Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

8.1 Kondensatory i pojemność elektryczna

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 28.1 Kondensatory i pojemność elektryczna

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyjaśniać pojęcia kondensatora i jego pojemności elektrycznej;
  • obliczać pojemność elektryczną układu przewodników.

Kondensator (ang. capacitor) to urządzenie wykorzystywane do magazynowania ładunku elektrycznego i energii elektrycznej. Składa się z przynajmniej dwóch powierzchni przewodzących umieszczonych w pewnej odległości od siebie. Powierzchnie te czasem nazywa się elektrodami lub, precyzyjniej, okładkami kondensatora. Przestrzeń pomiędzy przewodnikami może wypełniać próżnia – wtedy kondensator nazywany jest próżniowym – zazwyczaj jednak znajduje się tam materiał izolujący zwany dielektrykiem (ang. dielectric) lub izolatorem (ang. insulator; więcej na temat dielektryków dowiemy się w następnych podrozdziałach). Ilość energii, jaką można zgromadzić w kondensatorze, określa wielkość nazywana pojemnością elektryczną (ang. capacitance), którą omówimy jeszcze w tym podrozdziale.

Kondensatory mają rozmaite zastosowania: od redukowania szumu w odbiornikach radiowych do magazynowania energii w defibrylatorach. Typowe kondensatory używane komercyjnie składają się z dwóch powierzchni przewodzących umieszczonych w niewielkiej odległości od siebie, tak jak na Ilustracji 8.2. Zazwyczaj między przewodnikami znajduje się dielektryk. Po podłączeniu nienaładowanego kondensatora do akumulatora różnica potencjałów na biegunach akumulatora powoduje przeniesienie ładunku QQ z okładki dodatniej na ujemną. Kondensator jako całość pozostaje obojętny elektrycznie, ale na okładkach wytwarzają się ładunki +Q+Q i −Q−Q.

Rysunek a przedstawia dwie równoległe płytki o powierzchni A umieszczone w odległości d. Każda płytka połączona jest z jednym z zacisków akumulatora. Rysunek b pokazuje zwinięte razem dwie płaszczyzny przewodnikowe i dwie płaszczyzny izolatora ułożone naprzemiennie. Każda płaszczyzna przewodnika połączona jest z jednym zaciskiem akumulatora. Na obydwu rysunkach ładunki wynoszą plus Q i minus Q dla płytek połączonych odpowiednio z dodatnimi i ujemnymi zaciskami akumulatora.
Ilustracja 8.2 Oba przedstawione kondensatory były nienaładowane, a następnie zostały podłączone do akumulatorów. Teraz mają na okładkach ładunki wynoszące odpowiednio +Q+Q i −Q−Q. (a) Kondensator płaski składa się z dwóch równoległych, przeciwnie naładowanych płytek o powierzchni SS umieszczonych w odległości dd od siebie. (b) W zwiniętym kondensatorze przewodzące okładki rozdziela dielektryk.

Układ złożony z dwóch identycznych, równolegle ustawionych płytek przewodzących nazywa się kondensatorem płaskim (ang. parallel-plate capacitor), Ilustracja 8.3. Natężenie pola elektrycznego w przestrzeni między okładkami wynosi E=σ∕ε0E=σ∕ε0, gdzie σσ oznacza gęstość powierzchniową ładunku na okładce (a więc σσ to ładunek QQ podzielony przez powierzchnię SS okładki). Natężenie pola elektrycznego jest więc wprost proporcjonalne do QQ.

Dwie równoległe okładki kondensatora połączone z akumulatorem. Na okładce połączonej z biegunem dodatnim zbiera się ładunek dodatni o wartości plus Q symbolizowany przez znaki plus. Na okładce połączonej z biegunem ujemnym zbiera się ładunek ujemny o wartości minus Q symbolizowany przez znaki minus. Pomiędzy okładkami znajdują się równoległe linie pola elektrycznego skierowane od okładki naładowanej dodatnio do okładki naładowanej ujemnie, prostopadłe do powierzchni okładek. W obszarze poniżej okładek kondensatora widnieje wzór E proporcjonalne do Q.
Ilustracja 8.3 Ładunki gromadzą się na powierzchni okładek kondensatora. Linie pola elektrycznego w kondensatorze płaskim prowadzą od ładunków dodatnich do ujemnych. Natężenie pola elektrycznego w przestrzeni pomiędzy okładkami jest wprost proporcjonalne do wartości zgromadzonego ładunku.

