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Química: Comenzando con los átomos 2ed

3.3 Desarrollo de la teoría cuántica

Química: Comenzando con los átomos 2ed3.3 Desarrollo de la teoría cuántica

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ideas esenciales
    1. Introducción
    2. 1.1 La química en su contexto
    3. 1.2 Fases y clasificación de la materia
    4. 1.3 Propiedades físicas y químicas
    5. 1.4 Mediciones
    6. 1.5 Incertidumbre, exactitud y precisión de las mediciones
    7. 1.6 Tratamiento matemático de los resultados de las mediciones
    8. Términos clave
    9. Ecuaciones clave
    10. Resumen
    11. Ejercicios
  3. 2 Átomos, moléculas e iones
    1. Introducción
    2. 2.1 Las primeras ideas de la teoría atómica
    3. 2.2 Evolución de la teoría atómica
    4. 2.3 Estructura atómica y simbolismo
    5. 2.4 Fórmulas químicas
    6. Términos clave
    7. Ecuaciones clave
    8. Resumen
    9. Ejercicios
  4. 3 Estructura electrónica y propiedades periódicas de los elementos
    1. Introducción
    2. 3.1 Energía electromagnética
    3. 3.2 El modelo de Bohr
    4. 3.3 Desarrollo de la teoría cuántica
    5. 3.4 Estructura electrónica de los átomos (configuraciones de electrones)
    6. 3.5 Variaciones periódicas de las propiedades de los elementos
    7. 3.6 La tabla periódica
    8. 3.7 Compuestos iónicos y moleculares
    9. Términos clave
    10. Ecuaciones clave
    11. Resumen
    12. Ejercicios
  5. 4 Enlace químico y geometría molecular
    1. Introducción
    2. 4.1 Enlace iónico
    3. 4.2 Enlace covalente
    4. 4.3 Nomenclatura química
    5. 4.4 Símbolos y estructuras de Lewis
    6. 4.5 Cargas formales y resonancia
    7. 4.6 Estructura molecular y polaridad
    8. Términos clave
    9. Ecuaciones clave
    10. Resumen
    11. Ejercicios
  6. 5 Teorías avanzadas de enlace
    1. Introducción
    2. 5.1 Teoría de enlace de valencia
    3. 5.2 Orbitales atómicos híbridos
    4. 5.3 Enlaces múltiples
    5. 5.4 Teoría de los orbitales moleculares
    6. Términos clave
    7. Ecuaciones clave
    8. Resumen
    9. Ejercicios
  7. 6 Composición de sustancias y soluciones
    1. Introducción
    2. 6.1 Fórmula de masa
    3. 6.2 Determinación de fórmulas empíricas y moleculares
    4. 6.3 Molaridad
    5. 6.4 Otras unidades para las concentraciones de las soluciones
    6. Términos clave
    7. Ecuaciones clave
    8. Resumen
    9. Ejercicios
  8. 7 Estequiometría de las reacciones químicas
    1. Introducción
    2. 7.1 Escritura y balance de ecuaciones químicas
    3. 7.2 Clasificación de las reacciones químicas
    4. 7.3 Estequiometría de la reacción
    5. 7.4 Rendimiento de la reacción
    6. 7.5 Análisis químico cuantitativo
    7. Términos clave
    8. Ecuaciones clave
    9. Resumen
    10. Ejercicios
  9. 8 Gases
    1. Introducción
    2. 8.1 Presión del gas
    3. 8.2 Relaciones entre presión, volumen, cantidad y temperatura: la ley de los gases ideales
    4. 8.3 Estequiometría de sustancias gaseosas, mezclas y reacciones
    5. 8.4 Efusión y difusión de los gases
    6. 8.5 La teoría cinético-molecular
    7. 8.6 Comportamiento no ideal de los gases
    8. Términos clave
    9. Ecuaciones clave
    10. Resumen
    11. Ejercicios
  10. 9 Termoquímica
    1. Introducción
    2. 9.1 Conceptos básicos de energía
    3. 9.2 Calorimetría
    4. 9.3 Entalpía
    5. 9.4 Fuerza de los enlaces iónicos y covalentes
    6. Términos clave
    7. Ecuaciones clave
    8. Resumen
    9. Ejercicios
  11. 10 Líquidos y sólidos
    1. Introducción
    2. 10.1 Fuerzas intermoleculares
    3. 10.2 Propiedades de los líquidos
    4. 10.3 Transiciones de fase
    5. 10.4 Diagramas de fase
    6. 10.5 El estado sólido de la materia
    7. 10.6 Estructuras de red en los sólidos cristalinos
    8. Términos clave
    9. Ecuaciones clave
    10. Resumen
    11. Ejercicios
  12. 11 Soluciones y coloides
    1. Introducción
    2. 11.1 El proceso de disolución
    3. 11.2 Electrolitos
    4. 11.3 Solubilidad
    5. 11.4 Propiedades coligativas
    6. 11.5 Coloides
    7. Términos clave
    8. Ecuaciones clave
    9. Resumen
    10. Ejercicios
  13. 12 Termodinámica
    1. Introducción
    2. 12.1 Espontaneidad
    3. 12.2 Entropía
    4. 12.3 La segunda y la tercera ley de la termodinámica
    5. 12.4 Energía libre
    6. Términos clave
    7. Ecuaciones clave
