4.4 Ruch po okręgu

Przyspieszenie dośrodkowe

W przypadku ruchu po linii prostej ciała poruszające się ze stałą szybkością muszą mieć zerowe przyspieszenie. Jednak w dwóch lub trzech wymiarach, nawet jeśli szybkość jest stała, ciało może mieć przyspieszenie, o ile porusza się po torze zakrzywionym, np. po okręgu. W takich przypadkach wektor prędkości się zmienia, tzn. $\text{d}\overrightarrow{v}\text{/}\text{d}t\ne 0.$ Zmienia się w czasie jego kierunek i zwrot, mimo że wartość pozostaje stała. Widzimy to na Ilustracji 4.18. Gdy ciało przemieszcza się wzdłuż okręgu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (w lewo), to w czasie $\mathrm{\Delta }t$ wektor położenia zmienia się od $\overrightarrow{r}\left(t\right)$ do $\overrightarrow{r}\left(t+\mathrm{\Delta }t\right).$ Wektor prędkości również zmienia się od $\overrightarrow{v}\left(t\right)$ do $\overrightarrow{v}\left(t+\mathrm{\Delta }t\right)\mathrm{,}$ ale jego wartość jest stała i jest on przez cały czas styczny do toru. Zmienia się jedynie kierunek prędkości w przestrzeni. W ruchu po okręgu wektor prędkości $\overrightarrow{v}\left(t\right)$ jest prostopadły do wektora położenia $\overrightarrow{r}\left(t\right)\mathrm{,}$ jeśli za początek układu współrzędnych przyjmiemy środek okręgu. Skoro tak, to trójkąty zbudowane z wektorów: położenia oraz $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$, a także prędkości i $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ są podobne. Co więcej, ponieważ $|\overrightarrow{r}\left(t\right)|=|\overrightarrow{r}\left(t+\mathrm{\Delta }t\right)|$ oraz $|\overrightarrow{v}\left(t\right)|=|\overrightarrow{v}\left(t+\mathrm{\Delta }t\right)|$, oba te trójkąty są równoramienne. Na podstawie tych własności możemy stwierdzić, że $\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }r}{r}$ lub inaczej $\mathrm{\Delta }v=\frac{v}{r}\mathrm{\Delta }r.$

Ilustracja 4.18 (a) Ruch cząstki po okręgu ze stałą szybkością, z zaznaczonymi wektorami położenia i prędkości w chwilach czasu $t$ i $t+\mathrm{\Delta }t.$ (b) Wektory prędkości budują trójkąt równoramienny. Oba zaznaczone na rysunku trójkąty są podobne. W granicy $\mathrm{\Delta }t\text{→}0$, wektor $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ jest skierowany do środka okręgu.

Wartość przyspieszenia możemy znaleźć, korzystając z definicji

Możemy też ustalić kierunek wektora przyspieszenia. Gdy $\mathrm{\Delta }t$, a więc i $\mathrm{\Delta }\theta$ zmierzają do zera, wektor $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ przyjmuje kierunek prostopadły do $\overrightarrow{v}.$ W granicy $\mathrm{\Delta }t\text{→}0\mathrm{,}$ $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ staje się prostopadłe do $\overrightarrow{v}.$ Ze względu na to, że $\overrightarrow{v}$ jest styczne do okręgu, przyspieszenie $\text{d}\overrightarrow{v}\text{/}\text{d}t$ musi być skierowane do środka okręgu. Podsumowując, cząstka poruszająca się po okręgu ze stałą szybkością ma przyspieszenie o wartości:

a kierunek wektora przyspieszenia jest do środka okręgu (Ilustracja 4.19). To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym (ang. centripetal acceleration), dlatego użyliśmy indeksu dolnego „d”. Określenie dośrodkowe jednoznacznie sugeruje kierunek wektora przyspieszenia do środka okręgu.

Ilustracja 4.19 Wektor przyspieszenia dośrodkowego jest zwrócony do środka okręgu, czyli wzdłuż promienia okręgu. Zaznaczono także wektor prędkości, który jest zawsze styczny do okręgu.

