William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora

Cel dydaktyczny

W tym rozdziale nauczysz się:

opisywać wektory leżące w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej przy pomocy wersorów osi;
jakie są różnice między składową wektora a wartością tej składowej;
obliczać moduł wektora na podstawie jego składowych;
określać kąt skierowany wektora leżącego na płaszczyźnie;
jaki jest związek między współrzędnymi biegunowymi i współrzędnymi kartezjańskimi.

Wektory zazwyczaj opisuje się, podając ich współrzędne w układzie współrzędnych (ang. coordinate system). Nawet w życiu codziennym mamy skłonność do opisu rzeczywistości przy użyciu prostokątnego układu współrzędnych. Jeśli zapytasz kogoś, jak dostać się w pewne miejsce, bardziej prawdopodobne jest to, że usłyszysz, aby jechać 40 km na wschód, a następnie 30 km na północ, a nie 50 km, pod kątem $37^{\circ}$ na północ od kierunku wschodniego.

W dwuwymiarowym, prostokątnym (kartezjańskim) układzie współrzędnych położenie punktu podaje się poprzez określenie jego dwóch współrzędnych $(x, y)$ . Położenie wektora $\vec{A}$ opisuje się w podobny sposób. Rolę współrzędnej $x$ wektora $\vec{A}$ pełni składowa pozioma , a rolę współrzędnej $y$ wektora $\vec{A}$ pełni składowa pionowa. Składowa pozioma to wektor zapisywany ${\vec{A}}_{x}$ . Składowa pionowa to wektor zapisywany ${\vec{A}}_{y}$ . W kartezjańskim układzie współrzędnych składowe (ang. vector components) $x$ i $y$ wektora są jego rzutami na osie układu współrzędnych: $x$ oraz $y$ . Dlatego, zgodnie z regułą równoległoboku, każdy wektor leżący na płaszczyźnie kartezjańskiej można przedstawić jako sumę jego składowych:

\vec{A} = {\vec{A}}_{x} + {\vec{A}}_{y} .

2.10

Jak widać na Ilustracji 2.16, wektor $\vec{A}$ jest przekątną prostokąta, w którym składowa $x$ ${\vec{A}}_{x}$ jest bokiem równoległym do osi $x$ , a składowa $y$ ${\vec{A}}_{y}$ jest bokiem równoległym do osi $y$ . Składowa ${\vec{A}}_{x}$ jest prostopadła do składowej ${\vec{A}}_{y}$ .

Wektor A położony jest w dwuwymiarowym układzie współrzędnych kartezjańskich. Jego punkt początkowy znajduje się w punkcie b, a jego punkt końcowy w punkcie e. Wektor ten skierowany jest po skosie do góry i w prawo. Wektory jednostkowe i z daszkiem oraz j z daszkiem to małe wektory leżące wzdłuż osi x oraz y. Składowa x wektora A jest wektorem o kierunku poziomym o początku w punkcie b i końcu w punkcie poniżej punktu e. Na osi x leży wektor A z indeksem x o początku w punkcie x z indeksem b i końcu w punkcie x z indeksem e. Wektor ten jest równy modułowi A z indeksem x razy i z daszkiem. Moduł Ax równa się x z indeksem e odjąć x z indeksem b. Składowa y wektora A jest wektorem o kierunku pionowym o początku w punkcie b i końcu w punkcie znajdującym się na lewo od punktu e. Na osi y leży wektor A z indeksem y o początku w punkcie y z indeksem b i końcu w punkcie y z indeksem e. Wektor ten jest równy modułowi z A z indeksem y razy j z daszkiem. Moduł Ay jest równy y z indeksem e odjąć y z indeksem b. — Ilustracja 2.16 Wektor $\vec{A}$ położony na płaszczyźnie w układzie współrzędnych kartezjańskich jest sumą swojej składowej poziomej i pionowej. Składowa ${\vec{A}}_{x}$ jest rzutem wektora $\vec{A}$ na oś $x$ . Składowa ${\vec{A}}_{y}$ jest rzutem wektora $\vec{A}$ na oś $y$ . Liczby $A_{x}$ oraz $A_{y}$ , przez które mnożone są wektory jednostkowe, są wartościami składowych wektora.

