7.4 Moc

7.4 Moc

Pojęcie pracy jest związane z siłą oraz przemieszczeniem, natomiast zasada równoważności pracy i energii kinetycznej wiąże ze sobą pracę wykonaną nad ciałem i jego energię kinetyczną. Żadne ze wspomnianych pojęć bezpośrednio nie wiąże się z czasem, jednakże wiemy z doświadczenia, że czasami ważne jest, w jakim czasie wykonana jest dana praca. We wstępie do rozdziału umieszczono zdjęcie sprinterek, z których każda wykonuje taką samą pracę na tym samym odcinku, ale w różnym czasie – i to czas właśnie jest w tym przypadku najistotniejszy.

Aby powiązać ze sobą pracę i czas, w którym została wykonana, używamy nowego pojęcia – mocy. Jako że praca może być funkcją czasu, wprowadzono termin mocy średniej (ang. average power) jako skończoną wartość pracy wykonanej w skończonym czasie:

Możemy więc zdefiniować pojęcie mocy chwilowej, często określanej po prostu jako moc (ang. power).

Jeżeli moc jest stała w danym przedziale czasu, to średnia moc jest równa mocy chwilowej. Wtedy pracę możemy zapisać jako $W=P\Delta t$. Jeżeli praca ma wartość zmienną w czasie, to jej wartość jest wyrażana jako całka w postaci:

Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej opisuje zamianę jednej formy energii na drugą. Analogicznie pojęcie mocy opisuje szybkość takiej zamiany. Jednostką energii (pracy) w układzie SI jest dżul (1 J), więc zgodnie z definicją mocy jednostką mocy jest dżul na sekundę czyli wat: $1\mathrm{J}\text{/}\mathrm{s}=1\mathrm{W}$. Inną często spotykaną (szczególnie w technice) jednostką jest koń mechaniczny: $1\mathrm{K}\mathrm{M}=746\mathrm{W}$.

Przykład 7.11

Podciąganie się na drążku

Rekrut ważący 80 kg wykonuje 10 podciągnięć na drążku w 10 sekund (Ilustracja 7.14). Jaka jest średnia moc uwalniana przez jego mięśnie? (Wskazówka: Aby rozwiązać to zadanie, musisz dokonać rozsądnych przybliżeń.)

Strategia rozwiązania

Praca przeciwko sile grawitacji przy ruchu z góry w dół na odcinku $\Delta y$ może zostać zapisana w postaci $mg\text{Δ}y.$ (Jeśli będziesz wykonywał w trakcie podciągania ruch w dół ze stałą prędkością, siła Twoich mięśni będzie działała również przeciwko sile grawitacji.) Zatem praca wykonana podczas całego ruchu (w górę i w dół) wynosi: $2mg\text{Δ}y.$ Przyjmijmy, że $\mathrm{\Delta }y=2\mathrm{f}\mathrm{t}\approx 60\mathrm{c}\mathrm{m}$. Przyjmijmy również, że ręce stanowią 10% masy ciała i nie są podnoszone w trakcie podciągania się. Przy tych założeniach możemy wyznaczyć pracę wykonaną w trakcie 10 podciągnięć i wyznaczyć moc wyzwoloną w ciągu 10 sekund.

Rozwiązanie

Uwzględniając wcześniejsze założenia otrzymujemy:

$$P_{\text{śr}}=\frac{10\cdot 2\cdot \left(\mathrm{0,9}\cdot 80\mathrm{k}\mathrm{g}\right)\cdot \mathrm{9,8}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{0,6}\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}=850\mathrm{W}.$$

Znaczenie

Wynik ten odpowiada mocy wydzielonej przy standardowych ćwiczeniach wysiłkowych. Odpowiada to mocy trochę większej niż jeden koń mechaniczny ($1\mathrm{K}\mathrm{M}=746\mathrm{W}$).

Moc związaną z wprowadzeniem ciała w ruch można wyrazić poprzez siłę działają na to ciało. Jeżeli siła $\overrightarrow{F}$ działa na ciało, które zostaje przemieszczone o $\mathrm{d}\overrightarrow{r}$ w czasie $\mathrm{d}t$, to moc będzie równa:

gdzie $\overrightarrow{v}$ jest prędkością ciała. Zależność jest prawdziwa przy założeniu, że siła $\overrightarrow{F}$ jest stała w czasie.

Przykład 7.12

Moc samochodu poruszającego w górę zbocza

Jaka musi być minimalna moc silnika samochodu o masie 1200 kg, aby wjechać pod górę zbocza o nachyleniu 15% z prędkością 90 km/h (Ilustracja 7.15)? Przyjmij, że 25% mocy samochodu jest wykorzystywane do przeciwdziałania siłom oporu ruchu.

Strategia rozwiązania

Przy stałej prędkości zmiana energii kinetycznej równa jest zero, w związku z tym cała wykonana praca jest wykorzystywana do przeciwdziałania sile grawitacji i siłom oporu ruchu. Z założeń zadania wiemy, że 75% mocy jest wykorzystywane tylko do przeciwdziałania sile grawitacji. Moc ta jest równa $m\overrightarrow{g}\cdot \overrightarrow{v}=mgv\sin \theta$, gdzie $\theta$ jest kątem nachylenia zbocza. Nachylenie zbocza odpowiada zależności $\mathrm{tg}\theta =\mathrm{0,15}$.

Rozwiązanie

Na podstawie wcześniej prowadzonych zależności otrzymujemy:

$$\mathrm{0,75}P=mgv\sin \left(\mathrm{arctg}\mathrm{0,15}\right),$$

lub

$$P=\frac{1200\cdot \mathrm{9,8}\mathrm{N}/\mathrm{3,6}\mathrm{s}\cdot sin\mathrm{8,53}°}{\mathrm{0,75}}=58\mathrm{kW}\text{,}$$

co odpowiada 78 KM.

Znaczenie

Wartość obliczona odpowiada mocy silnika małego samochodu. Zauważ jednak, że wyznaczona wartość odpowiada tylko i wyłącznie ruchowi samochodu, a nie uwzględnia mocy traconej np. na ciepło. Aby samochód faktycznie mógł poruszać się w świecie rzeczywistym, moc jego silnika musiałaby być znacznie większa.