Kondensatory o różnych właściwościach fizycznych (na przykład kształcie i wielkości okładek) mogą magazynować różne ilości ładunku po przyłożeniu takiego samego napięcia UU. Pojemność elektryczną kondensatora definiuje się jako stosunek maksymalnego ładunku QQ, który może zgromadzić się w kondensatorze, do napięcia UU przyłożonego do okładek. Innymi słowy, pojemność elektryczna jest maksymalnym ładunkiem przypadającym na 1⁢V1⁢V napięcia

C = Q U ⁢ . C= Q U ⁢ .
8.1

Jednostką pojemności elektrycznej w układzie SI jest farad (FF), nazwany tak na cześć Michaela Faradaya (1791–1867). Jako że pojemność elektryczna wyraża się jako ładunek przypadający na jednostkę napięcia, to jeden farad jest równy jednemu kulombowi podzielonemu przez jeden wolt, czyli

1 ⁢ F = 1 ⁢ C 1 ⁢ V ⁢ . 1 ⁢ F = 1 ⁢ C 1 ⁢ V ⁢ .

Zgodnie z definicją kondensator o pojemności 1⁢F1⁢F jest w stanie zgromadzić ładunek 1⁢C1⁢C (to bardzo dużo), kiedy różnica potencjałów pomiędzy okładkami wynosi zaledwie 1⁢V1⁢V. Pojemność 1⁢F1⁢F jest zatem wartością znaczną. Typowe pojemności elektryczne wahają się od pikofaradów (1⁢pF=10−12⁢F1⁢pF=10−12⁢F) przez mikrofarady (1⁢µF=10−6⁢F1⁢µF=10−6⁢F) do milifaradów (1⁢mF=10−3⁢F1⁢mF=10−3⁢F). Kondensatory mogą mieć różne kształty i wielkości (Ilustracja 8.4).

Zdjęcie różnego rodzaju kondensatorów.
Ilustracja 8.4 Oto kilka typowych kondensatorów. Ich wielkość nie ma bezpośredniego przełożenia na pojemność elektryczną.

Obliczanie pojemności elektrycznej

Poniższa standardowa procedura pozwala obliczyć pojemność elektryczną pary zbliżonych do siebie powierzchni przewodzących.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: obliczanie pojemności elektrycznej

  1. Załóż, że kondensator ma ładunek QQ.
  2. Oblicz natężenie pola elektrycznego E→E→ pomiędzy okładkami. Jeśli została zachowana symetria, rozwiązanie można uzyskać w oparciu o prawo Gaussa.
  3. Oblicz różnicę potencjałów między przewodnikami na podstawie równania
    VB−VA=−∫ABE→⋅dl→⁢,VB−VA=−∫ABE→⋅dl→⁢,
    8.2
    gdzie droga całkowania prowadzi od jednego przewodnika do drugiego. Wartość bezwzględna różnicy potencjałów wynosi więc U=VB−VAU=VB−VA.
  4. Znając UU, oblicz pojemność elektryczną bezpośrednio z Równania 8.1.

Aby zaprezentować zastosowanie tej procedury, obliczymy teraz pojemność elektryczną dla kondensatorów: płaskiego, kulistego i walcowego. We wszystkich przypadkach zakładamy, że mamy do czynienia z kondensatorami próżniowymi (pustymi), a więc że między okładkami nie ma żadnego dielektryka.

Kondensator płaski

Kondensator płaski (Ilustracja 8.5) składa się z dwóch identycznych płytek przewodzących, z których każda ma powierzchnię SS, oddalonych od siebie o odległość dd. Po przyłożeniu do nich napięcia UU U na okładkach gromadzi się ładunek QQ, tak jak to zaprezentowano na rysunku. Zależność pojemności elektrycznej kondensatora od SS i dd możemy oszacować na podstawie analizy własności siły Coulomba. Wiemy, że siła działająca między ładunkami rośnie wraz ze wzrostem ich wartości, a maleje wraz ze wzrostem odległości między nimi. Można się spodziewać, że im płytki są większe, tym więcej mogą zgromadzić ładunku. Zatem CC powinno być większe dla wyższych wartości SS. Analogicznie im bliżej siebie znajdują się płytki, tym silniej przyciągają się ładunki o przeciwnych znakach. CC powinno więc rosnąć wraz z malejącą dd.

