3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy

Przyspieszenie grawitacyjne

Charakterystycznym i nieoczywistym faktem dotyczącym spadających obiektów, przy pominięciu oporu powietrza i tarcia, jest to, że wszystkie spadają z danej wysokości w kierunku środka Ziemi z jednakowym stałym przyspieszeniem, niezależnie od masy i rozmiarów. Ten doświadczalny fakt jest na pierwszy rzut oka dla nas nieoczywisty, bo na co dzień doświadczamy oporów powietrza nieuchronnie, przez co wydaje się nam, że lekkie ciała muszą spadać wolniej niż ciężkie. Aż do czasów Galileusza (1564–1642) ludzie wierzyli, że ciała o większej masie mają większe przyspieszenie w spadku swobodnym. Dziś wiemy, że nie jest to prawdą. W warunkach próżni (bez oporu powietrza) wszystkie ciała spadają z tej samej wysokości na powierzchnię dokładnie w tym samym czasie – spójrz na Ilustrację 3.26.

Ilustracja 3.26 Młotek i piórko rzucone w próżni (bez oporu powietrza) doznają tego samego przyspieszenia. Jest to cecha spadku swobodnego nie tylko na Ziemi, czego astronauta David Scott dowiódł w 1971 roku na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne wynosi tylko $\mathrm{1,67}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ i nie ma atmosfery.

W rzeczywistym świecie opory powietrza powodują, że lżejsze obiekty spadają wolniej niż obiekty o tych samych rozmiarach, ale cięższe. Siła oporu zależy m. in. od przekroju poprzecznego danego ciała. Na przykład futbolówka upadnie pierwsza przed piłką gumową o tym samym rozmiarze, ale mniejszym ciężarze, mimo że zostały upuszczone z tej samej wysokości (to może być trudne do dostrzeżenia, jeśli wysokość jest niewielka). Opory powietrza zawsze przeciwdziałają ruchowi ciała w powietrzu. Podobnie tarcie między powierzchniami styku dwóch ciał – np. kamienia i wody w jeziorze czy opony i asfaltu – przeciwdziała ruchowi ciał.

W wyidealizowanych przypadkach rozpatrywanych w początkowych rozdziałach podręcznika, gdy pomijamy opory i tarcie, spadek ciała w polu grawitacyjnym nazywamy spadkiem swobodnym. Przyczyną ruchu ciał spadających w kierunku środka Ziemi jest siła grawitacji. Przyspieszenie, które jest rezultatem występowania tej siły, nazywamy przyspieszeniem grawitacyjnym. Przyspieszenie grawitacyjne jest zawsze stałe i równe dla wszystkich ciał, o ile spadek odbywa się w pobliżu powierzchni Ziemi, dlatego możemy go użyć w kinematycznych równaniach ruchu wszystkich ciał poruszających się w polu grawitacyjnym Ziemi. Dzięki tej własności potrafimy analizować całą gamę ciekawych przypadków ruchu.

Przyspieszenie grawitacyjne jest na tyle ważną wielkością fizyczną, że przypisujemy jej własny symbol $g$. Jego wartość jest stała (niezmienna w czasie) w każdym punkcie na Ziemi i dla całej kuli ziemskiej wynosi średnio

Tak naprawdę $g$ zmienia się od $\mathrm{9,78}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$ do $\mathrm{9,83}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$ w zależności od szerokości geograficznej, wysokości nad powierzchnią Ziemi, struktury geologicznej Ziemi w danym obszarze, lokalnej topografii terenu itp. Mimo to, dla potrzeb tego podręcznika przyjmiemy średnią wartość typową dla obszaru Polski równą $\mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$, której będziemy używać we wszystkich zadaniach, o ile nie zasygnalizujemy, że jest inaczej. Jeśli pominiemy wszystkie te wymienione powyżej efekty, a także wpływ ruchu obrotowego Ziemi na wielkość przyspieszenia ciał, możemy dodatkowo przyjąć za kierunek wektora przyspieszenia grawitacyjnego – kierunek „w dół” (czyli do środka Ziemi). W istocie, sformułowanie kierunek pionowy jest zdefiniowane przez kierunek $g$. Pamiętaj, że przyspieszenie $a$, które będziemy wstawiać do równań ruchu, może mieć wartość $+g$ lub $-g$, w zależności od przyjętego układu współrzędnych. Jeśli przyjmiemy kierunek „do góry” jako dodatni, to $a=-g=-\mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$, natomiast jeśli dodatni będzie kierunek „w dół”, to $a=g=\mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$.