Przyjęło się oznaczać dodatni kierunek osi $x$ przy pomocy wektora jednostkowego $\hat{i}$ , a dodatni kierunek osi $y$ przy pomocy wektora jednostkowego $\hat{j}$ . Wektory jednostkowe osi (ang. unit vectors of the axes), nazywane wersorami osi, $\hat{i}$ oraz $\hat{j}$ , określają dwa prostopadłe względem siebie kierunki na płaszczyźnie. Jak widać poniżej (Ilustracja 2.16), składowe $x$ i $y$ wektora można zapisać przy pomocy wersorów osi:

{\begin{cases} {\vec{A}}_{x} = A_{x} \hat{i} \\ {\vec{A}}_{y} = A_{y} \hat{j} . \end{cases}

2.11

Wektory ${\vec{A}}_{x}$ i ${\vec{A}}_{y}$ występujące w Równaniu 2.11 są składowymi wektora $\vec{A}$ . Liczby $A_{x}$ i $A_{y}$ są składowymi skalarnymi (ang. scalar component) wektora $\vec{A}$ . W wyniku połączenia Równania 2.10 i Równania 2.11 otrzymujemy rozkład wektora na składowe (ang. the component form of a vector):

\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}

2.12

Jeżeli znamy współrzędne $p (x_{p} y_{p})$ punktu początkowego wektora ( $p$ oznacza „początek”) i współrzędne $k (x_{k}, y_{k})$ punktu końcowego wektora ( $k$ oznacza „koniec”), możemy poznać składowe skalarne wektora, odejmując współrzędne punktu początkowego od współrzędnych punktu końcowego:

{\begin{cases} A_{x} = x_{k} - x_{p}, \\ A_{y} = y_{k} - y_{p} . \end{cases}

2.13

Przykład 2.3

Przemieszczenie kursora

Przyjmując, że lewy dolny róg monitora jest początkiem układu współrzędnych, to kursor myszy znajduje się w punkcie

(6,0 c m; 1,6 c m)

. Jeśli najedziesz kursorem na ikonę znajdującą się w punkcie

(2,0 c m; 4,5 c m)

, jaki będzie wektor jego przemieszczenia?

Strategia rozwiązania

Początkiem dwuwymiarowego układu współrzędnych jest lewy dolny róg ekranu. Oznacza to, że wersor

\hat{i}

osi

x

skierowany jest w prawo, a wersor

\hat{j}

osi

y

skierowany jest w górę. Punkt początkowy wektora przemieszczenia

p

leży w

(6,0; 1,6)

. Punkt końcowy wektora przemieszczenia

k

leży w

(2,0; 4,5)

. Podstaw współrzędne tych punktów do Równania 2.13, aby otrzymać składowe skalarne

D_{x}

oraz

D_{y}

wektora przemieszczenia

\vec{D}

. Aby uzyskać rozkład wektora na składowe, podstaw obliczone składowe do Równania 2.12.

Rozwiązanie

Na podstawie treści zadania mamy

x_{p} = 6,0

,

x_{k} = 2,0

,

y_{p} = 1,6

i

y_{k} = 4,5

, gdzie jednostką jest 1 cm. Możemy obliczyć składowe skalarne

x

oraz

y

wektora:

\begin{align} D_x &= x_{\text{k}} - x_{\text{p}} = \SI{2,0}{\centi\metre} - \SI{6,0}{\centi\metre} = - \SI{4,0}{\centi\metre} \text{,} \\ D_y &= y_{\text{k}} - y_{\text{p}} = \SI{4,5}{\centi\metre} - \SI{1,6}{\centi\metre} = +\SI{2,9}{\centi\metre} \text{.} \end{align}

Rozkład wektora na składowe przedstawia się następująco:

\vec{D} = D_{x} \hat{i} + D_{y} \hat{j} = - 4,0 c m \cdot \hat{i} + 2,9 c m \cdot \hat{j} .

2.14

Rozwiązanie przedstawiono na Ilustracji 2.17.

Wektor D ma punkt początkowy w (6,0; 1,6), a punkt końcowy w (2,0; 4,5). Wektor D równa się wektor D z indeksem z dodać wektor D z indeksem y. Wektor D z indeksem x równa się minus 4,0 i z daszkiem. Wektor ten ma punkt początkowy w x=6,0, a punkt końcowy w x =2,0. Moduł wektora D z indeksem x równa się 2,0-6,0 = -4,0. D z indeksem y równa się plus 2,9 j z daszkiem. Wektor ten ma punkt początkowy w y=1,6, a punkt końcowy w y=4,5. Moduł wektora D z indeksem y równa się 4,5 − 1,6. — Ilustracja 2.17 Wektor przemieszczenia w układzie współrzędnych. Punkt początkowy wektora oznaczony jest przez $p$ , a punkt końcowy przez $k$ .

Znaczenie

Zauważ, że jednostkę – w tym przypadku 1 cm – można umieścić albo przy każdej składowej, przed symbolem wersora, albo dla obu składowych jednocześnie, jak w Równaniu 2.14. Wygodniej jest korzystać z drugiego sposobu, ponieważ jest on prostszy.

Moduł wektora ${\vec{D}}_{x} = - 4,0 \hat{i} = 4,0 \cdot (- \hat{i})$ , czyli składowej poziomej wektora przemieszczenia, jest równy $| {\vec{D}}_{x} | = | - 4,0 | \cdot | \hat{i} | = 4,0$ , ponieważ moduł wektora jednostkowego jest równy $| \hat{i} | = 1$ . Zauważ, że kierunek składowej $x$ jest równy $- \hat{i}$ , a więc jest on przeciwny do kierunku osi $x$ . Oznacza to, że składowa $x$ wektora ${\vec{D}}_{x}$ skierowana jest w lewo, tak jak przedstawia to Ilustracja 2.17. Składowa skalarna $x$ wektora $\vec{D}$ jest równa $D_{x} = - 4,0$ .