Prześledźmy kilka przykładów ilustrujących wzajemny związek między wartością prędkości, promieniem okręgu i przyspieszeniem dośrodkowym.

Przyspieszenie dośrodkowe może mieć bardzo szeroki zakres wartości zależnie od szybkości i promienia krzywizny toru. Typowe wartości przyspieszenia dośrodkowego dla różnych obiektów są przedstawione w tabeli.

Równania ruchu jednostajnego po okręgu

Ruch cząstki poruszającej się ruchem jednostajnym po okręgu może być opisany za pomocą wektora położenia $\overrightarrow{r}\left(t\right).$ Na Ilustracji 4.20 prezentujemy ruch cząstki poruszającej się po okręgu w lewo. W trakcie ruchu cząstki jej wektor położenia (wektor wodzący) zakreśla w pewnym czasie kąt $\theta$ liczony od osi $x$. Wektor położenia $\overrightarrow{r}\left(t\right)$ nachylony pod kątem $\theta$ do osi $x$ jest także pokazany na rysunku wraz z jego składowymi wzdłuż osi $x$ i $y$. Przyjmujemy za początek układu współrzędnych środek okręgu. Długość wektora położenia wynosi $A=|\overrightarrow{r}\left(t\right)|$ i jest to długość promienia okręgu. Rozłóżmy wektor na składowe:

Wielkość $\omega$ jest stałą i nazywa się częstością kątową (ang. angular frequency) cząstki. Częstość kątowa ma jednostkę radian (rad) na sekundę, czyli rad/s, i jest po prostu miarą tego, jaki kąt w radianach zatoczył w ciągu sekundy wektor wodzący cząstki poruszającej się po okręgu. Wobec tego kąt i częstość kątowa są ze sobą związane prostą relacją $\theta =\omega t$. Częstość kątową nazywamy też czasem częstością kołową lub po prostu częstością.

Częstość kątowa jest także związana z okresem $T$, czyli czasem jednego pełnego okrążenia cząstki (cząstka zatacza wtedy kąt $2\pi \text{rad}$), prostą relacją

Ilustracja 4.20 Wektor położenia cząstki w ruchu po okręgu i jego dwie składowe $x$ i $y$. Cząstka porusza się w lewo (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Kąt $\theta$ jest równy iloczynowi częstości kątowej $\omega$ (w radianach na sekundę) i czasu $t$.

Wektor prędkości łatwo znajdziemy, różniczkując funkcję czasu wektora położenia:

Na podstawie Ilustracji 4.20 można pokazać, że wektor prędkości jest styczny do okręgu w punkcie, w którym znajduje się cząstka, a jego długość wynosi $A\omega .$ Podobnie, różniczkując wektor prędkości, znajdziemy wektor przyspieszenia:

Z powyższego wzoru wynika, że długość wektora przyspieszenia wynosi $A{\omega }^2$ oraz że jest on skierowany przeciwnie do wektora położenia: $\overrightarrow{a}\left(t\right)=-{\omega }^2\overrightarrow{r}\left(t\right).$

Przykład 4.11

Ruch protonu po okręgu

Proton porusza się z szybkością $5\cdot {10}^6\text{m/s}$ na płaszczyźnie $xy$ po okręgu o promieniu $r=\mathrm{0,175}\text{m}$. W jakim położeniu znajduje się proton w chwili $t=2\cdot {10}^{-7}\mathrm{s}=200\mathrm{ns}$? Załóżmy, że w chwili początkowej $t=0$ położenie protonu wynosi $\mathrm{0,175}\mathrm{m}\cdot \hat{i}$ oraz kierunek ruchu protonu jest przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. Naszkicujemy trajektorię protonu.

