2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio

Ecuaciones de una línea en el espacio

Primero vamos a explorar lo que significa que dos vectores sean paralelos. Recordemos que los vectores paralelos deben tener direcciones iguales u opuestas. Si dos vectores distintos de cero, $\text{u}$ y $\text{v},$ son paralelos, afirmamos que debe haber un escalar, $k,$ tal que $\text{u}=k\text{v}.$ Si $\text{u}$ y $\text{v}$ tienen la misma dirección, simplemente elija $k=\frac{\Vert \text{u}\Vert }{\Vert \text{v}\Vert }.$ Si $\text{u}$ y $\text{v}$ tienen direcciones opuestas, elija $k=-\frac{\Vert \text{u}\Vert }{\Vert \text{v}\Vert }.$ Observe que lo contrario también es válido. Si los valores de $\text{u}=k\text{v}$ para algún escalar $\text{k},$ entonces $\text{u}$ y $\text{v}$ tienen la misma dirección $\left(k>0\right)$ o direcciones opuestas $\left(k<0\right),$ así que $\text{u}$ y $\text{v}$ son paralelos. Por lo tanto, dos vectores distintos de cero $\text{u}$ y $\text{v}$ son paralelos si y solo si $\text{u}=k\text{v}$ para algún escalar $\text{k}.$ Por convención, el vector cero $0$ se considera paralelo a todos los vectores.

Al igual que en dos dimensiones, podemos describir una línea en el espacio utilizando un punto de la línea y la dirección de la misma, o un vector paralelo, que llamamos vector director (Figura 2.63). Supongamos que $L$ es una línea en el espacio que pasa por el punto $P\left(x_0,y_0,z_0\right).$ Supongamos que $\text{v}=\langle a,b,c\rangle$ es un vector paralelo a $L.$ Entonces, para cualquier punto de la línea $Q\left(x,y,z\right),$ sabemos que $\overrightarrow{PQ}$ es paralelo a $\text{v}.$ Así, como acabamos de discutir, hay un escalar, $t,$ tal que $\overrightarrow{PQ}=t\text{v},$ que da

Figura 2.63 El vector v es el vector director para $\overrightarrow{PQ}.$

Utilizando operaciones vectoriales, podemos reescribir la Ecuación 2.11 como

Si establecemos que $\text{r}=\langle x,y,z\rangle$ y ${\text{r}}_0=\langle x_0,y_0,z_0\rangle ,$ ahora tenemos la ecuación vectorial de una línea:

Al igualar los componentes, la Ecuación 2.11 muestra que las siguientes ecuaciones son simultáneamente verdaderas $x–x_0=ta,$ $y–y_0=tb,$ y $z-z_0=tc.$ Si resolvemos cada una de estas ecuaciones para las variables de las componentes $x,y,\text{y}z,$ obtenemos un conjunto de ecuaciones en las que cada variable está definida en términos del parámetro t y que, en conjunto, describen la línea. Este conjunto de tres ecuaciones forma un conjunto de ecuaciones paramétricas de una línea:

Si resolvemos cada una de las ecuaciones para $t$ asumiendo que $a,b,\text{y}c$ son distintas de cero, obtenemos una descripción diferente de la misma línea:

Como cada expresión es igual a t, todas tienen el mismo valor. Podemos establecerlas iguales entre sí para crear ecuaciones simétricas de una línea:

Resumimos los resultados en el siguiente teorema.

Las ecuaciones paramétricas de una línea no son únicas. Si se utiliza un vector paralelo diferente o un punto diferente de la línea, se obtiene una representación diferente y equivalente. Cada conjunto de ecuaciones paramétricas conduce a un conjunto relacionado de ecuaciones simétricas, por lo que se deduce que una ecuación simétrica de una línea tampoco es única.

A veces no queremos la ecuación de una línea completa, sino solo un segmento de línea. En este caso, limitamos los valores de nuestro parámetro $t.$ Por ejemplo, supongamos que $P\left(x_0,y_0,z_0\right)$ y $Q\left(x_1,y_1,z_1\right)$ son puntos de una línea, y que $\text{p}=\langle x_0,y_0,z_0\rangle$ y $\text{q}=\langle x_1,y_1,z_1\rangle$ son los vectores de posición asociados. Además, supongamos que $\text{r}=\langle x,y,z\rangle .$ Queremos hallar una ecuación vectorial para el segmento de línea entre $P$ y $Q.$ Al usar $P$ como nuestro punto conocido en la línea, y $\overrightarrow{PQ}=\langle x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0\rangle$ como la ecuación del vector director, la Ecuación 2.12 da

Utilizando las propiedades de los vectores, entonces

Por lo tanto, la ecuación vectorial de la línea que pasa por $P$ y $Q$ es

Recuerde que no queríamos la ecuación de toda la línea, solo el segmento de línea entre $P$ y $Q.$ Observe que cuando $t=0,$ tenemos $r=p,$ y cuando $t=1,$ tenemos $r=q.$ Por lo tanto, la ecuación vectorial del segmento de línea entre $P$ y $Q$ es

Volviendo a la Ecuación 2.12, también podemos hallar ecuaciones paramétricas para este segmento de línea. Tenemos

Entonces, las ecuaciones paramétricas son

Distancia entre un punto y una línea

Ya sabemos cómo calcular la distancia entre dos puntos en el espacio. Ahora ampliamos esta definición para describir la distancia entre un punto y una línea en el espacio. Existen varios contextos del mundo real en los que es importante poder calcular estas distancias. Cuando se construye una casa, por ejemplo, los constructores deben tener en cuenta los requisitos de "retranqueo", cuando las estructuras o instalaciones tienen que estar a una determinada distancia del límite de la propiedad. Los viajes en avión ofrecen otro ejemplo. Las compañías aéreas están preocupadas por las distancias entre las zonas pobladas y las rutas de vuelo propuestas.

Supongamos que $L$ es una línea en el plano y que $M$ es cualquier punto que no esté en la línea. Entonces, definimos la distancia $d$ de $M$ a $L$ como la longitud del segmento de línea $\stackrel{—}{MP},$ donde $P$ es un punto en $L$ tal que $\stackrel{—}{MP}$ es perpendicular a $L$ (Figura 2.64).

Figura 2.64 La distancia desde el punto $M$ a la línea $L$ es la longitud de $\stackrel{—}{MP}.$

Cuando buscamos la distancia entre una línea y un punto en el espacio, la Figura 2.64 todavía aplica. Seguimos definiendo la distancia como la longitud del segmento de línea perpendicular que une el punto con la línea. En el espacio, sin embargo, no hay una forma clara de saber qué punto de la línea crea ese segmento de línea perpendicular, así que seleccionamos un punto arbitrario de la línea y utilizamos las propiedades de los vectores para calcular la distancia. Por lo tanto, supongamos que $P$ es un punto arbitrario de la línea $L$ y supongamos que $\text{v}$ es un vector director para $L$ (Figura 2.65).

Figura 2.65 Los vectores $\overrightarrow{PM}$ y v forman dos lados de un paralelogramo con base $\Vert \text{v}\Vert$ y altura $d,$ que es la distancia entre una línea y un punto en el espacio.

Por Área de un paralelogramo, los vectores $\overrightarrow{PM}$ y $\text{v}$ forman dos lados de un paralelogramo con área $\Vert \overrightarrow{PM}\times \text{v}\Vert .$ Utilizando una fórmula de la geometría, el área de este paralelogramo también se puede calcular como el producto de su base y su altura:

Podemos utilizar esta fórmula para hallar una fórmula general para la distancia entre una línea en el espacio y cualquier punto que no esté en la línea.

Ejemplo 2.47

Cálculo de la distancia de un punto a una línea

Calcule la distancia entre el punto t $M=\left(1,1,3\right)$ y la línea $\frac{x-3}{4}=\frac{y+1}{2}=z-3.$

Solución

A partir de las ecuaciones simétricas de la línea, sabemos que el vector $\text{v}=\langle 4,2,1\rangle$ es un vector director para la línea. Estableciendo las ecuaciones simétricas de la línea iguales a cero, vemos que el punto $P\left(3,\mathrm{–1},3\right)$ está en la línea. Entonces,

$$\overrightarrow{PM}=\langle 1-3,1-(\mathrm{–1}),3-3\rangle =\langle \mathrm{–2},2,0\rangle .$$

Para calcular la distancia, tenemos que hallar $\overrightarrow{PM}\times \text{v}\text{:}$

$$\begin{array}{cc}\hfill \overrightarrow{PM}\times \text{v}& =\left|\begin{array}{ccc}\hfill \text{i}& \hfill \text{j}\hfill & \hfill \text{k}\hfill \\ \hfill \mathrm{-2}& \hfill 2\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 4& \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right|\hfill \\ & =\left(2-0\right)\text{i}-\left(\mathrm{-2}-0\right)\text{j}+\left(\mathrm{-4}-8\right)\text{k}\hfill \\ & =2\text{i}+2\text{j}-12\text{k}.\hfill \end{array}$$

Por lo tanto, la distancia entre el punto y la línea es (Figura 2.66)

$$\begin{array}{cc}\hfill d& =\frac{\Vert \overrightarrow{PM}\times \text{v}\Vert }{\Vert \text{v}\Vert }\hfill \\ & =\frac{\sqrt{2^2+2^2+{12}^2}}{\sqrt{4^2+2^2+1^2}}\hfill \\ & =\frac{2\sqrt{38}}{\sqrt{21}}.\hfill \end{array}$$

Figura 2.66 El punto $\left(1,1,3\right)$ está aproximadamente a $\mathrm{2,7}$ unidades de la línea con ecuaciones simétricas $\frac{x-3}{4}=\frac{y+1}{2}=z-3.$

Relaciones entre líneas

Dadas dos líneas en el plano bidimensional, las líneas son iguales, son paralelas pero no iguales, o se intersecan en un solo punto. En tres dimensiones, es posible un cuarto caso. Si dos líneas en el espacio no son paralelas, pero no se intersecan, entonces se dice que son líneas sesgadas (Figura 2.67).

Figura 2.67 En tres dimensiones, es posible que dos líneas no se intersequen, aunque tengan direcciones diferentes.

Para clasificar las líneas como paralelas pero no iguales, iguales, que se intersecan o sesgadas, necesitamos saber dos cosas: si los vectores directores son paralelos y si las líneas comparten un punto (Figura 2.68).

Figura 2.68 Determine la relación entre dos líneas en función de si sus vectores directores son paralelos y si comparten un punto.

Ecuaciones para un plano

Sabemos que una línea está determinada por dos puntos. En otras palabras, para dos puntos distintos cualquiera, hay exactamente una línea que pasa por esos puntos, ya sea en dos dimensiones o en tres. Del mismo modo, dados tres puntos cualesquiera que no se encuentran todos en la misma línea, existe un único plano que pasa por estos puntos. Así como una línea está determinada por dos puntos, un plano está determinado por tres.

Esta puede ser la forma más sencilla de caracterizar un plano, pero también podemos utilizar otras descripciones. Por ejemplo, dadas dos líneas distintas que se intersecan, hay exactamente un plano que contiene ambas líneas. Un plano también está determinado por una línea y cualquier punto que no se encuentre en ella. Estas caracterizaciones surgen naturalmente de la idea de que un plano está determinado por tres puntos. Quizá la caracterización más sorprendente de un plano sea en realidad la más útil.

Imagine un par de vectores ortogonales que comparten un punto inicial. Visualice que coge uno de los vectores y lo retuerce. Al girar, el otro vector gira y barre un plano. Aquí describimos ese concepto matemáticamente. Supongamos que $\text{n}=\langle a,b,c\rangle$ es un vector y $P=\left(x_0,y_0,z_0\right)$ es un punto. Entonces el conjunto de todos los puntos $Q=\left(x,y,z\right)$ tal que $\overrightarrow{PQ}$ sea ortogonal a $\text{n}$ forma un plano (Figura 2.69). Decimos que $\text{n}$ es un vector normal o perpendicular al plano. Recuerde que el producto escalar de vectores ortogonales es cero. Este hecho genera la ecuación vectorial de un plano: $\text{n}.\overrightarrow{PQ}=0.$ Reescribiendo esta ecuación se obtienen formas adicionales de describir el plano:

Figura 2.69 Dado un punto $P$ y el vector $\text{n},$ el conjunto de todos los puntos $Q$ con $\overrightarrow{PQ}$ ortogonal a $\text{n}$ forma un plano.

Como se ha descrito anteriormente en esta sección, tres puntos cualquiera que no estén todos sobre la misma línea determinan un plano. Dados tres de estos puntos, podemos hallar una ecuación para el plano que contiene estos puntos.