9.4 Ejemplos de pruebas de hipótesis completas

Establezca la prueba de la hipótesis:

Dado que el problema se refiere a una media, se trata de una prueba de una única media poblacional.

Establezca las hipótesis nula y alternativa:

En este caso hay una impugnación o reclamo implícitos. Esto es que las gafas reducirán el tiempo de natación. El efecto es formular la hipótesis como una prueba de una cola. El planteamiento siempre estará en la hipótesis alternativa porque la carga de la prueba siempre recae en la alternativa. Recuerde que el statu quo deberá derrotarse con un alto grado de confianza, en este caso del 95 %. Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes:

H₀: μ ≥ 16,43 H_a: μ < 16,43

Para que Jeffrey nade más rápido, su tiempo debiera ser inferior a 16,43 segundos. El “<” indica que es de cola izquierda.

Determine la distribución necesaria:

Variable aleatoria: $\overline{X}$ = el tiempo medio para nadar las 25 yardas de estilo libre.

Distribución para el estadístico de prueba:

El tamaño de la muestra es inferior a 30 y no conocemos la desviación típica de la población, por lo que se trata de una prueba t y la fórmula adecuada es: $t_c=\frac{\bar{X}–{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$

μ₀ = 16,43 proviene de H₀ y no de los datos. $\bar{X}$ = 16. s = 0,8; y n = 15.

Nuestro paso 2, establecer el nivel de significación, ya se ha determinado en el problema, 0,05 para un nivel de significación del 95 %. Merece la pena reflexionar sobre el significado de esta elección. El error tipo I consiste en concluir que Jeffrey nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en menos de 16,43 segundos cuando, en realidad, nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en 16,43 segundos (rechaza la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). Para este caso, la única preocupación de un error de tipo I parece ser que el padre de Jeffery puede no apostar por la victoria de su hijo porque no le convence el efecto de las gafas.

Para calcular el valor crítico tenemos que seleccionar la estadística apropiada de la prueba. Hemos llegado a la conclusión de que se trata de una prueba t en función del tamaño de la muestra y de que nos interesa una media poblacional. Ahora podemos dibujar el gráfico de la distribución t y marcar el valor crítico. Para este problema los grados de libertad son n-1, es decir, 14. Al buscar 14 grados de libertad en la columna 0,05 de la tabla t, hallamos 1,761. Este es el valor crítico y podemos ponerlo en nuestro gráfico.

El paso 3 es el cálculo de la estadístico de la prueba con la fórmula seleccionada. Hallamos que el estadístico de prueba es 2,08, lo que significa que la media muestral está a 2,08 desviaciones típicas de la media hipotética de 16,43.

Figura 9.7

1. H₀: µ ≤ 100
   H_a: µ > 100
   Las hipótesis nula y alternativa son para el parámetro µ porque el número de dólares de los contratos es una variable aleatoria continua. Además, se trata de una prueba de una cola porque a la compañía solo le interesa si el número de dólares por contacto está por debajo de una cifra determinada, no de una cifra "demasiado alta". Esto se considera una afirmación de que el requisito se cumple; por ende, está en la hipótesis alternativa.
2. Estadístico de prueba: $t_c=\frac{\overline{x}–{\mu }_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\frac{108–100}{\left(\frac{12}{\sqrt{16}}\right)}=\mathrm{2,67}$
3. Valor crítico: $t_a=\mathrm{1,753}$ con n-1 grados de libertad = 15

El estadístico de prueba es una t de Student porque el tamaño de la muestra es inferior a 30; por ende, no podemos utilizar la distribución normal. Al comparar el valor calculado del estadístico de prueba y el valor crítico de $t$ $\left(t_a\right)$ a un nivel de significación del 5 %, vemos que el valor calculado está en la cola de la distribución. Así, concluimos que 108 dólares por contrato es significativamente mayor que el valor hipotético de 100; por ende, no podemos aceptar la hipótesis nula. Hay pruebas que apoyan que el desempeño de Jane cumple con los estándares de la compañía.

Figura 9.8

PASO 1: Formule las hipótesis nula y alternativa. La variable aleatoria es la cantidad de líquido que se coloca en los frascos. Se trata de una variable aleatoria continua y el parámetro que nos interesa es la media. Por lo tanto, nuestra hipótesis se refiere a la media. En este caso, nos preocupa que la máquina no esté haciendo el llenado correctamente. Por lo que nos dicen, no importa si la máquina está llenando de más o de menos, ambos parecen ser un error igual de malo. Esto nos indica que se trata de una prueba de dos colas: si la máquina funciona mal, se apagará, sea por exceso o insuficiencia de llenado. Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes:

PASO 2: Decida el nivel de significación y dibuje el gráfico que muestra el valor crítico.

Este problema ya ha fijado el nivel de significación en el 99 %. La decisión luce apropiada y muestra el proceso de reflexión al establecer el nivel de significación. La dirección quiere estar muy segura, tan segura como la probabilidad le permita, de que no esté cerrando una máquina que no necesita reparación. Para dibujar la distribución y el valor crítico, necesitamos saber qué distribución utilizar. Dado que se trata de una variable aleatoria continua y que nos interesa la media, y que el tamaño de la muestra es superior a 30, la distribución adecuada es la normal y el valor crítico pertinente es 2,575 de la tabla normal o la tabla t con una columna de 0,005 e infinitos grados de libertad. Dibujamos el gráfico y marcamos estos puntos.

Figura 9.9

PASO 3: Calcule los parámetros de la muestra y el estadístico de prueba. Los parámetros de la muestra se proporcionan, la media muestral es 7,91 y la varianza de la muestra es 0,03 y el tamaño de la muestra es 35. Hay que tener en cuenta que se proporcionó la varianza de la muestra y no la desviación típica de la muestra, que es lo que necesitamos para la fórmula. Al recordar que la desviación típica es simplemente la raíz cuadrada de la varianza, sabemos, por ende, que la desviación típica de la muestra, s, es 0,173. Con esta información calculamos el estadístico de prueba como -3,07, y la marcamos en el gráfico.

PASO 4: Compare el estadístico de prueba y los valores críticos. Ahora comparamos el estadístico de prueba y el valor crítico al colocar el estadístico de prueba en el gráfico. Vemos que el estadístico de prueba está en la cola, decididamente mayor que el valor crítico de 2,575. Observamos que incluso la pequeña diferencia entre el valor hipotético y el valor de la muestra sigue siendo un gran número de desviaciones típicas. La media muestral solo difiere en 0,08 onzas del nivel requerido de 8 onzas, pero está a 3 desviaciones típicas más; en consecuencia, no podemos aceptar la hipótesis nula.

PASO 5: Llegue a una conclusión

Tres desviaciones típicas del estadístico de prueba harán que la prueba falle. La probabilidad de que algo esté dentro de tres desviaciones típicas es casi cero. En realidad, es 0,0026 en la distribución normal, lo que ciertamente es casi cero en un sentido práctico. Nuestra conclusión formal sería: "A un nivel de significación del 99 %, no podemos aceptar la hipótesis de que la media muestral procede de una distribución con una media de 8 onzas". De manera menos formal, y yendo al grano: "A un nivel de significación del 99 %, llegamos a la conclusión de que la máquina no llena bien las botellas y necesita reparación".

PASO 1: Formule las hipótesis nula y alternativa.

H₀: p = 0,50 H_a: p ≠ 0,50

Las palabras “es igual o diferente de” indican que se trata de una prueba de dos colas. Los errores tipo I y II son los siguientes: El error de tipo I consiste en concluir que la proporción de prestatarios es diferente del 50 % cuando, en realidad, la proporción es del 50 %. (Rechaza la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). El error de tipo II consiste en que no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de prestatarios primerizos difiere del 50 % cuando, de hecho, sí difiere del 50 %. (No se rechaza la hipótesis nula cuando esta es falsa).

PASO 2: Decida el nivel de significación y dibuje el gráfico que muestre el valor crítico.

El nivel de significación se ha fijado por el problema en el 95 %. Por tratarse de una prueba de dos colas, la mitad del valor alfa estará en la cola superior y la otra mitad en la cola inferior, como se muestra en el gráfico. El valor crítico de la distribución normal con un nivel de confianza del 95 % es de 1,96. Esto se halla fácilmente en la tabla t de Student en la parte inferior a infinitos grados de libertad, recordando que en el infinito la distribución t es la distribución normal. Por supuesto, el valor también se halla en la tabla normal, pero hay que buscar la mitad de 95 (0,475) dentro de la tabla y luego leer hacia los lados y la parte superior el número de desviaciones típicas.

Figura 9.10

PASO 3: Calcule los parámetros de la muestra y el valor crítico del estadístico de prueba.

El estadístico de prueba es una distribución normal, Z, para probar proporciones y es:

En este caso, en la muestra de 100 se determinó que 53 prestatarios primerizos eran diferentes de los demás. La proporción muestral, p′ = 53/100 = 0,53. En consecuencia, la pregunta de la prueba es: "¿Es 0,53 significativamente diferente de 0,50?" Si introducimos estos valores en la fórmula del estadístico de prueba, hallamos que 0,53 está a solo 0,60 desviaciones típicas de 0,50. Esto apenas se aleja de la media de la distribución estándar normal de cero. No hay prácticamente ninguna diferencia entre la proporción de la muestra y la proporción hipotética en términos de desviaciones típicas.

PASO 4: Compare el estadístico de prueba y el valor crítico.

El valor calculado se encuentra dentro de los valores críticos de ± 1,96 desviaciones típicas, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula. Para rechazar la hipótesis nula, la diferencia significativa entre el valor hipotético y el valor de la muestra tiene que ser evidente. En este caso, el valor de la muestra es muy parecido al valor hipotético medido en términos de desviaciones típicas.

PASO 5: Llegue a una conclusión

La conclusión formal sería: "A un nivel de significación del 95 %, no podemos rechazar la hipótesis nula de que el 50 % de los prestatarios primerizos tienen préstamos del mismo tamaño que los demás". De manera menos formal, diríamos que: "No hay pruebas de que la mitad de los prestatarios primerizos sean significativamente diferentes en cuanto al tamaño del préstamo de los demás". Fíjese en lo lejos que llega la conclusión para incluir todas las condiciones correspondientes. Los estadísticos, a pesar de todas las críticas que reciben, se preocupan por ser muy específicos, incluso cuando esto parece trivial. Los estadísticos no pueden decir más de lo que saben y los datos obligan a que la conclusión esté dentro de los límites de los datos.

He aquí una versión abreviada del sistema de resolución de pruebas de hipótesis, aplicado a una prueba de proporciones.

Figura 9.11

Sigamos un proceso de cuatro pasos para responder esta pregunta estadística.

1. Plantee la pregunta: Tenemos que determinar si, a un nivel de significación de 0,05, la conductividad promedio del vidrio seleccionado es mayor que uno. Nuestras hipótesis serán
   1. H₀: μ ≤ 1
   2. H_a: μ > 1
2. Plan: Estamos probando una media muestral sin una desviación típica poblacional conocida con menos de 30 observaciones. Por consiguiente, tenemos que utilizar una distribución de la t de Student. Supongamos que la población subyacente es normal.
3. Haga los cálculos y dibuje el gráfico.
4. Plantee las conclusiones: No podemos aceptar la hipótesis nula. Es razonable afirmar que los datos apoyan la afirmación de que el nivel promedio de conductividad es superior a uno.

1. Tenemos que realizar una prueba de hipótesis sobre la tasa de cáncer declarada. Nuestras hipótesis serán
   1. H₀: p ≤ 0,00034
   2. H_a: p > 0,00034

   Si cometemos un error tipo I, estamos aceptando esencialmente una afirmación falsa. Dado que la afirmación describe entornos cancerígenos, queremos minimizar las posibilidades de identificar incorrectamente las causas del cáncer.

2. Probemos una proporción de muestra con x = 172 y n = 420.019. La muestra es suficientemente grande porque tenemos np' = 420.019(0,00034) = 142,8; nq' = 420.019(0,99966) = 419.876,2, dos resultados independientes y una probabilidad fija de éxito p' = 0,00034. Así podremos generalizar nuestros resultados a la población.