William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać znaczenie zasady zachowania pędu;
prawidłowo oceniać, czy układ jest układem zamkniętym, czy nie;
definiować układ, którego pęd jest zachowany;
opisywać matematycznie zasadę zachowania pędu dla danego układu;
obliczać nieznaną wielkość na podstawie zasady zachowania pędu.

Zacznijmy od przypomnienia trzeciej zasady dynamiki Newtona: jeżeli dwa ciała o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ oddziałują ze sobą (tzn. wywierają na siebie siłę), to jest to zawsze oddziaływanie wzajemne, czyli siła, jaką ciało 2 działa na ciało 1, jest równa co do wartości i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało 1 działa na ciało 2. Oznaczając przez ${\vec{F}}_{21}$ siłę wywieraną przez ciało 2 na ciało 1 oraz przez ${\vec{F}}_{12}$ siłę wywieraną przez ciało 1 na ciało 2, trzecią zasadę dynamiki zapiszemy jako:

\begin{aligned} {\vec{F}}_{21} & = - {\vec{F}}_{12}, \\ m_{1} {\vec{a}}_{1} & = - m_{2} {\vec{a}}_{2} . \end{aligned}

9.16

Zauważmy, że siły te się wzajemnie nie redukują, ponieważ przyłożone zostały do dwóch różnych obiektów: siła ${\vec{F}}_{21}$ działa na ciało 1, a siła ${\vec{F}}_{12}$ na ciało 2. Zwróćmy dodatkowo uwagę, że chociaż wartości tychże sił są jednakowe, to jednak efekt ich działania w postaci przyspieszenia ciała – już nie! Ciało cięższe będzie miało mniejsze przyspieszenie, co oznacza, że jego prędkość będzie zmieniała się niż wolniej niż prędkość ciała lżejszego:

\frac{d {\vec{v}}_{1}}{d t} \neq \frac{d {\vec{v}}_{2}}{d t} .

Wartość iloczynu masy i zmiany prędkości w czasie pozostanie jednak stała:

m_{1} \frac{d {\vec{v}}_{1}}{d t} = - m_{2} \frac{d {\vec{v}}_{2}}{d t} .

9.17

Zauważmy, że w następstwie wzajemnego oddziaływania ciała doznają zmiany prędkości $d v_{i}$ . Ponadto, jeżeli czas trwania oddziaływania wynosi $d t$ – w czasie tym następuje zmiana prędkości jednocześnie obu ciał.

Załóżmy chwilowo, że masy obu ciał nie ulegają zmianie podczas oddziaływania (nieco później zrezygnujemy z tego warunku). W takim przypadku obie masy możemy umieścić pod znakiem pochodnej:

\frac{d}{d t} (m_{1} {\vec{v}}_{1}) = - \frac{d}{d t} (m_{2} {\vec{v}}_{2}),

9.18

i zastąpić iloczyny pędem:

\frac{d {\vec{p}}_{1}}{d t} = - \frac{d {\vec{p}}_{2}}{d t} .

9.19

Szybkości zmian pędów obu ciał są więc jednakowe co do wartości. Jakkolwiek masy oraz zmiany prędkości w czasie tychże ciał mogą być różne, szybkości zmian iloczynów $m$ i $\vec{v}$ pozostaną sobie równe.

Fizycznie oznacza to, że podczas oddziaływania mas $m_{1}$ i $m_{2}$ oba ciała doznają zmiany pędu, jednakowej co do wartości, ale o przeciwnym znaku. Na przykład pęd pierwszego ciała może wzrosnąć, a to oznacza, że pęd drugiego ciała zmalał dokładnie o tyle samo. W związku z powyższym zapiszmy poprzednie Równanie 9.18 w postaci:

\frac{d {\vec{p}}_{1}}{d t} + \frac{d {\vec{p}}_{2}}{d t} = 0.

9.20

Wynika z niego, że podczas oddziaływania pęd pierwszego i drugiego ciała ulega zmianie, ale zmiany te wzajemnie się znoszą i całkowita zmiana pędu tego układu wynosi zero.

Równanie powyższe można jeszcze zapisać następująco:

\frac{d}{d t} ({\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}) = 0,

9.21

co prowadzi do wniosku, że całkowity pęd układu, będący wektorową sumą pędów jego elementów – nie zmienia się w czasie, a więc jest stały:

{\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = const .