Ruch jednowymiarowy w polu grawitacyjnym

W ruchu pionowym ciał pod wpływem przyspieszenia grawitacyjnego będziemy konsekwentnie pomijać wpływ oporu powietrza i tarcia. Oznacza to, że wektor prędkości będzie zawsze skierowany pionowo (do góry lub w dół). Jeżeli ciało zostało upuszczone z pewnej wysokości, to jego prędkość początkowa wynosi zero (dotyczy spadku swobodnego). Jeśli ciało zostało rzucone (w górę lub w dół), to ma prędkość początkową, której wartość i kierunek musimy uwzględnić w równaniach ruchu. Zakładamy, że prędkość początkowa, jaką nadano rzuconemu ciału, jest taka sama w momencie tuż po wyrzuceniu ciała w powietrze (np. tuż po opuszczeniu ręki rzucającego lub lufy karabinu). Innymi słowy, jest to ta sama prędkość, jaką ma ciało już w ruchu, bez kontaktu z jakimkolwiek innym ciałem. Położenie ciała jest tym razem mierzone w pionie, a nie tak jak zazwyczaj dotąd – w poziomie, dlatego oznaczymy je przez $y$.

Przykład 3.14

Rzut pionowy piłki

Ilustracja 3.27 pokazuje położenia piłki w 1-sekundowych odstępach czasu, rzuconej z prędkością początkową 4,9 m/s pionowo w dół z dachu budynku o wysokości 98 m.

1. Po jakim czasie piłka dotrze do ziemi?
2. Z jaką prędkością upadnie na ziemię?

Ilustracja 3.27 Położenia i prędkości piłki rzuconej pionowo w dół z szybkością 4,9 m/s, mierzone w odstępach 1-sekundowych.

Strategia rozwiązania

Obieramy układ współrzędnych, w taki sposób, że jego początek znajduje się w dowolnym punkcie dachu, natomiast dodatnia półoś $y$ skierowana jest w górę, a ujemna – w dół. Do obliczenia czasu, po którym położenie piłki wyniesie –98 m, użyjemy Równania 3.16, kładąc $y_0=0$, $v_0=-\mathrm{4,9}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$ oraz $g=\mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$.

Rozwiązanie

1. Wstawiamy dane do równania:
   $$\begin{array}{rl}y& =y_0+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2,\\ -\mathrm{98,0}\mathrm{m}& =0\mathrm{m}-\mathrm{4,9}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}\cdot t-\frac{1}{2}\cdot \mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\cdot t^2.\end{array}$$
   
   Po uproszczeniach otrzymujemy:
   
   $$t^2+t-20=0.$$
   
   To równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki: $t=-\mathrm{5,0}\mathrm{s}$ oraz $t=\mathrm{4,0}\mathrm{s}$. Interesuje nas tylko dodatnie rozwiązanie, bo przyjęliśmy $t=0$ jako czas, gdy piłka została rzucona z dachu. (Rozwiązanie $t=-\mathrm{5,0}\mathrm{s}$ jest w istocie czasem, po którym piłka rzucona z ziemi pionowo do góry z odpowiednią prędkością przeleci na wysokości dachu z szybkością 4,9 m/s już w swoim locie w dół – po osiągnięciu wysokości maksymalnej i zawróceniu).
2. Korzystając z Równania 3.15, łatwo znajdziemy prędkość końcową
   
   $$v=v_0-gt=-\mathrm{4,9}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}-\mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{4,0}\mathrm{s}=-\mathrm{44,1}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}.$$