Rysunek przedstawia dwie równoległe okładki kondensatora umieszczone w odległości d. Każda z okładek połączona jest z jednym zaciskiem akumulatora o napięciu V. Linie pola elektrycznego pokazane są w postaci strzałek biegnących od okładki naładowanej dodatnio do okładki naładowanej ujemnie. Ładunek zgromadzony na okładkach wynosi odpowiednio plus Q i minus Q. Powierzchnia płytki oznaczona jest symbolem A.
Ilustracja 8.5 W kondensatorze płaskim dwie okładki o identycznej powierzchni SS dzieli odległość dd.

Zdefiniujmy gęstość powierzchniową σσ ładunku na okładce jako

σ = Q A ⁢ . σ= Q A ⁢ .

Z poprzednich rozdziałów wiemy, że dla niewielkich dd pole elektryczne pomiędzy okładkami jest jednorodne (jeśli pominiemy efekty brzegowe na krawędziach okładek), a jego natężenie wynosi

E = σ ε 0 ⁢ , E= σ ε 0 ⁢ ,

gdzie stała ε0ε0 to przenikalność elektryczna próżni równa 8,85⋅10−12⁢F∕m8,85⋅10−12⁢F∕m. Jednostka F∕mF∕m jest tożsama z wyrażeniem C2∕N⁢m2C2∕N⁢m2. Ponieważ pole elektryczne E→E→ między okładkami jest jednorodne, różnica potencjałów wynosi

U = E ⁢ d = σ ⁢ d ε 0 = Q ⁢ d ε 0 ⁢ S ⁢ . U= E ⁢ d = σ ⁢ d ε 0 = Q ⁢ d ε 0 ⁢ S ⁢ .

Po podstawieniu powyższego wyniku do Równania 8.1 otrzymamy wzór na pojemność elektryczną kondensatora płaskiego w postaci

C = Q U = Q Q ⁢ d ∕ ε 0 ⁢ S = ε 0 ⁢ S d ⁢ . C= Q U = Q Q ⁢ d ∕ ε 0 ⁢ S = ε 0 ⁢ S d ⁢ .
8.3

Z powyższego wzoru wynika, że pojemność elektryczna kondensatora próżniowego zależy tylko od jego geometrii. Obowiązuje to w przypadku wszystkich kondensatorów, nie tylko kondensatorów płaskich: pojemność elektryczna nie zależy od QQ ani od UU. Kiedy zmienia się wartość ładunku, potencjał również ulega zmianie, tak aby stosunek Q∕UQ∕U pozostał stały.

Przykład 8.1

Pojemność elektryczna i ładunek zgromadzony w kondensatorze płaskim

  1. Ile wynosi pojemność elektryczna pustego kondensatora płaskiego o metalowych okładkach o powierzchni 1⁢m21⁢m2 umieszczonych w odległości 1⁢mm1⁢mm od siebie?
  2. Jaki ładunek zgromadzi się na kondensatorze po przyłożeniu napięcia 3⋅103⁢V3⋅103⁢V?

Strategia rozwiązania

Aby obliczyć pojemność elektryczną CC, wystarczy zastosować Równanie 8.3. Następnie można obliczyć ładunek na okładkach przy użyciu Równania 8.1.

Rozwiązanie

  1. Po wstawieniu podanych wartości do Równania 8.3 otrzymamy
    C=ε0⁢Sd=8,85⋅10−12⁢F∕m⋅1⁢m210−3⁢m=8,85⋅10−9⁢F=8,85⁢nF⁢.C=ε0⁢Sd=8,85⋅10−12⁢F∕m⋅1⁢m210−3⁢m=8,85⋅10−9⁢F=8,85⁢nF⁢.
  2. Po przekształceniu Równania 8.1 i podstawieniu znanych wielkości otrzymamy
    Q=C⁢U=8,85⋅10-9⁢F⋅3⋅103⁢V=26,6⁢µC⁢.Q=C⁢U=8,85⋅10-9⁢F⋅3⋅103⁢V=26,6⁢µC⁢. Q = CU = \SI{8,85e-9}{\farad} \cdot \SI{3e3}{\volt} = \SI{26,6}{\micro\coulomb} \text{.}
    Tak niewielki wynik pokazuje, jak trudno skonstruować urządzenie o dużej pojemności elektrycznej.

Znaczenie

Obliczona wielkość ładunku jedynie nieznacznie przekracza wartości typowe dla zastosowań elektrostatycznych. Ze względu na to, że powietrze traci właściwości dielektryczne w polu elektrycznym o natężeniu około 3⁢MV∕m3⁢MV∕m, w analizowanym kondensatorze nie można zgromadzić większego ładunku przez zwiększenie napięcia.