Moduł wektora $y$ ${\vec{D}}_{y} = + 2,9 \hat{j}$ , czyli składowej pionowej wektora przemieszczenia, jest równy $| {\vec{D}}_{y} | = | 2,9 | \cdot | \hat{j} | = 2,9$ , ponieważ moduł wektora jednostkowego jest równy $| \hat{j} | = 1$ . Kierunek składowej $y$ jest równy $+ \hat{j}$ , a więc jest on zgodny z kierunkiem osi $y$ . Oznacza to, że składowa $y$ wektora ${\vec{D}}_{y}$ skierowana jest w górę, tak jak przedstawiono na Ilustracji 2.17. Składowa skalarna $y$ wektora $\vec{D}$ jest równa $D_{y} = + 2,9$ . Wektor przemieszczenia $\vec{D}$ jest sumą swoich składowych.

Rozkład wektora na składowe (Równanie 2.14) mówi nam, że kursor został przesunięty o 4,0 cm w lewo i o 2,9 cm do góry.

Sprawdź, czy rozumiesz 2.4

Mucha ląduje na arkuszu papieru milimetrowego w punkcie położonym 10,0 cm na prawo od jego lewej krawędzi i 8,0 cm powyżej krawędzi dolnej, po czym przemieszcza się do punktu położonego 5,0 od lewej krawędzi i 5,0 cm od krawędzi dolnej. Przyjmij, że lewy dolny róg arkusza jest początkiem prostokątnego układu współrzędnych i znajdź wektor przemieszczenia muchy. Przedstaw rozwiązanie graficznie.

Jeśli znamy składowe skalarne $A_{x}$ i $A_{y}$ wektora $\vec{A}$ , możemy znaleźć jego moduł $A$ oraz jego kierunek opisywany przez kąt $θ_{A}$ . Kierunek wektora określa się względem kąta nachylenia wektora do osi $x$ . Kąt $θ_{A}$ , patrząc od osi $x$ , mierzony jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (Ilustracja 2.18). Ponieważ odcinki o długościach $A$ , $A_{x}$ i $A_{y}$ tworzą trójkąt prostokątny, zależność między nimi opisuje twierdzenie Pitagorasa:

A^{2} = A_{x}^{2} + A_{y}^{2} ⟺ A = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}} .

2.15

Zależność ta jest spełniona, nawet jeśli składowe skalarne wektora są liczbami ujemnymi. Kierunek wektora definiuje się obliczając tangens kąta $θ_{A}$ (Ilustracja 2.18):

\tg \theta = \frac{A_y}{A_x} \implies \theta = \arctg (\frac{A_y}{A_x}) \text{.}

2.16

Wektor A ma składową x A z indeksem x równą moduł A z indeksem x razy i z daszkiem, oraz składową y A z indeksem y równą modułowi z A z indeksem y razy j z daszkiem. Wektor A oraz jego składowe tworzą trójkąt prostokątny, z przyprostokątnymi o długości moduł z A z indeksem x oraz moduł z A z indeksem y oraz przeciwprostokątną o długości pierwiastek kwadratowy z A z indeksem x do kwadratu dodać A z indeksem y do kwadratu. Kąt między poziomym bokiem A z indeksem x oraz przeciwprostokątną A jest równy theta z indeksem A. — Ilustracja 2.18 Moduł $A$ oraz kąt nachylenia $θ_{A}$ wektora $\vec{A}$ związane są z długością jego składowych, ponieważ $A$ , $A_{x}$ oraz $A_{y}$ tworzą trójkąt prostokątny.

Jeśli wektor leży w pierwszej lub czwartej ćwiartce, gdzie składowa $A_{x}$ jest liczbą dodatnią (Ilustracja 2.19), kąt $θ$ (z Równania 2.16) jest identyczny z kątem nachylenia $θ_{A}$ . Jeśli wektor leży w czwartej ćwiartce, kąt $θ$ jest ujemny, co oznacza, że kąt nachylenia $θ_{A}$ takiego wektora do osi $x$ mierzy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, rozpoczynając od osi $x$ . Jeśli wektor leży w drugiej ćwiartce, kąt $θ$ również jest ujemny. Jeśli wektor leży w drugiej lub trzeciej ćwiartce, gdzie składowa $A_{x}$ jest liczbą ujemną, kąt nachylenia wektora jest równy $θ_{A} = θ + 180^{\circ}$ (Ilustracja 2.19).

Rysunek I przedstawia wektor A leżący w pierwszej ćwiartce (zwrot do góry i w prawo). Składowe tego wektora to A z indeksem x (kierunek dodatni) oraz A z indeksem y (kierunek dodatni). Kąt theta z indeksem A mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi x jest mniejszy niż 90 stopni. Rysunek II przedstawia wektor A w drugiej ćwiartce (zwrot do góry i w lewo). Składowe tego wektora to A z indeksem x (kierunek ujemny) oraz A z indeksem y (kierunek dodatni). Kąt theta z indeksem A mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi x jest większy niż 90 stopni, ale mniejszy niż 180 stopni. Kąt theta, mierzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jest mniejszy niż 90 stopni. Rysunek III przedstawia wektor A leżący w trzeciej ćwiartce (zwrot w dół i w lewo). Składowe tego wektora to A z indeksem x (kierunek ujemny) oraz A z indeksem y (kierunek ujemny). Kąt theta z indeksem A mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi x jest większy niż 180 stopni, ale mniejszy niż 270 stopni. Kąt theta, mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek od ujemnego kierunku osi x jest mniejszy niż 90 stopni. Rysunek IV przedstawia wektor A leżący w czwartej ćwiartce (zwrot w dół i w prawo). Składowe tego wektora to A z indeksem x (kierunek dodatni) oraz A z indeksem y (kierunek ujemny). Kąt theta z indeksem A mierzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi x jest mniejszy niż 90 stopni. — Ilustracja 2.19 Wartości składowych wektora mogą być dodatnie lub ujemne. Dla wektorów leżących w pierwszej ćwiartce (I) wartości obu składowych są dodatnie, a dla wektorów leżących w trzeciej ćwiartce (III) obie te wartości są ujemne. Kąt nachylenia wektora znajdującego się w II lub III ćwiartce do osi $x$ jest równy $θ_{A} = θ + 180^{\circ}$ .

Przykład 2.4

Moduł i kierunek wektora przemieszczenia

Przesuwasz kursor z punktu początkowego

(6,0 c m; 1,6 c m)

na ikonę znajdującą się w punkcie

(2,0 c m; 4,5 c m)

. Jaki jest moduł i kierunek wektora przemieszczenia kursora?

Strategia rozwiązania

W Przykładzie 2.3 znaleźliśmy wektor przemieszczenia

\vec{D}

kursora (zobacz Równanie 2.14). Na początku musimy określić wartości składowych wektora:

D_{x} = - 4,0 c m

i

D_{y} = + 2,9 c m

i podstawić je do Równania 2.15 i Równania 2.16, aby znaleźć moduł

D

wektora oraz jego kąt nachylenia

θ_{D}

.

Rozwiązanie

Moduł wektora

\vec{D}

jest równy

D = \sqrt{D_{x}^{2} + D_{y}^{2}} = \sqrt{(- 4,0 c m)^{2} + (2,9 c m)^{2}} = \sqrt{(4,0)^{2} + (2,9)^{2}} c m = 4,9 c m .

Kąt nachylenia wektora do osi jest równy

tg θ = \frac{D_{y}}{D_{x}} = \frac{2,9 c m}{- 4,0 c m} = - 0,725 ⟹ θ = arctg (- 0,725) = - {35,9}^{\circ} .

Wektor $\vec{D}$ leży w drugiej ćwiartce, więc jego kierunek opisujemy przy pomocy kąta

θ_{D} = θ + 180^{\circ} = - {35,9}^{\circ} + 180^{\circ} = {144,1}^{\circ} .

Sprawdź, czy rozumiesz 2.5

Jeśli przemieszczenie muchy wędrującej po arkuszu papieru milimetrowego jest równe $\vec{D} = - 5,00 c m \cdot \hat{i} - 3,00 c m \cdot \hat{j}$ , znajdź jego moduł i kierunek.

W praktyce często zdarza się, że trzeba znaleźć sumę wielu wektorów, których moduły i kierunki są znane. Wyobraź sobie na przykład, że podczas silnego wiatru na moście znajduje się jednocześnie 400 samochodów. Każdy z nich oddziałuje na most naciskiem o innym kierunku, a my chcemy dowiedzieć się, jaka jest suma nacisku. Poznałeś już metodę graficzną znajdowania sumy wektorów, więc wiesz, że metoda ta, ze względu na mierzenie długości i kątów, może szybko prowadzić do znaczących błędów. W przypadku metod analitycznych takie zagrożenie nie występuje. Pierwszym krokiem podejścia analitycznego, jeśli moduł i kierunek wektora są dane, jest znalezienie jego składowych.

Wróćmy do trójkąta prostokątnego z Ilustracji 2.18. Stosunek długości przyprostokątnej $A_{x}$ i przeciwprostokątnej $A$ jest cosinusem kąta $θ_{A}$ , $A_{x} / A = \cos θ_{A}$ , a stosunek długości przyprostokątnej $A_{y}$ i przeciwprostokątnej $A$ jest sinusem kąta $θ_{A}$ , $A_{y} / A = \sin θ_{A}$ . Jeśli moduł $A$ i kierunek $θ_{A}$ są znane, możemy znaleźć wartości składowych wektora:

{\begin{matrix} A_{x} = A cos θ_{A} \\ A_{y} = A sin θ_{A} . \end{matrix}

2.17

Podczas obliczania składowych wektora przy pomocy Równania 2.17 należy pamiętać o zasadach wyznaczania kąta. Kąt $θ_{A}$ jest kątem mierzonym przeciwnie do ruchów wskazówek zegara, zaczynając od osi $x$ . Kąt mierzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara będzie ujemny.

Przykład 2.5

Składowe wektorów przemieszczenia

Ekipa ratunkowa szukająca zaginionego dziecka podąża za Azorem, psem tropiącym. Azor często gubi trop i często zawraca. W końcu znajduje dziecko i wszystko dobrze się kończy, więc możemy skupić się na wektorach przemieszczenia Azora. Wektory te są bardzo zróżnicowane: najpierw Azor przebiegł 200,0 m na południowy wschód, następnie 300,0 m na północ, później węsząc przeszedł 50,0 m w kierunku

30^{\circ}

na zachód od kierunku północnego. Po przejściu 80,0 m na południe Azor złapał świeży trop i skręcił w kierunku

23^{\circ}

na zachód od kierunku południowego, po czym przebiegł 150,0 m. Znajdź wartości składowych wektorów przemieszczenia Azora i wektory przemieszczenia (w postaci rozkładu na składowe) dla każdej z przebytych przez niego ścieżek.

Strategia rozwiązania

W celu rozwiązania tego zadania skorzystamy z prostokątnego układu współrzędnych o osi

x

skierowanej na wschód oraz osi

y

skierowanej na północ. Oznacza to, że wersor

\hat{i}

będzie wskazywał na wschód, a wersor

\hat{j}

na północ. Azor wytyczył pięć ścieżek, co oznacza, że jego przemieszczenie składa się z pięciu wektorów przemieszczenia. Zaczniemy od znalezienia ich modułów i kierunków, następnie użyjmy Równania 2.17, aby znaleźć wartości składowych wektorów i zapiszemy wektory w postaci przedstawionej na Równaniu 2.12.

Rozwiązanie

Moduł przemieszczenia Azora na pierwszej ścieżce jest równy

L_{1} = 200,0 m

, a wektor ma kierunek południowo-wschodni. Za kąt nachylenia

θ_{1}

możemy przyjąć albo

- 45^{\circ}

mierzone od kierunku południe-północ, jeśli zmierzymy kąt zgodnie z ruchem wskazówek zegara, albo

45^{\circ} + 270^{\circ}

, jeśli zmierzymy go przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. W pierwszym przypadku

θ_{1} = - 45^{\circ}

, a w drugim

θ_{1} = + 315^{\circ}

. Możemy użyć którejkolwiek z tych wartości. Składowe są więc równe:

\begin{align} L_{1\sep x} &= L_1 \cos \theta_1 = \SI{200,0}{\metre} \cdot \cos \ang{315} = \SI{141,4}{\metre} \text{,} \\ L_{1\sep y} &= L_1 \sin \theta_1 = \SI{200,0}{\metre} \cdot \sin \ang{315} = - \SI{141,4}{\metre} \text{.} \end{align}

Wektor przemieszczenia na pierwszej ścieżce jest równy:

{\vec{L}}_{1} = {\vec{L}}_{1 x} \hat{i} + {\vec{L}}_{1 y} \hat{j} = 141,4 m \cdot \hat{i} - 141,4 m \cdot \hat{j} .

Moduł przemieszczenia Azora na drugiej ścieżce jest równy $L_{2} = 300,0 m$ , a wektor skierowany jest na północ. Kąt nachylenia $θ_{2} = + 90^{\circ}$ . Otrzymujemy następujące wyniki:

\begin{aligned} L_{2 x} & = L_{2} \cos θ_{2} = 300,0 m \cdot \cos 90^{\circ} = 0,0 m, \\ L_{2 y} & = L_{2} \sin θ_{2} = 300,0 m \cdot \sin 90^{\circ} = 300,0 m, \\ {\vec{L}}_{2} & = L_{2 x} \hat{i} + L_{2 y} \hat{j} = 300,0 m \cdot \hat{j} . \end{aligned}

Moduł przemieszczenia Azora na trzeciej ścieżce jest równy $L_{3} = 50,0 m$ , a wektor skierowany jest $30^{\circ}$ na zachód od kierunku północnego. Kąt nachylenia mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od osi x jest równy $θ_{3} = 30^{\circ} + 90^{\circ} = + 120^{\circ}$ . Otrzymujemy następujące wyniki:

\begin{aligned} L_{3 x} & = L_{3} \cos θ_{3} = 50,0 m \cdot \cos 120^{\circ} = - 25,0 m, \\ L_{3 y} & = L_{3} \sin θ_{3} = 50,0 m \cdot \sin 120^{\circ} = + 43,3 m, \\ {\vec{L}}_{3} & = L_{3 x} \hat{i} + L_{3 y} \hat{j} = - 25,0 m \cdot \hat{i} + 43,3 m \cdot \hat{j} . \end{aligned}

Moduł przemieszczenia Azora na czwartej ścieżce jest równy $L_{4} = 80,0 m$ , a wektor skierowany jest na południe. Za kąt nachylenia możemy przyjąć $θ_{4} = - 90^{\circ}$ albo $θ_{4} = + 270^{\circ}$ . Otrzymujemy następujące wyniki:

\begin{aligned} L_{4 x} & = L_{4} \cos θ_{4} = 80,0 m \cdot \cos (- 90^{\circ}) = 0,0 m, \\ L_{4 y} & = L_{4} \sin θ_{4} = 80,0 m \cdot \sin (- 90^{\circ}) = - 80,0 m, \\ {\vec{L}}_{4} & = L_{4 x} \hat{i} + L_{4 y} \hat{j} = - 80,0 m \cdot \hat{j} . \end{aligned}

Moduł przemieszczenia Azora na ostatniej ścieżce to $L_{5} = 150,0 m$ , a kąt nachylenia jest równy $θ_{5} = - 23^{\circ} + 270^{\circ} = + 247^{\circ}$ ( $23^{\circ}$ na zachód od kierunku południowego), co daje:

\begin{aligned} L_{5 x} & = L_{5} \cos θ_{5} = 150,0 m \cdot \cos 247^{\circ} = - 58,6 m, \\ L_{5 y} & = L_{5} \sin θ_{5} = 150,0 m \cdot \sin 247^{\circ} = - 138,1 m, \\ {\vec{L}}_{5} & = L_{5 x} \hat{i} + L_{5 y} \hat{j} = - 58,6 m \cdot \hat{i} - 138,1 m \cdot \hat{j} . \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz 2.6

Jeśli Azor przebiegnie 20 m na zachód, jaki będzie wektor jego przemieszczenia?

Współrzędne biegunowe

Aby opisać położenie punktu na płaszczyźnie, potrzebujemy dwóch ortogonalnych kierunków. W kartezjańskim układzie współrzędnych kierunki te są wyznaczone przez wersor $\hat{i}$ osi $x$ oraz wersor $\hat{j}$ osi $y$ . Korzystanie z kartezjańskiego układu współrzędnych jest wygodne, jeśli chodzi o opis przemieszczeń, prędkości i sił. Jednak w przypadku ruchu obrotowego korzystanie z tego układu okazuje się nieefektywne. Opisu ruchu obrotowego dokonuje się zazwyczaj w układzie współrzędnych biegunowych (ang. polar coordinate system).

W układzie współrzędnych biegunowych położenie punktu $P$ określa się za pomocą dwóch współrzędnych biegunowych (ang. polar coordinates) (Ilustracja 2.20). Pierwsza współrzędna biegunowa to promień wodzący (ang. radial coordinate $r$ , czyli odległość punktu $P$ od bieguna. Drugą współrzędną biegunową jest kąt $φ$ zawarty między promieniem wodzącym a pewną prostą (ang. direction angle), zazwyczaj osią $x$ . W układzie współrzędnych biegunowych miarę kątów podaje się w radianach. Punktem początkowym promienia wodzącego jest punkt $(0, 0)$ , a punktem końcowym punkt $P$ . Kierunek promienia wodzącego opisuje wektor jednostkowy $\hat{r}$ . Drugi wektor jednostkowy $\hat{t}$ jest prostopadły do wektora $\hat{r}$ . Kierunek dodatni $+ \hat{t}$ informuje nas, że kąt $φ$ zmienia się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Położenie punktu $P$ o współrzędnych $(x, y)$ w prostokątnym układzie współrzędnych może być również opisane przez współrzędne biegunowe $(r, φ)$ . Równanie 2.17 jest spełnione dla wszystkich wektorów, więc za jego pomocą możemy wyrazić współrzędne $x$ oraz $y$ wektora $\vec{r}$ . W ten sposób możemy wyznaczyć zależność między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi punktu $P$ :

{\begin{matrix} x = r cos φ \\ y = r sin φ . \end{matrix}

2.18

Punkt początkowy wektora r znajduje się w początku prostokątnego układu współrzędnych, a jego punkt końcowy z punkcie P. Kąt zawarty między wektorem r oraz dodatnim kierunkiem osi x to kąt fi. X równa się r cosinus fi, a y równa się r sinus fi. Wektor jednostkowy r z daszkiem zaznaczony jest na przedłużeniu wektora r. Wektor jednostkowy t z daszkiem jest prostopadły do wektora r z daszkiem (jest przesunięty o 90 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazó→wek zegara). — Ilustracja 2.20 Wektor jednostkowy $\hat{r}$ definiuje kierunek promienia wodzącego $r$ , a prostopadły do niego wektor jednostkowy $\hat{t}$ definiuje kierunek obrotu promienia o kąt $φ$ .

