William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

obliczać średnie przyspieszenie w ruchu między dwoma punktami;
znajdować przyspieszenie chwilowe, mając funkcję zależności prędkości od czasu;
wyjaśniać wektorowy charakter chwilowej prędkości i przyspieszenia;
wyjaśniać różnice między przyspieszeniem chwilowym a średnim;
znajdować przyspieszenie chwilowe w danym momencie na podstawie wykresu zależności prędkości od czasu.

Zagadnienie przyspieszenia dotyczy zarówno naszego życia codziennego, jak i szerokiego spektrum zjawisk w przestrzeni kosmicznej, czy mikroświata w skali subatomowej. W rozumieniu potocznym przyspieszać oznacza rozpędzać się, zwiększać szybkość. Doskonale to rozumiemy podczas jazdy samochodem. Przyspieszamy przy wciskaniu pedału gazu, z drugiej strony, gdy wciskamy pedał hamulca – zwalniamy, hamujemy, co też jest związane z pojęciem przyspieszenia. Im większe jest przyspieszenie, tym większa jest zmiana prędkości w danym przedziale czasu. Przyspieszenie jest powszechnym zjawiskiem w fizyce eksperymentalnej. W eksperymentach zderzeń cząstek elementarnych, z użyciem na przykład liniowego akceleratora, są one rozpędzane do olbrzymich prędkości i zderzane ze sobą. Wyniki zderzeń są badane i dostarczają informacji np. o budowie świata subatomowego lub początkach Wszechświata. Promieniowanie kosmiczne rozchodzące się w przestrzeni jest także złożone z cząstek przyspieszonych do wielkich energii we wnętrzu supernowych (wybuchające olbrzymie gwiazdy) lub w aktywnych jądrach galaktyk. Z punktu widzenia techniki ważne jest poznanie mechanizmów przyspieszania takich cząstek, aby móc konstruować osłony antyradiacyjne w statkach kosmicznych, które będą chronić ludzi i elektronikę przed wysoce przenikliwym promieniowaniem.

Przyspieszenie średnie

Formalna definicja przyspieszenia jest zbieżna z określeniami, które podaliśmy wyżej. Ujmijmy ją jednak w sposób matematyczny.

Przyspieszenie średnie

Przyspieszenie średnie jest zmianą wektora prędkości w pewnym przedziale czasu. W ruchu po linii prostej zapiszemy

\bar{a} = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v_{k} - v_{0}}{t_{k} - t_{0}},

3.8

gdzie $\bar{a}$ jest wektorem przyspieszenia średniego, $v$ jest wektorem prędkości, natomiast $t$ jest czasem (kreska nad $a$ jest oznaczeniem średniego przyspieszenia).

Ponieważ przyspieszenie jest prędkością wyrażoną w jednostkach metr na sekundę, podzieloną przez czas, w sekundach, to jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu: ${m/s}^{2}$ . Dosłownie możemy rozumieć przyspieszenie jako miarę tego, o ile metrów na sekundę prędkość zmienia się w ciągu każdej sekundy. Przypomnij sobie, że prędkość jest wektorem – ma wartość oraz kierunek i zwrot. Zatem zmiana prędkości może oznaczać zmianę wartości prędkości (szybkości), ale też zmianę kierunku i zwrotu. Przykładowo, biegacz, który z szybkością 10 km/h biegnie na wschód, następnie zwalnia, zatrzymuje się i rusza w przeciwną stronę (na zachód) z szybkością również 10 km/h, doznał zmiany prędkości, mimo że wartość prędkości się nie zmieniła – w obu kierunkach jest taka sama. Zatem przyspieszenie występuje wtedy, gdy zmianie ulega wartość (zwiększa się lub zmniejsza) lub kierunek i zwrot prędkości, albo gdy wszystkie zmieniają się jednocześnie.

Przyspieszenie jako wektor

Przyspieszenie jest wektorem, którego kierunek jest równoległy do kierunku zmiany wektora prędkości $Δ v$ . Ponieważ prędkość jest wektorem, może zmieniać się jej wartość lub kierunek i zwrot lub wszystkie naraz. W takim razie przyspieszenie jest zmianą wartości i/lub kierunku prędkości w czasie.

Pamiętaj, że chociaż przyspieszenie ma kierunek zmiany prędkości, to nie zawsze jest zwrócone w kierunku ruchu. Gdy ciało hamuje w ruchu prostoliniowym, wektor przyspieszenia jest przeciwny do kierunku, w którym ciało się porusza. Takie przyspieszenie (o zwrocie przeciwnym do wektora prędkości, przeciwnie do ruchu) nazywamy często opóźnieniem – patrz [link]. Rozumiemy je jednak jako przyspieszenie o zwrocie przeciwnym do kierunku ruchu, albo także jako ujemne przyspieszenie (piszemy jego wartość ze znakiem minus).

Zdjęcie pokazuje kolejkę metra wjeżdżającą na stację.

