William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania trudniejsze

88.

Bomba atomowa po raz pierwszy została zdetonowana 16 lipca 1945 roku podczas testu Trinity, około 300 km na południe od Los Alamos. W 1947 roku rząd Stanów Zjednoczonych odtajnił nagranie z tego wydarzenia. Na podstawie tego nagrania brytyjski fizyk G. I. Taylor ustalił prędkość, z jaką rozprzestrzeniała się eksplozja. Dzięki analizie wymiarowej mógł następnie określić ilość energii uwolnionej podczas eksplozji. W tamtym czasie była to informacja tajna, w związku z czym Taylor opublikował wyniki swojej analizy dopiero w roku 1950. Możesz spróbować sam odtworzyć przebieg przeprowadzonych przez Taylora obliczeń.

a. Opierając się na intuicji będącej wynikiem wieloletniego doświadczenia, Taylor uznał, że promień $r$ obszaru objętego eksplozją zależny był od czasu $t$ , który upłynął od wybuchu, gęstości powietrza $ρ$ oraz energii początkowej eksplozji $E$ . W oparciu o te założenia stwierdził, że $r = k E^{a} ρ^{b} t^{c}$ , gdzie $k$ jest bezwymiarową stałą, natomiast $a$ , $b$ oraz $c$ są nieznanymi wykładnikami. Wiedząc, że $[E] = M L^{2} T^{- 2}$ , określ wartości wykładników tak, aby równanie było wymiarowo spójne. Wskazówka : Zauważ, że po przekształceniu wzoru uzyskamy $k = r E^{− a} ρ^{− b} t^{− c}$ oraz że $[k] = 1 .$

b. Po zapoznaniu się z danymi dotyczącymi środków wybuchowych generujących dużą ilość energii, Taylor stwierdził, że opracowany przez niego wzór jest poprawny, jeśli stała $k$ ma wartość 1,03. Na podstawie nagrania Taylor mógł określić wiele wartości $r$ i związanych z nimi wartości $t$ . Na przykład stwierdził, że po 25,0 ms promień obszaru objętego eksplozją był równy 130,0 m. Skorzystaj z podanych tu wartości, aby obliczyć całkowitą energię uwolnioną podczas eksplozji, w dżulach (J). Przyjmij, że średnia gęstość powietrza jest równa $1,25 k g / m^{3}$ . Wskazówka: Aby obliczyć energię w dżulach, musisz się upewnić, że wszystkie wartości, na jakich operujesz, podane są w podstawowych jednostkach układu SI.

89.

Energia uwolniona podczas dużych eksplozji często wyrażana jest w tonach trotylu. 1 t trotylu to około 4,2 GJ. Przedstaw wynik uzyskany w poprzednim zadaniu w podpunkcie b. w kilotonach trotylu. Porównaj swoją odpowiedź z wartością 10 kt trotylu, którą oszacował Enrico Fermi wkrótce po tym, jak zobaczył eksplozję z dystansu, który uznał za bezpieczny (podobno Fermi umieścił na ziemi kawałki papieru tuż przed tym jak, dotarła do niego fala uderzeniowa, co pozwoliło mu zaobserwować, jak daleko kawałki te zostały przeniesione).

90.

Celem tego ćwiczenia jest pokazanie, że cała idea spójności wymiarów wynika z tego, że nie można dodać do siebie różnych rzeczy. Jeżeli na analizie matematycznej uczyłeś się o szeregach potęgowych, to wiesz, że standardowe funkcje matematyczne, takie jak funkcje trygonometryczne, logarytmiczne lub eksponencjalne, można przedstawić jako nieskończone sumy postaci $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots$ , gdzie $a_{n}$ jest bezwymiarową stałą, $n$ przyjmuje wartości $n = 0,1,2, \dots$ , a $x$ jest argumentem funkcji (jeżeli nie przerabiałeś jeszcze szeregów potęgowych, po prostu zaufaj nam). Wykorzystaj ten fakt, aby wytłumaczyć dlaczego definicja spójności wymiarów sprowadza się tylko do tego, aby wszystkie składniki w równaniu miały ten sam wymiar. Wzór ten sugeruje, że argumenty standardowych funkcji matematycznych powinny być bezwymiarowe, a więc tego ostatniego warunku nie trzeba zawierać w definicji spójności wymiarowej.