Znaczenie

W przypadkach, gdy równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, aby wybrać poprawne, musimy zastanowić się nad fizycznym sensem każdego z nich. Skoro wybraliśmy $t=0$ jako czas, w którym piłka rozpoczęła swój ruch, rozwiązanie ujemne oznacza czas przed wyrzuceniem piłki, który nie ma dla nas fizycznego znaczenia. Zwróć uwagę, że w rzeczywistości gdy piłka uderza w ziemię, jej prędkość nie spada natychmiastowo do zera. Od momentu kontaktu piłki z podłożem przez chwilę do całkowitego zatrzymania piłki działa na nią przyspieszenie inne niż $g$. Zauważ też, jak ważny jest prawidłowy wybór początku i kierunku osi układu współrzędnych oraz konsekwentny wybór znaków $g$ w równaniach ruchu.

Przykład 3.15

Ruch piłki baseballowej w pionie

Pałkarz uderza piłkę tak, że leci ona pionowo w górę i po 5,0 s zostaje złapana przez łapacza, który szybko zastąpił na stanowisku pałkarza (Ilustracja 3.28).

1. Jaką prędkość początkową pałkarz nadał piłce?
2. Na jaką maksymalną wysokość wzniosła się piłka?
3. Jak długo piłka wznosiła się do momentu osiągnięcia wysokości maksymalnej?
4. Jakie przyspieszenie miała piłka na wysokości maksymalnej?
5. Jaką prędkość miała piłka w momencie złapania jej przez drugiego zawodnika? Załóż, że wysokość, na jakiej złapano piłkę, jest równa wysokości wyrzucenia jej do góry.

Ilustracja 3.28 Piłka baseballowa uderzona pionowo do góry zostaje złapana przez łapacza po 5,0 s.

Strategia rozwiązania

Wybierz układ współrzędnych z osią $y$ skierowaną do góry i początkiem w punkcie wyrzutu i złapania piłki.

Rozwiązanie

1. Wykorzystujemy Równanie 3.16:
   
   $$y=y_0+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2,$$
   
   
   $$0\mathrm{m}=0\mathrm{m}+v_0\cdot \mathrm{5,0}\mathrm{s}-\frac{1}{2}\cdot \mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\cdot {\left(\mathrm{5,0}\mathrm{s}\right)}^2,$$
   
   co pozwala obliczyć prędkość początkową $v_0=\mathrm{24,5}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$.
2. Na wysokości maksymalnej $v=0$, po podstawieniu $v_0=\mathrm{24,5}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$ do Równania 3.17 otrzymujemy
   $$v^2=v_0^2-2g\left(y-y_0\right),$$
   
   
   $$0={\left(\mathrm{24,5}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}\right)}^2-2\cdot \mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\cdot \left(y-0\right),$$
   
   oraz
   
   $$y=\mathrm{30,6}\mathrm{m}.$$
3. Do obliczenia czasu, po którym $v=0$, użyjemy Równania 3.15:
   
   $$v=v_0-gt,$$
   
   
   $$0\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}=\mathrm{24,5}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}-\mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\cdot t.$$
   
   To daje nam $t=\mathrm{2,5}\mathrm{s}$. Skoro piłka wznosi się do góry przez 2,5 s, także czas jej spadku na ziemię wynosi 2,5 s.
4. Przyspieszenie wynosi $\mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$ w każdym punkcie toru lotu piłki, także na wysokości maksymalnej. W momencie osiągnięcia wysokości maksymalnej wartość prędkości wynosi co prawda zero, ale następuje zmiana zwrotu prędkości na przeciwny. Po osiągnięciu wysokości maksymalnej, kierunek i zwrot wektora prędkości jest zgodny z kierunkiem i zwrotem przyspieszenia.
5. Prędkość po czasie $t=\mathrm{5,0}\mathrm{s}$ w ruchu w dół może być wyznaczona dzięki [link]:
   $$\begin{array}{rl}v& =v_0-gt\\ & =\mathrm{24,5}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}-\mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{5,0}\mathrm{s}\\ & =-\mathrm{24,5}\mathrm{s}.\end{array}$$

Znaczenie

Piłka powraca z prędkością o takiej samej wartości, z jaką została wyrzucona do góry. Jest to ogólna cecha każdego rzutu pionowego do góry z dowolną prędkością początkową. Zauważ, że mimo iż ruch piłki ma dwa etapy (wznoszenie i opadanie), to w kontekście równań ruchu potraktowaliśmy go w jednolity sposób. Użyliśmy tylko jednego ogólnego równania ruchu, bez dzielenia ruchu na etap w górę i etap w dół. Ponieważ tak zrobiliśmy, prędkość w ruchu w dół jest ujemna, co jest zgodne z założonym kierunkiem osi. Pamiętaj, że ruch ciała w górę (oddalanie od powierzchni) możemy traktować tak samo jak spadek swobodny (ruch w stronę powierzchni) w kontekście równań ruchu.

Przykład 3.16

Rakieta z boosterem

Mała rakieta do celów eksperymentalnych wyposażona jest w dodatkową rakietę wzmacniającą (ang. booster). Na wysokości 5,0 km i po osiągnięciu prędkości 200,0 m/s booster zostaje odrzucony i rakieta w dalszym locie już nie przyspiesza.

1. Na jaką maksymalną wysokość wzniesie się odrzucony booster?
2. Jaką prędkość ma booster na wysokości 6,0 km? Pomiń opory powietrza.

Ilustracja 3.29 Po osiągnięciu pewnej wysokości i prędkości rakieta odrzuca dodatkowy człon przyspieszający. Jaką wysokość i prędkość on osiągnie?

Strategia rozwiązania

Wybieramy układ współrzędnych tak, aby przyspieszenie grawitacyjne skierowane w dół było ujemne. Znamy początkowe położenie i prędkość boostera, odpowiednio 5,0 km i 200,0 m/s w górę (booster porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym z prędkością początkową). W punkcie odpalenia boostera zaczepiamy początek układu. Wiemy, że po osiągnięciu maksymalnej wysokości prędkość boostera spada do zera. Wykorzystując te dane, decydujemy się na wybór Równania 3.17, które pozwoli nam bezpośrednio obliczyć wysokość maksymalną. Z kolei Równanie 3.17 pozwoli nam znaleźć prędkość na wysokości 6,0 km.

Rozwiązanie

1. Do równania $v^2=v_0^2-2g(y-y_0)$ w [link] podstawiamy $v=0$, $y_0=0$ i obliczamy $y$:
   
   $$y=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{{\left(\mathrm{200,0}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot \mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2}=2\mathrm{038,7}\mathrm{m}.$$
   
   Ten wynik to wysokosć maksymalna boostera w wybranym przez nas układzie współrzędnych, którego początek przyjęliśmy w punkcie odrzucenia boostera. Całkowita wysokość maksymalna (liczona względem ziemi) wynosi ok. 7,0 km.
2. Wysokość całkowita 6,0 km nad ziemią oznacza $y=1000\mathrm{m}$ w naszym układzie współrzędnych. Ponadto wiemy, że $y_0=0$, $v_0=\mathrm{200,0}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$.
   Na podstawie Równania 3.17 mamy
   
   $$v^2={\left(\mathrm{200,0}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}\right)}^2-2\cdot \mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\cdot 1000\mathrm{m}⟹v=\pm \mathrm{142,8}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}.$$

Znaczenie

Otrzymaliśmy dodatnie i ujemne rozwiązanie części (b). Ponieważ przyjęliśmy kierunek w górę jako dodatni kierunek osi układu współrzędnych, to wynik +142,8 m/s odpowiada prędkości boostera na wysokości 6 000 m w ruchu w górę, natomiast wynik ujemny dotyczy sytuacji, gdy booster już spada po osiągnięciu wysokości maksymalnej. Oczywiście znajduje się on na wysokości 6 000 m dwukrotnie. Ten przykład jest ważny, bo pokazuje, że początek naszego układu współrzędnych możemy umieścić na dowolnej wysokości nad Ziemią, niekoniecznie na jej powierzchni. Musimy jednak być ostrożni i uwzględniać tę dodatkową wysokość w naszych obliczeniach. Moglibyśmy postąpić inaczej i przyjąć początek układu na powierzchni Ziemi (standardowo), ale wtedy do równań musielibyśmy dopisać wysokość początkową równą 5 000 m.