    8. Resumen
    9. Ejercicios
  14. 13 Conceptos fundamentales del equilibrio
    1. Introducción
    2. 13.1 Equilibrio químico
    3. 13.2 Constantes de equilibrio
    4. 13.3 Equilibrios cambiantes: el principio de Le Châtelier
    5. 13.4 Cálculos de equilibrio
    6. Términos clave
    7. Ecuaciones clave
    8. Resumen
    9. Ejercicios
  15. 14 Equilibrios ácido-base
    1. Introducción
    2. 14.1 Ácidos y Bases de Brønsted-Lowry
    3. 14.2 pH y pOH
    4. 14.3 Fuerza relativa de los ácidos y las bases
    5. 14.4 Hidrólisis de sales
    6. 14.5 Ácidos polipróticos
    7. 14.6 Tampones
    8. 14.7 Titulaciones ácido-base
    9. Términos clave
    10. Ecuaciones clave
    11. Resumen
    12. Ejercicios
  16. 15 Equilibrios de otras clases de reacción
    1. Introducción
    2. 15.1 Precipitación y disolución
    3. 15.2 Ácidos y Bases de Lewis
    4. 15.3 Equilibrios acoplados
    5. Términos clave
    6. Ecuaciones clave
    7. Resumen
    8. Ejercicios
  17. 16 Electroquímica
    1. Introducción
    2. 16.1 Repaso de química redox
    3. 16.2 Celdas galvánicas
    4. 16.3 Potenciales del electrodo y de la celda
    5. 16.4 Potencial, energía libre y equilibrio
    6. 16.5 Baterías y pilas de combustible
    7. 16.6 Corrosión
    8. 16.7 Electrólisis
    9. Términos clave
    10. Ecuaciones clave
    11. Resumen
    12. Ejercicios
  18. 17 Cinética
    1. Introducción
    2. 17.1 Tasas de reacciones químicas
    3. 17.2 Factores que afectan las tasas de reacción
    4. 17.3 Leyes de velocidad
    5. 17.4 Leyes de tasas integradas
    6. 17.5 Teoría de colisiones
    7. 17.6 Mecanismos de reacción
    8. 17.7 Catálisis
    9. Términos clave
    10. Ecuaciones clave
    11. Resumen
    12. Ejercicios
  19. 18 Metales representativos, metaloides y no metales
    1. Introducción
    2. 18.1 Periodicidad
    3. 18.2 Incidencia y preparación de los metales representativos
    4. 18.3 Estructura y propiedades generales de los metaloides
    5. 18.4 Estructura y propiedades generales de los no metales
    6. 18.5 Incidencia, preparación y compuestos de hidrógeno
    7. 18.6 Incidencia, preparación y propiedades de los carbonatos
    8. 18.7 Incidencia, preparación y propiedades del nitrógeno
    9. 18.8 Incidencia, preparación y propiedades del fósforo
    10. 18.9 Incidencia, preparación y compuestos del oxígeno
    11. 18.10 Incidencia, preparación y propiedades del azufre
    12. 18.11 Incidencia, preparación y propiedades de los halógenos
    13. 18.12 Incidencia, preparación y propiedades de los gases nobles
    14. Términos clave
    15. Resumen
    16. Ejercicios
  20. 19 Metales de transición y química de coordinación
    1. Introducción
    2. 19.1 Incidencia, preparación y propiedades de los metales de transición y sus compuestos
    3. 19.2 Química de coordinación de los metales de transición
    4. 19.3 Propiedades espectroscópicas y magnéticas de los compuestos de coordinación
    5. Términos clave
    6. Resumen
    7. Ejercicios
  21. 20 Química nuclear
    1. Introducción
    2. 20.1 Estructura y estabilidad nuclear
    3. 20.2 Ecuaciones nucleares
    4. 20.3 Decaimiento radiactivo
    5. 20.4 Transmutación y energía nuclear
    6. 20.5 Usos de los radioisótopos
    7. 20.6 Efectos biológicos de la radiación
    8. Términos clave
    9. Ecuaciones clave
    10. Resumen
    11. Ejercicios
  22. 21 Química orgánica
    1. Introducción
    2. 21.1 Hidrocarburos
    3. 21.2 Alcoholes y éteres
    4. 21.3 Aldehídos, cetonas, ácidos carboxílicos y ésteres
    5. 21.4 Aminas y amidas
    6. Términos clave
    7. Resumen
    8. Ejercicios
  23. A La tabla periódica
  24. B Matemáticas esenciales
  25. C Unidades y factores de conversión
  26. D Constantes físicas fundamentales
  27. E Propiedades del agua
  28. F Composición de los ácidos y las bases comerciales
  29. G Propiedades termodinámicas estándar de determinadas sustancias
  30. H Constantes de ionización de los ácidos débiles
  31. I Constantes de ionización de las bases débiles
  32. J Productos de solubilidad
  33. K Constantes de formación de iones complejos
  34. L Potenciales de electrodos estándar (media celda)
  35. M Semivida de varios isótopos radiactivos
  36. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
    18. Capítulo 18
    19. Capítulo 19
    20. Capítulo 20
    21. Capítulo 21
  37. Índice

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Extender a la materia el concepto de dualidad onda-partícula que se observó en la radiación electromagnética
  • Comprender la idea general de la descripción mecánica cuántica de los electrones en un átomo, y que utiliza la noción de funciones de onda tridimensionales u orbitales que definen la distribución de probabilidad de encontrar un electrón en una parte concreta del espacio
  • Enumerar y describir los rasgos de los cuatro números cuánticos que forman la base para especificar completamente el estado de un electrón en un átomo

El modelo de Bohr explicaba los datos experimentales del átomo de hidrógeno y era ampliamente aceptado, pero también planteaba muchas interrogantes. ¿Por qué los electrones solo orbitan a distancias fijas definidas por un único número cuántico n = 1, 2, 3, etc., pero nunca entre ellos? ¿Por qué el modelo funcionó tan bien describiendo el hidrógeno y los iones de un electrón, pero no pudo predecir correctamente el espectro de emisión del helio o de cualquier otro átomo más grande? Para responder estas preguntas, los científicos tuvieron que revisar por completo su forma de pensar sobre la materia.

Comportamiento en el mundo microscópico

Sabemos cómo se comporta la materia en el mundo macroscópico: los objetos lo suficientemente grandes como para ser vistos a simple vista siguen las reglas de la física clásica. Una bola de billar que se mueve en una mesa se comportará como una partícula: continuará en línea recta a menos que choque con otra bola o con el cojín de la mesa, o que actúe sobre ella alguna otra fuerza (como la fricción). La bola tiene una posición y una velocidad bien definidas (o un momento bien definido, p = mv, definido por la masa m y la velocidad v) en cualquier momento. En otras palabras, la bola se mueve en una trayectoria clásica. Este es el comportamiento típico de un objeto clásico.

Cuando las ondas interactúan entre sí, muestran patrones de interferencia que no muestran las partículas macroscópicas, como la bola de billar. Por ejemplo, las ondas que interactúan en la superficie del agua pueden producir patrones de interferencia similares a los que se muestran en la Figura 3.16. Este es un caso de comportamiento ondulatorio a escala macroscópica, y está claro que las partículas y las ondas son fenómenos muy diferentes en el ámbito macroscópico.

Se muestra una fotografía de ondas en el agua. Las ondas muestran un patrón de interferencia entre ellas.
Figura 3.16 Las ondas que interactúan forman un patrón de interferencia en la superficie del agua. Las olas son causadas por el reflejo del agua en las rocas (créditos: modificación del trabajo de Sukanto Debnath).

A medida que las mejoras tecnológicas permitieron a los científicos explorar el mundo microscópico con mayor detalle, en la década de 1920 quedó cada vez más claro que las piezas muy pequeñas de la materia siguen un conjunto de reglas diferentes a las que observamos para los objetos grandes. La incuestionable separación de las ondas y las partículas ya no es el caso del mundo microscópico.

Uno de los primeros en prestar atención al comportamiento especial del mundo microscópico fue Louis De Broglie. Hizo la pregunta: Si la radiación electromagnética puede tener carácter de partícula, ¿pueden los electrones y otras partículas submicroscópicas presentar carácter de onda? En su tesis doctoral de 1925, De Broglie extendió la dualidad onda-partícula de la luz que Einstein utilizó para resolver la paradoja del efecto fotoeléctrico a las partículas materiales. Predijo que una partícula con masa m y velocidad v (es decir, con momento lineal p) también debería mostrar el comportamiento de una onda con un valor de longitud de onda λ, dado por esta expresión en la que h es la conocida constante de Planck:

λ=hmv=hpλ=hmv=hp

Esto se llama la longitud de onda de De Broglie. A diferencia de los otros valores de λ que se analizan en este capítulo, la longitud de onda de De Broglie es una característica de las partículas y otros cuerpos, no de la radiación electromagnética (nótese que esta ecuación involucra la velocidad [v, m/s], no la frecuencia [ν, Hz]. Aunque estos dos símbolos parecen casi idénticos, significan cosas muy diferentes). Mientras que Bohr había postulado que el electrón era una partícula que orbitaba alrededor del núcleo en órbitas cuantizadas, De Broglie argumentó que el supuesto de cuantización de Bohr puede explicarse si el electrón se considera no como una partícula, sino como una onda estacionaria circular tal que solo un número entero de longitudes de onda podría caber exactamente dentro de la órbita (Figura 3.17).

Esta figura incluye un círculo formado por una línea discontinua. Un patrón de onda sinusoidal indicado con una línea roja sólida envuelve el círculo alrededor, centrado en el borde del mismo. Los segmentos de la línea se extienden hacia fuera del círculo, pasando por 2 crestas de onda a lo largo del círculo. Entre estos segmentos se dibuja una flecha de doble punta que se etiqueta como "longitud de onda, lambda". Se dibuja una flecha discontinua de doble punta desde el centro hasta el borde del círculo y se etiqueta como "radio r".
Figura 3.17 Si un electrón se ve como una onda que da vueltas alrededor del núcleo, debe caber un número entero de longitudes de onda en la órbita para que este comportamiento de onda estacionaria sea posible.

Para una órbita circular de radio r, la circunferencia es 2πr, por lo que la condición de De Broglie es:

2 πr=nλ,n=1,2 ,3,2 πr=nλ,n=1,2 ,3,

Poco después de que De Broglie propusiera la naturaleza ondulatoria de la materia, dos científicos de los Laboratorios Bell, C. J. Davisson y L. H. Germer, demostraron experimentalmente que los electrones pueden mostrar un comportamiento ondulatorio al mostrar un patrón de interferencia para los electrones que viajan a través de un patrón atómico regular en un cristal. Capas atómicas regularmente espaciadas en forma de rendijas, como las utilizadas en otros experimentos de interferencia. Dado que el espacio entre las capas en forma de rendijas debe ser similar en tamaño a la longitud de onda de la onda probada para que se forme un patrón de interferencia, Davisson y Germer utilizaron un blanco de níquel cristalino para sus "rendijas", ya que el espacio de los átomos dentro de la red era aproximadamente el mismo que las longitudes de onda de De Broglie de los electrones que utilizaron. La Figura 3.18 muestra un patrón de interferencia. Es sorprendentemente similar a los patrones de interferencia de la luz mostrados en Energía Electromagnética para la luz que pasa a través de dos rendijas estrechas muy próximas entre sí. La dualidad onda-partícula de la materia puede verse en la Figura 3.18 observando lo que ocurre si se registran las colisiones de electrones durante un largo periodo de tiempo. Inicialmente, cuando solo se habían registrado unos pocos electrones, estos muestran un claro comportamiento similar al de las partículas, habiendo llegado en pequeños paquetes localizados que parecen ser aleatorios. A medida que llegaban más y más electrones y se registraban, surgía un claro patrón de interferencia que es el sello del comportamiento ondulatorio. Así parece que, aunque los electrones son pequeñas partículas localizadas, su movimiento no sigue las ecuaciones de movimiento implicadas por la mecánica clásica, sino que se rige por algún tipo de ecuación de onda. De esta forma, la dualidad onda-partícula observada por primera vez con los fotones es en realidad un comportamiento fundamental intrínseco a todas las partículas cuánticas.

Esta figura tiene dos partes. La parte a muestra un diagrama de una fuente de electrones que emite ondas que pasan a través de dos rendijas estrechas en una barrera. En el lado opuesto de la barrera se produce un patrón de interferencia de ondas que da lugar a líneas grises horizontales relativamente anchas y uniformemente espaciadas sobre una superficie negra. La superficie negra se coloca a una distancia más allá de la barrera. La parte b muestra una fuente de electrones en el extremo izquierdo. Dos flechas doradas apuntan hacia dos estrechas rendijas horizontales en una barrera. Alrededor de estas flechas hay muchos puntos dorados pequeños. En el lado derecho de la barrera, los puntos dorados están más dispersos. Una superficie negra a una distancia más allá de la barrera muestra puntos dorados uniformes, pero muy dispersos. Debajo de esta superficie negra hay una flecha etiquetada como "Tiempo". A la derecha se muestra una segunda superficie negra que tiene muchos más puntos dorados que parecen organizarse en un patrón de segmentos de líneas horizontales uniformemente espaciados. Más a la derecha se muestra una tercera superficie negra en la que aparecen muchos más puntos dorados en un patrón de segmentos de líneas horizontales muy claramente establecido y uniformemente espaciado.
Figura 3.18 (a) El patrón de interferencia de los electrones que pasan a través de rendijas muy próximas demuestra que las partículas cuánticas, como los electrones, pueden tener un comportamiento ondulatorio. (b) Los resultados experimentales ilustrados aquí demuestran la dualidad onda-partícula en los electrones.

Ejemplo 3.6

Cálculo de la longitud de onda de una partícula

Si un electrón viaja a una velocidad de 1.000 ×× 107 m s-1 y tiene una masa de 9,109 ×× 10-28 g, ¿cuál es su longitud de onda?

Solución

Podemos utilizar la ecuación de De Broglie para resolver este problema, pero primero debemos hacer una conversión de unidades de la constante de Planck. Ya ha aprendido que 1 J = 1 kg m2/s2. Así, podemos escribir h = 6,626 ×× 10-34 J s como 6,626 ×× 10-34 kg m2/s.
λ=hmvλ=hmv
=6,626×10-34kg m2/s(9,109×10-31kg)(1,000×107m/s)=7,274×10-11m=6,626×10-34kg m2/s(9,109×10-31kg)(1,000×107m/s)=7,274×10-11m

Este es un valor pequeño, pero es significativamente mayor que el tamaño de un electrón en la visión clásica (de partículas). Este tamaño es del mismo orden de magnitud que el de un átomo. Esto significa que el comportamiento ondulatorio de los electrones va a ser notable en un átomo.

Compruebe lo aprendido

Calcule la longitud de onda de una pelota de softball con una masa de 100 g que viaja a una velocidad de 35 m s-1, suponiendo que se puede modelar como una sola partícula.

Respuesta:

1,9 ×× 10-34 m.

Nunca pensamos que una pelota de béisbol lanzada tenga una longitud de onda, ya que esta es tan pequeña que es imposible de detectar por nuestros sentidos o por cualquier instrumento conocido (en sentido estricto, la longitud de onda de una pelota de béisbol real correspondería a las longitudes de onda de sus átomos y moléculas constituyentes que, aunque son mucho mayores que este valor, seguirían siendo microscópicamente diminutas). La longitud de onda de De Broglie solo es apreciable para la materia que tiene una masa muy pequeña y/o una velocidad muy alta.

Werner Heisenberg consideró los límites de la precisión con la que podemos medir las propiedades de un electrón u otras partículas microscópicas. Determinó que existe un límite fundamental a la precisión con la que se puede medir simultáneamente la posición y el momento de una partícula. Cuanto más exactamente midamos el momento de una partícula, menos exactamente podremos determinar su posición en ese momento, y viceversa. Esto se resume en lo que ahora llamamos el principio de incertidumbre de Heisenberg: es fundamentalmente imposible determinar simultáneamente y con exactitud tanto el momento como la posición de una partícula. Para una partícula de masa m que se mueve con la velocidad vx en la dirección x (o equivalentemente con el momento px), el producto de la incertidumbre en la posición, Δx, y la incertidumbre en el momento, Δpx, debe ser mayor o igual a 22 (donde =h2π,=h2π, el valor de la constante de Planck dividido entre 2π).

Δx×Δpx=(Δx)(mΔv)2Δx×Δpx=(Δx)(mΔv)2

Esta ecuación nos permite calcular el límite de la precisión con la que podemos conocer tanto la posición simultánea de un objeto como su momento. Por ejemplo, si mejoramos nuestra medición de la posición de un electrón para que la incertidumbre en la posición (Δx) tenga un valor de, digamos, 1 pm (10-12 m, aproximadamente el 1% del diámetro de un átomo de hidrógeno), entonces nuestra determinación de su momento debe tener una incertidumbre con un valor de al menos

[ Δp=mΔv=ħ(2Δx) ]=(1,055×10-34kg m2/s)(2×1×10-12m)=5×10-23kg m/s.[ Δp=mΔv=ħ(2Δx) ]=(1,055×10-34kg m2/s)(2×1×10-12m)=5×10-23kg m/s.

El valor de ħ no es grande, por lo que la incertidumbre en la posición o el momento de un objeto macroscópico como una pelota de béisbol es demasiado insignificante para ser observada. Sin embargo, la masa de un objeto microscópico como un electrón es lo suficientemente pequeña como para que la incertidumbre pueda ser grande y significativa.

Cabe señalar que el principio de incertidumbre de Heisenberg no se limita a las incertidumbres de posición y momento, sino que también relaciona otras variables dinámicas. Por ejemplo, cuando un átomo absorbe un fotón y realiza una transición de un estado energético a otro, la incertidumbre en la energía y la incertidumbre en el tiempo requerido para la transición están relacionadas de forma similar, ya que ΔE Δt2.2.

El principio de Heisenberg impone límites máximos a lo que se puede conocer en la ciencia. Se puede demostrar que el principio de incertidumbre es una consecuencia de la dualidad onda-partícula, que está en el centro de lo que distingue a la teoría cuántica moderna de la mecánica clásica.

El modelo mecánico-cuántico de un átomo

Poco después de que De Broglie publicara sus ideas de que el electrón de un átomo de hidrógeno podía considerarse mejor como una onda estacionaria circular en lugar de una partícula que se mueve en órbitas circulares cuantizadas, Erwin Schrödinger amplió el trabajo de De Broglie derivando lo que hoy se conoce como la ecuación de Schrödinger. Cuando Schrödinger aplicó su ecuación a los átomos hidrogenoides pudo reproducir la expresión de Bohr para la energía y, por tanto, la fórmula de Rydberg que rige los espectros del hidrógeno. Schrödinger describió los electrones como ondas estacionarias tridimensionales, o funciones de onda, representadas por la letra griega psi, ψ. Unos años más tarde, Max Born propuso una interpretación de la función de onda ψ que sigue siendo aceptada en la actualidad: Los electrones siguen siendo partículas, por lo que las ondas representadas por ψ no son ondas físicas, sino amplitudes de probabilidad complejas. El cuadrado de la magnitud de una función de onda ψ2ψ2 describe la probabilidad de que la partícula cuántica esté presente cerca de un lugar determinado del espacio. Esto significa que las funciones de onda pueden utilizarse para determinar la distribución de la densidad del electrón con respecto al núcleo en un átomo. En la forma más general, la ecuación de Schrödinger puede escribirse como:

H^ψ=EψH^ψ=Eψ

H^H^ es el operador hamiltoniano, un conjunto de operaciones matemáticas que representan la energía total de la partícula cuántica (como un electrón en un átomo), ψ es la función de onda de esta partícula que puede utilizarse para encontrar la distribución especial de la probabilidad de encontrar la partícula, y EE es el valor real de la energía total de la partícula.

El trabajo de Schrödinger, así como el de Heisenberg y muchos otros científicos que siguieron sus pasos, se conoce generalmente como mecánica cuántica.

Comprensión de la teoría cuántica de los electrones en los átomos

El objetivo de esta sección es comprender los electrones orbitales (ubicación de los electrones en los átomos), sus diferentes energías y otras propiedades. El uso de la teoría cuántica proporciona la mejor comprensión de estos temas. Este conocimiento es un precursor del enlace químico.

Como se ha descrito anteriormente, los electrones de los átomos solo pueden existir en niveles de energía discretos, pero no entre ellos. Se dice que la energía de un electrón en un átomo está cuantizada, es decir, solo puede ser igual a ciertos valores específicos y puede saltar de un nivel de energía a otro, pero no hacer una transición suave o permanecer entre estos niveles.

Los niveles de energía se etiquetan con un valor n, donde n = 1, 2, 3,... En general, la energía de un electrón en un átomo es mayor para valores mayores de n. Este número, n, se denomina número cuántico principal. El número cuántico principal define la ubicación del nivel de energía. Es esencialmente el mismo concepto que n en la descripción del átomo de Bohr. Otro nombre para el número cuántico principal es el número de capa. Las capas de un átomo pueden considerarse círculos concéntricos que irradian desde el núcleo. Los electrones que pertenecen a una capa específica tienen más probabilidades de encontrarse dentro del área circular correspondiente. Cuanto más nos alejamos del núcleo, mayor es el número de capa y, por tanto, mayor es el nivel de energía (Figura 3.19). Los protones cargados positivamente en el núcleo estabilizan los electrones orbitales mediante la atracción electrostática entre las cargas positivas de los protones y las cargas negativas de los electrones. Así, cuanto más lejos esté el electrón del núcleo, mayor será su energía.

Esta figura contiene una esfera verde central etiquetada como "núcleo". Hay un signo más en el centro de la esfera. Esta esfera está rodeada por 3 anillos concéntricos uniformemente espaciados. El primero y más cercano al centro está etiquetado como "n igual a 1". El segundo anillo está etiquetado como "n igual a 2" y el tercero como "n igual a 3". Se dibuja una flecha desde el borde de la esfera central hacia la derecha que se extiende fuera de los anillos concéntricos. Está etiquetada como "aumento de energía".
Figura 3.19 Las diferentes capas están numeradas por números cuánticos principales.

Este modelo de mecánica cuántica para determinar dónde residen los electrones en un átomo puede utilizarse para observar las transiciones electrónicas, es decir, los acontecimientos en los que un electrón pasa de un nivel de energía a otro. Si la transición es a un nivel de energía superior, se absorbe energía y el cambio de energía tiene un valor positivo. Para obtener la cantidad de energía necesaria para la transición a un nivel energético superior, el átomo absorbe un fotón. Una transición a un nivel de energía inferior implica una liberación de energía y el cambio de energía es negativo. Este proceso va acompañado de la emisión de un fotón por parte del átomo. La siguiente ecuación resume estas relaciones y se basa en el átomo de hidrógeno:

ΔE=EfinalEinicial=-2,18×10-18(1nf21ni2 )JΔE=EfinalEinicial=-2,18×10-18(1nf21ni2 )J

Los valores nf y ni son los estados de energía final e inicial del electrón. El Ejemplo 3.5 en la sección anterior del capítulo demuestra los cálculos de dichos cambios de energía.

El número cuántico principal es uno de los tres números cuánticos utilizados para caracterizar un orbital. Un orbital atómico es una región general en un átomo dentro de la cual es más probable que resida un electrón. El modelo mecánico cuántico especifica la probabilidad de encontrar un electrón en el espacio tridimensional alrededor del núcleo y se basa en las soluciones de la ecuación de Schrödinger. Además, el número cuántico principal define la energía de un electrón en un átomo de hidrógeno o átomos hidrogenoides o en un ion (un átomo o un ion con un solo electrón) y la región general en la que se encuentran los niveles de energía discretos de los electrones en los átomos e iones multielectrónicos.

Otro número cuántico es l, el número cuántico secundario (de momento angular). Es un número entero que puede tomar los valores, l = 0, 1, 2,..., n - 1. Esto significa que un orbital con n = 1 solo puede tener un valor de l, l = 0, mientras que n = 2 permite l = 0 y l = 1, y así sucesivamente. Mientras que el número cuántico principal, n, define el tamaño general y la energía del orbital, el número cuántico secundario l especifica la forma del orbital. Los orbitales con el mismo valor de l definen una subcapa.

Los orbitales con l = 0 se denominan orbitales s y constituyen las subcapas s. El valor l = 1 corresponde a los orbitales p. Para un n dado, los orbitales p constituyen una subcapa p (por ejemplo, 3p si n = 3). Los orbitales con l = 2 se denominan orbitales d, seguidos de los orbitales f, g, y h para l = 3, 4 y 5.

Hay ciertas distancias del núcleo a las que la densidad de probabilidad de encontrar un electrón situado en un orbital concreto es cero. En otras palabras, el valor de la función de onda ψ es cero a esta distancia para este orbital. Este valor de radio r se denomina nodo radial. El número de nodos radiales en un orbital es n - l - 1.

Esta figura muestra imágenes y gráficos para ilustrar la probabilidad de encontrar un electrón en orbitales de 1 s, 2 s y 3 s en función de la distancia al núcleo. El orbital de 1 s se muestra como una esfera a la que le falta un trozo. Debajo de ella se marca un gráfico en su eje horizontal a 0 y 50 p m. La curva relacionada alcanza rápidamente una altura máxima y desciende rápidamente. La etiqueta "1 s" aparece debajo del gráfico. El orbital de 2 s se muestra como una esfera roja con un centro azul. Falta un trozo de la esfera. En su eje horizontal se marca un gráfico a 0, 50 y 100 p m. La curva relacionada alcanza rápidamente una altura máxima relativa, una altura máxima absoluta significativamente mayor, y luego desciende rápidamente. Debajo aparece la etiqueta "2s". El orbital de 3 s es una esfera azul con una esfera roja y otra azul en su núcleo. En su eje horizontal se marca un gráfico a 0, 50, 100 y 150 p m. La curva relacionada alcanza rápidamente una altura máxima relativa, una segunda altura máxima relativa, un máximo absoluto significativamente mayor, y luego declina más gradualmente que lo ilustrado en los 2 gráficos anteriores. La etiqueta "3 s" aparece debajo del gráfico.
Figura 3.20 Los gráficos muestran la probabilidad (eje y) de encontrar un electrón para los orbitales 1s, 2s, 3s en función de la distancia al núcleo.

Considere los ejemplos de la Figura 3.20. Los orbitales representados son del tipo s, por lo que l = 0 para todos ellos. Se puede ver en los gráficos de las densidades de probabilidad que hay 1 – 0 – 1 = 0 lugares donde la densidad es cero (nodos) para el 1s (n = 1), 2 – 0 – 1 = 1 nodo para el 2s, y 3 – 0 – 1 = 2 nodos para los orbitales 3s.

La distribución de la configuración electrónica de la subcapa s es esférica y la subcapa p tiene forma de campana. Los orbitales d y f son más complejos. Estas formas representan las regiones tridimensionales en las que es probable que se encuentre el electrón.

Este diagrama ilustra las formas y cantidades de todos los orbitales s, p, d y f. El subnivel s está compuesto por un único orbital esférico. El subnivel p está compuesto por 3 orbitales en forma de campana orientados a lo largo de los ejes x, y y z. Los cinco subniveles d y los siete subniveles f son bastante más complejos.
Figura 3.21 Formas de los orbitales s, p, d y f.

El número cuántico magnético, ml, especifica la orientación espacial relativa de un orbital concreto. En general, ml puede ser igual a –l, –(l – 1),…, 0,…, (l – 1), l. El número total de orbitales posibles con el mismo valor de l (es decir, en la misma subcapa) es 2l + 1. Así, hay un orbital s en una subcapa s (l = 0), hay tres orbitales p en una subcapa p (l = 1), cinco orbitales d en una subcapa d (l = 2), siete orbitales f en una subcapa f (l = 3), etc. El número cuántico principal define el valor general de la energía electrónica. El número cuántico del momento angular determina la forma del orbital. Y el número cuántico magnético especifica la orientación del orbital en el espacio, como puede verse en la Figura 3.21.

Este diagrama mostrado tiene una flecha hacia arriba a la izquierda que está etiquetada como "E". A la derecha de esta flecha, cerca de la parte inferior de la imagen, hay una sola línea que lleva la etiqueta "1 s". Encima y justo a la derecha hay otra línea negra que está etiquetada como "2 s". Un poco más arriba y a la derecha hay una agrupación de tres líneas negras etiquetadas como "2 p". Encima y a la derecha hay una sola línea negra etiquetada como "3 s". Un poco más arriba y a la derecha hay una agrupación de tres líneas negras que llevan la etiqueta "3 p". Justo encima y a la derecha hay una agrupación de 5 líneas negras etiquetadas como "3 d". Ligeramente por debajo y a la derecha hay una sola línea negra que está etiquetada como "4 s". Justo encima y a la derecha, a un nivel ligeramente superior al de las líneas negras anteriores, hay una agrupación de tres líneas negras etiquetadas todas ellas como "4 p".
Figura 3.22 El gráfico muestra las energías de los orbitales de los electrones en un átomo multielectrónico.

La Figura 3.22 ilustra los niveles de energía de varios orbitales. El número que precede al nombre del orbital (como 2s, 3p, etc.) representa el número cuántico principal, n. La letra en el nombre del orbital define la subcapa con un número cuántico de momento angular específico l = 0 para los orbitales s, 1 para los orbitales p, 2 para los orbitales d. Por último, hay más de un orbital posible para l ≥ 1, cada uno correspondiente a un valor específico de ml. En el caso de un átomo de hidrógeno o un ion de un solo electrón (como He+, Li2+, etc.), las energías de todos los orbitales con el mismo n son iguales. Esto se llama degeneración, y los niveles de energía para el mismo número cuántico principal, n, se llaman orbitales degenerados. Sin embargo, en los átomos con más de un electrón, esta degeneración es eliminada por las interacciones electrón-electrón y los orbitales que pertenecen a diferentes subcapas tienen energías diferentes, como se muestra en la Figura 3.22. Los orbitales dentro de la misma subcapa siguen siendo degenerados y tienen la misma energía.

Aunque los tres números cuánticos discutidos en los párrafos anteriores funcionan bien para describir los orbitales de los electrones, algunos experimentos mostraron que no eran suficientes para explicar todos los resultados observados. En la década de 1920 se demostró que cuando se examinan los espectros de líneas de hidrógeno con una resolución extremadamente alta, algunas líneas no son en realidad picos únicos, sino más bien pares de líneas estrechamente espaciadas. Esta es la llamada estructura fina del espectro, e implica que hay pequeñas diferencias adicionales en las energías de los electrones, incluso cuando se encuentran en el mismo orbital. Estas observaciones llevaron a Samuel Goudsmit y George Uhlenbeck a proponer que los electrones tienen un cuarto número cuántico. Lo llamaron el número cuántico de espín, o ms.

Los otros tres números cuánticos, n, l y ml, son propiedades de orbitales atómicos específicos que también definen en qué parte del espacio es más probable que se encuentre un electrón. Los orbitales son el resultado de resolver la ecuación de Schrödinger para los electrones de los átomos. El espín del electrón es una propiedad diferente. Es un fenómeno completamente cuántico sin análogos en el ámbito clásico. Además, no puede deducirse de la resolución de la ecuación de Schrödinger y no está relacionada con las coordenadas espaciales normales (como las cartesianas x, y y z). El espín del electrón describe una "rotación" o "giro" intrínseca del electrón. Cada electrón actúa como un minúsculo imán o un diminuto objeto giratorio con un momento angular, o como un bucle con una corriente eléctrica, aunque esta rotación o corriente no pueda observarse en términos de coordenadas espaciales.

La magnitud del espín global del electrón solo puede tener un valor, y un electrón solo puede "girar" (espín) en uno de los dos estados cuantizados. Uno de ellos se denomina estado α, con la componente z del espín en la dirección positiva del eje z. Esto corresponde al número cuántico de espín ms=12 .ms=12 . El otro se denomina estado β, siendo la componente z del espín negativa y ms=12 .ms=12 . Cualquier electrón, independientemente del orbital atómico en el que se encuentre, solo puede tener uno de esos dos valores del número cuántico de espín. Las energías de los electrones que tienen ms=12 ms=12 y ms=12ms=12 son diferentes si se aplica un campo magnético externo.

Este diagrama tiene una flecha que apunta hacia arriba a la izquierda y que está etiquetada como "B subíndice 0". A la derecha, se muestran dos esferas. La primera tiene un cuadrado gris en la parte superior etiquetado como "N" y un segundo cuadrado gris en la parte inferior etiquetado como "S". Una flecha curva apunta hacia la derecha a través de la superficie de la esfera y una flecha gris apunta hacia arriba a través del centro de la esfera. Esta esfera está etiquetada como "Espín más un medio, giro hacia arriba". La esfera que está justo a la derecha tiene un cuadrado gris encima etiquetado como "S" y un cuadrado gris debajo etiquetado como "N". Esta esfera tiene una flecha curva en su superficie que se dirige hacia la izquierda y una flecha gris que atraviesa el centro de la esfera y apunta hacia abajo. Esta esfera está etiquetada como "Espín negativo un medio, giro hacia abajo".
Figura 3.23 Electrones con valores de espín ± 1 2 ± 1 2 en un campo magnético externo.

La Figura 3.23 ilustra este fenómeno. Un electrón actúa como un pequeño imán. Su momento se dirige hacia arriba (en la dirección positiva del eje z) para el 1212 número cuántico de espín y hacia abajo (en la dirección z negativa) para el número cuántico de espín de 12 .12 . Un imán tiene una energía menor si su momento magnético está alineado con el campo magnético externo (el electrón de la izquierda en la Figura 3.23) y una energía mayor para el momento magnético opuesto al campo aplicado. Por ello, un electrón con ms=12ms=12 tiene una energía ligeramente inferior en un campo externo en la dirección z positiva, y un electrón con ms=12ms=12 tiene una energía ligeramente superior en el mismo campo. Esto es cierto incluso para un electrón que ocupa el mismo orbital en un átomo. Una línea espectral correspondiente a una transición para electrones del mismo orbital, pero con números cuánticos de espín diferentes, tiene dos valores posibles de energía; por lo tanto, la línea en el espectro mostrará una división de la estructura fina.

El principio de exclusión de Pauli

Un electrón en un átomo se describe completamente mediante cuatro números cuánticos: n, l, ml y ms. Los tres primeros números cuánticos definen el orbital y el cuarto número cuántico describe la propiedad intrínseca del electrón llamada espín. El físico austriaco Wolfgang Pauli formuló un principio general que proporciona la última información que necesitamos para comprender el comportamiento general de los electrones en los átomos. El principio de exclusión de Pauli puede formularse como sigue: no hay dos electrones en el mismo átomo que puedan tener exactamente el mismo conjunto de los cuatro números cuánticos. Esto significa que dos electrones pueden compartir el mismo orbital (el mismo conjunto de números cuánticos n, l y ml) solo si sus números cuánticos de espín ms tienen valores diferentes. Como el número cuántico de espín solo puede tener dos valores (±12 ),(±12 ), no más de dos electrones pueden ocupar el mismo orbital (y si dos electrones se encuentran en el mismo orbital, deben tener espines opuestos). Por lo tanto, cualquier orbital atómico puede estar poblado solo por cero, uno o dos electrones.

Las propiedades y el significado de los números cuánticos de los electrones en los átomos se resumen brevemente en la Tabla 3.1.

Números cuánticos, sus propiedades y su significado
Nombre Símbolo Valores permitidos Significado físico
número cuántico principal n 1, 2, 3, 4, …. capa, la región general para el valor de la energía de un electrón en el orbital
momento angular o número cuántico azimutal l 0 ≤ ln – 1 subcapa, la forma del orbital
número cuántico magnético ml lmll orientación del orbital
número cuántico de espín ms 12 ,12 12 ,12 dirección del "espín" cuántico intrínseco del electrón
Tabla 3.1

Ejemplo 3.7

Trabajo con capas y subcapas

Indique el número de subcapas, el número de orbitales en cada subcapa y los valores de l y ml para los orbitales de la capa n = 4 de un átomo.

Solución

Para n = 4, l puede tener los valores 0, 1, 2 y 3. Así, las subcapas s, p, d y f se encuentran en la capa n = 4 de un átomo. Para l = 0 (la subcapa s), ml solo puede ser 0. Por lo tanto, solo hay un orbital 4s. Para l = 1 (orbitales de tipo p), m puede tener valores de -1, 0, +1, por lo que encontramos tres orbitales 4p. Para l = 2 (orbitales de tipo d), ml puede tener valores de -2, -1, 0, +1, +2, por lo que tenemos cinco orbitales 4d. Cuando l = 3 (orbitales de tipo f), ml puede tener valores de -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, y podemos tener siete orbitales 4f. Así, encontramos un total de 16 orbitales en la capa n = 4 de un átomo.

Compruebe lo aprendido

Identifique la subcapa en la que se encuentran los electrones con los siguientes números cuánticos: (a) n = 3, l = 1; (b) n = 5, l = 3; (c) n = 2, l = 0.

Respuesta:

(a) 3p (b) 5f (c) 2s

Ejemplo 3.8

Número máximo de electrones

Calcule el número máximo de electrones que puede ocupar una capa con (a) n = 2, (b) n = 5, y (c) n como variable. Tenga en cuenta que solo está mirando los orbitales con el valor n especificado, no los de energías más bajas.

Solución

(a) Cuando n = 2, hay cuatro orbitales (un único orbital 2s, y tres orbitales etiquetados como 2p). Estos cuatro orbitales pueden contener ocho electrones.

(b) Cuando n = 5, hay cinco subcapas de orbitales que debemos sumar:

1orbital etiquetado5s 3orbitales etiquetados5p 5orbitales etiquetados5d 7orbitales etiquetados5f +9orbitales etiquetados5g¯ 25orbitales totales 1orbital etiquetado5s 3orbitales etiquetados5p 5orbitales etiquetados5d 7orbitales etiquetados5f +9orbitales etiquetados5g¯ 25orbitales totales

De nuevo, cada orbital contiene dos electrones, por lo que 50 electrones pueden caber en esta capa.

(c) El número de orbitales en cualquier capa n será igual a n2. Puede haber hasta dos electrones en cada orbital, por lo que el número máximo de electrones será 2 ×× n2.

Compruebe lo aprendido

Si una capa contiene un máximo de 32 electrones, ¿cuál es el número cuántico principal, n?

Respuesta:

n = 4.

Ejemplo 3.9

Trabajar con números cuánticos

Complete la siguiente tabla de orbitales atómicos:
Orbital n l degeneración ml Nodos radiales (no.)
4f
4 1
7 7 3
5d

Solución

La tabla se puede completar con las siguientes reglas:
  • La designación orbital es nl, donde l = 0, 1, 2, 3, 4, 5,... se asigna a la secuencia de letras s, p, d, f, g, h,...
  • La degeneración ml es el número de orbitales dentro de una subcapa l, por lo que es 2l + 1 (hay un orbital s, tres orbitales p, cinco orbitales d, siete orbitales f, etc.).
  • El número de nodos radiales es igual a n - l - 1.
Orbital n l degeneración ml Nodos radiales (no.)
4f 4 3 7 0
4p 4 1 3 2
7f 7 3 7 3
5d 5 2 5 2

Compruebe lo aprendido

¿Cuántos orbitales tienen l = 2 y n = 3?

Respuesta:

Los cinco orbitales 3d degenerados

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