William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać różnicę pomiędzy energią kinetyczną w ruchu obrotowym a energią kinetyczną w ruchu postępowym;
przedstawiać pojęcie momentu bezwładności zależnego od rozkładu masy względem osi obrotu;
wyjaśniać, jak moment bezwładności ciała sztywnego wpływa na jego energię kinetyczną związaną z ruchem obrotowym;
stosować zasadę zachowania energii mechanicznej do analizowania systemów poruszających się zarówno ruchem postępowym jak i obrotowym.;
obliczać prędkość kątową obracającego się ciała w przypadku straty energii w wyniku działania sił niezachowawczych.

Dotychczas w tym rozdziale omawialiśmy kinematykę ruchu obrotowego: opis ruchu obrotowego ciała sztywnego wokół stałej osi. Teraz zdefiniujemy dwie nowe wielkości bardzo przydatne w analizie właściwości obracających się obiektów: moment bezwładności i energię kinetyczną ruchu obrotowego. Te dwie wielkości dadzą nam ważne narzędzie do analizy dynamiki ruchu obrotowego.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Dowolne obracające się ciało ma energię kinetyczną. Potrafimy policzyć energię kinetyczną ciała poruszającego się ruchem postępowym, lecz jak policzyć energię kinetyczną obracającego się ciała? Może to wydawać się bardzo skomplikowane, ponieważ w czasie wykonywania obrotu każdy punkt ciała sztywnego ma inną prędkość liniową. Jednakże w celu wyznaczenia energii kinetycznej ruchu obrotowego (ang. rotational kinetic energy) możemy posłużyć się prędkością kątową, która ma taką samą wartość dla każdego punktu obracającego się ciała. Na Ilustracji 10.17 pokazano przykład pracującej szlifierki, napędzanej silnikiem elektrycznym. Wirująca tarcza szlifierki posiada określoną energię kinetyczną ruchu obrotowego. W momencie styku z obrabianym przedmiotem dochodzi do wystąpienia tarcia. W rezultacie cząstki przedmiotu są odrywane od jego powierzchni i ze względu na dużą energię wyzwalaną w tym procesie dochodzi do ich zapalenia i emisji światła. Dodatkowo, obroty szlifierki wywołują drgania, których częstotliwość zawiera się w paśmie słyszalnym, stąd tego typu pracom towarzyszy hałas.

Zdjęcie mężczyzny szlifującego kawałek metalu szlifierką rotacyjną. Dobrze widoczne są iskry wylatujące z tarczy szlifierskiej.

Ilustracja 10.17 Energia kinetyczna ruchu obrotowego szlifierki jest zamieniana na ciepło, energię światła, dźwięku oraz na energię drgań (Źródło: Zachary David Bell, US Navy)

Energia ruchu obrotowego jest sumą energii kinetycznych ruchu obrotowego poszczególnych cząstek ciała, podobnie jak energia kinetyczna ciała w ruchu postępowym. Ponieważ energia kinetyczna ruchu postępowego jest proporcjonalna do kwadratu prędkości $E_{k} = m v^{2} / 2$ , a prędkość każdego punktu obracającego się ciała jest inna, sensownym postępowaniem jest znalezienie sposobu na wyrażenie energii kinetycznej obracającego się ciała poprzez prędkość kątową, która ma taką samą wartość dla każdego punktu obracającego się ciała. Dla pojedynczej cząstki poruszającej się po okręgu wokół stałej osi możemy tego dokonać w prosty sposób. Możemy powiązać prędkość kątową z wartością prędkości liniowej ruchu po okręgu, stosując zależność $v = ω r$ , gdzie $r$ jest odległością cząstki od osi obrotu, a $v$ jest wartością prędkości ruchu po okręgu. Wstawiając to do wyrażenia na energię kinetyczną otrzymujemy:

E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m {(ω r)}^{2} = \frac{1}{2} (m r^{2}) ω^{2} .