Ilustracja 3.10 Pociąg metra w Warszawie zwalnia, gdy wjeżdża na stację. Jego przyspieszenie jest zwrócone przeciwnie do kierunku ruchu.

Wyrażenie opóźnienie może powodować wiele nieporozumień – nie jest to wektor i nie ma kierunku ani zwrotu względem wybranego układu współrzędnych – dlatego raczej nie będziemy go używać w naszej analizie, chyba że w klarownych sytuacjach. Przyspieszenie jest wektorem i względem osi układu współrzędnych może mieć dodatni lub ujemny znak, zależnie od naszego wyboru zwrotu osi. W przypadku pociągu na Ilustracji 3.10 przyspieszenie ma przeciwny zwrot niż oś wybranego układu współrzędnych, dlatego powiemy, że pociąg doznaje ujemnego przyspieszenia.

Jeżeli ciało będące w ruchu ma prędkość, której zwrot jest zgodny z kierunkiem ruchu ciała oraz doznaje stałego w czasie ujemnego przyspieszenia, to w końcu zatrzyma się i zawróci, a po odpowiednio długim czasie nawet minie z powrotem punkt początkowy – tym razem w ruchu w przeciwnym kierunku. Pokazuje to Ilustracja 3.11.

Rysunek pokazuje trzy wektory: a – zwrócony na zachód, vf – zwrócony na zachód i v0 – zwrócony na wschód.

Ilustracja 3.11 Ciało poruszające się w prawo doznaje ujemnego przyspieszenia i hamuje, następnie zatrzymuje się i zawraca. Po odpowiednio długim czasie mija z powrotem punkt początkowy poruszając się w lewo.

Przykład 3.5

Obliczanie przyspieszenia średniego: Start konia wyścigowego

Koń wyścigowy wypuszczony z boksu przyspiesza od zera do 15,0 m/s w czasie 1,80 s. Jakie jest jego średnie przyspieszenie?

Zdjęcie pokazuje dwóch dżokejów na koniach wyścigowych, które rozpędzają się od bramek.

Ilustracja 3.12 Koń wyścigowy przyspiesza po opuszczeniu bramki startowej.

Strategia rozwiązania

Naszkicujmy najpierw sytuację fizyczną i dokonajmy wyboru układu współrzędnych – Ilustracja 3.13. To zadanie jest na tyle proste, że nie musielibyśmy tego robić, ale taka wizualizacja zawsze pomaga w lepszym zrozumieniu problemu i poprawnym rozwiązaniu. Zauważ, że wybraliśmy wschód i północ jako dodatnie kierunki osi układu współrzędnych. W takim układzie prędkość jest ujemna – zakładamy bieg konia w lewo (na zachód).

Rysunek przedstawia trzy wektory: a ma nieznaną wartość i jest skierowane na zachód, vf wynosi – 15 metrów na sekundę i jest skierowane na zachód, a v0 wynosi zero.

Ilustracja 3.13 Na schemacie wizualizujemy problem fizyczny, dokonujemy wyboru układu współrzędnych i określamy, co jest niewiadomą do wyznaczenia.

Na podstawie danych w zadaniu znajdziemy $Δ v$ oraz $Δ t$ i dzięki temu policzymy średnie przyspieszenie $\bar{a} = Δ v / Δ t = (v_{k} - v_{0}) / (t_{k} - t_{0})$ .

Rozwiązanie

Wypiszmy najpierw dane podane w treści zadania:

v_{0} = 0

,

v_{k} = - 15,0 m / s

(ujemny znak oznacza kierunek w lewo, na zachód),

Δ t = 1,80 s

.

Teraz obliczmy zmianę prędkości konia. Ponieważ startuje on z prędkością początkową równą zero, to zmiana prędkości jest równa prędkości końcowej:

Δ v = v_{k} - v_{0} = v_{k} = - 15,0 m / s .

Wreszcie możemy podstawić znane wielkości ( $Δ v$ i $Δ t$ ) do wzoru na nieznane przyspieszenie $\overset{–}{a}$ :

\overset{–}{a} = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{- 15,0 m / s}{1,80 s} = - 8,33 m / s^{2} .

Znaczenie

Ujemny znak przyspieszenia oznacza, że jest ono skierowane na zachód, w lewo. Jego wartość równa

8,33 m / s^{2}

mówi nam, że koń zwiększa swoją prędkość o 8,33 m/s w ciągu każdej sekundy, stale poruszając się w lewo. Zwróć uwagę, że obliczone przez nas przyspieszenie jest rzeczywiście średnie. Ruch konia nie jest płynny (powiemy: nie jest jednostajnie przyspieszony). Jak się dowiemy w dalszych rozdziałach, przyspieszenie o takiej wartości, działające na jeźdźca, wymagałoby zadziałania na niego siłą równą niemal jego ciężarowi.

