William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać zmianę obserwowanej częstotliwości w sytuacji, gdy źródło dźwięku zbliża się do obserwatora lub oddala się od niego;
wyjaśniać zmianę obserwowanej częstotliwości w sytuacji, gdy obserwator zbliża się do źródła dźwięku lub oddala się od niego.

Rejestrowana przez obserwatora zmiana częstotliwości sygnału zbliżającej się i oddalającej się karetki pogotowia albo hałasu wytwarzanego przez głośny motocykl są typowymi przykładami efektu Dopplera (ang. Doppler effect). Po pierwsze, głośność dźwięku wzrasta, kiedy karetka zbliża się, i maleje, gdy karetka się oddala. Częstotliwość dźwięku syreny, który dociera do ucha obserwatora, rośnie, gdy karetka się zbliża, i maleje, gdy karetka się oddala, także wtedy, gdy syrena generuje dźwięk o stałej częstotliwości. Zmiany są najbardziej odczuwalne, gdy karetka mija obserwatora. Im szybciej karetka się porusza, tym większa jest zmiana częstotliwości syreny. To charakterystyczne przesunięcie częstotliwości słyszymy również dla poruszających się samochodów, samolotów, pociągów.

Efekt Dopplera jest to zmiana odbieranej częstotliwości dźwięku w wyniku ruchu źródła dźwięku lub obserwatora. Dla przykładu, jeśli jedziesz pociągiem i mijasz syrenę ostrzegawczą, wówczas usłyszysz przesunięcie częstotliwości tej syreny w stronę niższych częstotliwości. Zmiana częstotliwości spowodowana względnym ruchem źródła i obserwatora nazywa się przesunięciem Dopplera (ang. Doppler shift). Efekt Dopplera i przesunięcie Dopplera nazwano tak od nazwiska austriackiego fizyka i matematyka Christiana Andreasa Dopplera (1803–1853), który przeprowadzał eksperymenty z ruchomymi źródłami i obserwatorami. Doppler badał muzyków grających w otwartym pociągu, a także grających obok torów kolejowych, gdy pociąg przejeżdżał. Ich muzykę obserwowano zarówno w pociągu, jak i poza nim, mierząc przy tym zmiany częstotliwości.

Co jest przyczyną przesunięcia Dopplera? Ilustracja 17.30 pokazuje fale dźwiękowe wygenerowane przez stacjonarne i poruszające się źródło dźwięku w nieruchomej masie powietrza. Każde zaburzenie rozchodzi się sferycznie od punktu, z którego zostało wyemitowane. Jeśli źródło jest nieruchome, to wszystkie powierzchnie sferyczne, które reprezentują punkty zagęszczeń powietrza, są współśrodkowe, a obserwatorzy stacjonarni znajdujący się po obu stronach słyszą dźwięk o takiej samej długości i częstotliwości fali, jaki został wyemitowany przez źródło (przypadek (a)). Jeśli źródło się porusza, sytuacja jest inna. Każde zaburzenie powietrza pochodzi z określonego punktu, z którego zostało wyemitowane, ale punkt ten przemieszcza się. Ruch punktu emisji powoduje, że powierzchnie fazowe są bliżej siebie przed punktem emisji i bardziej oddalone od siebie po drugiej stronie. W ten sposób długość fali jest krótsza w kierunku, w którym źródło się porusza (z prawej strony przypadku (b)) i dłuższa w kierunku przeciwnym (po lewej stronie przypadku (b)). Jeśli obserwator się porusza, jak to pokazano w przypadku (c), to częstotliwość rejestrowanych zmian ciśnienia powietrza także się zmienia. Obserwator poruszający się w kierunku źródła odbiera je z wyższą częstotliwością, a osoba, która oddala się od źródła, która oddala się – rejestruje niższą częstotliwość.

Rysunek A przedstawia zaparkowany samochód, który jest źródłem fal dźwiękowych i dwie nie poruszających się osoby, które są obserwatorami. Rysunek B przedstawia poruszający się samochód, który jest źródłem fal dźwiękowych i dwie nieruchome osoby, które są obserwatorami. Zdjęcie C przedstawia poruszający się samochód, który jest źródłem fal dźwiękowych i dwie poruszające się osoby, które są obserwatorami.

