Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

9.5 Teoria pasmowa ciał stałych

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 39.5 Teoria pasmowa ciał stałych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać dwa główne podejścia do wyznaczania poziomów energetycznych elektronu w krysztale;
  • wyjaśniać pochodzenie pasm i przerw energetycznych w krysztale;
  • wyjaśniać, dlaczego niektóre materiały są dobrymi przewodnikami, a inne dobrymi izolatorami;
  • odróżniać izolator od półprzewodnika.

Model elektronów swobodnych może posłużyć do wyjaśnienia wielu ważnych właściwości przewodników. Ma jednak co najmniej dwie poważne wady. Po pierwsze, zakłada, że potencjał wewnątrz kryształu jest stały (przypomnijmy, że stały potencjał oznacza brak sił). Na Ilustracji 9.14 porównano stałą energię potencjalną (linia przerywana) z periodyczną energią potencjalną Coulomba, która maleje jak 1 r 1 r -1/r przy każdym punkcie sieci, gdzie r r r jest odległością od rdzenia jonu (linia ciągła). Po drugie, w modelu elektronów swobodnych zakłada się, że na powierzchni znajduje się nieprzenikalna bariera. Założenie to jest dużym przybliżeniem, ponieważ elektrony mogą opuszczać powierzchnię tak jak w efekcie fotoelektrycznym. Ponadto model gazu elektronów swobodnych nie tłumaczy ogromnych różnic we właściwościach elektronowych przewodników, półprzewodników i izolatorów. Tak więc potrzebny jest model lepiej opisujący rzeczywistość.

Rysunek pokazuje trzy krzywe o kształcie odwróconej litery U, w szeregu jedna obok drugiej oraz dwie podobne, ale niekompletne, po obu stronach szeregu. Pomiędzy kolejnymi krzywymi, na dole rysunku, znajdują się czerwone kropki ze znakami plus poniżej. Odległość pomiędzy sąsiadującymi kropkami oznaczona jest jako a. Krzywe opisane są jako -1 dzielone przez r. Tuż powyżej krzywych znajduje się pozioma przerywana linia opisana jako przybliżona stała energia potencjalna.
Ilustracja 9.14 Potencjał okresowy wykorzystywany do modelowania elektronów w przewodniku. Każdy jon w krysztale jest źródłem potencjału Coulomba. Warto zauważyć, że model gazu elektronowego jest uzasadniony tym, że średnia tego potencjału jest w przybliżeniu stała.

Można zbudować ulepszony model, rozwiązując równanie Schrödingera dla potencjału periodycznego, jak na Ilustracji 9.14. Jednakże rozwiązanie takie wymaga zastosowania zaawansowanej matematyki, co znacznie wykracza poza ramy tego podręcznika. Mimo to, by zrobić kolejny krok, poszukamy argumentów jakościowych opartych na mechanice kwantowej.

Najpierw przypomnimy sobie argument użyty do wyjaśnienia struktury energetycznej w wiązaniu kowalencyjnym. Rozważmy dwa identyczne atomy wodoru, na tyle oddalone od siebie, że nie ma między nimi żadnego oddziaływania. Następnie załóżmy, że w każdym z tych atomów elektron znajduje się w stanie podstawowym 1 s 1 s 1s o energii 13,6 eV 13,6 eV -\SI{13,6}{\electronvolt} (pomijamy spin). Kiedy te dwa atomy zbliżymy do siebie, dwie funkcje falowe z dwóch atomów nakładają się i z powodu zakazu Pauliego nie mogą już reprezentować tego samego stanu. To powoduje rozszczepienie początkowo jednakowych energii na dwa różne poziomy energetyczne. Energie tych poziomów zależą od odległości międzyatomowej, α α \alpha (Ilustracja 9.15).

Jeżeli cztery atomy wodoru zbliżymy do siebie, to w każdej studni potencjału (każdego atomu) powstaną cztery poziomy z czterech możliwych, symetrycznie nierównoważnych konfiguracji „garbów” funkcji sinus. W granicy dużej liczby N N N atomów, czyli jak w krysztale, spodziewamy się pewnego przedziału poziomów energetycznych zmieniających się w sposób niemal ciągły (patrz Ilustracja 9.15 (c)). Te przedziały energii nazywamy pasmami energetycznymi (ang. energy band; dozwolone stany są nadal skwantowane, lecz przy dużej liczbie atomów znajdują się tak blisko siebie, że można uważać, iż tworzą pasmo o energii zmieniającej się w sposób ciągły).

Pasma energetyczne różnią się liczbą zawartych w nich elektronów. W pasmach tworzonych przez stany 1 s 1 s 1s i 2 s 2 s 2s na każdym poziomie znajdują się maksymalnie dwa elektrony (o spinie w górę i spinie w dół), tak że każde z tych pasm zawiera najwyżej 2 N 2 N 2N elektronów. W paśmie złożonym ze stanów 2 p 2 p 2p na każdym poziomie znajduje się maksymalnie sześć elektronów, a więc całe pasmo zawiera najwyżej 6 N 6 N 6N elektronów (Ilustracja 9.16).

Pokazane są trzy wykresy E w funkcji R. Na wykresie a znajdują się dwie krzywe, które w sposób niemal prostopadły opadają w dół, następnie skręcają w prawo, by ostatecznie stać się prawie poziome. Krzywe te zbiegają się przy końcu do jednej linii. Na wykresie b znajdują się podobne krzywe, ale pojawiają się dwie dodatkowe linie pomiędzy liniami z wykresu a. Wykres c jest podobny do wykresu a, ale obszar między krzywymi jest zacieniowany.
Ilustracja 9.15 Zależność rozszczepienia poziomów energetycznych od średniej odległości między (a) dwoma atomami, (b) czterema atomami i (c) dużą liczbą atomów. Przy dużej liczbie atomów powstaje pasmo energetyczne (energia wewnątrz pasma zmienia się w sposób ciągły).
Na rysunku znajdują się trzy zacieniowane prostokąty, jeden nad drugim, rozdzielone przerwami. Najniższy opisany jest jako 1s, środkowy jako 2s i najwyższy jako 2p. Prostokąty 1s i 2s mają taką samą wysokość a 2p jest wyższy. Wszystkie mają taką samą szerokość. Po lewej stronie od prostokątów znajduje się strzałka skierowana w górę, oznaczona jako energia.
Ilustracja 9.16 Prosta reprezentacja struktury energetycznej kryształu. Elektrony należą do pasm oddzielonych przerwami energetycznymi.

Każde pasmo oddzielone jest od sąsiedniego przerwą energetyczną (ang. energy gap). Właściwości elektryczne przewodników i izolatorów można wyjaśnić, posługując się obrazem pasm. Najwyższe zapełnione pasmo nazywane jest pasmem walencyjnym (ang. valence band). Następne pasmo dostępne w strukturze energetycznej to pasmo przewodnictwa (ang. conduction band). W przewodniku najwyższe pasmo zawierające elektrony jest tylko częściowo zapełnione, podczas gdy w izolatorze pasmo to jest całkowicie zapełnione. Różnica między przewodnikiem a izolatorem przedstawiona jest na Ilustracji 9.17.

Przewodnik różni się od izolatora sposobem, w jaki elektrony odpowiadają na pole elektryczne. Jeśli znacząca liczba elektronów wprawiana jest w ruch przez pole, wówczas materiał jest przewodnikiem. W obrazie modelu pasm elektrony w częściowo zapełnionym paśmie przewodnictwa zyskują energię kinetyczną od pola elektrycznego, zapełniając wyższe stany energetyczne w ramach tego samego pasma. Inaczej jest w izolatorze, gdzie elektrony należą do całkowicie zapełnionego pasma walencyjnego, a kolejne pasmo jest puste. Gdy przyłożone jest pole elektryczne, elektrony nie mogą wykonać takich przejść z powodu zakazu Pauliego, w wyniku czego materiał nie przewodzi prądu.

Na dwóch rysunkach znajduje się w dolnej części prostokąt opisany jako pasmo walencyjne, następnie pusta przestrzeń opisana jako przerwa energetyczna i prostokąt w górnej części opisany jako pasmo przewodnictwa. Na rysunku a, opisanym jako przewodnik: pasmo walencyjne jest zapełnione, pasmo przewodnictwa niezapełnione, dolny prostokąt jest zacieniowany a górny ma zacieniowaną tylko dolną połowę. Na rysunku b, opisanym jako izolator: pasmo walencyjne jest zapełnione, pasmo przewodnictwa zapełnione, oba prostokąty są całkowicie zacienione.
Ilustracja 9.17 Porównanie przewodnika do izolatora. Najwyższe pasmo energetyczne jest częściowo zapełnione w przewodniku i całkowicie puste w izolatorze.

Materiały pomocnicze

Odwiedź symulację, aby dowiedzieć się, skąd biorą się pasma energetyczne w kryształach i jak struktura pasm określa, czy materiał przewodzi prąd. Zbadaj, jak sieć wielu studni kwantowych tworzy strukturę pasmową.

Półprzewodnik (ang. semiconductor) ma strukturę energetyczną podobną do izolatora, lecz ze stosunkowo małą przerwą energetyczną między najwyższym pasmem całkowicie zapełnionym a kolejnym całkowicie pustym. Ten typ materiału stanowi podstawę współczesnej elektroniki. W temperaturze T = 0 K T = 0 K T=\SI{0}{\kelvin} zarówno izolator, jak i półprzewodnik mają całkowicie zapełnione pasmo walencyjne. Jedyna różnica jest w szerokości przerwy energetycznej E g E g E_{\text{g}} pomiędzy najwyższym pasmem zapełnionym (pasmo walencyjne) a następnym całkowicie pustym (pasmo przewodnictwa). W półprzewodnikach przerwa ta jest na tyle mała, że w temperaturze pokojowej znacząca liczba elektronów jest termicznie wzbudzona do pasma przewodnictwa. Elektrony te znajdują się w prawie pustym paśmie i mogą zareagować na przyłożone pole elektryczne. W uproszczeniu przyjmuje się, że półprzewodnik to materiał, w którym przerwa energetyczna wynosi ok. 1 eV 1 eV \SI{1}{\electronvolt} . (Patrz Tabela 9.4 dla krzemu). Dla porównania, przerwa energetyczna w diamencie wynosi kilka elektronowoltów.

Materiał Przerwa wzbroniona EgEg E_{\text{g}} (eVeV \si{\electronvolt})
Si 1,14 1,14 \num{1,14}
Ge 0,67 0,67 \num{0,67}
GaAs 1,43 1,43 \num{1,43}
GaP 2,26 2,26 \num{2,26}
GaSb 0,69 0,69 \num{0,69}
InAs 0,35 0,35 \num{0,35}
InP 1,35 1,35 \num{1,35}
InSb 0,16 0,16 \num{0,16}
C (diament) 5,48 5,48 \num{5,48}
Tabela 9.4 Przerwa energetyczna w różnych materiałach w temperaturze 300 K 300 K \SI{300}{\kelvin} , w eV eV \si{\electronvolt} . Uwaga: oprócz diamentu, wszystkie materiały zamieszczone w tabeli są półprzewodnikami.
Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.