Przykład 2.6

Współrzędne biegunowe

Poszukiwacz skarbów znajduje srebrną monetę 20,0 m od wyschniętej studni w kierunku

20^{\circ}

na północ od kierunku wschodniego i złotą monetę 10,0 m od studni w kierunku

20^{\circ}

na północ od kierunku zachodniego. Jakie są współrzędne biegunowe i kartezjańskie jego znalezisk względem studni?

Strategia rozwiązania

Miejsce położenia studni jest biegunem układu współrzędnych, a wschód to dodatni kierunek osi

x

. Promienie wodzące łączące biegun z miejscami poszczególnych znalezisk są równe

r_{S} = 20,0 m

(miejsce znalezienia srebrnej monety) i

r_{Z} = 10,0 m

(miejsce znalezienia złotej monety). W celu określenia wartości kąta

φ

przekształcamy

20^{\circ}

na radiany:

20^{\circ} = π \cdot 20 / 180 r a d = π / 9 r a d

. Aby znaleźć współrzędne

x

i

y

monet, korzystamy z Równania 2.18.

Rozwiązanie

Kąt położenia srebrnej monety jest równy

φ_{S} = π / 9

, a kąt położenia złotej monety jest równy

φ_{Z} = π - π / 9 = 8 π / 9

. Współrzędne biegunowe srebrnej monety są więc równe

(r_{S}, φ_{S}) = (20,0 m; π / 9 r a d)

, natomiast współrzędne monety złotej to

(r_{Z}, φ_{Z}) = (10,0 m; 8 π / 9 r a d)

. Aby otrzymać współrzędne kartezjańskie, podstawiamy współrzędne biegunowe do Równania 2.18. Współrzędne kartezjańskie miejsca znalezienia złotej monety są równe

{\begin{cases} x_{Z} = r_{Z} \cos φ_{Z} = 10,0 m \cdot \cos (8 π / 9) = - 9,4 m \\ y_{Z} = r_{Z} \sin φ_{Z} = 10,0 m \cdot \sin (8 π / 9) = 3,4 m \end{cases} ⟹ (x_{Z}, y_{Z}) = (- 9,4 m; 3,4 m) .

Współrzędne miejsca znalezienia srebrnej monety są równe

{\begin{cases} x_{S} = r_{S} \cos φ_{S} = 20,0 m \cdot \cos (π / 9) = 18,9 m \\ y_{S} = r_{S} \sin φ_{S} = 20,0 m \cdot \sin (π / 9) = 6,8 m \end{cases} ⟹ (x_{S}, y_{S}) = (18,9 m; 6,8 m) .

Wektory w przestrzeni trójwymiarowej

Aby określić położenie punktu w przestrzeni, potrzebne są trzy zmienne $(x, y, z)$ , gdzie $x$ oraz $y$ określają położenie punktu na płaszczyźnie, natomiast współrzędna $z$ informuje o odległości od płaszczyzny w pionie. W przestrzeni trójwymiarowej możemy wyróżnić trzy kierunki ortogonalne, a więc do opisu tej przestrzeni potrzebne są trzy wektory jednostkowe. W układzie współrzędnych kartezjańskich pierwsze dwa wektory jednostkowe to wersory osi $x$ $\hat{i}$ oraz $y$ $\hat{j}$ . Trzecim wektorem jednostkowym $\hat{k}$ jest wektor informujący o kierunku osi $z$ , a więc wersor tej osi (Ilustracja 2.21). Kolejność podpisywania osi, a tym samym kolejność definiowania wektorów jednostkowych jest istotna, ponieważ od niej zależy orientacja układu współrzędnych. Kolejność $x$ – $y$ – $z$ , równoważna z kolejnością $\hat{i}$ – $\hat{j}$ – $\hat{k}$ , oznacza, że mamy do czynienia z układem prawoskrętnym, który definiuje się, używając metody śruby prawoskrętnej.

Trójwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich o wersorach i z daszkiem, j z daszkiem, k z daszkiem osi x, y, z. I z daszkiem ma zwrot na zewnątrz w naszym kierunku, j z daszkiem ma zwrot w prawo, k z daszkiem ma zwrot w górę strony. Wersory osi są bokami sześcianu. — Ilustracja 2.21 Trzy wektory jednostkowe definiują układ współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni trójwymiarowej. Od kolejności podpisywania osi zależy orientacja układu współrzędnych. Układ przedstawiony na rysunku jest układem prawoskrętnym.

W przestrzeni trójwymiarowej wektor $\vec{A}$ ma trzy składowe: składową $x$ : ${\vec{A}}_{x} = A_{x} \hat{i}$ , będącą rzutem wektora $\vec{A}$ na oś $x$ , składową $y$ : ${\vec{A}}_{y} = A_{y} \hat{j}$ , będącą rzutem wektora $\vec{A}$ na oś $y$ , oraz składową $z$ : ${\vec{A}}_{z} = A_{z} \hat{k}$ , będącą rzutem wektora na oś $z$ . Wektor w przestrzeni trójwymiarowej jest sumą swoich trzech składowych. (Ilustracja 2.22):

\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k} .

2.19

Jeśli znamy współrzędne punktu początkowego wektora $p (x_{p}, y_{p}, z_{p})$ oraz współrzędne jego punktu końcowego $k (x_{k}, y_{k}, z_{k})$ , możemy obliczyć wartości składowych wektora, odejmując od siebie współrzędne punktów – dla $A_{x}$ i $A_{y}$ zostało to pokazane w Równaniu 2.13. Wartość składowej $z$ uzyskujemy w następujący sposób:

A_{z} = z_{k} - z_{p} .

2.20

Moduł $A$ obliczamy, wykonując Równanie 2.15 dla trzech wymiarów:

A = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2} + A_{z}^{2}} .

2.21

Powyższy wzór wynika z dwukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa. Jak widać na Ilustracji 2.22, przekątna w płaszczyźnie $x y$ ma długość $\sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}}$ , a po podniesieniu do kwadratu i dodaniu $A_{z}^{2}$ daje $A^{2}$ . Zauważ, że kiedy składowa $z$ jest równa zero, wektor leży w płaszczyźnie $xy$ , w związku z czym jego opis ogranicza się do dwóch wymiarów.

Wektor A znajduje się w trójwymiarowym układzie współrzędnych kartezjańskich. Wektor A jest sumą wektorów A z indeksem x, A z indeksem y, A z indeksem z. Wektor A z indeksem x jest składową x wektora A, a jego długość jest równa A z indeksem x razy i z daszkiem. Wektor A z indeksem y jest składową y wektora A i ma długość A z indeksem y razy j z daszkiem. Wektor A z indeksem z jest składową z wektora A i ma długość A z indeksem z razy k z daszkiem. Składowe wektora A tworzą prostopadłościan o bokach długości A z indeksem x, A z indeksem y, A z indeksem z. — Ilustracja 2.22 Wektor w przestrzeni trójwymiarowej jest sumą swoich składowych.

Przykład 2.7

Lot drona

Podczas startu dron IAI Heron (Ilustracja 2.23) znajduje się 100 m nad ziemią, 300 m na wschód i 200 m na północ względem wieży kontroli lotów. Minutę później dron znajduje się 250 m nad ziemią, 1200 m na wschód i 2100 m na północ względem wieży. Jaki jest wektor przemieszczenia drona względem wieży? Jaki jest moduł tego wektora?

Zdjęcie drona. — Ilustracja 2.23 Dron IAI Heron. (Źródło: SSgt Reynaldo Ramon, USAF)

Strategia rozwiązania

Przyjmujemy, że miejsce położenia wieży stanowi początek układu współrzędnych. Dodatni kierunek osi

x

określa wektor jednostkowy

\hat{i}

(jest to kierunek wschodni), dodatni kierunek osi

y

określa wektor jednostkowy

\hat{j}

(jest to kierunek północny), a dodatni kierunek osi

z

określa wektor jednostkowy

\hat{k}

(skierowany pionowo względem ziemi). Pozycja, z której startuje dron, stanowi punkt początkowy wektora przemieszczenia, a jego pozycja po upływie minuty stanowi jego punkt końcowy.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności określamy współrzędne punktów

p (300,0 m; 200,0 m; 100,0 m)

oraz

k (1200,0 m; 2100,0 m; 250,0 m)

, a następnie znajdujemy wartości składowych wektora przemieszczenia przy pomocy Równania 2.13 oraz Równania 2.20:

{\begin{cases} D_{x} = x_{k} - x_{p} = 1200,0 m - 300,0 m = 900,0 m, \\ D_{y} = y_{k} - y_{p} = 2100,0 m - 200,0 m = 1900,0 m, \\ D_{z} = z_{k} - z_{p} = 250,0 m - 100,0 m = 150,0 m . \end{cases}

Aby znaleźć wektor przemieszczenia, podstawiamy powyższe wartości do Równania 2.19:

\vec{D} = D_{x} \hat{i} + D_{y} \hat{j} + D_{z} \hat{k} = 900,0 m \cdot \hat{i} + 1900,0 m \cdot \hat{j} + 150,0 m \cdot \hat{k} .

Aby znaleźć moduł wektora przemieszczenia, podstawiamy moduły poszczególnych składowych do Równania 2.21:

D = \sqrt{D_{x}^{2} + D_{y}^{2} + D_{z}^{2}} = \sqrt{(0,90 km)^{2} + (1,90 km)^{2} + (0,15 km)^{2}} = 2,11 k m .

Sprawdź, czy rozumiesz 2.7

Jeśli wektor średniej prędkości drona z Przykładu 2.7 jest równy $\vec{u} = 15,0 m/s \cdot \hat{i} + 31,7 m/s \cdot \hat{j} + 2,5 m/s \cdot \hat{k}$ , jaka jest wartość modułu tego wektora?