Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Introducción a la estadística empresarial

7.1 Teorema del límite central de las medias muestrales

Introducción a la estadística empresarial7.1 Teorema del límite central de las medias muestrales

Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Tarea para la casa
    9. Referencias
    10. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Datos mostrados
    3. 2.2 Medidas de la ubicación de los datos
    4. 2.3 Medidas del centro de los datos
    5. 2.4 Notación sigma y cálculo de la media aritmética
    6. 2.5 Media geométrica
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Repaso de fórmulas
    12. Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia y árboles de probabilidad
    6. 3.5 Diagramas de Venn
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Uniéndolo todo: Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Distribución hipergeométrica
    3. 4.2 Distribución binomial
    4. 4.3 Distribución geométrica
    5. 4.4 Distribución de Poisson
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Estimación de la binomial con la distribución normal
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de las medias muestrales
    3. 7.2 Uso del teorema del límite central
    4. 7.3 Teorema del límite central de las proporciones
    5. 7.4 Factor de corrección de población finita
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 Un intervalo de confianza para una desviación típica de la población, con un tamaño de muestra conocido o grande
    3. 8.2 Un intervalo de confianza para una desviación típica de población desconocida, caso de una muestra pequeña
    4. 8.3 Un intervalo de confianza para una proporción de población
    5. 8.4 Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Comparación de las medias de dos poblaciones independientes
    3. 10.2 Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande
    4. 10.3 Prueba de diferencias de medias: suponer varianzas de población iguales
    5. 10.4 Comparación de dos proporciones de población independientes
    6. 10.5 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    7. 10.6 Muestras coincidentes o emparejadas
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de una sola varianza
    4. 11.3 Prueba de bondad de ajuste
    5. 11.4 Prueba de independencia
    6. 11.5 Prueba de homogeneidad
    7. 11.6 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  13. 12 La distribución F y el anova de una vía
    1. Introducción
    2. 12.1 Prueba de dos varianzas
    3. 12.2 ANOVA de una vía
    4. 12.3 La distribución F y el cociente F
    5. 12.4 Datos sobre la distribución F
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  14. 13 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 13.1 El coeficiente de correlación r
    3. 13.2 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    4. 13.3 Ecuaciones lineales
    5. 13.4 La ecuación de regresión
    6. 13.5 Interpretación de los coeficientes de regresión: elasticidad y transformación logarítmica
    7. 13.6 Predicción con una ecuación de regresión
    8. 13.7 Cómo utilizar Microsoft Excel® para el análisis de regresión
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Práctica
    12. Soluciones
  15. A Cuadros estadísticos
  16. B Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  17. Índice

La distribución muestral es una distribución teórica. Se crea tomando muchas muestras de tamaño n de una población. Cada media muestral se trata entonces como una única observación de esta nueva distribución, la distribución muestral. La genialidad de pensar de esta manera es que reconoce que cuando tomamos una muestra estamos creando una observación y esa observación debe provenir de alguna distribución particular. El teorema del límite central responde a la pregunta: ¿de qué distribución procede la media de una muestra? Si se descubre esto, entonces podemos tratar una media muestral como cualquier otra observación y calcular probabilidades sobre los valores que puede tomar. En efecto, hemos pasado del mundo de la estadística, en el que solo conocemos lo que tenemos de la muestra, al mundo de la probabilidad, en el que conocemos la distribución de la que procede la media muestral y los parámetros de esa distribución.

Las razones por las que se toma una muestra de una población son obvias. El tiempo y el gasto de comprobar cada factura para determinar su validez o cada envío para ver si contiene todos los artículos puede superar con creces el coste de los errores de facturación o envío. En el caso de algunos productos, el muestreo requeriría su destrucción, lo que se denomina muestreo destructivo. Un ejemplo de ello es la medición de la capacidad de un metal para resistir la corrosión del agua salada en las piezas de los buques oceánicos.