Ilustracja 17.30 Dźwięki wygenerowane przez źródło rozchodzą się sferycznie we wszystkich kierunkach. (a) Jeśli źródło i obserwatorzy oraz atmosfera są nieruchome, długości fal oraz częstotliwości są takie same we wszystkich kierunkach i dla obu obserwatorów. (b) Dźwięki wyemitowane przez poruszające się w prawą stronę źródło rozchodzą się we wszystkich kierunkach. Długość fali zmniejsza się i w konsekwencji częstotliwość wzrasta w kierunku ruchu źródła. W ten sposób obserwator znajdujący się po prawej stronie źródła usłyszy dźwięk o wyższej częstotliwości. Przeciwnie, obserwator po drugiej stronie źródła dźwięku usłyszy dźwięk o niższej częstotliwości, ponieważ długość fali wzrasta. (c) Taki sam efekt występuje, gdy obserwatorzy poruszają się względem źródła dźwięku. Ruch w kierunku źródła dźwięku powoduje zwiększenie częstotliwości, gdyż obserwator z prawej strony przechodzi przez większą liczbę grzbietów fal niż wówczas, gdyby był nieruchomy. Ruch w przeciwnym kierunku (oddalanie się od źródła) zmniejsza częstotliwość, obserwator z lewej strony pokonuje mniejszą liczbę grzbietów fal.

Wiemy, że długość fali i częstotliwość związane są zależnością $v = f λ$ , gdzie $v$ jest prędkością dźwięku. Dźwięk rozchodzi się w ośrodku i ma taką samą prędkość $v$ , niezależnie od tego, czy źródło dźwięku się porusza, czy nie. Zatem $f$ pomnożone przez $λ$ jest stałe. Ponieważ obserwator z prawej strony z przypadku (b) odbiera falę o krótszej długości, jej częstotliwość jest wyższa. Podobnie obserwator z lewej strony odbiera falę o dłuższej długości, a zatem słyszy dźwięk o niższej częstotliwości. Taka sama sytuacja występuje w przypadku (c). Wyższą częstotliwość odbiera obserwator poruszający się w stronę źródła, a niższą obserwator oddalający się od źródła. W ogólnym przypadku względny ruch przybliżający źródło i obserwatora zwiększa odbieraną częstotliwość. Względny ruch oddalający obniża częstotliwość. Im większa względna prędkość, tym efekt większy.

Efekt Dopplera występuje nie tylko dla dźwięku, ale dla każdej fali, w której występuje względny ruch pomiędzy obserwatorem a źródłem. Przesunięcia Dopplera występują na przykład na częstotliwościach akustycznych, optycznych i mechanicznych (falach wodnych). Przesunięcie Dopplera może być wykorzystane do wyznaczenia prędkości, np. w diagnostyce medycznej, gdy ultradźwięki odbijają się od krwi. Względne prędkości gwiazd i galaktyk są wyznaczane na podstawie przesunięcia częstotliwości światła odbitego od tych obiektów i mówią wiele na temat początków Wszechświata. Współczesna fizyka została wzbogacona obserwacjami wykorzystującymi przesunięcia Dopplera.

Opis odbieranej częstotliwości na skutek przesunięcia Dopplera

Rozważmy dwóch nieruchomych obserwatorów $X$ i $Y$ na Ilustracji 17.31, zlokalizowanych po obu stronach nieruchomego źródła dźwięku. Każdy obserwator słyszy taką samą częstotliwość, równą tej generowanej przez stacjonarne źródło.

Rysunek przedstawia nieruchome źródło dźwięku, które wysyła fale dźwiękowe o stałej częstotliwości, o stałej długości fali z prędkością dźwięku. Dwóch stacjonarnych obserwatorów po przeciwnych stronach źródła odbiera fale.

Ilustracja 17.31 Nieruchome źródło dźwięku emituje fale akustyczne o stałej częstotliwości

f_{s}

i stałej długości fali

λ_{s}

oraz prędkości dźwięku

v

. Dwóch nieruchomych obserwatorów

X

i

Y

, po każdej stronie źródła, rejestrują częstotliwość

f_{o} = f_{s}

i długości fali

λ_{o} = λ_{s} .

