7.4 Moc

Pojęcie pracy jest związane z siłą oraz przemieszczeniem, natomiast zasada równoważności pracy i energii kinetycznej wiąże ze sobą pracę wykonaną nad ciałem i jego energię kinetyczną. Żadne ze wspomnianych pojęć bezpośrednio nie wiąże się z czasem, jednakże wiemy z doświadczenia, że czasami ważne jest, w jakim czasie wykonana jest dana praca. We wstępie do rozdziału umieszczono zdjęcie sprinterek, z których każda wykonuje taką samą pracę na tym samym odcinku, ale w różnym czasie – i to czas właśnie jest w tym przypadku najistotniejszy.

Aby powiązać ze sobą pracę i czas, w którym została wykonana, używamy nowego pojęcia – mocy. Jako że praca może być funkcją czasu, wprowadzono termin mocy średniej (ang. average power) jako skończoną wartość pracy wykonanej w skończonym czasie:

Możemy więc zdefiniować pojęcie mocy chwilowej, często określanej po prostu jako moc (ang. power).

Jeżeli moc jest stała w danym przedziale czasu, to średnia moc jest równa mocy chwilowej. Wtedy pracę możemy zapisać jako $W=P\Delta t$. Jeżeli praca ma wartość zmienną w czasie, to jej wartość jest wyrażana jako całka w postaci:

Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej opisuje zamianę jednej formy energii na drugą. Analogicznie pojęcie mocy opisuje szybkość takiej zamiany. Jednostką energii (pracy) w układzie SI jest dżul (1 J), więc zgodnie z definicją mocy jednostką mocy jest dżul na sekundę czyli wat: $1\mathrm{J}\text{/}\mathrm{s}=1\mathrm{W}$. Inną często spotykaną (szczególnie w technice) jednostką jest koń mechaniczny: $1\mathrm{K}\mathrm{M}=746\mathrm{W}$.

Przykład 7.11

Podciąganie się na drążku

Rekrut ważący 80 kg wykonuje 10 podciągnięć na drążku w 10 sekund (Ilustracja 7.14). Jaka jest średnia moc uwalniana przez jego mięśnie? (Wskazówka: Aby rozwiązać to zadanie, musisz dokonać rozsądnych przybliżeń.)

Ilustracja 7.14 Jaka moc wyzwalana jest w przypadku wykonania przez rekruta 10 podciągnięć w 10 sekund?

Strategia rozwiązania

Praca przeciwko sile grawitacji przy ruchu z góry w dół na odcinku $\Delta y$ może zostać zapisana w postaci $mg\text{Δ}y.$ (Jeśli będziesz wykonywał w trakcie podciągania ruch w dół ze stałą prędkością, siła Twoich mięśni będzie działała również przeciwko sile grawitacji.) Zatem praca wykonana podczas całego ruchu (w górę i w dół) wynosi: $2mg\text{Δ}y.$ Przyjmijmy, że $\mathrm{\Delta }y=2\mathrm{f}\mathrm{t}\approx 60\mathrm{c}\mathrm{m}$. Przyjmijmy również, że ręce stanowią 10% masy ciała i nie są podnoszone w trakcie podciągania się. Przy tych założeniach możemy wyznaczyć pracę wykonaną w trakcie 10 podciągnięć i wyznaczyć moc wyzwoloną w ciągu 10 sekund.

Rozwiązanie

Uwzględniając wcześniejsze założenia otrzymujemy:

$$P_{\text{śr}}=\frac{10\cdot 2\cdot \left(\mathrm{0,9}\cdot 80\mathrm{k}\mathrm{g}\right)\cdot \mathrm{9,8}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{0,6}\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}=850\mathrm{W}.$$

Znaczenie

Wynik ten odpowiada mocy wydzielonej przy standardowych ćwiczeniach wysiłkowych. Odpowiada to mocy trochę większej niż jeden koń mechaniczny ($1\mathrm{K}\mathrm{M}=746\mathrm{W}$).

Moc związaną z wprowadzeniem ciała w ruch można wyrazić poprzez siłę działają na to ciało. Jeżeli siła $\overrightarrow{F}$ działa na ciało, które zostaje przemieszczone o $\mathrm{d}\overrightarrow{r}$ w czasie $\mathrm{d}t$, to moc będzie równa:

gdzie $\overrightarrow{v}$ jest prędkością ciała. Zależność jest prawdziwa przy założeniu, że siła $\overrightarrow{F}$ jest stała w czasie.

Przykład 7.12

Moc samochodu poruszającego w górę zbocza

Jaka musi być minimalna moc silnika samochodu o masie 1200 kg, aby wjechać pod górę zbocza o nachyleniu 15% z prędkością 90 km/h (Ilustracja 7.15)? Przyjmij, że 25% mocy samochodu jest wykorzystywane do przeciwdziałania siłom oporu ruchu.

Ilustracja 7.15 Chcemy obliczyć moc silnika samochodu wjeżdżającego pod górę ze stałą prędkością.

Strategia rozwiązania

Przy stałej prędkości zmiana energii kinetycznej równa jest zero, w związku z tym cała wykonana praca jest wykorzystywana do przeciwdziałania sile grawitacji i siłom oporu ruchu. Z założeń zadania wiemy, że 75% mocy jest wykorzystywane tylko do przeciwdziałania sile grawitacji. Moc ta jest równa $m\overrightarrow{g}\cdot \overrightarrow{v}=mgv\sin \theta$, gdzie $\theta$ jest kątem nachylenia zbocza. Nachylenie zbocza odpowiada zależności $\mathrm{tg}\theta =\mathrm{0,15}$.

Rozwiązanie

Na podstawie wcześniej prowadzonych zależności otrzymujemy:

$$\mathrm{0,75}P=mgv\sin \left(\mathrm{arctg}\mathrm{0,15}\right),$$

lub

$$P=\frac{1200\cdot \mathrm{9,8}\mathrm{N}/\mathrm{3,6}\mathrm{s}\cdot sin\mathrm{8,53}°}{\mathrm{0,75}}=58\mathrm{kW}\text{,}$$

co odpowiada 78 KM.

Znaczenie

Wartość obliczona odpowiada mocy silnika małego samochodu. Zauważ jednak, że wyznaczona wartość odpowiada tylko i wyłącznie ruchowi samochodu, a nie uwzględnia mocy traconej np. na ciepło. Aby samochód faktycznie mógł poruszać się w świecie rzeczywistym, moc jego silnika musiałaby być znacznie większa.