9.22

Jak pokazano na Ilustracji 9.14, całkowity pęd układu przed i po oddziaływaniu pozostaje jednakowy.

Przed zderzeniem żółta kula z nr 1 porusza się ukośnie w prawo - w dół, celując wektorem prędkości w kulę nr 2. Kula nr 2 również porusza się, ale wolniej (ma krótszy wektor prędkości) zwrócony w lewo - nieznacznie w dół. Nad kulami narysowano trójkąt utworzony z wektorów p1, p2 oraz p sum, przy czym wektor p2 zaczepiono w końcu wektora p1, a wektor p sum, rozpoczynający się w początku wektora p1, a kończący się w strzałce wektora p2 - skierowany jest pionowo w dół. Przy wektorze p sum zapisano: p sum (wektor) = p1 (wektor) + p2 (wektor). Po prawej stronie rysunku opisanej jako „po zderzeniu” obie kule bilardowe mają nowe prędkości: kula żółta mniejszą prędkość p1 prim skierowaną w prawo, a kula niebieska z nr 2 – dłuższą skierowaną w lewo - w dół z opisem p2 prim. Nad kulami narysowano trójkąt złożony z nowych prędkości p1 prim i p2 prim, ale trzeci bok trójkąta – p sum prim, zaczynający się w początku p1 prim i kończący się w końcu p2 prim jest identyczny jak przed zderzeniem i skierowany pionowo w dół.

Ilustracja 9.14 Przed zderzeniem (lewa część rysunku) dwie kule bilardowe posiadają pędy

{\vec{p}}_{1}

i

{\vec{p}}_{2}

. Całkowity pęd układu jest sumą wektorową obu pędów, oznaczoną na rysunku jako czerwony wektor

{\vec{p}}_{sum}

. Po zderzeniu (prawa strona rysunku) obie kule bilardowe posiadają już inne pędy,

{\vec{p}}_{1}^{^{'}}

i

{\vec{p}}_{2}^{^{'}}

, ale ich suma wektorowa się nie zmieniła, co ilustruje taki sam jak poprzednio wektor

{\vec{p}}_{sum}^{^{'}}

.

Uogólniając omawiany przypadek do układu $N$ ciał, otrzymujemy

\begin{aligned} {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} + {\vec{p}}_{3} + \dots + {\vec{p}}_{N} & = const, \\ \sum_{j = 1}^{N} {\vec{p}}_{j} & = const . \end{aligned}

9.23

Powyższe równanie jest definicją całkowitego (wypadkowego) pędu układu zawierającego $N$ oddziałujących obiektów – a jednocześnie stwierdzeniem, że całkowity pęd tegoż układu jest stały w czasie albo, inaczej mówiąc: zachowany.

prawa zachowania

Jeżeli dana wielkość fizyczna nie zmienia się w czasie, to mówimy, że jest ona zachowana.

Kiedy pęd jest zachowany?

Aby pęd układu nie zmieniał się w czasie, układ ten musi spełniać dwa warunki:

Masa układu podczas oddziaływania musi pozostać stała.
Podczas oddziaływania ciał między sobą możliwa jest wprawdzie wymiana masy między nimi, ich sklejenie lub rozpad na drobniejsze elementy, ale masa całkowita układu (suma mas jego elementów) musi pozostać stała.
${[\frac{d m}{d t}]}_{układu} = 0.$

Tym samym, jeśli jedno ciało zwiększyło masę na skutek oddziaływania, to masa innych elementów układu musiała zmaleć.
Wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ musi być równa zeru.
Elementy układu podczas ruchu lub zderzenia bądź eksplozji oddziałują ze sobą. Jednak siły tego wzajemnego oddziaływania są siłami wewnętrznymi, wzajemnymi i w ten sposób każda z nich ma swoją siłę wzajemną, wynikającą z III zasady dynamiki – o takiej samej wartości, ale przeciwnym zwrocie. Zatem zmiana pędu jednego elementu układu równoważy się (sumuje wektorowo, dając zero) ze zmianą pędu innego elementu układu. Tym samym, siły wewnętrzne nie są w stanie zmienić całkowitego pędu układu, ponieważ poszczególne zmiany pędów jego elementów wzajemnie się znoszą. Gdy jednak występuje niezrównoważona siła zewnętrzna, działająca na układ (np. siła grawitacji lub tarcia), wówczas wpływa ona na pęd układu jako całości. Mówiąc krótko: pęd układu może ulegać zmianie tylko pod wpływem sił zewnętrznych. Chcąc, aby w naszym układzie pęd był wielkością zachowaną, musimy spełnić warunek

${\vec{F}}_{zewn} = \vec{0} .$

Każdy układ ciał, który spełnia powyższe wymagania, nazywamy układem zamkniętym (ang. closed system) lub izolowanym. Zasadę tę w bardziej syntetycznej postaci wyraża zapis przytoczony poniżej.

prawo zachowania pędu

Całkowity pęd układu zamkniętego jest zachowany:

\sum_{j = 1}^{N} {\vec{p}}_{j} = const.

Powyższe stwierdzenie nosi nazwę zasady zachowania pędu (ang. law of conservation of momentum). Wespół z zasadą zachowania energii stanowi ona jedną z fundamentalnych praw fizyki. Słuszność tejże zasady potwierdzają wszystkie obserwacje eksperymentalne – dotyczące każdego zjawiska, przebiegającego w każdej skali: począwszy od ruchu galaktyk, po oddziaływanie maleńkich kwarków tworzących protony i neutrony. W układzie zamkniętym całkowity jego pęd nie ulega zmianie.

Zauważmy teraz, że chociaż układ fizyczny może podlegać działaniom sił zewnętrznych, aby pęd tegoż układu pozostawał stały – siły te muszą się zrównoważyć. Wówczas wypadkowa sił zewnętrznych będzie równa zeru i tylko w tej sytuacji pęd układu nie będzie ulegał zmianie w czasie.

Co rozumiemy przez „układ”?

Układ (ang. system) (w rozumieniu fizyki, a ściślej – mechaniki) to zbiór obiektów, których ruch analizujemy (czy to w ujęciu kinematyki, czy dynamiki). Jeśli opisujemy proces odbijania się piłki od podłoża, prawdopodobnie interesuje nas ruch piłki, a nie ruch Ziemi, zatem naszym układem jest po prostu piłka. Jeżeli analizujemy proces zderzenia dwóch samochodów, układ fizyczny tworzą oba samochody (Ilustracja 9.15).

Ilustracja przedstawia układ dwóch samochodów o masach m1 i m2 poruszających się w prawo. W górnej części, odpowiadającej sytuacji przed zderzeniem, samochód doganiający ma prędkość v1, większą od prędkości v2 samochodu doganianego. Sylwetki obu samochodów zostały obrysowane razem konturem i opisane komentarzem „Analizowany układ”. Wewnątrz konturu zapisano równanie dodawania wektorów: wektor p1 plus wektor p2 równa się wektor p sum. Nad konturem napisano wektor wypadkowej sił zewnętrznych F wyp równa się zeru. Rysunek dolny pokazuje sytuację po uderzeniu. Samochody nadal jadą w prawo, ale samochód o masie m2 ma teraz prędkość większą v2 prim od prędkości v1 prim samochodu m1. Oba samochody są nadal obrysowane konturem z opisem F wyp równe zero. Wewnątrz konturu zapisano równanie dodawania wektorów pędu po zderzeniu p1 prim plus p2 prim równa się p sum prim.

Ilustracja 9.15 Analizowany układ stanowią dwa poruszające się samochody. Należy pamiętać, że zawartość tegoż układu (ściślej, jego łączna masa) pozostaje niezmieniona przed, podczas i po zderzeniu.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: zasada zachowania pędu

Sposób wykorzystania zasady zachowania pędu można przedstawić w czterech krokach, przy czym pierwszy z nich ma znaczenie zasadnicze:

Zidentyfikuj układ zamknięty dla analizowanego problemu (sprawdź, czy całkowita masa układu jest zachowana podczas zdarzenia oraz czy wypadkowa sił działających na układ jest równa zeru).
Zapisz równanie przedstawiające całkowity pęd układu przed zdarzeniem (eksplozją, zderzeniem).
Zapisz analogiczne równanie dla tego układu po zdarzeniu.
Przyrównaj oba równania i wyznacz poszukiwaną niewiadomą.

Przykład 9.6

Modelowe zderzenie dwóch ciał

Zjawiska zderzeń często bada się za pomocą dwóch wózków poruszających się bez tarcia po torze prostoliniowym, np. torze powietrznym. Do wózków, na ich końcach, doczepione są magnesy, tak aby po zderzeniu wózki złączyły się (Ilustracja 9.16). Pierwszy wózek ma masę 675 g i porusza się w prawo z prędkością 0,75 m/s; drugi wózek o masie 500 g, porusza się z prędkością 1,33 m/s, także w prawo. Jaka jest prędkość obu wózków po zderzeniu?

Ilustracja dwóch wózków złączonych po zderzeniu na gładkim torze.

Ilustracja 9.16 Wózki na torze zderzają się i „sklejają” po zderzeniu.

Strategia rozwiązania

Wiemy, że nastąpiło zderzenie. Znamy masy i prędkości wózków przed zderzeniem, szukamy prędkości obu wózków „sklejonych” po zderzeniu. Można spodziewać się, że znajdzie tu zastosowanie zasada zachowania pędu. Trzeba jednak sprawdzić, czy spełnione są oba warunki dotyczące zastosowania tejże zasady, tzn. czy nasz układ jest układem zamkniętym. Trzeba zatem przekonać się, czy masa układu jest zachowana oraz czy wypadkowa działających nań sił zewnętrznych równa jest zeru.

Układ, w skład którego wchodzą oba wózki, spełnia kryteria układu zamkniętego. Suma mas obu wózków pozostaje niezmieniona, a siły wzajemnego oddziaływania tychże wózków – są siłami wewnętrznymi układu i nie zmieniają jego pędu. Na każdy z wózków w kierunku pionowym działają siły grawitacji, równoważone jednak przez siły reakcji toru. Siły zewnętrzne działające na układ znoszą się więc – ich wypadkowa równa jest zeru.

Rozwiązanie

Zasadę zachowania pędu przedstawia równanie:

{\vec{p}}_{przed} = {\vec{p}}_{po} .

Pęd układu przed zderzeniem zawiera tylko składowe wzdłuż osi $x$ :

{\vec{p}}_{przed} = m_{1} v_{1} \hat{i} + m_{2} v_{2} \hat{i} .

Pęd układu po zderzeniu jest pędem obu złączonych mas:

{\vec{p}}_{po} = (m_{1} + m_{2}) {\vec{v}}_{3} .

Przyrównując oba pędy, napiszemy:

\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) {\vec{v}}_{3} & = & m_{1} v_{1} \hat{i} + m_{2} v_{2} \hat{i}, \end{matrix}

stąd

{\vec{v}}_{3} = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \hat{i} .

Podstawiając dane, otrzymujemy:

{\vec{v}}_{3} = \frac{0,675 k g \cdot 0,75 m / s + 0,5 k g \cdot 1,33 m / s}{1,175 k g} \hat{i} = 0,997 m / s \cdot \hat{i} .

Znaczenie

Opisana powyżej metoda postępowania stosuje się do wszystkich obiektów, niezależnie od ich skali czy rozmiaru. Pamiętajmy na przykład, że pęd i zasada jego zachowania mają szczególne znaczenie nawet przy oddziaływaniu fotonów. Ponieważ foton nie posiada masy, jego pęd definiowany jest inaczej niż w przypadku obiektów materialnych (przekonamy się o tym nieco później, studiując zagadnienia fizyki kwantowej).

Sprawdź, czy rozumiesz 9.3

Załóżmy, że lżejszy wózek porusza się w lewo. Jaki byłby wówczas znak prędkości końcowej?

Przykład 9.7

Skacząca „superpiłka”

Poniższy przykład wskazuje, że definiowanie analizowanego układu wymaga pewnej ostrożności. „Superpiłka” o masie 0,25 kg spada z wysokości

h = 1,50 m

nad podłogą. Odbija się od niej bez straty energii, osiągając wysokość, z której spadła (Ilustracja 9.17).

Jakiej zmiany pędu doznała piłka podczas odbicia od podłogi?
Jakiej zmiany pędu doznała Ziemia wskutek odbicia się piłki od podłogi?
Jaka jest zmiana prędkości Ziemi na skutek tego odbicia?

Ilustracja spadającej piłki w czterech fazach jej ruchu. W chwili początkowej t0 piłka znajduje się na wysokości h nad podłogą. Na rysunku podana jest informacja o jej pędzie p0 równym 0. W chwili t1, piłka jest tuż nad podłogą, do piłki dorysowano wektor pędu minus p1, skierowany pionowo w dół. W chwili t2 piłka jest również tuż nad podłogą, ale pod odbiciu piłki od podłogi wektor jej pędu plus p2 jest skierowany pionowo w górę. W chwili t3 piłka jest na wysokości h, jak na rysunku początkowym, a jej pęd p3 jest równy zeru.

Ilustracja 9.17 „Superpiłka” rozpoczyna spadek z wysokości (chwila

t_{0}

), uderza o podłogę (

t_{1}

), odbija się (

t_{2}

) i wraca na poprzednią wysokość (

t_{3}

).

Strategia rozwiązania

Ponieważ rozważamy ruch piłki i zmianę jej pędu, uznajmy na wstępie, że nasz układ stanowi wyłącznie piłka. Oczywiście układ ten nie jest zamknięty. Na piłkę działa bowiem niezrównoważona siła zewnętrzna – skierowana w dół siła grawitacji, a w chwili kontaktu piłki z podłożem – siła reakcji. Nie możemy więc skorzystać z zasady zachowania pędu. Możemy jednak po prostu obliczyć pęd piłki tuż przed zderzeniem oraz jej pęd tuż po zderzeniu, a następnie obliczyć ich różnicę. Znamy masę piłki, więc do wyznaczenia pędów potrzebne nam będą prędkości.

Rozwiązanie

Zagadnienie jest jednowymiarowe i określone wzdłuż osi pionowej, przy czym kierunek ku górze traktujemy jako dodatni. Przyjmijmy następujące oznaczenia:
1. $p_{0} -$ wartość pędu piłki w chwili początkowej $t_{0}$ . Ponieważ spadek piłki jest swobodny, pęd ten jest równy zeru.
2. $p_{1} -$ wartość pędu piłki w chwili $t_{1}$ , tuż przed uderzeniem o podłogę.
3. $p_{2} -$ wartość pędu piłki w chwili $t_{2}$ , tuż po odbiciu się od podłogi.
Zmiana pędu piłki wynosi:
$Δ \vec{p} = {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} = p_{2} \hat{j} - (- p_{1} \hat{j}) = (p_{1} + p_{2}) \hat{j} .$

Prędkość piłki tuż przed uderzeniem w podłogę można wyznaczyć bądź z zasady zachowania energii mechanicznej, bądź na podstawie reguł kinematyki. Zastosujmy pierwszą z tychże metod, postępując analogicznie do przykładu spadającego telefonu z poprzedniego rozdziału. Warto też rozwiązać nasze zagadnienie drugim sposobem i sprawdzić, czy prowadzi on do identycznych wyników.
Wyznaczymy na wstępie prędkości piłki, tuż przed uderzeniem o podłoże, znając jej prędkość początkową w chwili t 0 ( v 0 = 0 ) t 0 ( v 0 = 0 ) , wysokość h h oraz przyspieszenie ziemskie g g . Energia mechaniczna jest zawsze sumą energii kinetycznej i potencjalnej w danej chwili. W polu grawitacyjnym Ziemi energia mechaniczna jest zachowana, co oznacza, że:

$\begin{aligned} E_{0} & = E_{1}, \\ E_{p 0} + E_{k 0} & = E_{p 1} + E_{k 1}, \\ m g h_{0} + \frac{1}{2} m v_{0}^{2} & = m g h_{1} + \frac{1}{2} m v_{1}^{2} . \end{aligned}$
Wstawiając do ostatniego równania wysokość początkową piłki nad podłogą h 0 = h h 0 = h , wysokość w chwili uderzenia h 1 = 0 h 1 = 0 oraz prędkość v 0 = 0 v 0 = 0 , otrzymujemy:

$m g h = \frac{1}{2} m v_{1}^{2},$
stąd

$v_{1} = \sqrt{2 g h} .$
Analizując zwrot wektora, prędkość v → 1 v → 1 zapiszemy jako ujemną, czyli skierowaną w dół:

${\vec{v}}_{1} = - \sqrt{2 g y} \cdot \hat{j} = - 5,4 m / s \cdot \hat{j} .$

${\vec{p}}_{1} = - 0,25 k g \cdot (- 5,4 m / s) \cdot \hat{j} = - 1,4 k g \cdot m / s \cdot \hat{j} .$

Przyjrzyjmy się teraz pewnej symetrii procesu opadania piłki i jej wznoszenia. Przed odbiciem piłka rozpoczyna ruch z wysokości 1,5 m z prędkością równą zeru i nabiera pędu pod wpływem siły ciężkości – aż do chwili uderzenia o ziemię. W drodze powrotnej, po odbiciu – piłka rozpoczyna ruch z pewną „porcją ruchu”, czyli pędem. Pęd piłki następnie maleje i staje się równy zeru, gdy piłka ponownie znajdzie się na wysokości 1,5 m. Możemy więc stwierdzić, że mamy do czynienia z lustrzanym odbiciem, symetrią obu faz ruchu. Zatem, w celu wyznaczenia prędkości v 2 v 2 , ułożylibyśmy równania analogiczne do powyższych, zastępując dolne indeksy 0 oraz 1 liczbami 2 oraz 3. Wówczas wartość prędkości piłki tuż po odbiciu byłaby równa wartości prędkości v 1 v 1 , a wartość pędu po odbiciu spełniałaby równość p 2 = p 1 p 2 = p 1 , przy czym jego wektor byłby skierowany ku górze:

${\vec{p}}_{2} = - {\vec{p}}_{1} = 1,4 k g \cdot m / s \cdot \hat{j} .$
Ostatecznie zmiana pędu wskutek odbicia piłki wynosi
$Δ \vec{p} = {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} = 1,4 k g \cdot m / s \cdot \hat{j} - (- 1,4 k g \cdot m / s \cdot \hat{j}) = 2,8 k g \cdot m / s \cdot \hat{j} .$
Jakiej zmiany pędu doznaje Ziemia wskutek uderzenia piłki o podłogę?
Instynktowna odpowiedź brzmiałaby zapewne „zero – Ziemia jest zbyt wielka w porównaniu z małą piłką, aby zderzenie mogło zmienić jej pęd” albo „więcej niż zero, ale zaniedbywalnie mało”. Obie odpowiedzi nie są jednak prawdziwe. Istotnie, jeśli zdefiniujemy nasz układ jako „Superpiłka plus Ziemia”, będzie to już układ zamknięty. Siła przyciągania Ziemia-piłka jest w nim bowiem siłą wewnętrzną i całkowita zmiana pędu tegoż układu jest równa zeru. W tej sytuacji zmiana pędu Ziemi wynosi $- Δ \vec{p}$ :

$Δ {\vec{p}}_{Z} = - 2,8 k g \cdot m / s \cdot \hat{j} .$
Jak zmieni się prędkość Ziemi po zderzeniu?
Tym razem nasze przeczucie i odpowiedź „zero lub prawie zero” są prawdopodobnie słuszne:

$Δ {\vec{v}}_{Z} = \frac{Δ p_{Z}}{M_{Z}} = \frac{- 2,8 k g \cdot m / s}{5,97 \cdot 10^{24} k g} \hat{j} = - 4,7 \cdot 10^{- 25} m / s \cdot \hat{j} .$

Taka zmiana prędkości jest rzeczywiście niezauważalna.

Znaczenie

Należy sobie uświadomić, że odpowiedź w podpunkcie c nie dotyczy prędkości, ale zmiany prędkości Ziemi – są to dwie zupełnie różne wielkości. Aby przekonać się, jak niewielka jest wartość otrzymana powyżej – wyobraźmy sobie, że poruszamy się z taką właśnie prędkością. Wówczas przebycie odcinka o długości średnicy atomu wodoru zajęłoby nam… 7 milionów lat!

Sprawdź, czy rozumiesz 9.4

Czy zmiana pędu piłki byłaby większa, taka sama, czy też mniejsza, gdyby wskutek zderzenia piłka spoczęła na podłodze, nie odbijając się?

Przykład 9.8

Krążki hokejowe

Dwa krążki hokejowe o takich samych masach, wynoszących 15 g położono na płaskim, gładkim lodzie. Czerwony krążek pozostaje w spoczynku, a krążkowi niebieskiemu nadano prędkość 2,5 m/s, skierowaną w lewo (Ilustracja 9.18), tak by uderzył on centralnie w krążek czerwony. Po zderzeniu krążek czerwony przesuwa się w lewo, także z prędkością 2,5 m/s. Jaka będzie prędkość krążka niebieskiego?

Ilustracja 9.18 Zderzenie dwóch krążków hokejowych na lodzie. Górny rysunek odpowiada sytuacji na chwilę przed zderzeniem, a dolny – tuż po zderzeniu. Wypadkowa sił zewnętrznych wynosi zero.

Strategia rozwiązania

Rozważamy zderzenie dwóch ciał o znanych masach i prędkościach początkowych; ponadto znana jest prędkość jednego z nich po zderzeniu. Wykorzystanie zasady zachowania pędu wydaje się być dobrą strategią. Zdefiniuj układ jako zawierający oba krążki. Gładkość lodu zapewnia brak tarcia, siłę ciężkości równoważy siła reakcji podłoża – układ jest więc układem zamkniętym.

Zanim przejdziesz do rozwiązania, zastanów się, jaką odpowiedź wskazuje intuicja.

Zero,
2,5 m/s w lewo,
2,5 m/s w prawo,
1,25 m/s w lewo,
1,25 m/s w prawo.
Inną wartość?

Rozwiązanie

Zdefiniujmy kierunek osi

+ x

jako poziomy w prawo. Zasada zachowania pędu przedstawia się wówczas następująco:

\begin{aligned} {\vec{p}}_{przed} & = {\vec{p}}_{po}, \\ m v_{1 c} \hat{i} + m v_{1 n} \hat{i} & = m v_{2 c} \hat{i} + m v_{2 n} \hat{i} . \end{aligned}

Przed zderzeniem prędkość krążka czerwonego wynosi zero, a wektor prędkości krążka niebieskiego ma postać $- v_{1 n} \hat{i} = - 2,5 m / s \cdot \hat{i}$ . Zatem:

\begin{aligned} - m v_{1 n} \hat{i} & = m v_{2 c} \hat{i} + m v_{2 n} \hat{i}, \\ - v_{1 n} \hat{i} & = v_{2 c} \hat{i} + v_{2 n} \hat{i} . \end{aligned}

Ponieważ $v_{2 c} = - 2,5 m / s \cdot \hat{i}$ , z ostatniego równania otrzymujemy:

\begin{aligned} - 2,5 m / s \cdot \hat{i} & = - 2,5 m / s \cdot \hat{i} + v_{2 n} \hat{i}, \\ v_{2 n} \hat{i} & = 0. \end{aligned}

Znaczenie

Wykazaliśmy właśnie, że krążki podczas zderzenia wymieniły się pędami. Krążek niebieski przekazał cały pęd krążkowi czerwonemu. Jest to typowe dla zderzeń obiektów o jednakowych masach.

Sprawdź, czy rozumiesz 9.5

Nawet gdyby w układzie działała siła tarcia, nadal moglibyśmy skorzystać w rozwiązaniu z zasady zachowania pędu. Potrzebne byłyby jednak dodatkowe dane. Czy wiesz jakie?

Przykład 9.9

Lądowanie Philae

12 listopada 2014 roku Philae – lądownik Europejskiej Agencji Kosmicznej został osadzony na powierzchni komety 67P/Czurimow-Gierasimienko (Ilustracja 9.19). Podczas lądowania lądownik ten odbijał się jednak dwa razy od powierzchni komety i osiadł na niej dopiero za trzecim razem. Oblicz, jak zmieniła się prędkość tejże komety na skutek pierwszego odbicia.

Artystyczna wizja lądowania lądownika Philae – lądownik zbliża się do powierzchni komety.