Przykład 8.2

Kondensator płaski o pojemności 1⁢F1⁢F

Chcemy zbudować kondensator płaski o pojemności elektrycznej 1⁢F1⁢F. Jaką powierzchnię powinny mieć jego okładki, jeśli odległość między nimi ma wynosić 1⁢mm1⁢mm?

Rozwiązanie

W wyniku przekształcenia Równania 8.3 otrzymujemy
S = C ⁢ d ε 0 = 1 ⁢ F ⋅ 10 − 3 ⁢ m 8,85 ⋅ 10 − 12 ⁢ F ∕ m = 1,1 ⋅ 10 8 ⁢ m 2 ⁢ . S= C ⁢ d ε 0 = 1 ⁢ F ⋅ 10 − 3 ⁢ m 8,85 ⋅ 10 − 12 ⁢ F ∕ m = 1,1 ⋅ 10 8 ⁢ m 2 ⁢ .

Znaczenie

Każda z kwadratowych okładek musiałaby mieć przekątną o długości 10⁢km10⁢km. Wysyłanie studentów do magazynu laboratorium po jednofaradowy kondensator płaski było popularnym dowcipem, dopóki nie zaczęło nudzić jego pracowników.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.1

Pojemność kondensatora płaskiego wynosi 2⁢pF2⁢pF. Jaka jest odległość między okładkami, jeśli każda z nich ma powierzchnię 2,4⁢cm22,4⁢cm2?

Sprawdź, czy rozumiesz 8.2

Wykaż, że σ∕Uσ∕U i ε0∕dε0∕d mają te same jednostki.

Kondensator kulisty

Kolejnym typem kondensatora, którego pojemność elektryczną można łatwo obliczyć, jest kondensator kulisty (Ilustracja 8.6), nazywany również sferycznym. Składa się on z dwóch koncentrycznych, przewodzących sfer o promieniach R1R1 (powłoka wewnętrzna) oraz R2R2 (powłoka zewnętrzna). Na nich gromadzi się równy co do wartości ładunek o przeciwnych znakach, odpowiednio +Q+Q i −Q−Q. Z symetrii budowy wynika, że linie pola elektrycznego między okładkami skierowane są radialnie na zewnątrz. Natężenie pola możemy obliczyć przy użyciu prawa Gaussa dla sferycznej powierzchni o promieniu rr, współśrodkowej z okładkami kondensatora. Całkowity ładunek zamknięty w powierzchni Gaussa wynosi +Q+Q, a więc zachodzi równość

∯ S E → ⋅ n ̂ ⁢ d S = E ⋅ 4 ⁢ π ⁢ r 2 = Q ε 0 ⁢ . ∯ S E → ⋅ n ̂ ⁢ d S = E ⋅ 4 ⁢ π ⁢ r 2 = Q ε 0 ⁢ . \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \text{.}

Pole elektryczne pomiędzy przewodnikami wynosi więc

E → = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ Q r 2 ⁢ r ̂ ⁢ . E → = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ Q r 2 ⁢ r ̂ ⁢ .

Następnie podstawiamy E→E→ do Równania 8.2 i całkujemy w kierunku radialnym od jednej okładki do drugiej

U = ∫ R 1 R 2 E → ⋅ d l → = ∫ R 1 R 2 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ Q r 2 ⁢ r ̂ ⋅ r ̂ ⁢ d r = Q 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ R 1 R 2 d r r 2 = Q 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 1 R 1 − 1 R 2 ⁢ . U= ∫ R 1 R 2 E → ⋅ d l → = ∫ R 1 R 2 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ Q r 2 ⁢ r ̂ ⋅ r ̂ ⁢ d r = Q 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ R 1 R 2 d r r 2 = Q 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 1 R 1 − 1 R 2 ⁢ .

Różnica potencjałów pomiędzy okładkami w tym kondensatorze wynosi U=−V2−V1=V1−V2U=−V2−V1=V1−V2. Wynik ten podstawiamy do Równania 8.1, aby obliczyć pojemność elektryczną kondensatora kulistego

C = Q U = 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ R 1 ⁢ R 2 R 2 − R 1 ⁢ . C= Q U = 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ R 1 ⁢ R 2 R 2 − R 1 ⁢ .
8.4
Rysunek przedstawia przekrój kondensatora kulistego w formie dwóch koncentrycznych okręgów. Promień wewnętrznego okręgu wynosi R z indeksem dolnym 1, a promień zewnętrznego okręgu R z indeksem dolnym 2. Wewnętrzny okrąg gromadzi ładunki dodatnie oznaczone znakami plus, a okrąg zewnętrzny ładunki ujemne oznaczone znakami minus1. Ładunek zgromadzony na okładkach wynosi odpowiednio plus Q i minus Q. Linie pola elektrycznego skierowane są radialnie od okręgu wewnętrznego do zewnętrznego. Pośrodku znajduje się trzeci okrąg o promieniu r, zaznaczony linią przerywaną. Jest on podpisany jako powierzchnia Gaussa.
Ilustracja 8.6 Kondensator kulisty składa się z dwóch koncentrycznych sfer przewodzących. Warto pamiętać, że w przewodnikach ładunek zawsze gromadzi się na powierzchni.

Przykład 8.3

Pojemność elektryczna izolowanej kuli

Obliczmy pojemność elektryczną pojedynczej izolowanej kuli przewodzącej o promieniu R1R1 i porównajmy ją z Równaniem 8.4 dla R2⟶∞R2⟶∞.

Strategia rozwiązania

Zakładamy, że ładunek zgromadzony na powierzchni kuli wynosi QQ, i wykonujemy trzy działania opisane w strategii rozwiązywania zadań. Zakładamy również, że drugim przewodnikiem jest koncentryczna sfera o nieskończonym promieniu.

Rozwiązanie

Natężenie pola elektrycznego na zewnątrz izolowanej, przewodzącej kuli wyraża Równanie 8.2. Wartość różnicy potencjałów między powierzchnią izolowanej sfery a nieskończonością wynosi
U = ∫ R 1 + ∞ E → ⋅ d l → = Q 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ R 1 + ∞ 1 r 2 ⁢ r ̂ ⋅ r ̂ ⁢ d r = Q 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ R 1 + ∞ d r r 2 = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ Q R 1 ⁢ . U= ∫ R 1 + ∞ E → ⋅ d l → = Q 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ R 1 + ∞ 1 r 2 ⁢ r ̂ ⋅ r ̂ ⁢ d r = Q 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ R 1 + ∞ d r r 2 = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ Q R 1 ⁢ .

Pojemność elektryczna izolowanej kuli wynosi więc

C = Q U = Q ⋅ 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ R 1 Q = 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ R 1 ⁢ . C= Q U = Q ⋅ 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ R 1 Q = 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ R 1 ⁢ .

Znaczenie

Ten sam wynik można uzyskać, przechodząc z Równania 8.4 do granicy dla R2⟶∞R2⟶∞. Pojedyncza izolowana kula jest więc tożsama z kondensatorem kulistym, którego zewnętrzna okładka ma nieskończenie duży promień.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.3

Promień zewnętrznej okładki kondensatora kulistego jest pięć razy większy od promienia jego wewnętrznej okładki. Jakie są wymiary kondensatora, jeśli jego pojemność elektryczna wynosi 5⁢pF5⁢pF?

Kondensator walcowy

Kondensator walcowy, nazywany również cylindrycznym, składa się z dwóch współosiowych przewodzących cylindrów (Ilustracja 8.7). Wewnętrzny cylinder o promieniu R1R1 może być w środku pusty lub pełny. Zewnętrzny cylinder to powłoka o promieniu wewnętrznym R2R2. Zakładamy, że długość każdego z cylindrów wynosi ll, a na wewnętrznej i zewnętrznej okładce znajdują się ładunki odpowiednio +Q+Q i −Q−Q.

Rysunek przedstawia fragment kondensatora walcowego w formie dwóch współosiowych cylindrów. Promień wewnętrznego cylindra wynosi R z indeksem dolnym 1, a promień zewnętrznego cylindra R z indeksem dolnym 2. Wewnętrzny cylinder gromadzi ładunki dodatnie oznaczone znakami plus, a zewnętrzny ładunki ujemne oznaczone znakami minus. Ładunek zgromadzony na okładkach wynosi odpowiednio plus Q i minus Q. Linie pola elektrycznego o natężeniu E skierowane są radialnie od cylindra wewnętrznego do zewnętrznego. Pośrodku znajduje się trzeci cylinder o promieniu r, zaznaczony linią przerywaną. Jest on podpisany jako powierzchnia Gaussa.
Ilustracja 8.7 Kondensator walcowy składa się z dwóch współosiowych cylindrów z materiału przewodzącego. W tym przypadku zewnętrzna powierzchnia wewnętrznego cylindra jest naładowana dodatnio, a wewnętrzna powierzchnia zewnętrznego cylindra – ujemnie.