Podzielmy teraz obracające się ciało sztywne na dużą liczbę małych fragmentów, każdy o masie $m_{j}$ i odległości $r_{j}$ od osi obrotu. Każdy z fragmentów będzie miał prędkość $v_{j}$ . Masę całego ciała można teraz zapisać jako $M = \sum_{j} m_{j}$ . Energię kinetyczną obracającego się ciała można wyrazić jako sumę energii kinetycznych wszystkich jej fragmentów:

E_{k} = \sum_{j} \frac{1}{2} m_{j} v_{j}^{2} = \sum_{j} \frac{1}{2} m_{j} {(r_{j} ω_{j})}^{2} .

Ponieważ każdy z fragmentów ma taką samą prędkość kątową $ω_{j} = ω$ , to otrzymujemy:

E_{k} = \frac{1}{2} (\sum_{j} m_{j} r_{j}^{2}) ω^{2} .

10.17

W układzie SI jednostką wielkości $E_{k}$ (energii kinetycznej ruchu obrotowego), określonej powyższym równaniem, jest dżul (J). W przedstawionej formie równanie to wygląda na dość skomplikowane. Postaramy się je nieco uprościć poprzez wprowadzenie nowej wielkości fizycznej – momentu bezwładności.

Moment bezwładności

Porównanie tego wyrażenia do formy zapisu energii kinetycznej w ruchu postępowym w rozdziale Praca i energia kinetyczna, $m v^{2} / 2$ , sugeruje, że mamy do czynienia z nową wielkością obrotową. Dodajmy ją do naszej listy zmiennych obrotowych i zależności pomiędzy zmiennymi obrotowymi a zmiennymi w ruchu postępowym. Wielkość $\sum_{j} m_{j} r_{j}^{2}$ jest odpowiednikiem masy w równaniu na energię kinetyczną ruchu postępowego. Jest to bardzo ważna nowa wielkość fizyczna opisująca ruch obrotowy. Nazywamy ją momentem bezwładności (ang. moment of inertia) $I$ , a jej jednostką jest $k g \cdot m^{2}$ :

I = \sum_{j} m_{j} r_{j}^{2} .

10.18

Wyrażenie to definiuje moment bezwładności układu punktów materialnych poruszających się po okręgu wokół stałej osi. Zauważmy, że moment bezwładności pojedynczej cząstki, liczony względem osi obrotu, wyraża się wielkością $m r^{2}$ , gdzie $r$ jest odległością cząstki od osi obrotu. W następnym podrozdziale zastosujemy całkową postać tego równania do wyznaczania momentu bezwładności brył sztywnych o regularnych kształtach.

Moment bezwładności jest ilościową miarą bezwładności obrotowej, podobnie jak w ruchu postępowym masa jest miarą liniowej bezwładności – to znaczy, im bardziej masywny jest obiekt, tym ma większą inercję (bezwładność) i tym bardziej opiera się zmianom prędkości liniowej. Podobnie, im większa wartość momentu bezwładności bryły sztywnej lub układu cząstek, tym bardziej ciało to przeciwstawia się zmianie prędkości kątowej w jego obrocie wokół stałej osi. Interesująca jest analiza zależnośći momentu bezwładności ciała sztywnego oraz układu punktów materialnych zdefiniowanego Równaniem 10.18 od rozkładu mas względem osi obrotu. Ciała sztywne oraz układy punktów materialnych, których masa jest skupiona dalej od osi obrotu, mają większy moment bezwładności niż ciała, których masa jest skupiona bliżej osi obrotu. Dlatego też pierścień o takiej samej masie, długości i promieniu co pełny walec będzie miał większy od niego moment bezwładności, liczony względem osi obrotu będącej ich osią symetrii. Wstawiając równanie na moment bezwładności (Równanie 10.18) do równania na energię kinetyczną (Równanie 10.17) otrzymujemy wyrażenie na energię kinetyczną obracającego się ciała sztywnego w postaci:

E_{k} = \frac{1}{2} I ω^{2} .