Rozwiązanie

Na podstawie danych możemy obliczyć okres i częstość kątową protonu:

$$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi \cdot \mathrm{0,175}\mathrm{m}}{5\cdot {10}^6\mathrm{m}∕\mathrm{s}}=2\cdot {10}^7\mathrm{s}\text{,}$$

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{2\cdot {10}^{-7}\mathrm{s}}=\mathrm{2,856}\cdot {10}^7{\mathrm{s}}^{-1}\text{.}$$

Położenie protonu w chwili $t=2\cdot {10}^{-7}\mathrm{s}$ dane jest wektorem

$$\overrightarrow{r}\left(t\right)=Acos\left(\omega t\right)\cdot \hat{i}+Asin\left(\omega t\right)\cdot \hat{j}\text{,}$$

Na podstawie wyniku możemy stwierdzić, że w danym momencie proton znajduje się tuż pod osią $x$ na płaszczyźnie $xy$. Obrazujemy to na Ilustracji 4.21.

Ilustracja 4.21 Wektor położenia protonu w chwili $t=\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-7}\text{s}=200\text{ns}.$ Nakreślono szkic trajektorii protonu. Całkowity kąt, jaki przez ten czas zatoczy proton poruszający się po okręgu wynosi $\mathrm{5,712}\mathrm{rad}$ i jest tylko trochę mniejszy od kąta pełnego.

Znaczenie

Wybraliśmy położenie początkowe protonu na osi $x$. Jest to wybór całkowicie arbitralny. W przypadku innej pozycji początkowej po czasie $t$ = 200 ns mielibyśmy inne niż obliczone powyżej położenie końcowe protonu. Kąt zatoczony przez wektor wodzący protonu byłby jednak taki sam.

Ruch zmienny po okręgu

Ruch po okręgu nie musi zachodzić tylko ze stałą szybkością. Cząstka, poruszając się po okręgu, może przyspieszać lub zwalniać, a więc mieć przyspieszenie w kierunku ruchu.

W ruchu jednostajnym po okręgu cząstka poruszała się z prędkością o wartości stałej w czasie. Zmianie ulegał jedynie kierunek i zwrot wektora, z czym wiązaliśmy przyspieszenie dośrodkowe. Jeżeli również wartość prędkości cząstki ulega zmianie, to musimy wprowadzić do opisu ruchu takiej cząstki dodatkowe przyspieszenie, którego kierunek jest styczny do okręgu. Z takim przyspieszeniem mamy do czynienia np. w dowolnym punkcie na łopatce rozpędzającego się wirnika w silniku elektrycznym albo na powierzchni wirującego bąka (zabawki), który zmienia swoją szybkość obrotu. Na początku tej sekcji pokazaliśmy, że przyspieszenie dośrodkowe jest odpowiedzialne za zmianę kierunku i zwrotu wektora prędkości w czasie. Gdy zmienia się także szybkość cząstki ma ona przyspieszenie styczne (ang. tangential acceleration), które wyraża szybkość zmian wartości prędkości w czasie:

Kierunek przyspieszenia stycznego jest styczny do okręgu (wzdłuż wektora prędkości), natomiast przyspieszenie dośrodkowe jest zwrócone radialnie do środka okręgu. Wobec tego cząstka w ruchu zmiennym po okręgu ma całkowite przyspieszenie (ang. total acceleration), które jest sumą wektorową przyspieszenia stycznego i dośrodkowego:

Wszystkie trzy wektory przyspieszenia są pokazane na Ilustracji 4.22. Zwróć uwagę, że wektory ${\overrightarrow{a}}_s$ oraz ${\overrightarrow{a}}_d$ są do siebie prostopadłe ‒ wektor ${\overrightarrow{a}}_d$ jest zwrócony do środka okręgu, a wektor ${\overrightarrow{a}}_s$ jest styczny do okręgu. Przyspieszenie całkowite $\overrightarrow{a}$ jest skierowane pod pewnym kątem pomiędzy wektorem ${\overrightarrow{a}}_d$ i ${\overrightarrow{a}}_s$.

Ilustracja 4.22 Przyspieszenie dośrodkowe jest skierowane wzdłuż promienia okręgu do środka okręgu, natomiast przyspieszenie styczne ma kierunek styczny do okręgu w punkcie, w którym znajduje się cząstka. Oba wektory są zaczepione w punkcie, gdzie znajduje się cząstka. Wektor przyspieszenia całkowitego jest sumą tych dwóch prostopadłych do siebie wektorów przyspieszeń.