Rozważmy teraz nieruchomego obserwatora $X$ z ruchomym źródłem oddalającym się od obserwatora ze stałą prędkością $v_{s} < v$ (Ilustracja 17.32). Dla czasu $t = 0$ źródło emituje falę dźwiękową, zaznaczoną na czarno. Fala ta porusza się z prędkością $v$ . Pozycję fali dźwiękowej dla każdego przedziału czasu $T_{s}$ pokazano liniami przerywanymi. Po jednym okresie źródło przesunęło się o $Δ x = v_{s} T_{s}$ i emituje drugą falę dźwiękową, która porusza się z prędkością dźwięku. Źródło kontynuuje swój ruch oraz emituje fale dźwiękowe, co pokazano przy pomocy okręgów 3 i 4. Zwróć uwagę, że gdy fale są wyemitowane ze źródła, posiadają centrum w miejscu powstania.

Rysunek przedstawia źródło dźwięku, które oddala się ze stałą prędkością od obserwatora stacjonarnego i wysyła fale dźwiękowe.

Ilustracja 17.32 Źródło poruszające się ze stałą prędkością

v_{s}

oddala się od obserwatora

X

. Ruchome źródło wysyła fale dźwiękowe o stałej częstotliwości

f_{s},

stałej długości fali

λ_{s}

, z prędkością dźwięku

v

. Migawki źródła w przedziale czasu

T_{s}

są pokazane jako źródło oddalające się od nieruchomego obserwatora

X

. Linie ciągłe reprezentują pozycje fal dźwiękowych po czterech okresach od początku emisji. Linie przerywane są wykorzystane do pokazania pozycji fal dla każdego przedziału czasu. Obserwator słyszy dźwięk o długości fal

λ_{o} = λ_{s} + Δ x = λ_{s} + v_{s} T_{s}

.

Korzystając z faktu, że długość fali jest równa prędkości pomnożonej przez okres, a okres jest odwrotnością częstotliwości, możemy wyprowadzić wzór na obserwowaną częstotliwość:

\begin{matrix} λ_{o} & = & λ_{s} + Δ x \\ v T_{o} & = & v T_{s} + v_{s} T_{s} \\ \frac{v}{f_{o}} & = & \frac{v}{f_{s}} + \frac{v_{s}}{f_{s}} = \frac{v + v_{s}}{f_{s}} \\ f_{o} & = & f_{s} (\frac{v}{v + v_{s}}) . \end{matrix}

Gdy źródło oddala się od obserwatora, rejestrowana częstotliwość jest niższa niż częstotliwość sygnału wygenerowanego przez źródło.

Rozważmy teraz poruszające się źródło ze stałą prędkością $v_{s}$ przemieszczające się w kierunku stacjonarnego obserwatora $Y$ , co pokazano na Ilustracji 17.32. Długość fali rejestrowanej przez obserwatora $Y$ wynosi $λ_{o} = λ_{s} - Δ x = λ_{s} - v_{s} T_{s} .$ Wykorzystując fakt, że długość fali jest równa prędkości pomnożonej przez okres, a okres jest odwrotnością częstotliwości, możemy wyprowadzić zależność na odbieraną częstotliwość:

\begin{matrix} λ_{o} & = & λ_{s} - Δ x \\ v T_{o} & = & v T_{s} - v_{s} T_{s} \\ \frac{v}{f_{o}} & = & \frac{v}{f_{s}} - \frac{v_{s}}{f_{s}} = \frac{v - v_{s}}{f_{s}} \\ f_{o} & = & f_{s} (\frac{v}{v - v_{s}}) . \end{matrix}

Kiedy źródło się porusza i obserwator jest nieruchomy, rejestrowana przez niego częstotliwość jest równa:

f_{o} = f_{s} (\frac{v}{v \mp v_{s}}),

17.18

gdzie $f_{o}$ jest częstotliwością rejestrowaną przez nieruchomego obserwatora, $f_{s}$ jest częstotliwością sygnału wygenerowanego przez poruszające się źródło, $v$ jest prędkością dźwięku, $v_{s}$ jest stałą prędkością, z jaką porusza się źródło dźwięku, znak minus oznacza źródło przybliżające się do obserwatora, a znak plus oddalające się od obserwatora.

Co się dzieje, jeśli obserwator porusza się, a źródło jest nieruchome? Jeśli obserwator przesuwa się w kierunku źródła stacjonarnego, obserwowana częstotliwość jest większa niż częstotliwość źródła. Jeśli obserwator oddala się od źródła stacjonarnego, obserwowana częstotliwość jest niższa niż częstotliwość źródła. Rozważmy obserwatora $X$ na Ilustracji 17.33, który przemieszcza się w kierunku źródła stacjonarnego z prędkością $v_{o}$ . Źródło emituje sygnał o stałej częstotliwości $f_{s}$ i stałym okresie $T_{s} .$ Obserwator słyszy pierwszą falę wyemitowaną przez źródło. Jeśli obserwator byłby nieruchomy, czas dla jednej długości fali dźwięku do przejścia powinien być równy okresowi źródła $T_{s} .$ Ponieważ obserwator porusza się w stronę źródła, czas na przebycie jednej długości fali jest mniejszy niż $T_{s}$ i wynosi $T_{o} = T_{s} - Δ t .$ Dla czasu $t = 0$ obserwator rozpoczyna ruch, spotykając czoło fali i poruszając się dalej w kierunku następnego czoła fali skraca czas jej spotkania. Długość fali obserwatora jest równa długości fali ze źródła, pomniejszonej przez dystans pokonany przez obserwatora. Stąd długość fali ze źródła jest równa odległości przebytej przez obserwatora plus odległość, jaką fala dźwiękowa przebyła do momentu spotkania z obserwatorem:

\begin{matrix} λ_{s} & = & v T_{o} + v_{o} T_{o} \\ v T_{s} & = & (v + v_{o}) T_{o} \\ v (\frac{1}{f_{s}}) & = & (v + v_{o}) (\frac{1}{f_{o}}) \\ f_{o} & = & f_{s} (\frac{v + v_{o}}{v}) . \end{matrix}

Rysunek przedstawia nieruchome źródło dźwięku emitującego fale dźwiękowe o stałej częstotliwości, o stałej długości fali poruszające się z prędkością dźwięku. Obserwator X porusza się w stronę źródła ze stałą prędkością.

Ilustracja 17.33 Stacjonarne źródło dźwięku emituje falę dźwiękową o stałej częstotliwości

f_{s}

, stałej długości fali

λ_{s}

, która porusza się ze stałą prędkością

v

. Obserwator

X

porusza się w stronę źródła dźwięku ze stałą prędkością

v_{o}

. Na rysunku przedstawiono początkową i końcową pozycję obserwatora

X

. Obserwator

X

rejestruje częstotliwość wyższą niż częstotliwość źródłowa. Linie ciągłe pokazują pozycję fali dla

t = 0

. Linie przerywane pokazują pozycje fal dla czasu

t = T_{o}

.

Jeśli obserwator oddala się od źródła (Ilustracja 17.34), rejestrowana częstotliwość może być wyznaczona z:

\begin{matrix} λ_{s} & = & v T_{o} - v_{o} T_{o} \\ v T_{s} & = & (v - v_{o}) T_{o} \\ v (\frac{1}{f_{s}}) & = & (v - v_{o}) (\frac{1}{f_{o}}) \\ f_{o} & = & f_{s} (\frac{v - v_{o}}{v}) . \end{matrix}

Ilustracja 17.34 Stacjonarne źródło emituje falę dźwiękową o stałej częstotliwości

f_{s}

, stałej długości fali

λ_{s}

, która porusza się z prędkością dźwięku

v

. Obserwator

Y

oddala się od źródła ze stałą prędkością

v_{o}

, a na rysunku pokazano początkowe i końcowe położenie obserwatora

Y

. Obserwator

Y

odbiera częstotliwość mniejszą od częstotliwości źródła. Linie ciągłe pokazują położenie fal dla

t = 0

. Linie przerywane pokazują położenie dla

t = T_{o}

.

Zależności dla obserwatora poruszającego się w kierunku nieruchomego źródła i oddalającego się od tego źródła mogą być połączone w jedno równanie:

f_{o} = f_{s} (\frac{v \pm v_{o}}{v}),

17.19

gdzie $f_{o}$ jest odbieraną częstotliwością, $f_{s}$ jest częstotliwością źródłową, a $v_{}$ jest prędkością dźwięku, a $v_{o}$ jest prędkością obserwatora. Znak dodatni dotyczy sytuacji, gdy obserwator przybliża się do źródła, a znak minus, gdy się oddala.

Równanie 17.18 i Równanie 17.19 mogą być uogólnione jedną zależnością. Znak dodatni w liczniku dotyczy przypadku, gdy obserwator porusza się w stronę źródła itd., patrz Tabela 17.4:

f_{o} = f_{s} (\frac{v \pm v_{o}}{v \mp v_{s}}),

17.20

Przesunięcie Dopplera $f_{o} = f_{s} (\frac{v \pm v_{o}}{v \mp v_{s}})$	Nieruchomy obserwator	Obserwator poruszający się w stronę źródła	Obserwator oddalający się od źródła
Źródło nieruchome	$f_{o} = f_{s}$	$f_{o} = f_{s} (\frac{v + v_{o}}{v})$	$f_{o} = f_{s} (\frac{v - v_{o}}{v})$
Źródło poruszające się w stronę obserwatora	$f_{o} = f_{s} (\frac{v}{v - v_{s}})$	$f_{o} = f_{s} (\frac{v + v_{o}}{v - v_{s}})$	$f_{o} = f_{s} (\frac{v - v_{o}}{v - v_{s}})$
Źródło oddalające się od obserwatora	$f_{o} = f_{s} (\frac{v}{v + v_{s}})$	$f_{o} = f_{s} (\frac{v + v_{o}}{v + v_{s}})$	$f_{o} = f_{s} (\frac{v - v_{o}}{v + v_{s}})$

Tabela 17.4

gdzie $f_{o}$ jest rejestrowaną częstotliwością, $f_{s}$ jest częstotliwością źródłową, $v_{}$ jest prędkością dźwięku, $v_{o}$ oznacza prędkość obserwatora, $v_{s}$ jest prędkością źródła, znak plus oznacza przybliżanie się, a znak minus oddalanie.

Materiały pomocnicze

Efekt Dopplera związany jest z ruchem, dlatego film dobrze wizualizuje efekty związane z poruszającym się obserwatorem lub źródłem dźwięku. Ten film pokazuje przypadki ruchomego źródła i stacjonarnego obserwatora oraz poruszającego się obserwatora i stacjonarnego źródła. Omówiono również efekt Dopplera dla fal świetlnych.

Przykład 17.8

Obliczanie efektu Dopplera

Załóżmy, że pociąg, który ma sygnał (klakson) o częstości 150 Hz, porusza się z prędkością 35,0 m/s w dzień, w którym prędkość dźwięku wynosi 340 m/s.

Jaką częstotliwość odbiera osoba stojąca przy torach, gdy pociąg się zbliża i gdy się oddala?
Jaką częstotliwość obserwuje inżynier podróżujący pociągiem?

Strategia rozwiązania

Aby wyznaczyć rejestrowaną częstotliwość dla przypadku (a), należy wykorzystać zależność

f_{o} = f_{s} v / (v \mp v_{s})

, ponieważ źródło znajduje się w ruchu. Znak minus dotyczy zbliżającego się pociągu, a znak plus – oddalającego się pociągu. W przypadku (b) występują dwa przesunięcia Dopplera: jedno związane z poruszającym się źródłem, i drugie związane z poruszającym się obserwatorem.

Rozwiązanie

Podstaw znane wartości do wzoru $f_{o} = f_{s} v / (v \mp v_{s})$ :
$f_{o} = f_{s} (\frac{v}{v - v_{s}}) = 150 H z \cdot \frac{340 m / s}{340 m / s - 35,0 m / s} .$

Oblicz częstotliwość odbieraną przez nieruchomego obserwatora, gdy pociąg się zbliża:

$f_{o} = 150 H z \cdot 1,11 = 167 H z .$

Wykorzystaj tą samą zależność ze znakiem plus, aby wyznaczyć częstotliwość rejestrowaną przez nieruchomego obserwatora dla przypadku, gdy pociąg się oddala:
$f_{o} = f_{s} (\frac{v}{v + v_{s}}) = 150 H z \cdot \frac{340 m / s}{340 m / s + 35,0 m / s} .$
Oblicz drugą częstotliwość:
$f_{o} = 150 H z \cdot 0,907 = 136 H z .$
Określ znane wielkości:
- Wydaje się, że inżynier pociągu usłyszy taką samą częstotliwość sygnału jak tę wyemitowaną przez klakson, ponieważ względne prędkości pomiędzy nimi wynoszą zero.
- Względem ośrodka (powietrze) prędkości wynoszą $v_{s} = v_{o} = 35,0 m/s .$
- Pierwsze przesunięcie Dopplera związane jest z poruszającym się obserwatorem, natomiast drugie z poruszającym się źródłem.
Skorzystaj z poniższej zależności:

$f_{o} = [f_{s} (\frac{v \pm v_{o}}{v})] (\frac{v}{v \mp v_{s}}) .$

Wielkość w nawiasie kwadratowym przedstawia przesunięcie Dopplera związane z poruszającym się obserwatorem. Czynnik po prawej opisuje efekt związany z ruchem źródła.
Ponieważ inżynier w pociągu porusza się w kierunku do klaksonu, musimy wykorzystać znak plus dla v o v o , ale ponieważ klakson porusza się w kierunku przeciwnym (od inżyniera), wykorzystujemy również znak plus dla v s . v s .
Jednak pociąg przewozi zarówno inżyniera, jak i klakson z taką samą prędkością, tj. v s = v o . v s = v o . W efekcie otrzymujemy f o f o :

$f_{o} = f_{s} .$

Znaczenie

Dla przypadku, gdy źródło i obserwator nie poruszają się razem, wyznaczone wartości są prawidłowe, gdy źródło (w tym przypadku pociąg) jest wystarczająco daleko, aby uznać, że ruch źródła i obserwatora odbywa się w linii łączącej źródło i obserwatora. W obu przypadkach przesunięcie jest znaczące i łatwo zauważalne. Zauważ, że przesunięcie wynosi 17 Hz dla ruchu zbliżającego i 14 Hz dla oddalającego się. Przesunięcia nie są więc symetryczne.

W przypadku inżyniera jadącego w pociągu oczekujemy, że nie ma zmian częstotliwości, ponieważ źródło i obserwator poruszają się razem. Jest to zgodne z naszym doświadczeniem. Na przykład nie ma przesunięcia Dopplera w częstotliwości głosów w rozmowie między kierowcą a pasażerem na motocyklu. Ludzie rozmawiający, gdy wiatr przenosi powietrze między nimi, również nie obserwują przesunięcia Dopplera. Kluczowym momentem jest tutaj to, że źródło i obserwator nie poruszają się względem siebie nawzajem.

Sprawdź, czy rozumiesz 17.9

Opisz sytuację ze swojego życia, gdy efekt Dopplera może pomóc ci podczas jazdy samochodem lub gdy poruszasz się w pobliżu drogi.

Efekt Dopplera i przesunięcie Dopplera mają wiele ważnych zastosowań w nauce i inżynierii. Na przykład przesunięcie dopplerowskie w ultrasonografie może być wykorzystane do pomiaru prędkości krwi, a policja wykorzystuje przesunięcie Dopplera w radarze (mikrofale) do pomiaru prędkości samochodów. W meteorologii przesunięcie dopplerowskie służy do śledzenia ruchu chmur burzowych; taki „Radar Dopplerowski” może określić prędkość i kierunek deszczu lub śniegu we froncie pogodowym. W astronomii możemy zbadać światło emitowane przez odległe galaktyki i określić ich prędkość względem naszej. Kiedy galaktyki oddalają się od nas, widmo ich światła zostaje przesunięte w kierunku niższych częstotliwości, a więc zwiększa się długość fali – jest to tak zwane przesunięcie ku czerwieni (ang. red shift). Takie informacje z odległych galaktykach pozwoliły nam oszacować wiek Wszechświata (od Wielkiego Wybuchu) na około 14 miliardów lat.

17.7 Efekt Dopplera

Opis odbieranej częstotliwości na skutek przesunięcia Dopplera

Obliczanie efektu Dopplera

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie