Introducción

Supongamos que intenta determinar el alquiler medio de un apartamento de dos habitaciones en su ciudad. Puede buscar en la sección de anuncios del periódico, anotar varios alquileres que aparezcan y hacer un promedio entre ellos. Habría obtenido una estimación puntual de la media real. Si intenta determinar el porcentaje de veces que encesta cuando lanza una pelota de baloncesto, puede contar el número de tiros que lo logra y dividirlo entre el número de tiros que intenta. En este caso, se habría obtenido una estimación puntual de la proporción verdadera del parámetro p en la función de densidad de probabilidad binomial.

Utilizamos los datos de la muestra para hacer generalizaciones sobre una población desconocida. Esta parte de la Estadística se llama Estadística Inferencial. Los datos de la muestra nos ayudan a hacer una estimación de un parámetro de la población. Nos damos cuenta de que lo más probable es que la estimación puntual no sea el valor exacto del parámetro poblacional, sino que se acerque a él. Después de calcular las estimaciones puntuales, construimos las estimaciones de intervalo, llamadas intervalos de confianza. Lo que la estadística nos proporciona, más allá de un simple promedio o estimación puntual, es una estimación a la que podemos atribuir una probabilidad de exactitud, lo que llamaremos un nivel de confianza. Hacemos inferencias con un nivel de probabilidad conocido.

En este capítulo aprenderá a construir e interpretar intervalos de confianza. También aprenderá una nueva distribución, la t de Student, y cómo se utiliza con estos intervalos. A lo largo del capítulo es importante tener en cuenta que el intervalo de confianza es una variable aleatoria. Es el parámetro poblacional que se fija.

Si usted trabajara en el departamento de mercadeo de una compañía de entretenimiento, podría interesarse por el número medio de canciones que un consumidor descarga al mes de iTunes. Si es así, puede hacer una encuesta y calcular la media muestral, $\bar{x}$, y la desviación típica de la muestra, s. Usaría $\bar{x}$ para estimar la media de la población y s para estimar la desviación típica de la población. La media muestral, $\bar{x}$, es la estimación puntual de la media de la población, μ. La desviación típica de la muestra, s, es la estimación puntual de la desviación típica de la población, σ.

$\bar{x}$ y s se denominan cada uno una estadística.

Un intervalo de confianza es otro tipo de estimación pero, en vez de ser un solo número, es un intervalo de números. El intervalo de números es un rango de valores calculado a partir de un conjunto determinado de datos de muestra. Es probable que el intervalo de confianza incluya el parámetro poblacional desconocido.

Supongamos, para el ejemplo de iTunes, que no conocemos la media poblacional μ, pero sí sabemos que la desviación típica de la población es σ = 1 y que nuestro tamaño de muestra es 100. Entonces, por el teorema del límite central, la desviación típica de la distribución muestral de las medias de la muestra es

$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{100}}=\mathrm{0,1}$.

La regla empírica, que se aplica a la distribución normal, dice que en aproximadamente el 95 % de las muestras, la media muestral, $\bar{x}$, estará dentro de las dos desviaciones típicas de la media poblacional μ. Para nuestro ejemplo de iTunes, dos desviaciones típicas son (2)(0,1) = 0,2. La media muestral $\bar{x}$ es probable que esté dentro de 0,2 unidades de μ.

Dado que $\bar{x}$ está dentro de 0,2 unidades de μ, que es desconocido, entonces es probable que μ esté dentro de 0,2 unidades de $\bar{x}$ con un 95 % de probabilidad. La media poblacional μ está contenida en un intervalo cuyo número inferior se calcula tomando la media muestral y restando dos desviaciones típicas (2)(0,1) y cuyo número superior se calcula tomando la media muestral y sumando dos desviaciones típicas. En otras palabras, μ está entre $\bar{x}–\text{ 0}\text{0,2}$ y $\bar{x}+\text{ 0}\text{0,2}$ en el 95 % de las muestras.

Para el ejemplo de iTunes, supongamos que una muestra produce una media muestral $\bar{x}=\text{ 2}$. Entonces con un 95 % de probabilidad la media poblacional desconocida μ está entre

$\bar{x}–\mathrm{0,2}=2–\mathrm{0,2}=\mathrm{1,8}$ y $\bar{x}+\mathrm{0,2}=2+\mathrm{0,2}=\mathrm{2,2}$

Decimos que tenemos un 95 % de confianza en que la media de la población desconocida de canciones descargadas de iTunes al mes está entre 1,8 y 2,2. El intervalo de confianza del 95 % es (1,8; 2,2). Tenga en cuenta que hablamos en términos de confianza del 95 % utilizando la regla empírica. La regla empírica para dos desviaciones típicas es solo aproximadamente el 95 % de la probabilidad bajo la distribución normal. Para ser precisos, dos desviaciones típicas en una distribución normal son en realidad el 95,44 % de la probabilidad. Para calcular el nivel de confianza exacto del 95 % utilizaríamos 1,96 desviaciones típicas.

El intervalo de confianza del 95 % implica dos posibilidades. O bien el intervalo (1,8, 2,2) contiene la verdadera media μ, o bien nuestra muestra produjo un $\bar{x}$ que no esté a menos de 0,2 unidades de la media verdadera μ. La segunda posibilidad solo se da en el 5 % de todas las muestras (95 % menos 100 % = 5 %).

Recuerde que un intervalo de confianza se crea para un parámetro poblacional desconocido como la media poblacional, μ.

Para el intervalo de confianza de una media la fórmula sería

O escrito de otra manera como:

Donde $\bar{X}$ es la media de la muestra. $Z_{\alpha }$ se determina por el nivel de confianza deseado por el analista, y $\raisebox{1ex}{$\sigma $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{n}$}\right.$ es la desviación típica de la distribución muestral para las medias que nos da el teorema del límite central.