Sprawdź, czy rozumiesz 3.3

Protony są przyspieszane w akceleratorze liniowym od zera do $2,0 \cdot 10^{7} m / s$ w czasie $10^{- 4} s$ . Jakie jest średnie przyspieszenie protonów?

Przyspieszenie chwilowe

Przyspieszenie chwilowe $a$ , inaczej przyspieszenie w danej chwili czasu, definiujemy analogicznie do prędkości chwilowej z poprzedniej sekcji. Mianowicie obliczamy średnią prędkość między dwoma punktami odległymi w czasie o $Δ t$ i żądamy, by $Δ t$ zdążało do zera. W efekcie otrzymujemy pochodną po czasie funkcji prędkości $v (t)$ . Właśnie taką wielkość nazywamy przyspieszeniem chwilowym i w sposób matematyczny wyrażamy jako

a (t) = \frac{d}{d t} v (t) .

3.9

Zatem podobnie jak prędkość jest pochodną położenia po czasie, tak przyspieszenie definiujemy jako pochodną prędkości po czasie. Definicję tę możemy przedstawić graficznie, także w podobny sposób jak poprzednio. Na Ilustracji 3.14 przyspieszenie chwilowe w chwili $t_{0}$ jest nachyleniem prostej stycznej do wykresu zależności prędkości od czasu w punkcie $t_{0}$ . Widzimy też, że przyspieszenie średnie $\bar{a} = Δ v / Δ t$ staje się przyspieszeniem chwilowym wraz z $Δ t$ zmierzającym do zera. W części (a) rysunku widzimy, że przyspieszenie jest zero w punkcie, dla którego krzywa ma maksimum. Styczna ma w tym punkcie nachylenie równe zero. Także w części (b) widzimy, że styczna ma zerowe nachylenie w minimum. Tam także przyspieszenie wynosi zero. Rozumując odwrotnie, możemy powiedzieć, że zerowe wartości przyspieszenia są wyznacznikiem minimum lub maksimum zależności prędkości od czasu.

Wykres A pokazuje zależność prędkości od czasu. Prędkość rośnie od t1 do t3 i t3. Osiąga maksimum w t0, potem maleje to t4 i nadal maleje do t5 i t6. Nachylenie stycznej w t0 jest miarą przyspieszenia chwilowego. Wykres B pokazuje przebieg analogiczny do A, ale z minimum w t0. Przyspieszenie chwilowe w t0 zaznaczono jako nachylenie stycznej w t0.

Ilustracja 3.14 Na wykresie prędkości od czasu przyspieszenie jest nachyleniem stycznej. (a) Przyspieszenia styczne

\bar{a} = Δ v / Δ t = (v_{k} - v_{0}) / (t_{k} - t_{0})

w przedziałach czasu

Δ t = t_{6} - t_{1}

,

Δ t = t_{5} - t_{2}

oraz

Δ t = t_{4} - t_{3}

. Gdy

Δ t → 0

, przyspieszenie średnie staje się przyspieszeniem chwilowym w punkcie

t_{0}

. Na rysunku (a) pokazano przyspieszenie w chwili odpowiadającej maksimum krzywej prędkości w funkcji czasu. Przyspieszenie, będące współczynnikiem nachylenia stycznej do krzywej, jest w tym punkcie równe zero. W każdym innym punkcie nachylenie stycznej byłoby różne od zera, zatem i przyspieszenie byłoby niezerowe. To samo przedstawiono na rysunku (b), ale dla punktu, w którym krzywa ma minimum.

By lepiej zrozumieć graficzną interpretację przyspieszenia, rozważmy dwa przykłady. W pierwszym odwołamy się do znanej z wcześniejszych przykładów zależności prędkości od czasu (Przykład 3.3), by znaleźć zależność przyspieszenia od czasu. Liniowa zależność prędkości od czasu jest pokazana na Ilustracji 3.15(a). Odpowiednia zależność przyspieszenia od czasu została pokazana na Ilustracji 3.15(b). W tym prostym przykładzie prędkość w funkcji czasu jest linią prostą o stałym nachyleniu, dlatego przyspieszenie jest stałe. W następnym przykładzie zależność ta będzie bardziej złożona.

Wykres A pokazuje prędkość w metrach na sekundę w funkcji czasu w sekundach. Wykres jest liniowy i ma stałe nachylenie w dół. Wykres B pokazuje przyspieszenie w metrach na sekundę do kwadratu w funkcji czasu w sekundach. Wykres jest stały o wartości -6.

Ilustracja 3.15 (a, b) Zależność prędkości od czasu jest liniowa i ma stałe, ujemne nachylenie (a), które jest równe przyspieszeniu pokazanemu na rysunku (b).

W przypadku gdy znamy funkcję opisującą zależność prędkości od czasu $v (t)$ , możemy obliczyć przyspieszenie chwilowe $a (t)$ w dowolnym momencie ruchu ciała, używając definicji (Równanie 3.9).

Przykład 3.6