Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

5.4 Pole elektryczne

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 25.4 Pole elektryczne

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • jak uzasadnić wprowadzenie pojęcia pola elektrycznego;
  • opisywać właściwości pola elektrycznego;
  • obliczać natężenie pola elektrycznego układu ładunków źródłowych różnych znaków.

Jak dowiedzieliśmy się w poprzednim podrozdziale, wypadkowa siła działająca na ładunek próbny jest sumą wektorową wszystkich sił elektrostatycznych pochodzących od różnych ładunków źródłowych zlokalizowanych w swoich położeniach. Co się jednak stanie, gdy użyjemy innego ładunku próbnego, ładunku o innej wartości, innym znaku? Albo przypuśćmy, że mamy tuzin różnych ładunków próbnych, które chcemy wypróbować w tym samym położeniu? Wtedy musielibyśmy za każdym razem obliczać sumę sił od nowa. Na szczęście można zdefiniować wielkość fizyczną nazywaną natężeniem pola elektrycznego (ang. electric field) (czasami nazywaną krótko polem elektrycznym), która jest niezależna od ładunku próbnego. Natężenie pola zależy wyłącznie od rozkładu ładunków źródłowych i raz wyznaczona pozwala na obliczanie siły działającej na dowolny ładunek próbny.

Definicja natężenia pola elektrycznego

Przypuśćmy, że mamy N N ładunków źródłowych q 1 q 2 q 3 … q N q 1 q 2 q 3 … q N q_1,q_2,q_3,\dots,q_N znajdujących się w położeniach r → 1 ⁢ , ⁢ r → 2 ⁢ , ⁢ r → 3 ⁢ , ⁢ … ⁢ , ⁢ r → N r → 1 ⁢,⁢ r → 2 ⁢,⁢ r → 3 ⁢,⁢…⁢,⁢ r → N , które działają N N siłami elektrostatycznymi na ładunek próbny Q Q. Wypadkowa siła działająca na Q Q wynosi (zobacz: Równanie 5.2)

F → = F → 1 + F → 2 + F → 3 + … + F → N F → = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ Q ⁢ q 1 r 1 2 ⁢ r ̂ 1 + Q ⁢ q 2 r 2 2 ⁢ r ̂ 2 + Q ⁢ q 3 r 3 2 ⁢ r ̂ 3 + … + Q ⁢ q N r N 2 ⁢ r ̂ N F → = Q 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ q 1 r 1 2 ⁢ r ̂ 1 + q 2 r 2 2 ⁢ r ̂ 2 + q 3 r 3 2 ⁢ r ̂ 3 + … + q N r N 2 ⁢ r ̂ N ⁢ . F → = F → 1 + F → 2 + F → 3 + … + F → N F → = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ Q ⁢ q 1 r 1 2 ⁢ r ̂ 1 + Q ⁢ q 2 r 2 2 ⁢ r ̂ 2 + Q ⁢ q 3 r 3 2 ⁢ r ̂ 3 + … + Q ⁢ q N r N 2 ⁢ r ̂ N F → = Q 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ q 1 r 1 2 ⁢ r ̂ 1 + q 2 r 2 2 ⁢ r ̂ 2 + q 3 r 3 2 ⁢ r ̂ 3 + … + q N r N 2 ⁢ r ̂ N ⁢ . \begin{multiline} \vec{F} &= \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \dots + \vec{F}_N \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} (\frac{Q q_1}{r^2_1} \hat{r}_1 + \frac{Q q_2}{r^2_2} \hat{r}_2 + \frac{Q q_3}{r^2_3} \hat{r}_3 + \dots + \frac{Q q_N}{r^2_N} \hat{r}_N) \\ &= \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} (\frac{q_1}{r^2_1} \hat{r}_1 + \frac{q_2}{r^2_2} \hat{r}_2 + \frac{q_3}{r^2_3} \hat{r}_3 + \dots + \frac{q_N}{r^2_N} \hat{r}_N) \text{.} \end{multiline} F → = F → 1 + F → 2 + F → 3 + … + F → N = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ Q ⁢ q 1 r 1 2 ⁢ r ̂ 1 + Q ⁢ q 2 r 2 2 ⁢ r ̂ 2 + Q ⁢ q 3 r 3 2 ⁢ r ̂ 3 + … + Q ⁢ q N r N 2 ⁢ r ̂ N = Q 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ q 1 r 1 2 ⁢ r ̂ 1 + q 2 r 2 2 ⁢ r ