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Cálculo volumen 2

1.1 Aproximación de áreas

Cálculo volumen 21.1 Aproximación de áreas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 1.1.1 Utilizar la notación sigma (notación de sumatoria) para calcular sumas y potencias de números enteros.
  • 1.1.2 Utilizar la suma de áreas rectangulares para aproximar el área bajo una curva.
  • 1.1.3 Utilizar las sumas de Riemann para aproximar el área.

AArquímedes le fascinaba calcular las áreas de diversas formas, es decir, la cantidad de espacio dentro de la forma. Utilizó un procedimiento que llegó a conocerse como el método de agotamiento que utilizaba formas cada vez más pequeñas, cuyas áreas podían calcularse con exactitud, para rellenar una región irregular y obtener así aproximaciones cada vez más cercanas al área total. En este proceso, un área delimitada por curvas se rellena con rectángulos, triángulos y formas con fórmulas de área exactas. Estas áreas se suman para hacer una aproximación del área de la región curva.

En esta sección, desarrollaremos técnicas para aproximar el área entre una curva, definida por una función f(x),f(x), y el eje x en un intervalo cerrado [a,b].[a,b]. Al igual que Arquímedes, primero aproximamos el área bajo la curva utilizando formas de área conocida (es decir, rectángulos). Utilizando rectángulos cada vez más pequeños, conseguimos aproximaciones cada vez más cercanas al área. Tomar un límite nos permite calcular el área exacta bajo la curva.

Empecemos por introducir algunas notaciones para facilitar los cálculos. A continuación, consideraremos el caso en el que f(x)f(x) es continua y no negativa. Más adelante en el capítulo, atenuaremos algunas de estas restricciones y desarrollaremos técnicas que se aplican en casos más generales.

Notación sigma (notación de sumatoria)

Como dijimos, utilizaremos formas de área conocida para aproximar el área de una región irregular limitada por curvas. Este proceso suele requerir la suma de largas cadenas de números. Para facilitar la escritura de estas largas sumas, aquí veremos una nueva notación, llamada notación sigma (también conocida como notación de sumatoria). La letra mayúscula griega Σ,Σ, sigma, se utiliza para expresar sumas largas de valores de forma compacta. Por ejemplo, si queremos sumar todos los enteros del 1 al 20 sin notación sigma, tenemos que escribir

1+2 +3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20.1+2 +3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20.

Probablemente omitiríamos la escritura de un par de términos y escribiríamos

1+2 +3+4++19+20,1+2 +3+4++19+20,

que es mejor, pero sigue siendo engorroso. Con la notación sigma, escribimos esta suma como

i=120i,i=120i,

que es mucho más compacta.

Normalmente, la notación sigma se presenta en la forma

i=1naii=1nai

donde aiai describe los términos a añadir, y la i se denomina índice. Se evalúa cada término y luego se suman todos los valores, empezando por el valor cuando i=1i=1 y terminando con el valor cuando i=n.i=n. Por ejemplo, una expresión como i=2 7sii=2 7si se interpreta como s2 +s3+s4+s5+s6+s7.s2 +s3+s4+s5+s6+s7. Tenga en cuenta que el índice solo se utiliza para llevar la cuenta de los términos que se van a sumar; no entra en el cálculo de la suma en sí. Por lo tanto, el índice se denomina variable ficticia. Podemos utilizar la letra que queramos para el índice. Normalmente, los matemáticos utilizan i, j, k, m y n para los índices.

Probemos un par de ejemplos de uso de la notación sigma.

Ejemplo 1.1

Uso de la notación sigma

  1. Escriba en notación sigma y evalúe la suma de términos 3i3i por i=1,2 ,3,4,5.i=1,2 ,3,4,5.
  2. Escriba la suma en notación sigma
    1+14+19+116+125.1+14+19+116+125.

Punto de control 1.1

Escriba en notación sigma y evalúe la suma de los términos 2i para i=3,4,5,6.i=3,4,5,6.

Las propiedades asociadas al proceso de suma se dan en la siguiente regla.

Regla: propiedades de la notación sigma

Supongamos que a1,a2 ,…,ana1,a2 ,…,an y b1,b2 ,…,bnb1,b2 ,…,bn representan dos secuencias de términos y supongamos c una constante. Las siguientes propiedades se cumplen para todos los enteros positivos n y para los enteros m, con 1mn.1mn.


  1. i=1nc=nci=1nc=nc
    (1.1)

  2. i=1ncai=ci=1naii=1ncai=ci=1nai
    (1.2)

  3. i=1n(ai+bi)=i=1nai+i=1nbii=1n(ai+bi)=i=1nai+i=1nbi
    (1.3)

  4. i=1n(aibi)=i=1naii=1nbii=1n(aibi)=i=1naii=1nbi
    (1.4)

  5. i=1nai=i=1mai+i=m+1naii=1nai=i=1mai+i=m+1nai
    (1.5)

Prueba

Demostramos aquí las propiedades 2. y 3., y dejamos la demostración de las demás propiedades para los Ejercicios.

2. Tenemos

i=1ncai=ca1+ca2 +ca3++can=c(a1+a2 +a3++an)=ci=1nai.i=1ncai=ca1+ca2 +ca3++can=c(a1+a2 +a3++an)=ci=1nai.

3. Tenemos

i=1n(ai+bi)=(a1+b1)+(a2 +b2 )+(a3+b3)++(an+bn)=(a1+a2 +a3++an)+(b1+b2 +b3++bn)=i=1nai+i=1nbi.i=1n(ai+bi)=(a1+b1)+(a2 +b2 )+(a3+b3)++(an+bn)=(a1+a2 +a3++an)+(b1+b2 +b3++bn)=i=1nai+i=1nbi.

Unas cuantas fórmulas más para las funciones más frecuentes simplifican aún más el proceso de suma. Estas se muestran en la siguiente regla: sumas y potencias de números enteros, y las utilizamos en el siguiente conjunto de ejemplos.

Regla: sumas de potencias de números enteros

  1. La suma de n números enteros viene dada por
    i=1ni=1+2 ++n=n(n+1)2 .i=1ni=1+2 ++n=n(n+1)2 .
  2. La suma de enteros consecutivos al cuadrado viene dada por
    i=1ni2 =12 +2 2 ++n2 =n(n+1)(2 n+1)6.i=1ni2 =12 +2 2 ++n2 =n(n+1)(2 n+1)6.
  3. La suma de enteros consecutivos elevada al cubo viene dada por
    i=1ni3=13+2 3++n3=n2 (n+1)2 4.i=1ni3=13+2 3++n3=n2 (n+1)2 4.

Ejemplo 1.2

Evaluación mediante la notación sigma

Escriba utilizando la notación sigma y evalúe:

  1. La suma de los términos (i3)2 (i3)2 por i=1,2 ,…,200.i=1,2 ,…,200.
  2. La suma de los términos (i3i2 )(i3i2 ) por i=1,2 ,3,4,5,6.i=1,2 ,3,4,5,6.

Punto de control 1.2

Halle la suma de los valores de 4+3i4+3i por i=1,2 ,…,100.i=1,2 ,…,100.

Ejemplo 1.3

Hallar la suma de los valores de la función

Halle la suma de los valores de f(x)=x3f(x)=x3 sobre los enteros 1,2 ,3,…,10.1,2 ,3,…,10.

Punto de control 1.3

Evalúe la suma indicada por la notación k=120(2 k+1).k=120(2 k+1).

Aproximación del área

Ahora que tenemos la notación necesaria, volvamos al problema que nos ocupa: aproximar el área bajo una curva. Supongamos que f(x)f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo cerrado [a,b].[a,b]. Queremos aproximar el área A delimitada por f(x)f(x) arriba, el eje abajo, la línea x=ax=a a la izquierda, y la línea x=bx=b a la derecha (Figura 1.2).

Un gráfico en el cuadrante uno de un área limitada por una curva genérica f(x) en la parte superior, el eje x en la parte inferior, la línea x = a a la izquierda, y la línea x = b a la derecha. Aproximadamente a mitad su recorrido, la concavidad cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba, y la función comienza a aumentar poco antes de la línea x = b.
Figura 1.2 El área (región sombreada) delimitada por la curva f ( x ) f ( x ) en la parte superior, el eje x en la parte inferior, la línea x = a x = a a la izquierda, y la línea x = b x = b a la derecha.

¿Cómo podemos aproximar el área que está debajo esta curva? El enfoque es geométrico. Al dividir una región en muchas formas pequeñas que tienen fórmulas de área conocidas, podemos sumar estas áreas y obtener una estimación razonable del área verdadera. Comenzamos dividiendo el intervalo [a,b][a,b] en n subintervalos de anchos iguales, ban.ban. Lo hacemos seleccionando puntos igualmente espaciados x0,x1,x2 ,…,xnx0,x1,x2 ,…,xn con la x0=a,xn=b,x0=a,xn=b, y

xixi1=banxixi1=ban

por i=1,2 ,3,…,n.i=1,2 ,3,…,n.

Denotamos la anchura de cada subintervalo con la notación Δx, por lo que Δx=banΔx=ban y

xi=x0+iΔxxi=x0+iΔx

por i=1,2 ,3,…,n.i=1,2 ,3,…,n. Esta noción de dividir un intervalo [a,b][a,b] en subintervalos mediante la selección de puntos dentro del intervalo se utiliza con bastante frecuencia en la aproximación del área bajo una curva, así que vamos a definir alguna terminología relevante.

Definición

Un conjunto de puntos P={xi}P={xi} por i=0,1,2 ,…,ni=0,1,2 ,…,n con a=x0<x1<x2 <<xn=b,a=x0<x1<x2 <<xn=b, que divide el intervalo [a,b][a,b] en subintervalos de la forma [x0,x1],[x1,x2 ],…,[xn1,xn][x0,x1],[x1,x2 ],…,[xn1,xn] se llama una partición de [a,b].[a,b]. Si todos los subintervalos tienen la misma anchura, el conjunto de puntos forma una partición regular del intervalo [a,b].[a,b].

Podemos utilizar esta partición regular como base de un método para estimar el área bajo la curva. A continuación examinamos dos métodos: aproximación en el punto del extremo izquierdo y la aproximación en el punto del extremo derecho.

Regla: aproximación del extremo izquierdo

En cada subintervalo [xi1,xi][xi1,xi] (para i=1,2 ,3,…,n),i=1,2 ,3,…,n), construya un rectángulo con anchura Δx y altura igual a f(xi1),f(xi1), que es el valor de la función en el punto del extremo izquierdo del subintervalo. Entonces el área de este rectángulo es f(xi1)Δx.f(xi1)Δx. Al sumar las áreas de todos estos rectángulos, obtenemos un valor aproximado de A (Figura 1.3). Utilizamos la notación Ln para denotar que se trata de una aproximación del punto del extremo izquierdo de A utilizando n subintervalos.

ALn=f(x0)Δx+f(x1)Δx++f(xn1)Δx=i=1nf(xi1)ΔxALn=f(x0)Δx+f(x1)Δx++f(xn1)Δx=i=1nf(xi1)Δx
(1.6)
Un diagrama que muestra la aproximación del punto del extremo izquierdo del área bajo una curva. Bajo una parábola con vértice en el eje y y sobre el eje x, se dibujan rectángulos entre a=x0 en el origen y b = xn. Los rectángulos tienen extremos en a=x0, x1, x2...x(n-1), y b = xn, espaciados equitativamente. La altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función dada en el punto en el extremo izquierdo del rectángulo.
Figura 1.3 En la aproximación del punto del extremo izquierdo del área bajo una curva, la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función a la izquierda de cada subintervalo.

El segundo método para aproximar el área bajo una curva es la aproximación del punto del extremo derecho. Es casi lo mismo que la aproximación del punto del extremo izquierdo, pero ahora las alturas de los rectángulos están determinadas por los valores de la función a la derecha de cada subintervalo.

Regla: aproximación del extremo derecho

Construir un rectángulo en cada subintervalo [xi1,xi],[xi1,xi], solo que esta vez la altura del rectángulo está determinada por el valor de la función f(xi)f(xi) en el punto del extremo derecho del subintervalo. Entonces, el área de cada rectángulo es f(xi)Δxf(xi)Δx y la aproximación para A está dada por

ARn=f(x1)Δx+f(x2 )Δx++f(xn)Δx=i=1nf(xi)Δx.ARn=f(x1)Δx+f(x2 )Δx++f(xn)Δx=i=1nf(xi)Δx.
(1.7)

La notación RnRn indica que se trata de una aproximación en el punto del extremo derecho de A (Figura 1.4).

Un diagrama que muestra la aproximación del punto del extremo derecho del área bajo una curva. Bajo una parábola con vértice en el eje y y sobre el eje x, se dibujan rectángulos entre a=x0 en el origen y b = xn. Los rectángulos tienen extremos en a=x0, x1, x2...x(n-1), y b = xn, espaciados equitativamente. La altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función dada en el punto del extremo derecho del rectángulo.
Figura 1.4 En la aproximación del punto del extremo derecho del área bajo una curva, la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función a la derecha de cada subintervalo. Nótese que la aproximación del punto del extremo derecho difiere de la aproximación del punto del extremo izquierdo en la Figura 1.3.

Los gráficos de la Figura 1.5 representan la curva f(x)=x2 2 .f(x)=x2 2 . En el gráfico (a) dividimos la región representada por el intervalo [0,3][0,3] en seis subintervalos, cada uno de ellos con una anchura de 0,5. Así, Δx=0,5.Δx=0,5. A continuación, formamos seis rectángulos trazando líneas verticales perpendiculares al xi1,xi1, punto del extremo izquierdo de cada subintervalo. Determinamos la altura de cada rectángulo calculando f(xi1)f(xi1) por i=1,2 ,3,4,5,6.i=1,2 ,3,4,5,6. Los intervalos son [0,0,5],[0,5,1],[1,1,5],[1,5,2 ],[2 ,2,5],[2,5,3].[0,0,5],[0,5,1],[1,1,5],[1,5,2 ],[2 ,2,5],[2,5,3]. Encontramos el área de cada rectángulo multiplicando la altura por la anchura. Entonces, la suma de las áreas rectangulares se aproxima al área entre f(x)f(x) y el eje x. Cuando se utilizan los puntos del extremo izquierdo para calcular la altura, tenemos una aproximación del punto del extremo izquierdo. Por lo tanto,

AL6=i=16f(xi1)Δx=f(x0)Δx+f(x1)Δx+f(x2 )Δx+f(x3)Δx+f(x4)Δx+f(x5)Δx=f(0)0,5+f(0,5)0,5+f(1)0,5+f(1,5)0,5+f(2 )0,5+f(2,5)0,5=(0)0,5+(0,125)0,5+(0,5)0,5+(1,125)0,5+(2 )0,5+(3,125)0,5=0+0,0625+0,25+0,5625+1+1,5625=3,4375.AL6=i=16f(xi1)Δx=f(x0)Δx+f(x1)Δx+f(x2 )Δx+f(x3)Δx+f(x4)Δx+f(x5)Δx=f(0)0,5+f(0,5)0,5+f(1)0,5+f(1,5)0,5+f(2 )0,5+f(2,5)0,5=(0)0,5+(0,125)0,5+(0,5)0,5+(1,125)0,5+(2 )0,5+(3,125)0,5=0+0,0625+0,25+0,5625+1+1,5625=3,4375.
Diagramas contiguos que muestran las diferencias en la aproximación del área bajo una curva parabólica con vértice en el origen entre el método de los puntos del extremo izquierdo (el primer diagrama) y el método de los puntos del extremo derecho (el segundo diagrama). En el primer diagrama, se dibujan bajo la curva rectángulos a intervalos pares (delta x) con alturas determinadas por el valor de la función en los puntos extremos de la izquierda. En el segundo diagrama, los rectángulos se dibujan de la misma manera, pero con alturas determinadas por el valor de la función en los puntos extremos de la derecha. Los puntos finales en ambos están espaciados igualmente desde el origen hasta (3, 0), marcados como x0 a x6.
Figura 1.5 Métodos de aproximación del área bajo una curva utilizando (a) los puntos extremos de la izquierda y (b) los puntos extremos de la derecha.

En la Figura 1.5(b), dibujamos líneas verticales perpendiculares a xixi de manera que xixi es el punto final derecho de cada subintervalo, y calculamos f(xi)f(xi) por i=1,2 ,3,4,5,6.i=1,2 ,3,4,5,6. Multiplicamos cada f(xi)f(xi) por Δx para hallar las áreas rectangulares, y luego sumarlas. Se trata de una aproximación del punto del extremo derecho del área bajo f(x).f(x). Por lo tanto,

AR6=i=16f(xi)Δx=f(x1)Δx+f(x2 )Δx+f(x3)Δx+f(x4)Δx+f(x5)Δx+f(x6)Δx=f(0,5)0,5+f(1)0,5+f(1,5)0,5+f(2 )0,5+f(2,5)0,5+f(3)0,5=(0,125)0,5+(0,5)0,5+(1,125)0,5+(2 )0,5+(3,125)0,5+(4,5)0,5=0,0625+0,25+0,5625+1+1,5625+2,25=5,6875.AR6=i=16f(xi)Δx=f(x1)Δx+f(x2 )Δx+f(x3)Δx+f(x4)Δx+f(x5)Δx+f(x6)Δx=f(0,5)0,5+f(1)0,5+f(1,5)0,5+f(2 )0,5+f(2,5)0,5+f(3)0,5=(0,125)0,5+(0,5)0,5+(1,125)0,5+(2 )0,5+(3,125)0,5+(4,5)0,5=0,0625+0,25+0,5625+1+1,5625+2,25=5,6875.

Ejemplo 1.4

Aproximación del área bajo una curva

Utilice las aproximaciones del punto del extremo izquierdo y del punto del extremo derecho para aproximar el área bajo la curva de f(x)=x2 f(x)=x2 en el intervalo [0,2 ];[0,2 ]; utilice n=4.n=4.

Punto de control 1.4

Esbozar las aproximaciones del punto del extremo izquierdo y del punto del extremo derecho para f(x)=1xf(x)=1x en [1,2 ];[1,2 ]; utilice n=4.n=4. Aproxime el área utilizando ambos métodos.

Al observar la Figura 1.5 y los gráficos en el Ejemplo 1.4, podemos ver que cuando utilizamos un número pequeño de intervalos, ni la aproximación del punto del extremo izquierdo ni la aproximación del punto del extremo derecho son una estimación especialmente precisa del área bajo la curva. Sin embargo, parece lógico que si aumentamos el número de puntos en nuestra partición, nuestra estimación de A mejorará. Tendremos más rectángulos, pero cada rectángulo será más fino, por lo que podremos ajustar los rectángulos a la curva con mayor precisión.

Podemos demostrar la mejora de la aproximación obtenida mediante intervalos más pequeños con un ejemplo. Exploremos la idea de aumentar n, primero con una aproximación del punto del extremo izquierdo con cuatro rectángulos, luego con ocho rectángulos y finalmente con 32 rectángulos. A continuación, hagamos lo mismo en una aproximación del punto del extremo derecho, utilizando los mismos conjuntos de intervalos de la misma región curva. La Figura 1.8 muestra el área de la región bajo la curva f(x)=(x1)3+4f(x)=(x1)3+4 en el intervalo [0,2 ][0,2 ] utilizando una aproximación del punto del extremo izquierdo donde n=4.n=4. La anchura de cada rectángulo es

Δx=2 04=12 .Δx=2 04=12 .

El área se aproxima por la suma de las áreas de los rectángulos, o

L4=f(0)(0,5)+f(0,5)(0,5)+f(1)(0,5)+f(1,5)0,5=7,5.L4=f(0)(0,5)+f(0,5)(0,5)+f(1)(0,5)+f(1,5)0,5=7,5.
Un gráfico de la aproximación del punto del extremo izquierdo del área bajo la curva dada desde a = x0 hasta b=x4. Las alturas de los rectángulos están determinadas por los valores de la función en los extremos izquierdos.
Figura 1.8 Con una aproximación al extremo izquierdo y dividiendo la región de a a b en cuatro intervalos iguales, el área bajo la curva es aproximadamente igual a la suma de las áreas de los rectángulos.

La Figura 1.9 muestra la misma curva dividida en ocho subintervalos. Al comparar el gráfico con cuatro rectángulos en la Figura 1.8 con este gráfico con ocho rectángulos, observamos que aparentemente hay menos espacio en blanco bajo la curva cuando n=8.n=8. Este espacio en blanco es el área bajo la curva que no podemos incluir utilizando nuestra aproximación. El área de los rectángulos es

L8=f(0)(0,25)+f(0,25)(0,25)+f(0,5)(0,25)+f(0,75)(0,25)+f(1)(0,25)+f(1,25)(0,25)+f(1,5)(0,25)+f(1,75)(0,25)=7,75.L8=f(0)(0,25)+f(0,25)(0,25)+f(0,5)(0,25)+f(0,75)(0,25)+f(1)(0,25)+f(1,25)(0,25)+f(1,5)(0,25)+f(1,75)(0,25)=7,75.
Gráfico que muestra la aproximación del punto del extremo izquierdo para el área bajo la curva dada desde a=x0 hasta b = x8. Las alturas de los rectángulos están determinadas por los valores de la función en los extremos izquierdos.
Figura 1.9 La región bajo la curva se divide en áreas rectangulares n = 8 n = 8 de igual anchura para una aproximación al extremo izquierdo.

El gráfico en la Figura 1.10 muestra la misma función con 32 rectángulos inscritos bajo la curva. Parece que queda poco espacio en blanco. El área ocupada por los rectángulos es

L32=f(0)(0,0625)+f(0,0625)(0,0625)+f(0,125)(0,0625)++f(1,9375)(0,0625)=7,9375.L32=f(0)(0,0625)+f(0,0625)(0,0625)+f(0,125)(0,0625)++f(1,9375)(0,0625)=7,9375.
Gráfico de la aproximación del punto del extremo izquierdo del área bajo la curva dada desde a = x0 hasta b = x32. Las alturas de los rectángulos están determinadas por los valores de la función en los extremos izquierdos.
Figura 1.10 En este caso, se inscriben 32 rectángulos bajo la curva para una aproximación al punto del extremo izquierdo.

Podemos realizar un proceso similar para el método de aproximación del punto del extremo derecho. Una aproximación al extremo derecho de la misma curva, utilizando cuatro rectángulos (Figura 1.11), produce un área

R4=f(0,5)(0,5)+f(1)(0,5)+f(1,5)(0,5)+f(2 )(0,5)=8,5.R4=f(0,5)(0,5)+f(1)(0,5)+f(1,5)(0,5)+f(2 )(0,5)=8,5.
Gráfico de la aproximación del punto del extremo derecho para el área bajo la curva dada de x0 a x4. Las alturas de los rectángulos están determinadas por los valores de la función en los extremos derechos.
Figura 1.11 Ahora dividimos el área bajo la curva en cuatro subintervalos iguales para una aproximación al punto del extremo derecho.

Dividiendo la región en el intervalo [0,2 ][0,2 ] en ocho rectángulos da como resultado Δx=2 08=0,25.Δx=2 08=0,25. El gráfico se muestra en la Figura 1.12. El área es

R8=f(0,25)(0,25)+f(0,5)(0,25)+f(0,75)(0,25)+f(1)(0,25)+f(1,25)(0,25)+f(1,5)(0,25)+f(1,75)(0,25)+f(2 )(0,25)=8,25.R8=f(0,25)(0,25)+f(0,5)(0,25)+f(0,75)(0,25)+f(1)(0,25)+f(1,25)(0,25)+f(1,5)(0,25)+f(1,75)(0,25)+f(2 )(0,25)=8,25.
Gráfico de la aproximación del punto del extremo derecho para el área bajo la curva dada desde a=x0 hasta b=x8. Las alturas de los rectángulos están determinadas por los valores de la función en los puntos del extremo derecho.
Figura 1.12 Aquí utilizamos la aproximación del punto del extremo derecho para un área dividida en ocho subintervalos iguales.

Por último, la aproximación del punto del extremo derecho con n=32n=32 se acerca al área real (Figura 1.13). El área es aproximadamente

R32=f(0,0625)(0,0625)+f(0,125)(0,0625)+f(0,1875)(0,0625)++f(2 )(0,0625)=8,0625.R32=f(0,0625)(0,0625)+f(0,125)(0,0625)+f(0,1875)(0,0625)++f(2 )(0,0625)=8,0625.
Gráfico de la aproximación del punto del extremo derecho para el área bajo la curva dada desde a=x0 hasta b=x32. Las alturas de los rectángulos están determinadas por los valores de la función en los extremos derechos.
Figura 1.13 La región se divide en 32 subintervalos iguales para una aproximación al extremo derecho.

Con base en estas cifras y cálculos, parece que vamos por buen camino; los rectángulos parecen aproximarse mejor al área bajo la curva a medida que n aumenta. Además, a medida que aumenta n, tanto la aproximación del punto del extremo izquierdo como la del derecho parecen acercarse a un área de 8 unidades cuadradas. La Tabla 1.1 muestra una comparación numérica de los métodos del punto del extremo izquierdo y del derecho. La idea de que las aproximaciones del área bajo la curva son cada vez mejores a medida que n se hace más grande es muy importante, y exploraremos esa idea con más detalle.

Los valores de n Área aproximada Ln Área aproximada Rn
n=4n=4 7,5 8,5
n=8n=8 7,75 8,25
n=32n=32 7,94 8,06
Tabla 1.1 Valores convergentes de las aproximaciones de los puntos del extremo izquierdo y derecho cuando n aumenta.

Formulación de sumas de Riemann

Hasta ahora utilizamos rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Las alturas de estos rectángulos se determinaron evaluando la función en los extremos derecho o izquierdo del subintervalo [xi1,xi].[xi1,xi]. En realidad, no hay ninguna razón para restringir la evaluación de la función solo a uno de estos dos puntos. Podríamos evaluar la función en cualquier punto xi del subintervalo [xi1,xi],[xi1,xi], y usamos f(xi*)f(xi*) como la altura de nuestro rectángulo. Esto nos da una estimación del área de la forma

Ai=1nf(xi*)Δx.Ai=1nf(xi*)Δx.

Una suma de esta forma se llama suma de Riemann, en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, que desarrolló la idea.

Definición

Supongamos que f(x)f(x) se define en un intervalo cerrado [a,b][a,b] y que P sea una partición regular de [a,b].[a,b]. Sea Δx la anchura de cada subintervalo [xi1,xi][xi1,xi] y para cada i, supongamos que xi*xi* es cualquier punto en [xi1,xi].[xi1,xi]. Una suma de Riemann se define para f(x)f(x) como

i=1nf(xi*)Δx.i=1nf(xi*)Δx.

Recordemos que con las aproximaciones de los puntos extremos izquierdo y derecho, las estimaciones parecen ser cada vez mejores a medida que n se hace más grande. Lo mismo ocurre con las sumas de Riemann. Estas sumas dan mejores aproximaciones para valores mayores de n. Ahora estamos preparados para definir el área bajo una curva en términos de sumas de Riemann.

Definición

Supongamos que f(x)f(x) es una función continua y no negativa en un intervalo [a,b],[a,b], y supongamos que i=1nf(xi*)Δxi=1nf(xi*)Δx es una suma de Riemann para f(x).f(x). Entonces, el área bajo la curva y=f(x)y=f(x) sobre [a,b][a,b] viene dada por

A=límni=1nf(xi*)Δx.A=límni=1nf(xi*)Δx.

Medios

Vea una demostración gráfica de la construcción de una suma de Riemann.

Vale la pena hablar sobre algunas sutilezas. En primer lugar, hay que tener en cuenta que tomar el límite de una suma difiere un poco de tomar el límite de una función f(x)f(x) a medida que x llega al infinito. Los límites de las sumas se analizan en detalle en el capítulo Secuencias y series; pero por ahora podemos asumir que las técnicas computacionales que usamos para calcular límites de funciones también se pueden usar para calcular límites de sumas.

En segundo lugar, debemos considerar qué hacer si la expresión converge a límites diferentes para distintas elecciones de {xi*}.{xi*}. Afortunadamente, esto no ocurre. Aunque la prueba está fuera del alcance de este texto, se puede demostrar que si f(x)f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b],[a,b], entonces límni=1nf(xi*)Δxlímni=1nf(xi*)Δx existe y es único (es decir, no depende de la opción de {xi*}).{xi*}).

En breve veremos algunos ejemplos, pero antes dediquemos un momento para hablar de algunas opciones específicas para {xi*}.{xi*}. Aunque cualquier opción para {xi*}{xi*} nos da una estimación del área bajo la curva, no sabremos necesariamente si esa estimación es demasiado alta (sobreestimación) o demasiado baja (subestimación). Si es importante saber si nuestra estimación es alta o baja, podemos seleccionar nuestro valor para {xi*}{xi*} a fin de garantizar un resultado u otro.

Si queremos una sobreestimación, por ejemplo, podemos elegir {xi*}{xi*} tal que para i=1,2 ,3,…,n,f(xi*)f(x)i=1,2 ,3,…,n,f(xi*)f(x) para todo x[xi1,xi].x[xi1,xi]. En otras palabras, elegimos {xi*}{xi*} de manera que para i=1,2 ,3,…,n,f(xi*)i=1,2 ,3,…,n,f(xi*) es el valor máximo de la función en el intervalo [xi1,xi].[xi1,xi]. Si seleccionamos {xi*}{xi*} de esta manera, entonces la suma de Riemann i=1nf(xi*)Δxi=1nf(xi*)Δx se denomina suma superior. Del mismo modo, si queremos una subestimación, podemos elegir {xi*}{xi*} de manera que para i=1,2 ,3,…,n,f(xi*)i=1,2 ,3,…,n,f(xi*) es el valor mínimo de la función en el intervalo [xi1,xi].[xi1,xi]. En este caso, la suma de Riemann correspondiente se llama suma inferior. Observe que si f(x)f(x) aumenta o disminuye a lo largo del intervalo [a,b],[a,b], entonces los valores máximos y mínimos de la función se encuentran en los puntos de los extremos de los subintervalos, por lo que las sumas superiores e inferiores son iguales a las aproximaciones de los puntos de los extremos izquierdo y derecho.

Ejemplo 1.5

Hallar sumas inferiores y superiores

Halle una suma inferior para f(x)=10x2 f(x)=10x2 en [1,2 ];[1,2 ]; supongamos que n=4n=4 subintervalos.

Punto de control 1.5

  1. Halle una suma superior para f(x)=10x2 f(x)=10x2 en [1,2 ];[1,2 ]; supongamos que n=4.n=4.
  2. Dibuje la aproximación.

Ejemplo 1.6

Halle sumas inferiores y superiores para f(x)=senxf(x)=senx

Halle una suma inferior para f(x)=senxf(x)=senx en el intervalo [a,b]=[0,π2 ];[a,b]=[0,π2 ]; supongamos que n=6.n=6.

Punto de control 1.6

Al utilizar la función f(x)=senxf(x)=senx en el intervalo [0,π2 ],[0,π2 ], halle una suma superior; supongamos que n=6.n=6.

Sección 1.1 ejercicios

1.

Indique si las sumas dadas son iguales o desiguales.

  1. i=110ii=110i y k=110kk=110k
  2. i=110ii=110i y i=615(i5)i=615(i5) grandes.
  3. i=110i(i1)i=110i(i1) y j=09(j+1)jj=09(j+1)j
  4. i=110i(i1)i=110i(i1) y k=110(k2 k)k=110(k2 k)

En los siguientes ejercicios, utilice las reglas de las sumas de potencias de números enteros para calcular las sumas.

2.

i = 5 10 i i = 5 10 i

3.

i = 5 10 i 2 i = 5 10 i 2

Supongamos que i=1100ai=15i=1100ai=15 y i=1100bi=−12.i=1100bi=−12. En los siguientes ejercicios, calcule las sumas.

4.

i=1100(ai+bi)i=1100(ai+bi) grandes.

5.

i=1100(aibi)i=1100(aibi) grandes.

6.

i=1100(3ai4bi)i=1100(3ai4bi) grandes.

7.

i=1100(5ai+4bi)i=1100(5ai+4bi) grandes.

En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de la suma y las fórmulas para reescribir y evaluar las sumas.

8.

k=120100(k2 5k+1)k=120100(k2 5k+1) grandes.

9.

j=150(j2 2 j)j=150(j2 2 j) grandes.

10.

j=1120(j2 10j)j=1120(j2 10j) grandes.

11.

k = 1 25 [ ( 2 k ) 2 100 k ] k = 1 25 [ ( 2 k ) 2 100 k ]

Supongamos que LnLn denota la suma del punto del extremo izquierdo utilizando n subintervalos y que RnRn denotan la suma correspondiente del punto del extremo derecho. En los siguientes ejercicios, calcule las sumas a la izquierda y a la derecha indicadas para las funciones dadas en el intervalo indicado.

12.

L4 para f(x)=1x1f(x)=1x1 sobre [2 ,3][2 ,3]

13.

R4 para g(x)=cos(πx)g(x)=cos(πx) sobre [0,1][0,1]

14.

L6 para f(x)=1x(x1)f(x)=1x(x1) sobre [2 ,5][2 ,5]

15.

R6 para f(x)=1x(x1)f(x)=1x(x1) sobre [2 ,5][2 ,5]

16.

R4 para 1x2 +11x2 +1 sobre [−2,2 ][−2,2 ]

17.

L4 para 1x2 +11x2 +1 sobre [−2,2 ][−2,2 ]

18.

R4 para x2 2 x+1x2 2 x+1 sobre [0,2 ][0,2 ]

19.

L8 para x2 2 x+1x2 2 x+1 sobre [0,2 ][0,2 ]

20.

Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L4 y R4, respectivamente, para f(x)=(2 |x|)f(x)=(2 |x|) sobre [−2,2 ].[−2,2 ]. Calcule su valor promedio medio y compárelo con el área bajo el gráfico de f.

21.

Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L6 y R6, respectivamente, para f(x)=(3|3x|)f(x)=(3|3x|) sobre [0,6].[0,6]. Calcule su valor promedio medio y compárelo con el área bajo el gráfico de f.

22.

Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L4 y R4, respectivamente, para f(x)=4x2 f(x)=4x2 en [−2,2 ][−2,2 ] y compare sus valores.

23.

Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L6 y R6, respectivamente, para f(x)=9(x3)2 f(x)=9(x3)2 en [0,6][0,6] y compare sus valores.

Exprese las siguientes sumas de puntos finales en notación sigma, pero no las evalúe.

24.

L30 para f(x)=x2 f(x)=x2 en [1,2 ][1,2 ]

25.

L10 para f(x)=4x2 f(x)=4x2 en [−2,2 ][−2,2 ]

26.

R20 para f(x)=senxf(x)=senx en [0,π][0,π]

27.

R100 para lnxlnx en [1,e][1,e]

En los siguientes ejercicios, grafique la función y luego utilice una calculadora o un programa de computadora para evaluar las siguientes sumas de los extremos izquierdo y derecho. ¿El área bajo la curva en el intervalo dado se aproxima mejor mediante la suma de Riemann izquierda o la suma de Riemann derecha? Si los dos están de acuerdo, coloque "ninguno".

28.

[T] L100 y R100 para y=x2 3x+1y=x2 3x+1 en el intervalo [−1,1][−1,1]

29.

[T] L100 y R100 para y=x2 y=x2 en el intervalo [0,1][0,1]

30.

[T] L50 y R50 para y=x+1x2 1y=x+1x2 1 en el intervalo [2 ,4][2 ,4]

31.

[T] L100 y R100 para y=x3y=x3 en el intervalo [−1,1][−1,1]

32.

[T] L50 y R50 para y=tan(x)y=tan(x) en el intervalo [0,π4][0,π4]

33.

[T] L100 y R100 para y=e2 xy=e2 x en el intervalo [−1,1][−1,1]

34.

Sea tj el tiempo que tardó Tejay van Garteren en recorrer la etapa j del Tour de Francia en 2014. Si hubiera un total de 21 etapas, interprete j=121tj.j=121tj.

35.

Supongamos que rjrj denota la precipitación total en Portland en el día j del año en 2009. Interprete j=131rj.j=131rj.

36.

Supongamos que djdj denotan las horas de luz y δjδj el aumento de las horas de luz desde el día j1j1 hasta el día j en Fargo, Dakota del Norte, en el día j del año. Interprete d1+j=2 365δj.d1+j=2 365δj.

37.

Para ponerse en forma, Joe recibe un nuevo par de zapatillas para correr. Si Joe corre 1 mi cada día en la semana 1 y añade 110110 mi a su rutina diaria cada semana, ¿cuál es el millaje total de los zapatos de Joe después de 25 semanas?

38.

La siguiente tabla ofrece valores aproximados de la tasa promedio anual del aumento del dióxido de carbono (CO2) en la atmósfera por cada década desde 1960, en partes por millón (ppm). Calcule el aumento total del CO2 atmosférico entre 1964 y 2013.

Década Ppm/año
1964-1973 1,07
1974-1983 1,34
1984-1993 1,40
1994-2003 1,87
2004-2013 2,07
Tabla 1.2 Aumento anual promedio del CO2 atmosférico, 1964-2013 Fuente: http://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/.
39.

La siguiente tabla indica el aumento aproximado del nivel del mar en pulgadas a lo largo de 20 años a partir de un año determinado. Calcule el cambio neto en el nivel medio del mar desde 1870 hasta 2010.

Año de inicio Cambio en 20 años
1870 0,3
1890 1,5
1910 0,2
1930 2,8
1950 0,7
1970 1,1
1990 1,5
Tabla 1.3 Aumentos aproximados del nivel del mar en 20 años, 1870-1990 Fuente: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10712-011-9119-1
40.

La siguiente tabla muestra el aumento aproximado en dólares del precio promedio del galón de gasolina por década desde 1950. Si el precio promedio de un galón de gasolina en 2010 era de 2,60 dólares, ¿cuál era el precio promedio de un galón de gasolina en 1950?

Año de inicio Cambio en 10 años
1950 0,03
1960 0,05
1970 0,86
1980 –0,03
1990 0,29
2000 1,12
Tabla 1.4 Aumentos aproximados del precio del gas en 10 años, 1950-2000 Fuente: http://epb.lbl.gov/homepages/Rick_Diamond/docs/lbnl55011-trends.pdf.
41.

La siguiente tabla indica el porcentaje de crecimiento de la población estadounidense a partir de julio del año indicado. Si la población de Estados Unidos era de 281.421.906 habitantes en julio de 2000, calcule la población de Estados Unidos en julio de 2010.

Año % de cambio/año
2000 1,12
2001 0,99
2002 0,93
2003 0,86
2004 0,93
2005 0,93
2006 0,97
2007 0,96
2008 0,95
2009 0,88
Tabla 1.5 Crecimiento porcentual anual de la población estadounidense, 2000-2009 Fuente: http://www.census.gov/popest/data.

(Pista: Para obtener la población en julio de 2001, multiplique la población en julio de 2000 por 1,0112 para obtener 284.573.831).

En los siguientes ejercicios, estime las áreas bajo las curvas calculando las sumas de Riemann de la izquierda, L8.

42.
Gráfico de una función que aumenta linealmente con una pendiente de 1 desde (0,1) hasta (3,4). Se curva de (3,4) a (5,4), cambiando de dirección de creciente a decreciente en (4,5). Por último, disminuye linealmente con una pendiente de 1 desde (5,4) hasta (8,1).
43.
Gráfico de una curva suave que pasa por los puntos (0,3), (1,2), (2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (7,4) y (8,3).
44.
Gráfico de una curva suave que pasa por los puntos (0,0), (1,1), (2,2), (3,1), (4,3), (5,2), (6,4), (7,5) y (8,7).
45.
Gráfico de una curva suave que pasa por los puntos (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 6), (4, 8), (5, 6), (6, 5), (7, 4) y (8, 6).
46.

[T] Utiliza un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, LN,LN, por N=10,30,50N=10,30,50 por f(x)=1x2 f(x)=1x2 en [−1,1].[−1,1].

47.

[T] Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, LN, para N=10,30,50N=10,30,50 por f(x)=11+x2 f(x)=11+x2 en [−1,1].[−1,1].

48.

[T] Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, LN, para N=10,30,50N=10,30,50 por f(x)=sen2 xf(x)=sen2 x en [0,2 π].[0,2 π]. Compara estas estimaciones con π.

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora o un programa de computadora para evaluar las sumas de los puntos finales RN y LN para N=1,10,100.N=1,10,100. ¿Cómo se comparan estas estimaciones con las respuestas exactas que puede hallar mediante la geometría?

49.

[T] y=cos(πx)y=cos(πx) en el intervalo [0,1][0,1]

50.

[T] y=3x+2 y=3x+2 en el intervalo [3,5][3,5]

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora o un programa de ordenador para evaluar las sumas de los puntos finales RN y LN para N=1,10,100.N=1,10,100.

51.

[T] y=x45x2 +4y=x45x2 +4 en el intervalo [−2,2 ],[−2,2 ], que tiene un área exacta de 32153215

52.

[T] y=lnxy=lnx en el intervalo [1,2 ],[1,2 ], que tiene un área exacta de 2 ln(2 )12 ln(2 )1

53.

Explique por qué, si f(a)0f(a)0 y f es creciente en [a,b],[a,b], que la estimación del punto del extremo izquierdo es un límite inferior para el área bajo el gráfico de f en [a,b].[a,b].

54.

Explique por qué, si f(b)0f(b)0 y f es decreciente en [a,b],[a,b], que la estimación del punto del extremo izquierdo es un límite superior para el área bajo el gráfico de f en [a,b].[a,b].

55.

Demuestre que, en general, RNLN=(ba)×f(b)f(a)N.RNLN=(ba)×f(b)f(a)N.

56.

Explique por qué, si f es creciente en [a,b],[a,b], el error entre LN o RN y el área A bajo el gráfico de f es como máximo (ba)f(b)f(a)N.(ba)f(b)f(a)N.

57.

Para cada uno de los tres gráficos:

  1. Obtenga un límite inferior L(A)L(A) para el área encerrada por la curva sumando las áreas de los cuadrados encerrados completamente por la curva.
  2. Obtener un límite superior U(A)U(A) para el área añadiendo a L(A)L(A) las áreas B(A)B(A) de los cuadrados encerrados parcialmente por la curva
    . Tres gráficos, apilados verticalmente, dibujados en papel cuadriculado. Cada uno muestra la misma imagen. Sin embargo, los ejes se vuelven progresivamente más exactos en unidades. El primero está marcado en unidades, desde 3 unidades negativas hasta 3 unidades positivas en cada eje. El segundo tiene marcadas las medias unidades, y el tercero los cuartos de unidad. Así, las cajas de papel cuadriculado son cada vez más pequeñas. La imagen es simétrica en cada eje y tiene forma de cruz curva. Se encuentra con los ejes en (0,3), (3,0), (0,-3) y (-3,0) y tiene vértices aproximadamente en (.7,.7), (.7,-.7), (-.7,-7.) y (-.7,.7). En el gráfico 1, ninguna caja cuadrada de la unidad está completamente contenida dentro de la forma. Veinte cajas se encuentran parcialmente encerradas por la forma. En el gráfico 2, nueve cajas están completamente contenidas dentro de la forma, y once cajas están parcialmente encerradas por la forma. En el gráfico 3, 11 cajas están completamente contenidas dentro de la forma, y 4,5 están encerradas parcialmente por la forma.
58.

En el ejercicio anterior, explique por qué L(A)L(A) no se hace más pequeño mientras U(A)U(A) no se hace más grande al subdividir los cuadrados en cuatro casillas de áreas iguales.

59.

Un círculo unitario está formado por cuñas n equivalentes a la cuña interior de la figura. La base del triángulo interior es 1 unidad y su altura es sen(2 πn).sen(2 πn). La base del triángulo exterior es B=cos(πn)+sen(πn)tan(πn)B=cos(πn)+sen(πn)tan(πn) y la altura es H=Bsen(2 πn).H=Bsen(2 πn). Utiliza esta información para argumentar que el área de un círculo unitario es igual a π.

Una cuña de un círculo cortado en un ángulo agudo theta = 2pi / n. Se dibujan varias líneas adicionales. La primera es una línea A que une los extremos de los dos radios, creando un triángulo. La segunda es otra línea B paralela a la A, que une los radios a pocas unidades de cada extremo. Una curva concéntrica C une los puntos extremos de B y es tangente a A cerca de su punto medio. La zona entre esta curva C y el borde del círculo está sombreada en rosa, y el resto de la cuña en púrpura. Una última curva concéntrica se dibuja muy cerca del ángulo theta.
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