10.19

Z równania tego wynika, że energia kinetyczna obracającego się ciała sztywnego jest wprost proporcjonalna do momentu bezwładności ciała i kwadratu prędkości kątowej. Jest to wykorzystywane w urządzeniach z kołami zamachowymi (ang. flywheel), które służą do magazynowania dużych ilości energii w ruchu obrotowym. Obecnie wielu producentów samochodów testuje w swoich samochodach urządzenia do magazynowania energii wykorzystujące koła zamachowe, jak np. urządzenie do odzyskiwania energii kinetycznej pokazane na Ilustracji 10.18.

Figura jest fotografią urządzenia do odzyskiwania energii kinetycznej w samochodzie, zainstalowanego obok siedzenia kierowcy.

Ilustracja 10.18 Na fotelu pasażera umieszczono urządzenie wykorzystujące koło zamachowe do odzyskiwania energii kinetycznej w samochodzie. (Źródło: „cmonville”/Flicker)

Wielkości opisujące energię kinetyczną ruchu obrotowego i postępowego zostały zebrane w Tabeli 10.5. Zależności wiążących wielkości przedstawione w obu kolumnach nie zawarto w tabeli, ponieważ takie zależności nie istnieją. Nie istnieje bowiem taka stała, przez którą można by pomnożyć wielkość związaną z ruchem obrotowym, aby otrzymać opowiadającą jej wielkość związaną z ruchem postępowym, tak jak to zostało zrobione dla zmiennych przedstawionych w tabeli w poprzednim podrozdziale (Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym).

Ruch obrotowy	Ruch postępowy
$I = \sum_{j} m_{j} r_{j}^{2}$	$m = \sum_{j} m_{j}$
$E_{k} = I ω^{2} / 2$	$E_{k} = m v^{2} / 2$

Tabela 10.5 Energia i bezwładność w ruchu obrotowym i postępowym (

v

w ruchu postępowym jest prędkością środka masy)

Przykład 10.8

Moment bezwładności układu cząstek

Sześć małych nakrętek umieszczono na pręcie o pomijalnej masie i o długości 0,5 m, tak jak to pokazano na Ilustracji 10.19. Nakrętki umieszczono w odległości 10 cm od siebie nawzajem, masa każdej z nakrętek wynosiła 20 g.

Jaki jest moment bezwładności układu nakrętek?
Jeżeli usuniemy dwie nakrętki leżące najbliżej osi obrotu, to jaki będzie moment bezwładności układu pozostałych nakrętek?
Jeżeli układ sześciu nakrętek obraca się z częstotliwością 5 obr/s, to jaka jest jego energia kinetyczna?

Rysunek przedstawia sześć nakrętek umieszczonych co 10 cm od siebie na obracającym się pręcie wokół osi pionowej.

Ilustracja 10.19 Rysunek przedstawia sześć nakrętek umieszczonych w odległości 10 cm od siebie nawzajem na nieważkim pręcie obracającym się wokół pionowej osi.

Strategia rozwiązania

Aby wyznaczyć moment bezwładności układu sześciu nakrętek, zastosujemy definicję momentu bezwładności dla układu punktów materialnych. Ponieważ masy nakrętek są jednakowe, możemy masę nakrętki wyciągnąć przed znak sumowania.
Analogiczne obliczenia wykonamy dla układu czterech nakrętek.
Wstawimy wynik obliczeń z punktu (a) do wyrażenia na energię kinetyczną ruchu obrotowego.