Przykład 4.12

Całkowite przyspieszenie w ruchu po okręgu

Cząstka porusza się po okręgu o promieniu $r$ = 2,0 m. W przedziale czasu od $t$ = 1,5 s do $t$ = 4,0 s jej szybkość zmienia się w czasie zgodnie ze wzorem

$$v\left(t\right)=c_1-\frac{c_2}{t^2}\mathrm{,}{c}_1=\mathrm{4,0}\text{m/s}\mathrm{,}{c}_2=\mathrm{6,0}\text{m}\cdot \text{s}.$$

Jakie jest całkowite przyspieszenie cząstki w chwili $t$ = 2,0 s?

Strategia rozwiązania

Z podanej zależności od czasu obliczymy szybkość i, mając promień okręgu, łatwo znajdziemy przyspieszenie dośrodkowe. Jego kierunek jest oczywiście do środka okręgu. Aby obliczyć wartość przyspieszenia stycznego, musimy najpierw wyliczyć pochodną po czasie funkcji szybkości od czasu, $|v\left(t\right)|$, zgodnie z definicją Równania 4.32, i dopiero wtedy podstawić za $t$ = 2,0 s. Wartość przyspieszenia całkowitego obliczymy jako pierwiastek z sumy kwadratów obu przyspieszeń.

Rozwiązanie

Obliczamy przyspieszenie dośrodkowe

$$v\left(\mathrm{2,0}\text{s}\right)=\left(\mathrm{4,0}-\frac{\mathrm{6,0}}{{\left(\mathrm{2,0}\right)}^2}\right)\text{m/s}=\mathrm{2,5}\text{m/s}\mathrm{,}$$

$$a_d=\frac{v^2}{r}=\frac{{\left(\mathrm{2,5}\text{m/s}\right)}^2}{\mathrm{2,0}\text{m}}=\mathrm{3,1}{\text{m/s}}^2.$$

Dzięki temu, że w zadaniu podano zależność szybkości od czasu, to możemy od razu różniczkować. Przyspieszenie styczne wynosi

$$a_s=\frac{\text{d}|\overrightarrow{v}|}{\text{d}t}=\frac{2c_2}{t^3}=\frac{\mathrm{12,0}}{{\left(\mathrm{2,0}\right)}^3}{\text{m/s}}^2=\mathrm{1,5}{\text{m/s}}^2.$$

Obliczamy przyspieszenie całkowite

$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3\mathrm{,}{1}^2+1\mathrm{,}{5}^2}{\text{m/s}}^2=\mathrm{3,44}{\text{m/s}}^2$$

oraz kąt jaki tworzy wektor przyspieszenia całkowitego ze styczną do okręgu $\theta =\text{arctg}\left(\frac{\mathrm{3,1}}{\mathrm{1,5}}\right)={64}^{\circ }$. Spójrz na Ilustrację 4.23.

Ilustracja 4.23 Wektory przyspieszenia stycznego i dośrodkowego. Przyspieszenie całkowite $\overrightarrow{a}$ jest sumą wektorową tych dwóch przyspieszeń.

Znaczenie

Obliczenie przyspieszenia stycznego było w tym przykładzie proste – mieliśmy podaną zależność szybkości od czasu, którą od razu mogliśmy różniczkować. Gdyby podany był wektor prędkości jako funkcja czasu, to najpierw musielibyśmy obliczyć jego długość w funkcji czasu i dopiero wtedy różniczkować (przypuszczalnie dość niewygodną zależność pierwiastkową), a na końcu podstawić w miejsce czasu. Wektory przyspieszenia stycznego i dośrodkowego można wygodniej opisać w biegunowym układzie współrzędnych, nazywanym też polarnym. Jego wersory są skierowane w kierunku radialnym i stycznym do kierunku ruchu cząstki i, co łatwo zauważyć, same zmieniają swoje położenie w czasie. Taki układ współrzędnych, często używany do opisu ruchu po zakrzywionych torach, będziemy wykorzystywać w dalszych partiach podręcznika.