wynosi $q=0\mathrm{C}$, więc strumień elektryczny tej składowej również wynosi 0, a z Równania 16.13 wynika, że $E_x\left(x,t\right)=E_x\left(x+\Delta x,t\right)$ dla każdego $\Delta x$. Tym samym, jeśli składowa $x$ pola elektrycznego jest różna od zera, to nie może ona być zależna od $x$. Jednorodne pole takiego rodzaju może być jedynie sztucznie dodane do biegnącej fali, na przykład gdy biegnie ona pomiędzy dwiema płaskorównoległymi, naładowanymi płytkami metalowymi. Taka składowa $E_x\left(x,t\right)$ nie byłaby częścią fali elektromagnetycznej biegnącej wzdłuż osi $x$, więc $E_x\left(x,t\right)=0\mathrm{V}∕\mathrm{m}$ dla tej fali. Oznacza to, że jedyne niezerowe składowe pola elektrycznego fali elektromagnetycznej to $E_y\left(x,t\right)$ i $E_z\left(x,t\right)$, prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali i siebie nawzajem.

Ilustracja 16.6 Powierzchnia prostopadłościennego pudełka o wymiarach $l\cdot l\cdot \Delta x$ jest naszą powierzchnią Gaussa. Pokazane pole elektryczne pochodzi od fali elektromagnetycznej rozchodzącej się wzdłuż osi $x$.

Argument ten jest też prawdziwy dla pola magnetycznego po zmianie $E$ na $B$ i zastosowaniu prawa Gaussa dla pola magnetycznego. Pokazuje to, że pole magnetyczne jest również prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Fala elektromagnetyczna jest tym samym falą poprzeczną z polem elektrycznym i magnetycznym, które oscylują prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali.

Prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej

Możemy teraz zastosować równania Maxwella do rozważań dotyczących Ilustracji 16.4 z poprzedniego podrozdziału, aby otrzymać równanie opisujące zależność pola $E$ od zmiennego pola $B$ i równanie opisujące zależność pola $B$ od zmiennego pola $E$. Następnie połączyć te dwie zależności, by pokazać, jak pola $E$ i $B$ rozchodzą się w próżni z prędkością dokładnie odpowiadającą prędkości światła.

Na początek stosujemy prawo Faradaya dla Ściany 3 powierzchni Gaussa, stosując metodę przedstawioną na Ilustracji 16.7. Ponieważ $E_x\left(x,t\right)=0\mathrm{V}∕\mathrm{m}$, to

$$\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=-E_y\left(x,t\right)l+E_y\left(x+\Delta x,t\right)l\text{.}$$

Zakładając, że $\Delta x$ jest małe i podstawiając za $E_y\left(x+\Delta x,t\right)$

$$E_y\left(x+\Delta x,t\right)=E_y\left(x,t\right)+\frac{\partial E_y\left(x,t\right)}{\partial x}\Delta x\text{,}$$

otrzymujemy

$$\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=\frac{\partial E_y\left(x,t\right)}{\partial x}\cdot l\Delta x\text{.}$$

Ilustracja 16.7 Stosujemy prawo Faradaya do Ściany 3 prostopadłościanu poprzez obliczenie $\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}$ wzdłuż krawędzi ściany zgodnie z zaznaczonym kierunkiem i zakładając, że pole $B$ przenikające przez tę ścianę jest średnio równe wartości pola na środku ściany.

Ponieważ $\Delta x$ jest małe, strumień magnetyczny przenikający przez Ścianę 3 można przybliżyć, używając wartości pola $B$ na środku tej ściany, która wynosi $B_z\left(x+\Delta x∕2,t\right)$. Strumień pola $B$ przez Ścianę 3 jest tym samym równy wartości pola $B$ pomnożonej przez jej powierzchnię

$$\underset{S}{∯}\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}dA=B_z\left(x+\frac{\Delta x}{2},t\right)l\Delta x\text{.}$$

16.14

Z prawa Faradaya

$$\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=-\frac{\text{d}}{dt}\underset{S}{\iint }\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}dA\text{.}$$

16.15

Z Równania 16.13 i Równania 16.14 otrzymujemy

$$\frac{\partial E_y\left(x,t\right)}{\partial x}l\Delta x=-\frac{\partial }{\partial t}\left[B_z\left(x+\frac{\Delta x}{2},t\right)\right]l\Delta x\text{.}$$

Obustronnie redukując czynnik $l\Delta x$ i obliczając wartość wyrażenia w granicy $\Delta x=0$, otrzymujemy wyrażenie

$$\frac{\partial E_y\left(x,t\right)}{\partial x}=-\frac{\partial B_z\left(x,t\right)}{\partial t}\text{.}$$

16.16

Mogliśmy zastosować prawo Faradaya do Ściany 2 zamiast Ściany 3 z Ilustracji 16.7, aby otrzymać równanie

$$\frac{\partial E_z\left(x,t\right)}{\partial x}=-\frac{\partial B_y\left(x,t\right)}{\partial t}\text{.}$$

16.17

Powyższe równania opisują przestrzenną zależność pola $E$ od wytwarzającego je zmiennego w czasie pola $B$.

Kolejno stosujemy prawo Maxwella-Ampère’a (przy $i=0\mathrm{A}$) dla tych samych ścian (Ściany 3 i Ściany 2) prostopadłościanu z Ilustracji 16.7. Używając Równania 16.10

$$\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\text{d}}{dt}\underset{S}{\iint }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}ds$$

do Ściany 3, a następnie do Ściany 2, otrzymujemy dwa równania

$$\frac{\partial B_y\left(x,t\right)}{\partial x}=-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial E_z\left(x,t\right)}{\partial t}\text{,}$$

16.18

$$\frac{\partial B_z\left(x,t\right)}{\partial x}=-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial E_y\left(x,t\right)}{\partial t}\text{.}$$

16.19

Te równania opisują przestrzenną zależność pola $B$, wytwarzanego przez zmienne w czasie pole $E$.

Następnie łączymy równania opisujące zmienne pole $B$ wytwarzające pole $E$ z równaniami opisującymi zmienne pole $E$ wytwarzające pole $B$. Różniczkując obustronnie Równanie 16.16 względem zmiennej $x$ i podstawiając do niego Równanie 16.26, otrzymujemy

$$\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}\right)=-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial B_z}{\partial t}\right)=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial B_z}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial t}\left({\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial E_y}{\partial t}\right)$$

albo

$$\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial x^2}={\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial t^2}\text{.}$$

16.20

Powyższy wzór jest postacią ogólną równania falowego dla naszej fali jednowymiarowej. Ponieważ fala ta biegnie z pewną niezdefiniowaną prędkością $c$, można założyć, że składowe pól są funkcjami $x-ct$ dla fal biegnących w kierunku dodatnich wartości osi $x$. Oznacza to, że

$$E_y\left(x,t\right)=f\left(x-ct\right)\text{.}$$

16.21

Wykazanie, że Równanie 16.17 i Równanie 16.18 implikują równość

$$1={\epsilon }_0{\mu }_0{c}^2$$

pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie matematyczne z wykorzystaniem wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w próżni jest zatem wyrażona przez przenikalność elektryczną i magnetyczną próżni

$$c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}\text{.}$$

16.22

W analogiczny sposób mogliśmy założyć falę elektromagnetyczną o składowych polach $E_z\left(x,t\right)$ i $B_y\left(x,t\right)$. Te same rozważania, jedynie z użyciem Równania 16.25 i Równania 16.24, również pokazałyby, że prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej musi wynosić $c=1∕\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$.

Zagadnienie rozchodzenia się fal elektromagnetycznych zostało opublikowane przez Maxwella w roku 1873. Pokazał on w sposób znacznie bardziej ogólny niż powyższe rozważania, że fale elektromagnetyczne zawsze poruszają się w próżni z prędkością opisaną Równaniem 16.18. Jeśli wyznaczymy wartość liczbową prędkości $c$, otrzymamy

$$c=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{8,85}\cdot {10}^{-12}{\mathrm{C}}^2∕\left(\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\right)\cdot 4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}∕\mathrm{A}}}=3\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}\text{,}$$

co jest równe prędkości światła (ang. speed of light). Wyobraźmy sobie, jak bardzo podekscytowany musiał być Maxwell, gdy wyprowadził to równanie! Odkrył on powiązanie pomiędzy dwoma, zdawałoby się niezwiązanymi ze sobą, zjawiskami: falami elektromagnetycznymi i światłem.

$$$$

Sprawdź, czy rozumiesz 16.3

Równanie falowe zostało wyprowadzone przez: (1) wyznaczenie pola $E$ wytwarzanego przez zmienne pole $B$; (2) wyznaczenie pola $B$ wytwarzanego przez zmienne pole $E$. Którym z równań Maxwella posłużyliśmy się w kroku (1), a którym – w kroku (2)?