Ilustracja 9.19 Artystyczna wizja lądowania lądownika Philae na powierzchni komety. (Źródło: zmodyfikowany przez „DLR German Aerospace Center”/Flickr)

Ustalmy kierunek osi $+ y$ pionowo w górę, a $y = 0$ niech oznacza współrzędną powierzchni komety. Przyjmijmy także, że:

Masa komety 67P: $M_{k} = 1,0 \cdot 10^{13} k g$ ,
Przyspieszenie grawitacyjne komety: $\vec{a} = - 5,0 \cdot 10^{- 3} m / s^{2} \cdot \hat{j}$ ,
Masa lądownika: $M_{Ph} = 96 k g$ ,
Prędkość początkowa osiadania lądownika: ${\vec{v}}_{1} = - 1,0 m / s \cdot \hat{j}$ ,
Prędkość lądownika po pierwszym odbiciu: ${\vec{v}}_{2} = 0,38 m / s \cdot \hat{j}$ ,
Czas zderzenia lądownika z kometą: $Δ t = 1,3 s$ ,

Strategia rozwiązania

Szukamy odpowiedzi na pytanie, jak zmieniła się prędkość komety, choć poza masą i przyspieszeniem grawitacyjnym nie mamy o tej komecie żadnych informacji. Wiemy jednak, że lądownik Philae uderzył w kometę i odbił się od jej powierzchni – co wskazuje, że można zastosować zasadę zachowania pędu.

Jeżeli jako układ fizyczny zdefiniujemy parę „Philae plus kometa”, wypadkowa sił zewnętrznych będzie równa zeru i pęd całkowity tegoż układu pozostanie zachowany (pomijamy wpływ oddziaływania grawitacyjnego ze Słońcem). Wówczas, obliczając zmianę pędu lądownika podczas odbicia, wyznaczymy równocześnie zmianę pędu komety, a z nią wiąże się bezpośrednio zmiana prędkości komety.

Rozwiązanie

Niech

{\vec{p}}_{1}

oznacza pęd lądownika tuż przed uderzeniem o powierzchnię komety, a

{\vec{p}}_{2}

jego pęd bezpośrednio po zderzeniu. Wówczas:

{\vec{p}}_{1} = M_{Ph} {\vec{v}}_{1} = 96 k g \cdot (- 1,0 m / s \cdot \hat{j}) = - 96 k g \cdot m / s \cdot \hat{j},

{\vec{p}}_{2} = M_{Ph} {\vec{v}}_{2} = 96 k g \cdot 0,38 m / s \cdot \hat{j} = 36,5 k g \cdot m / s \cdot \hat{j} .

Zmiana pędu lądownika podczas zderzenia wynosi:

Δ p_{Ph} = {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} = 36,5 k g \cdot m / s \cdot \hat{j} - (- 96,0 k g \cdot m / s \cdot \hat{j}) = 132,5 k g \cdot m / s \cdot \hat{j} .

Zwróćmy uwagę, jak ważną rolę w naszym rozwiązaniu odgrywają znaki pędu początkowego i końcowego, odzwierciedlane przez znaki wektorów.

Przejdźmy teraz do komety. Ponieważ pęd układu jest zachowany, zmiana pędu komety jest równa zmianie pędu lądownika, wziętej z przeciwnym znakiem (obie zmiany dodane do siebie dadzą zero). Zatem:

Δ {\vec{p}}_{k} = - Δ {\vec{p}}_{Ph} = - 132,5 k g \cdot m / s \cdot \hat{j} .

Wobec tego zmiana prędkości komety wynosi:

Δ {\vec{v}}_{k} = \frac{Δ {\vec{p}}_{k}}{M_{k}} = \frac{- 132,5 k g \cdot m / s}{1,0 \cdot 10^{13} k g} = - 1,33 \cdot 10^{- 11} m / s \cdot \hat{j} .

Znaczenie

Obliczona wartość jest bardzo mała – zaledwie jedna stumiliardowa część metra na sekundę, tym niemniej nie całkiem równa zeru.

Sprawdź, czy rozumiesz 9.6

Wartości zmian pędu lądownika Philae oraz komety 67P będą jednakowe. Czy impulsy udzielone Philae i komecie także będą jednakowe? Co można powiedzieć o siłach oraz zmianie energii kinetycznej każdego z ciał?

9.3 Zasada zachowania pędu

Kiedy pęd jest zachowany?

Co rozumiemy przez „układ”?

Strategia rozwiązywania zadań: zasada zachowania pędu

Modelowe zderzenie dwóch ciał

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Skacząca „superpiłka”

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Krążki hokejowe

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Lądowanie Philae

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie