William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wiązać obecność dwóch obwodów prądu zmiennego z SEM indukowaną w każdym z obwodów;
opisywać sytuacje, w których indukcyjność względna jest zjawiskiem pożądanym i niepożądanym.

Indukcyjność (ang. inductance) jest zdolnością urządzenia do indukowania SEM w innym urządzeniu. Innymi słowy, jest to fizyczna wielkość opisująca efektywność danego urządzenia.

Kiedy dwa obwody, przez które płynie prąd zmienny, znajdują się blisko siebie, strumień magnetyczny przechodzący przez każdy z nich również się zmienia. Jest to powodowane zmiennym natężeniem prądu $i$ w drugim obwodzie. W efekcie w każdym z obwodów indukowana jest SEM przez zmianę natężenia w drugim. Nazywamy ją więc SEM indukcji wzajemnej, zjawisko z którym mamy do czynienia – indukcją wzajemną (ang. mutual inductance), natomiast zdolność układu do wytwarzania SEM indukcji wzajemnej – indukcyjnością wzajemną (oznaczaną literą $M$ ). Jako przykład rozważmy dwie ciasno nawinięte cewki (Ilustracja 14.2). Mają one odpowiednio $N_{1}$ i $N_{2}$ zwojów oraz płynie w nich prąd o natężeniu $i_{1}$ i $i_{2}$ . Strumień przechodzący przez jeden zwój cewki 2 indukowany przez pole magnetyczne cewki 1 wynosi $Φ_{21}$ , a strumień płynący przez jeden zwój cewki 1 indukowany polem magnetycznym od $i_{2}$ wynosi $Φ_{12}$ .

Rysunek pokazuje przekrój dwóch cewek. W każdej, przekrój przewodu cewki jest pokazany w postaci dwóch kół, z których jedno jest u góry, a drugie u dołu. Kropki w górnym kole i krzyżyki w niższym wskazują kierunek przepływu prądu. Cewka 1 ma linie sił pola oznaczone jako B1, które przechodzą pomiędzy dwoma kołami i biegną w górę. Niektóre z nich przechodzą przez cewkę 2, która jest mniejsza od cewki 1.

Ilustracja 14.2 Niektóre z linii pola magnetycznego indukowanego przez prąd płynący w cewce 1 przechodzą przez cewkę 2.

Indukcyjność wzajemna (albo współczynnik indukcji wzajemnej) $M_{21}$ cewki 2 względem cewki 1 jest strumieniem płynącym przez $N_{2}$ zwojów cewki 2 indukowanym przez pole magnetyczne cewki 1, podzielonym przez natężenie prądu w cewce 1, czyli

M_{21} = \frac{N_{2} Φ_{21}}{i_{1}} .

14.1

Podobnie indukcyjność wzajemna cewki 1 względem cewki 2 wynosi

M_{12} = \frac{N_{1} Φ_{12}}{i_{2}} .

14.2

Analogicznie do pojemności indukcyjność wzajemna jest wielkością geometryczną. Zależy ona od kształtów i względnego położenia cewek, ale nie od natężeń prądów płynących w cewkach. Jednostką SI indukcyjności wzajemnej $M$ jest henr (ang. henry) oznaczany dużą literą $\si{\henry}$ . Nazwa ta pochodzi od nazwiska Josepha Henry’ego (1799–1878), amerykańskiego fizyka, który niezależnie od Faradaya dokonał odkrycia indukcji elektromagnetycznej. Między jednostkami zachodzi równość $1 H = 1 V s ∕ A$ . Na mocy Równania 14.1 oraz Równania 14.2, możemy wykazać, że $M_{21} = M_{12}$ . Zwykle przy zapisywaniu wzorów zawierających wzajemną indukcyjność będziemy więc pomijać indeksy

M = \frac{N_{2} Φ_{21}}{i_{1}} = \frac{N_{1} Φ_{12}}{i_{2}} .

14.3

Indukowaną w jednej i drugiej cewce SEM można określić, wstawiając indukcyjność wzajemną do wzoru na prawo Faradaya (ang. Faraday’s law). Skoro $N_{2} Φ_{21}$ jest całkowitym strumieniem płynącym przez cewkę 2 w wyniku prądu $i_{1}$ , otrzymujemy

ε_{2} = - \frac{d}{d t} (N_{2} Φ_{21}) = - \frac{d}{d t} (M i_{1}) = - M \frac{d i_{1}}{d t},

14.4

gdzie wykorzystaliśmy fakt, że wartość $M$ jest stała, ponieważ geometria układu nie zmienia się w czasie. Podobnie możemy zapisać

ε_{1} = - M \frac{d i_{2}}{d t} .

14.5

Równanie 14.5 podkreśla wagę wcześniejszej obserwacji, że indukcyjność wzajemna ( $M$ ) jest wielkością geometryczną. Wartość $M$ w prosty sposób opisuje fizyczne własności elementów obwodu oraz pozwala na odrębne traktowanie topografii obwodu i dynamicznych wielkości, takich jak SEM i natężenie prądu. Równanie 14.5 definiuje indukcję wzajemną jako własność obwodu, podczas gdy poprzednia definicja z Równania 14.1 odnosi się do strumienia pola magnetycznego, niezależnie od topografii obwodu. Czytelnik powinien zachować ostrożność, wyliczając SEM z Równania 14.4 i Równania 14.5, gdyż wartości $ε_{1}$ i $ε_{2}$ nie uwzględniają wkładu do SEM pochodzącego od indukcyjności własnej. Zjawisko to omówione zostanie w dalszej części rozdziału.