Jak powiązane są ze sobą pola $E$ i $B$

Do tej pory zaobserwowaliśmy, że tempa zmian poszczególnych komponentów pól $E$ i $B$ są ze sobą powiązane, że fale elektromagnetyczne są falami poprzecznymi i że rozchodzą się z prędkością $c$. Pokażemy teraz, co równania Maxwella mówią o stosunku wartości pól $E$ i $B$ i o ich wzajemnych kierunkach.

Rozważmy rozwiązania Równania 16.16 w postaci fal płaskich dla pola elektrycznego

Dobraliśmy układ współrzędnych tak, by fala zawsze biegła w kierunku dodatnich wartości osi $x$, a czynnik fazowy tak, by maksymalne natężenie pola występowało w czasie $t=0\mathrm{s}$. Usprawiedliwieniem rozważania jedynie fal sinusoidalnych i cosinusoidalnych i rozciągania wyników tych rozważań na przypadki ogólne jest twierdzenie Fouriera mówiące, że każdą falę, nawet prostopadłą funkcję schodkową, da się przedstawić jako superpozycję funkcji sinus i cosinus.

W dowolnym punkcie przestrzeni pole $E$ oscyluje sinusoidalnie z częstością kołową $\omega$ pomiędzy wartościami $+E_0$ i $-E_0$ i – analogicznie – pole $B$ oscyluje sinusoidalnie z częstością kołową $\omega$ pomiędzy wartościami $+B_0$ i $-B_0$. Amplitudą fali jest maksymalna wartość $E_y\left(x,t\right)$. Okresem oscylacji $T$ jest czas potrzebny na pojedynczą pełną oscylację. Częstotliwość $f$ jest liczbą oscylacji w jednostce czasu i jest powiązana z częstością kołową $\omega$ wyrażeniem $\omega =2\pi f$. Długość fali $\lambda$ to odległość pomiędzy dwoma kolejnymi ekstremami na wykresie oscylacji, a liczba falowa $k$ to liczba długości fali przypadających na odcinek o długości $2\pi$, przy czym długość tego odcinka wyraża się w jednostkach odpowiadających długości fali. Wszystkie te wartości powiązane są ze sobą w taki sam sposób, jak w przypadku fal mechanicznych

Wiedząc, że rozwiązanie dla $E_y$ ma postać jak w Równaniu 16.20, możemy ustalić wyrażenie na pole $B$ odpowiadające tej składowej. Z Równania 16.24 składowa indukcji magnetycznej $B_z$ musi spełniać warunki

Pole magnetyczne rozchodzi się z prędkością $c$ w kierunku dodatniej półosi $x$, podobnie jak pole elektryczne. Zatem wartość $B$ musi być funkcją $k\left(x-ct\right)=kx-\omega t$. Tym samym dochodzimy, używając Równania 16.21, do tego, że $B_z$ wynosi

Wynik ten można też zapisać w postaci

Oznacza to, że maksima wartości natężenia pól $E$ i $B$ występują w tych samych chwilach i położeniach, a ich wartości zawsze pozostają w stałym stosunku do siebie, równym $c$. Fala płaska ma postać przedstawioną na Ilustracji 16.8.

Ilustracja 16.8 Rozwiązanie równań Maxwella dla fali płaskiej wymusza proporcjonalność pola $B$ do pola $E$ w każdym punkcie, z wzajemnymi kierunkami ukazanymi na rysunku.