Rozwiązanie

$I = \sum_{j} m_{j} r_{j}^{2} = 0, 02 k g \cdot 2 [{(0, 25 m)}^{2} + {(0, 15 m)}^{2} + {(0, 05 m)}^{2}] = 0, 0035 k g \cdot m^{2}$
$I = \sum_{j} m_{j} r_{j}^{2} = 0, 02 k g \cdot [2 \cdot {(0, 25 m)}^{2} + 2 \cdot {(0, 15 m)}^{2}] = 0, 0034 k g \cdot m^{2}$
$E_{k} = \frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{1}{2} \cdot 0, 0035 k g \cdot m^{2} \cdot {(5, 0 \cdot 2 π r a d / s)}^{2} = 1, 73 J$ .

Znaczenie

Usunięcie dwóch nakrętek leżących najbliżej osi obrotu miało mały wpływ na wartość momentu bezwładności, który jest proporcjonalny do kwadratu odległości punktu materialnego od osi obrotu.

W następnej części uogólnimy równanie na moment bezwładności dla układu punktów materialnych uzyskując równanie na moment bezwładności ciała sztywnego. Na razie jednak, na Ilustracji 10.20 przedstawiono wartości momentów bezwładności dla wybranych ciał obracających się wokół zaznaczonej osi.

Rysunek przedstawia 10 obracających się obiektów. Są na nim obręcz obracająca się wokół osi cylindra, pierścień lub dysk rotujący wokół osi cylindra, cienki pręt obracający się wokół osi przechodzącej przez środek kuli obracającej się wokół średnicy, obręcz obracająca się wokół średnicy, pierścieniowy cylinder obracający się wokół osi cylindra, cylinder lub dysk obracający się wokół środka średnicy, cienki drążek obracający się wokół osi przechodzącej przez jeden z końców prostopadłych do długości, cienka pusta sfera bez żadnej średnicy, płyta o osi prostopadłej przechodzącej przez środek.

Ilustracja 10.20 Momenty bezwładności wybranych ciał. Oś obrotu względem której obliczono moment bezwładności zaznaczono przerywana linią.

Stosowanie energii kinetycznej ruchu obrotowego

Zastosujmy teraz pojęcie energii kinetycznej ruchu obrotowego i momentu bezwładności do zaznajomienia się z energią ruchu obrotowego związaną z obrotami wybranych obiektów. Poniższe przykłady ułatwią również korzystanie z tych równań. Najpierw przyjrzyjmy się ogólnej strategii rozwiązywania zadań dotyczących energii ruchu obrotowego.

Strategia rozwiązywania zadań: energia kinetyczna ruchu obrotowego

Ustal, czy w zadaniu mamy do czynienia z energią lub pracą w ruchu obrotowym.
Określ, co nas interesuje. Zwykle pomaga szkic rozwiązania.
Dokonaj analizy zadania w celu określenia rodzajów pracy i energii.
Jeśli nie ma strat energii ze względu na tarcie i inne siły niezachowawcze, energia mechaniczna jest zachowana, tj. $E_{\text{k pocz}} + E_{\text{p pocz}} = E_{\text{k końc}} + E_{\text{p końc}}$ .
Jeżeli występują siły niezachowawcze, to energia mechaniczna nie jest zachowana. Oznacza to, że inne formy energii, takie jak energia cieplna lub energia świetlna, mogą być dostarczane lub oddawane przez układ.
Dla ułatwienia obliczeń, tam gdzie jest to możliwe, upraszczaj wyrażenia algebraiczne.
Oceń rozwiązanie numeryczne, aby sprawdzić, czy ma ono sens w sytuacji fizycznej przedstawionej w treści zadania.

Przykład 10.9

Energia lecącego helikoptera

Typowy mały helikopter ratunkowy ma cztery łopaty wirnika: każda ma długość 4,00 m i masę

m = 50, 0 k g

(Ilustracja 10.21). Łopaty można rozpatrywać jako cienkie pręty, które obracają się wokół jednego z końców, wokół osi prostopadłej do ich długości. Całkowita masa załadowanego helikoptera wynosi

M = 1000 k g

.

Oblicz energię kinetyczną ruchu obrotowego łopat wirnika, jeśli ich prędkość obrotowa wynosi 300 obr/min.
Oblicz energię kinetyczną ruchu postępowego helikoptera, gdy leci on z prędkością $20, 0 m / s$ , i porównaj ją z energią kinetyczną ruchu obrotowego łopat.

Rysunek A pokazuje czterołopatkowy helikopter o 4 m łopatkach obracających się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Ilustracja B jest zdjęciem pokazującym akcję ratownictwa wodnego z użyciem helikoptera.

Ilustracja 10.21 (a) Szkic helikoptera z czterołopatowym wirnikiem głównym. (b) Akcja ratownictwa wodnego z udziałem helikoptera ze służby ratunkowej Westpac Rescue Helicopter. (Źródło b: "111 Emergency" / Flickr)

Strategia rozwiązania

Energię kinetyczną ruchu postępowego i obrotowego możemy wyznaczyć z ich definicji. W treści zadania znajdziemy wszystkie wartości wielkości fizycznych, potrzebne do obliczenia energii ruchu postępowego i obrotowego helikoptera.

Rozwiązanie

Energia kinetyczna ruchu obrotowego dana jest wyrażeniem:
$E_{k} = \frac{1}{2} I ω^{2} .$
Prędkość obrotową zamieniamy na prędkość kątową:
$ω = \frac{300 o b r}{1, 00 m i n} \cdot \frac{2 π r a d}{1 o b r} \cdot \frac{1, 00 m i n}{60, 0 s} = 31, 4 \frac{r a d}{s} .$
Moment bezwładności jednej łopaty można przybliżyć momentem bezwładności cienkiego pręta obracającego się wokół jednego z jego końców. Wartość tego momentu podana jest na Ilustracji 10.20. Ponieważ wirnik helikoptera ma cztery łopaty, całkowity moment bezwładności będzie 4 razy większy. Tak więc:
$I = 4 \cdot \frac{m l^{2}}{3} = 4 \cdot \frac{50, 0 k g \cdot {(4, 00 m)}^{2}}{3} = 1067, 0 k g \cdot m^{2} .$
Wstawiając wartości $ω$ oraz $I$ do wyrażenia na energię kinetyczną ruchu obrotowego, otrzymamy:
$E_{k} = 0, 5 \cdot 1067 k g \cdot m^{2} \cdot {(31, 4 r a d / s)}^{2} = 5, 26 \cdot 10^{5} J .$
Wstawiając wartości $M$ oraz $v$ do wyrażenia na energię kinetyczną ruchu postępowego helikoptera, otrzymujemy:
$E_{k} = \frac{1}{2} M v^{2} = 0, 5 \cdot 1000, 0 k g \cdot {(20 m / s)}^{2} = 2, 00 \cdot 10^{5} J .$
$\frac{2, 00 \cdot 10^{5} J}{5, 26 \cdot 10^{5} J} = 0, 380.$

Znaczenie

Stosunek energii kinetycznej ruchu postępowego do energii kinetycznej ruchu obrotowego wynosi zaledwie 0,380. Wielkość ta świadczy o tym, że większość energii kinetycznej helikoptera jest zawarta w jego wirujących łopatach.

Przykład 10.10

Energia bumerangu

Mężczyzna rzuca w powietrze bumerang z prędkością 30,0 m/s pod kątem

40, 0^{\circ}

względem poziomu (Ilustracja 10.22). Bumerang ma masę 1,0 kg i obraca się z częstotliwością 10,0 obr/s. Moment bezwładności bumerangu można wyliczyć ze wzoru

I = m L^{2} / 12

, gdzie

L = 0,7 m

.

Jaka jest całkowita energia bumerangu w momencie, gdy opuszcza on rękę człowieka?
Jak wysoko uniesie się bumerang, licząc od wysokości wyciągniętej ręki człowieka? Można pominąć opór powietrza.

Rysunek pokazuje mężczyznę wyrzucającego w powietrze bumerang pod kątem 40 stopni.

Ilustracja 10.22 Bumerang wyrzucany w powietrze pod kątem

40^{\circ}

.

Strategia rozwiązania

Energię całkowitą bumerangu wyznaczymy jako sumę energii kinetycznej ruchu obrotowego i energii kinetycznej ruchu postępowego. W zadaniu podano, że można zaniedbać stratę energii związaną z oporem powietrza. W związku z tym w punkcie (b), w celu wyznaczenia maksymalnej wysokości, na jaką wzniósł się bumerang, możemy zastosować zasadę zachowania energii mechanicznej.

Rozwiązanie

Moment bezwładności jak dla pręta przedstawiony na Ilustracji 10.20:

$I = \frac{1}{12} \cdot 1, 0 k g \cdot {(0, 7 m)}^{2} = 0, 041 k g \cdot m^{2} .$

Prędkość kątowa:

$ω = 10, 0 o b r / s \cdot 2 π r a d / o b r = 62, 83 r a d / s .$

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

$E_{obr} = \frac{1}{2} \cdot 0, 041 k g \cdot m^{2} \cdot {(62, 83 r a d / s)}^{2} = 80, 93 J .$

Energia kinetyczna ruchu postępowego

$E_{pos} = \frac{1}{2} \cdot 1, 0 k g \cdot {(30, 0 m / s)}^{2} = 450, 0 J .$

Energia całkowita jest sumą energi kinetycznej ruchu postępowego i ruchu obrotowego

$E = E_{obr} + E_{pos} = 80, 93 J + 450, 0 J = 530, 9 J$
Zastosujemy zasadę zachowania energii mechanicznej. Ponieważ bumerang rzucono pod pewnym kątem względem poziomu, jego całkowitą energię kinetyczną ruchu postępowego możemy zapisać jako sumę energii w kierunku poziomym (oś $x$ ) oraz energii ruchu postępowego w kierunku pionowym (oś $y$ ). Energia całkowita bumerangu w momencie opuszczania ręki mężczyzny może być zapisana jako:
$E_{pocz} = \frac{1}{2} m v_{x}^{2} + \frac{1}{2} m v_{y}^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2} .$
Energia bumerangu w momencie osiągnięcia maksymalnej wysokości jest równa:
$E_{konc} = \frac{1}{2} m v_{x}^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2} + m g h .$
Z zasady zachowania energii mechanicznej wynika, że $E_{pocz} = E_{konc}$ . Zatem, z dwóch powyższych równań otrzymujemy:
$\frac{1}{2} m v_{y}^{2} = m g h .$
Ponieważ $v_{y} = 30, 0 m / s \cdot \sin 40^{\circ} = 19, 28 m / s$ , otrzymamy:
$h = \frac{{(19, 28 m / s)}^{2}}{2 \cdot 9, 8 m / s^{2}} = 18, 97 m .$

Znaczenie

Część (b) pokazuje, że zastosowanie zasady zachowania energii może dawać alternatywną metodę rozwiązywania zadań, które zwykle są rozwiązywane za pomocą równań kinematyki. W przypadku braku oporu powietrza energia kinetyczna ruchu obrotowego nie wpływa na wartość maksymalnej wysokości, jaką osiągnął bumerang.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.4

Śruba napędowa podwodnego okrętu o napędzie jądrowym ma moment bezwładności wynoszący $800, 0 k g \cdot m^{2}$ . W chwili, gdy śruba napędowa obracała się z prędkością $4 o b r / s$ , wyłączono silnik, który ją napędza. Jaka będzie wartość prędkości kątowej śruby po 5,0 s od wyłączenia silnika, jeżeli w tym czasie śruba wykonała pracę 50 000 J przeciwko siłom oporu wody?

10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Moment bezwładności

Moment bezwładności układu cząstek

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Stosowanie energii kinetycznej ruchu obrotowego

Energia lecącego helikoptera

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Energia bumerangu

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie