B Matemáticas esenciales

Aritmética exponencial

La notación exponencial se utiliza para expresar números muy grandes y muy pequeños como producto de dos números. El primer número del producto, el término de dígitos, es un número no inferior a 1 y no igual o superior a 10. El segundo número del producto, el término exponencial, se escribe como 10 con un exponente. Algunos ejemplos de notación exponencial son:

La potencia (exponente) de 10 es igual al número de posiciones que se desplaza el decimal para dar el número de dígitos. El método exponencial es una notación especialmente útil para números muy grandes y muy pequeños. Por ejemplo, 1.230.000.000 = 1,23 $\times$ 10⁹, y 0,00000000036 = 3,6 $\times$ 10⁻¹⁰.

Cifras significativas

Un apicultor informa que tiene 525.341 abejas. Las tres últimas cifras del número son obviamente inexactas, ya que durante el tiempo que el cuidador estuvo contando las abejas, algunas de ellas murieron y otras eclosionaron; esto dificulta bastante determinar el número exacto de abejas. Habría sido más razonable que el apicultor hubiera informado la cifra 525.000. Es decir, las tres últimas cifras son despreciables, a no ser que se utilicen para fijar la posición del punto decimal. Sus valores exactos no tienen ningún significado útil en esta situación. Al informar de las cantidades, utilice solo tantas cifras significativas como lo amerite la exactitud de la medición.

La importancia de las cifras significativas radica en su aplicación al cálculo fundamental. En la suma y la resta debe haber tantas cifras a la derecha del decimal como la del menor de los números utilizados en el cálculo (indicado con subrayado en el siguiente ejemplo).

En la multiplicación y en la división, el producto o el cociente no debería contener más dígitos que los del factor que contenga el menor número de cifras significativas.

Al redondear los números, aumente la cifra retenida en 1 si va seguida de un número mayor que 5 ("redondear hacia arriba"). No cambie el dígito retenido si los dígitos que siguen son menores de 5 ("redondear hacia abajo"). Si la cifra retenida va seguida de 5, se redondea hacia arriba si la cifra retenida es impar, o hacia abajo si es par (tras el redondeo, la cifra retenida será siempre par).

El uso de logaritmos y números exponenciales

El logaritmo común de un número (log) es la potencia a la que hay que elevar 10 para que sea igual a ese número. Por ejemplo, el logaritmo común de 100 es 2, porque 10 debe elevarse a la segunda potencia para ser igual a 100. A continuación, otros ejemplos.

¿Cuál es el logaritmo común de 60? Dado que 60 se encuentra entre 10 y 100, que tienen logaritmos de 1 y 2, respectivamente, el logaritmo de 60 es 1,7782; es decir:

El logaritmo común de un número menor que 1 tiene un valor negativo. El logaritmo de 0,03918 es −1,4069, o

Para obtener el logaritmo común de un número, utilice el botón log en su calculadora. Para calcular un número a partir de su logaritmo, tome el inverso del logaritmo o calcule 10^x (donde x es el logaritmo del número).

El logaritmo natural de un número (ln) es la potencia a la que hay que elevar e para que sea igual al número; e es la constante 2,7182818. Por ejemplo, el logaritmo natural de 10 es 2,303; es decir:

Para obtener el logaritmo natural de un número, utilice el botón ln en su calculadora. Para calcular un número a partir de su logaritmo natural, introduzca el logaritmo natural y tome la inversa ln del logaritmo natural o calcule e^x (donde x es el logaritmo natural del número).

Los logaritmos son exponentes; por lo tanto, las operaciones con logaritmos siguen las mismas reglas que las operaciones con exponentes.

1. El logaritmo de un producto de dos números es la suma de los logaritmos de los dos números.
   $$\text{log}xy=\text{log}x+\text{log}y,\text{y ln}xy=\text{ln}x+\text{ln}y$$
2. El logaritmo del resultante de la división de dos números es la diferencia entre los logaritmos de los dos números.
   $$\text{log}\frac{x}{y}=\text{log}x–\text{log}y,\text{y ln}\frac{x}{y}=\text{ln}x–\text{ln}y$$
3. El logaritmo de un número elevado a un exponente es el producto del exponente y el logaritmo del número.
   $$\text{log}{x}^n=n\text{log}x\text{y ln}{x}^n=n\text{ln}x$$

La solución de las ecuaciones cuadráticas

Las funciones matemáticas de esta forma se conocen como polinomios de segundo orden o, más comúnmente, funciones cuadráticas.

La solución o las raíces de cualquier ecuación cuadrática se calculan mediante la siguiente fórmula:

Las ecuaciones cuadráticas construidas a partir de datos físicos siempre tienen raíces reales, y de estas raíces reales, a menudo son relevantes únicamente las que tienen valores positivos.

Gráficos bidimensionales (x-y)

La relación entre dos propiedades cualquiera de un sistema se representa mediante un gráfico bidimensional de datos. Los gráficos de este tipo tienen dos ejes: uno horizontal, que corresponde a la variable independiente, o la variable cuyo valor se controla (x), y uno vertical, que corresponde a la variable dependiente o la variable cuyo valor se observa o mide ((y).

Cuando el valor de y cambia en función de x (es decir, a diferentes valores de x corresponden diferentes valores de y), se puede trazar o dibujar un gráfico de este cambio. El gráfico se genera con valores específicos para los pares de datos (x,y)

Ejemplo B11

Gráfico de la dependencia de y con respecto a x

x	y
1	5
2	10
3	7
4	14

Esta tabla contiene los siguientes puntos: (1,5), (2,10), (3,7) y (4,14). Cada uno de estos puntos puede representarse en un gráfico y conectarse para obtener una representación gráfica de la dependencia de y con respecto a x.

Si se conoce la función que describe la dependencia de y con respecto a x, puede utilizarse para calcular los pares de datos x,y que posteriormente pueden representarse gráficamente.

Ejemplo B12

Trazado de pares de datos

Si sabemos que y = x² + 2, podemos elaborar una tabla con unos cuantos valores de (x,y) y luego trazar la línea a partir de los datos que se indican allí.

x	y = x2 + 2
1	3
2	6
3	11
4	18