Jeśli pominiemy efekty brzegowe, wektor natężenia pola elektrycznego występującego między przewodnikami jest skierowany radialnie na zewnątrz od osi cylindrów. Gdy zastosujemy powierzchnię Gaussa przedstawioną na Ilustracji 8.7, otrzymamy

∯ S E → ⋅ n ̂ ⁢ d S = E ⋅ 2 ⁢ π ⁢ r ⁢ l = Q ε 0 ⁢ . ∯ S E → ⋅ n ̂ ⁢ d S = E ⋅ 2 ⁢ π ⁢ r ⁢ l = Q ε 0 ⁢ . \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = E \cdot 2\pi r l = \frac{Q}{\epsilon_0} \text{.}

Natężenie pola elektrycznego między cylindrami wynosi więc

E → = 1 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ Q r ⁢ l ⁢ r ̂ ⁢ . E → = 1 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ Q r ⁢ l ⁢ r ̂ ⁢ .
8.5

Symbol r̂r̂ oznacza wektor jednostkowy w kierunku radialnym dla walców. Po podstawieniu wyrażenia do Równania 8.2 otrzymamy różnicę potencjałów między cylindrami

U = ∫ R 1 R 2 E → ⋅ d l → = Q 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ⁢ ∫ R 1 R 2 1 r ⁢ r ̂ ⋅ r ̂ ⁢ d r = Q 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ⁢ ∫ R 1 R 2 d r r U = Q 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ⋅ ln r | R 1 R 2 = Q 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ⋅ ln R 2 R 1 ⁢ , U = ∫ R 1 R 2 E → ⋅ d l → = Q 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ⁢ ∫ R 1 R 2 1 r ⁢ r ̂ ⋅ r ̂ ⁢ d r = Q 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ⁢ ∫ R 1 R 2 d r r U = Q 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ⋅ ln r | R 1 R 2 = Q 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ⋅ ln R 2 R 1 ⁢ , \begin{multiline} U &= \int_{R_1}^{R_2} \vec{E} \cdot \d \vec{l} = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \int_{R_1}^{R_2} \frac{1}{r}\hat{r} \cdot \hat{r} \d r = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \int_{R_1}^{R_2} \frac{\d r}{r} \\ &= \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \cdot \ln r \mid_{R_1}^{R_2} = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \cdot \ln (\frac{R_2}{R_1}) \text{,} \end{multiline} U = ∫ R 1 R 2 E → ⋅ d l → = Q 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ⁢ ∫ R 1 R 2 1 r ⁢ r ̂ ⋅ r ̂ ⁢ d r = Q 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ⁢ ∫ R 1 R 2 d r r = Q 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ⋅ ln r | R 1 R 2 = Q 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ⋅ ln R 2 R 1 ⁢ , \begin{multiline} U &= \int_{R_1}^{R_2} \vec{E} \cdot \d \vec{l} = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \int_{R_1}^{R_2} \frac{1}{r}\hat{r} \cdot \hat{r} \d r = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \int_{R_1}^{R_2} \frac{\d r}{r} \\ &= \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \cdot \ln r \mid_{R_1}^{R_2} = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \cdot \ln (\frac{R_2}{R_1}) \text{,} \end{multiline}

gdzie dl→dl→ \d \vec{l} jest elementem drogi całkowania. Zatem pojemność elektryczna kondensatora walcowego wynosi

C = Q U = 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ln R 2 ∕ R 1 ⁢ . C= Q U = 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ l ln R 2 ∕ R 1 ⁢ .
8.6

Tak jak w pozostałych typach również w kondensatorze walcowym pojemność elektryczna zależy jedynie od jego geometrii. Istotnym zastosowaniem Równania 8.6 jest wyznaczanie pojemności elektrycznej przypadającej na jednostkę długości w kablu koncentrycznym (ang. coaxial cable), który często stosuje się do przesyłania zmiennych w czasie sygnałów elektrycznych. Składa się on z dwóch współosiowych przewodników cylindrycznych rozdzielonych izolatorem. (W rozważaniach przyjęliśmy, że między przewodnikami jest próżnia, jednak jeśli przestrzeń pomiędzy okładkami kondensatora wypełnia dielektryk, to fizyczna strona zagadnienia pozostaje jakościowo niemal niezmieniona). Taka budowa kabla zabezpiecza sygnał elektryczny powstający wewnątrz przewodnika przed ewentualnym wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. W przewodnikach zewnętrznym i wewnętrznym prąd płynie w przeciwnych kierunkach, przy czym zewnętrzny przewodnik jest zazwyczaj uziemiony. Jak wynika z Równania 8.6, pojemność kabla koncentrycznego przypadająca na jednostkę długości wynosi

C l = 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ln R 2 ∕ R 1 ⁢ . C l = 2 ⁢ π ⁢ ε 0 ln R 2 ∕ R 1 ⁢ .

W praktycznych zastosowaniach należy pamiętać o tym, aby zawsze używać kabli o właściwym stosunku C∕lC∕l. Oznacza to wybór odpowiednich promieni przewodników oraz dzielącego je dielektryka.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.4

Po dostarczeniu ładunku 0,5⁢nC0,5⁢nC na okładki kondensatora walcowego zmierzono między nimi różnicę potencjałów i wyniosła ona 20⁢V20⁢V.

  1. Jaka jest pojemność elektryczna układu?
  2. Jeśli cylindry mają długość 1⁢m1⁢m, to jaki jest stosunek ich promieni?

Na Ilustracji 8.4 przedstawiono kilka standardowych rodzajów kondensatorów. Zazwyczaj kondensator składa się z dwóch niewielkich kawałków folii metalowej rozdzielonych izolacją (patrz: część (b) Ilustracji 8.2) i zamkniętych w powłoce ochronnej. Całość podłącza się do obwodów elektrycznych za pomocą dwóch metalowych wyprowadzeń. Izolatorami stosowanymi w kondensatorach są: mika, materiały ceramiczne, papier oraz nieprzywierająca powłoka teflonowa.

Kolejnym powszechnie stosowanym typem kondensatora jest kondensator elektrolityczny (ang. electrolytic capacitor). Składa się on z utlenionego metalu zanurzonego w smarze przewodzącym. Najważniejszą zaletą kondensatorów elektrolitycznych jest ich stosunkowo duża pojemność elektryczna. W niektórych aluminiowych kondensatorach tego typu dochodzi ona nawet do 1⁢F1⁢F. Podczas ich używania należy zachować ostrożność, gdyż funkcjonują poprawnie tylko wtedy, kiedy napięcie na folii metalowej jest wyższe niż na powierzchni smaru przewodzącego. W przeciwnym przypadku warstwa tlenku pokrywająca przewodnik ulega zniszczeniu w reakcji elektrolizy. Tego rodzaju kondensatora nie można także podłączyć do źródła prądu przemiennego, gdyż generuje ono zmienną w czasie polaryzację, a więc do kondensatora przez połowę czasu docierałby prąd o niewłaściwej polaryzacji (patrz: Obwody prądu zmiennego).

Kondensator zmienny (ang. variable air capacitor) (Ilustracja 8.8), nazywany też nastawnym lub strojeniowym, składa się z dwóch zespołów równoległych płytek. Jeden z nich jest nieruchomy (nazywa się go „stojanem” bądź „statorem”), drugi zaś (określany „rotorem”) jest przytwierdzony do obrotowego wału. Obracając wał, można zmieniać stopień nachodzenia płytek na siebie i w ten sposób regulować pojemność elektryczną układu. Mechanizm ten wykorzystywany jest w nadajnikach i odbiornikach radiowych. Zawsze kiedy nastawiamy w samochodzie radio na ulubioną stację, powinniśmy pamiętać o pojemności elektrycznej.

Zdjęcie przedstawia wnętrze urządzenia elektronicznego. Jednym z jego elementów jest kondensator zmienny, składający się z dwóch zespołów równoległych płytek. Jeden z zespołów jest nieruchomy i podpisany jest „stator”, zaś drugi może się obracać i podpisany jest „rotor”. Płytki statora i rotora są ułożone naprzemiennie.
Ilustracja 8.8 W kondensatorze zmiennym pojemność elektryczną można regulować, zmieniając powierzchnię efektywną okładek. Źródło: modyfikacja pracy Robbie’ego Sproule’a

Na Ilustracji 8.9 przedstawiono symbole różnych typów kondensatorów stosowane na schematach układów elektrycznych. Zwróćmy uwagę, że przypominają one przekrój przez kondensator płaski. Najczęściej stosowany jest symbol przedstawiony na Ilustracji 8.9 (a). W części (b) Ilustracji 8.9 znajduje się symbol kondensatora elektrolitycznego, przy czym zagięta okładka oznacza wyprowadzenie podłączane do bieguna ujemnego akumulatora. Na Ilustracji 8.9 (c) przedstawiono symbol kondensatora zmiennego.

Rysunek przedstawia trzy symbole kondensatorów. Rysunek a przedstawia symbol składający się z dwóch leżących na boku liter T skierowanych ku sobie górną stroną. Jest to ogólny symbol kondensatora, przypominający przekrój przez kondensator płaski. Rysunek b przedstawia symbol kondensatora elektrolitycznego. Symbol ten różni się od poprzedniego zagiętą linią symbolizującą jedną z okładek kondensatora. Rysunek c przedstawia symbol kondensatora zmiennego, czyli symbol z Rysunku a przecięty po przekątnej strzałką.
Ilustracja 8.9 Symbole trzech rodzajów kondensatorów stosowane na schematach układów elektrycznych. (a) Najpowszechniej stosowany symbol. (b) Symbol kondensatora elektrolitycznego. (c) Symbol kondensatora zmiennego.

Ciekawy przykład działania mechanizmu kondensatora zachodzi na poziomie biologii komórkowej, w błonie cytoplazmatycznej żywych komórek (Ilustracja 8.10). Odgradza ona komórkę od otoczenia, lecz przepuszcza do środka i na zewnątrz określone jony. Różnica potencjałów po dwóch stronach błony wynosi około 70⁢mV70⁢mV, a jej grubość od 7⁢nm7⁢nm do 10⁢nm10⁢nm. Jeśli potraktujemy błonę komórkową jako mikroskopijny kondensator, będziemy mogli wyliczyć minimalne natężenie pola elektrycznego na jej „okładkach”

E = U d = 70 ⋅ 10 -3 ⁢ V 10 ⋅ 10 -9 ⁢ m = 7 ⋅ 10 6 ⁢ V ∕ m = 7 ⁢ MV ∕ m > 3 ⁢ MV ∕ m ⁢ . E = U d = 70 ⋅ 10 -3 ⁢ V 10 ⋅ 10 -9 ⁢ m = 7 ⋅ 10 6 ⁢ V ∕ m = 7 ⁢ MV ∕ m > 3 ⁢ MV ∕ m ⁢ . E = \frac{U}{d} = \frac{\SI{70e-3}{\volt}}{\SI{10e-9}{\metre}} = \SI{7e6}{\volt\per\metre} = \SI{7}{\mega\volt\per\metre} > \SI{3}{\mega\volt\per\metre} \text{.}

Takie pole elektryczne jest na tyle silne, by wytworzyć w powietrzu iskrę.

Rysunek przedstawia przekrój przez błonę komórkową. Na jej wewnętrznej granicy gromadzą się ładunki ujemne oznaczone znakami minus, zaś na jej zewnętrznej granicy ładunki dodatnie oznaczone znakami plus. Wokół błony znajdują się aniony chlorkowe wnikające do środka. Strzałkami zaznaczono, że siła Coulomba skierowana jest dla nich na zewnątrz komórki, a dyfuzja do wewnątrz. Drugim typem jonów są kationy potasowe wypychane na zewnątrz komórki. Strzałkami zaznaczono, że siła Coulomba skierowana jest do wewnątrz komórki, a dyfuzja – na zewnątrz. Po obu stronach błony znajdują się również kationy sodowe. Strzałkami zaznaczono, że zarówno siła Coulomba, jak i dyfuzja skierowane są dla nich do wewnątrz komórki, jednak błona komórkowa jest dla jonów sodowych nieprzepuszczalna.
Ilustracja 8.10 Stężenia jonów są różne po obu stronach półprzepuszczalnej błony komórkowej. Dzięki mechanizmowi dyfuzji jony K+ (potas) i Cl- (chlor) przemieszczają się we wskazanych kierunkach, dopóki siła Coulomba nie zatrzyma przepływu. W ten sposób po zewnętrznej stronie błony gromadzi się ładunek dodatni, a po wewnętrznej – ładunek ujemny, co wytwarza różnicę potencjałów na błonie komórkowej. Zazwyczaj nie przepuszcza ona jonów sodu Na+.

Materiały pomocnicze

Odwiedź stronę PhET Explorations: Capacitor Lab, aby dowiedzieć się więcej o działaniu kondensatorów. Zbadaj wpływ zmiany rozmiaru okładek oraz umieszczenia między nimi izolatora na pojemność elektryczną. Zmieniaj napięcie i przyglądaj się, jak na okładkach gromadzą się ładunki. Obserwuj pole elektryczne w kondensatorze. Zmierz napięcie i natężenie pola elektrycznego.

PoprzedniaNastępna
Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.