Zmienne pola elektryczne generują stosunkowo słabe pola magnetyczne. Połączone pola elektryczne i magnetyczne można wykryć w postaci fal elektromagnetycznych, jednak wymaga to wykorzystania zjawiska rezonansu, tak jak zrobił to Hertz. Obwód z taką samą naturalną częstotliwością rezonansową co fala elektromagnetyczna może zostać zmuszony do oscylacji. Każde radio i antena telewizyjna wykorzystują tę zasadę do odbierania i wzmacniania słabych fal elektromagnetycznych, jednocześnie ignorując wszystkie fale o częstotliwości innej od częstotliwości rezonansowych odbiorników.

Wytwarzanie i wykrywanie fal elektromagnetycznych

Przepływ stałego prądu elektrycznego wytwarza pole magnetyczne, które jest niezmienne w czasie i które nie rozprzestrzenia się dalej pod postacią fali. Jednak przyspieszające ładunki wytwarzają fale elektromagnetyczne. Ładunek elektryczny oscylujący w górę i w dół, prąd przemienny, czyli przepływ ładunku w przewodniku okresowo, na przemian w obu kierunkach, wytwarzają fale elektromagnetyczne o częstotliwości ich oscylacji. Pole elektromagnetyczne wokół anteny dipolowej (ang. dipole antenna) zostało pokazane na Ilustracji 16.9. Nadajnik, który tu odgrywa rolę źródła energii, zmienia na przemian naładowanie dwóch połączonych z nim przewodników. Ciągle zmieniający się kierunek przepływu prądu przyspiesza ładunki w antenie, a to z kolei powoduje pojawienie się oscylującego pola elektrycznego w sąsiedztwie anteny. Zmienne pole elektryczne indukuje zmienne pole magnetyczne, które z kolei indukuje zmienne pole elektryczne, co w efekcie daje rozchodzącą się falę elektromagnetyczną. Częstotliwość tego promieniowania jest identyczna z częstotliwością źródła napięcia zmiennego, które przyspiesza ładunki w antenie. Oba przewodzące elementy anteny dipolowej są bardzo często zwykłymi, prostymi przewodami. Całkowita długość tych dwóch elementów jest zazwyczaj równa połowie długości fali, którą chcemy wyemitować (stąd też często stosowana nazwa alternatywna – antena półfalowa (ang. half-wave antenna)). Pozwala to na wytworzenie się w antenie fal stojących, co dodatkowo zwiększa wydajność emisji fal.

Ilustracja 16.9 Ruch oscylujących ładunków w antenie dipolowej wytwarza promieniowanie elektromagnetyczne.

Na Ilustracji 16.9 przedstawiono linie pola elektrycznego na płaszczyźnie przekroju poprzecznego. Pole magnetyczne jest prostopadłe do tej płaszczyzny. To pole elektromagnetyczne charakteryzuje się symetrią cylindryczną, z osią symetrii zgodną z osią dipola. Nie narysowano też linii pola blisko dipola, w celu większej przejrzystości. Warto też zauważyć, że wzór układający się z linii pola nie jest wcale jednakowy we wszystkich kierunkach. Najsilniejszy sygnał występuje w kierunku prostopadłym do osi anteny, podczas gdy w kierunku zgodnym z osią anteny sygnał jest zerowy. Sygnał wykrywany w dużej odległości od anteny pochodzi z pól elektrycznych i magnetycznych, indukujących się wzajemnie i rozchodzących się pod postacią fali elektromagnetycznej. W bardzo dużej odległości od anteny powierzchnie falowe (zbiory punktów o jednakowej fazie) fali elektromagnetycznej są prawie idealnie sferyczne. W jeszcze większych odległościach promieniowanie rozprzestrzenia się jak elektromagnetyczna fala płaska.

Fale elektromagnetyczne unoszą energię ze źródła, zupełnie jak fale dźwiękowe unoszą energię z fali stojącej, wytworzonej na strunie gitarowej. Antena odbierająca sygnały elektromagnetyczne działa na odwrót. Rozprzestrzeniające się fale elektromagnetyczne natrafiają na antenę i indukują w niej prąd zmienny o częstotliwości zgodnej z częstotliwością fali elektromagnetycznej. Dzięki wzmacniaczowi selektywnemu układ wzbudza się jedynie dla dostrojonej częstotliwości rezonansowej, a pozostałe częstotliwości odrzuca. Elementy elektroniczne następnie wzmacniają sygnał wygenerowany przez poruszające się elektrony, a dalej konwertują go na sygnał audio i/lub wideo.