El muestreo plantea, pues, una cuestión importante: qué muestra se ha extraído. Incluso si la muestra se extrajera al azar, en teoría hay un número casi infinito de muestras. Con solo 100 artículos, se pueden extraer más de 75 millones de muestras únicas de tamaño cinco. Si hay seis en la muestra, el número de muestras posibles aumenta a algo más de mil millones. Entonces, de los 75 millones de muestras posibles, ¿cuál obtuvo? Si hay variación en los artículos que se van a muestrear, habrá variación en las muestras. Se podría extraer una muestra "desafortunada" y sacar conclusiones muy erróneas sobre la población. Este reconocimiento de que cualquier muestra que extraigamos es en realidad solo una de una distribución de muestras nos proporciona el que probablemente sea el teorema más importante de la estadística: el teorema del límite central. Sin el teorema del límite central sería imposible pasar a la estadística inferencial a partir de la teoría de la probabilidad simple. En su forma más básica, el teorema del límite central establece que, independientemente de la función de densidad de probabilidad subyacente de los datos de la población, la distribución teórica de las medias de las muestras de la población se distribuirá normalmente. En esencia, esto dice que la media de una muestra debe tratarse como una observación extraída de una distribución normal. El Teorema del Límite Central solo se cumple si el tamaño de la muestra es "suficientemente grande", lo que se ha demostrado que es de solo 30 observaciones o más.

La Figura 7.2 muestra gráficamente esta importante propuesta.

...
Figura 7.2

Observe que el eje horizontal del panel superior está etiquetado como X. Se trata de las observaciones individuales de la población. Esta es la distribución desconocida de los valores de la población. El gráfico está dibujado a propósito de forma cuadriculada para mostrar que no importa lo extraña que sea en realidad. Recuerde que nunca sabremos cómo es esta distribución, ni su media ni su desviación típica.

El eje horizontal del panel inferior está etiquetado como X X 's. Se trata de la distribución teórica denominada distribución muestral de las medias. Cada observación de esta distribución es una media muestral. Todas estas medias muestrales se calcularon a partir de muestras individuales con el mismo tamaño de muestra. La distribución muestral teórica contiene todos los valores medios muestrales de todas las muestras posibles que podrían haberse tomado de la población. Por supuesto, nadie tomaría realmente todas estas muestras, pero si lo hicieran, este es el aspecto que tendrían. Y el teorema del límite central dice que se distribuirán normalmente.

El teorema del límite central va más allá y nos indica la media y la desviación típica de esta distribución teórica.

Parámetro Distribución de la población Muestra Distribución muestral de X X 's
Media μ XX μxy E(μx)=μμxy E(μx)=μ
Desviación típica σ s σx=σnσx=σn
Tabla 7.1

La importancia práctica del teorema del límite central es que ahora podemos calcular las probabilidades de obtener una media muestral, X X , de la misma manera que lo hicimos para extraer observaciones específicas, X's, cuando conocíamos la media y la desviación típica de la población y que los datos de la población estaban distribuidos normalmente. La fórmula de estandarización tiene que modificarse para reconocer que la media y la desviación típica de la distribución muestral, a veces llamada error estándar de la media, son diferentes de las de la distribución de la población, pero por lo demás no ha cambiado nada. La nueva fórmula de estandarización es

Z= X μ X σ X = X μ σ n Z= X μ X σ X = X μ σ n

Observe que µ X µ X en la primera fórmula se ha cambiado por simplemente µ en la segunda versión. La razón es que matemáticamente se puede demostrar que el valor esperado de µ X µ X es igual a µ. Esto se ha indicado en la Tabla 7.1 anteriormente. Matemáticamente, el símbolo E(x) indica el "valor esperado de x". Esta fórmula se utilizará en la siguiente unidad para proporcionar estimaciones del parámetro poblacional desconocido μ.

Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

Este libro no puede ser utilizado en la formación de grandes modelos de lenguaje ni incorporado de otra manera en grandes modelos de lenguaje u ofertas de IA generativa sin el permiso de OpenStax.

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/introducci%C3%B3n-estad%C3%ADstica-empresarial/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/introducci%C3%B3n-estad%C3%ADstica-empresarial/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 28 ene. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.