Wysoka wartość wzajemnej indukcyjności $M$ nie zawsze jest pożądana. Dla transformatora przesyłowego istotna jest jak najwyższa indukcyjność wzajemna, ale dla urządzenia domowego, takiego jak pralka, SEM indukowana na jej metalowej obudowie może być niebezpieczna. Stanie się tak, gdy indukcyjność wzajemna między cewkami a obudową będzie wysoka. Jednym ze sposobów na obniżenie wzajemnej indukcyjności jest nawinięcie uzwojenia w przeciwnym kierunku, tak jak przedstawiono to na Ilustracji 14.3.

Rysunek przedstawia cewkę grzewczą wewnątrz metalowej obudowy pralki, rysunek niżej pokazuje tę samą cewkę w powiększeniu. Cewka jest nawinięta na cylinder w taki sposób, że jeden przewód owija go na drugą stronę, i skręcony jest w całej swej drodze powrotnej. Stąd też, dwa sąsiednie zwoje mają prąd płynący w przeciwstawnych kierunkach.

Ilustracja 14.3 Uzwojenie elementu grzewczego w pralce może być nawinięte w przeciwnych kierunkach. Wytworzone pola magnetyczne niwelują się, co znacznie zmniejsza indukcyjność względną z obudową pralki.

Tej samej metody używa się na przykład w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów (ang. digital signal processing). Ciąg zer i jedynek reprezentowany jest przez szybko zmieniającą się SEM w obwodzie. Wytwarza ona zmieniające się w czasie pole magnetyczne, które może indukować SEM w sąsiadujących przewodnikach. Jeśli taki przewodnik również przenosi cyfrowy sygnał, to może być on zakłócany, gdy indukowana SEM będzie wystarczająco wysoka, by zamienić ze sobą zera i jedynki, czego konsekwencje mogą być w najlepszym wypadku kłopotliwe, a w najgorszym – katastrofalne.

Przykład 14.1

Indukcyjność względna

Ilustracja 14.4 przedstawia cewkę o liczbie zwojów

N_{2}

i promieniu

R_{2}

otaczającą długi solenoid o długości

l_{1}

, promieniu

R_{1}

i liczbie zwojów

N_{1}

.

Jaka jest indukcyjność wzajemna tych dwóch cewek?
Ile wynosi SEM indukowana w zewnętrznej cewce, jeśli $N_{1} = 500$ zwojów, $N_{2} = 10$ zwojów, $R_{1} = 3,1 cm$ , $l_{1} = 75 cm$ , a prąd w solenoidzie zmienia się w tempie $200 A ∕ s$ ?

Rysunek przedstawia solenoid ę mający postać długiego zwoju o małej średnicy, który jest umieszczony współosiowo w drugiej, większej cewce. Promień cieńszej cewki jest R1, a cewki szerszej R2. Długość cewki wewnętrznej wynosi L1.

Ilustracja 14.4 Długi solenoid otoczony cewką

Strategia rozwiązania

Poza solenoidem pole jest równe zero, a wewnątrz indukcja pola magnetycznego wynosi

B_{1} = μ_{0} N_{1} i_{1} ∕ l_{1}

, zaś linie pola przebiegają równolegle do osi solenoidu. Znając wzór na pole

B_{1}

, możemy wyznaczyć strumień pola magnetycznego przechodzącego przez zewnętrzną cewkę. Część (a) zadania rozwiążemy, wstawiając do Równania 14.3 wzór na strumień pola magnetycznego, a część (b) przez podstawienie danych do Równania 14.4, co pozwoli na obliczenie indukowanej SEM.

Rozwiązanie

Strumień pola magnetycznego $Φ_{21}$ przez zewnętrzną cewkę wynosi
$Φ_{21} = B_{1} π R_{1}^{2} = \frac{μ_{0} N_{1} i_{1}}{l_{1}} π R_{1}^{2} .$
Według Równania 14.3 indukcyjność wzajemna jest równa
$M = \frac{N_{2} Φ_{21}}{i_{1}} = \frac{N_{2}}{i_{1}} \cdot \frac{μ_{0} N_{1} i_{1}}{l_{1}} \cdot π R_{1}^{2} = \frac{μ_{0} N_{1} N_{2} π R_{1}^{2}}{l_{1}} .$
Wstawiając dane z treści zadania do powyższego równania, otrzymujemy
$M = \frac{4 π \cdot 10^{- 7} T m ∕ A \cdot 500 \cdot 10 π \cdot {(0,031 m)}^{2}}{0,75 m} = 2,53 \cdot 10^{- 5} H .$
Zatem, korzystając z Równania 14.4, stwierdzamy, że SEM indukowana w zewnętrznej cewce wynosi
$ε_{2} = - M \frac{d i_{1}}{d t} = - 2,53 \cdot 10^{- 5} H \cdot 200 A ∕ s = - 5,06 \cdot 10^{- 3} V .$

Znaczenie

Zauważmy, że indukcyjność wzajemna

M

wyznaczona w części (a) nie zależy od promienia

R_{2}

zewnętrznej cewki. Przyczyną jest to, że poza wnętrzem solenoidu jego pole magnetyczne znika. Moglibyśmy policzyć

M

przez znalezienie strumienia pola magnetycznego indukowanego przez zewnętrzną cewkę w wewnętrznym solenoidzie. To podejście jest trudniejsze ze względu na skomplikowaną formę

Φ_{12}

. Korzystając jednak z tego, że

M_{12} = M_{21}

, znajdujemy rozwiązanie tego problemu.

Sprawdź, czy rozumiesz 14.1

Prąd o natężeniu $i (t) = 5 A \cdot sin (120 π rad ∕ s \cdot t)$ przepływa przez wewnętrzny solenoid z części (b) Przykładu 14.1. Jaka jest maksymalna SEM indukowana na zewnętrznej cewce?

14.1 Indukcyjność wzajemna

Indukcyjność względna

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie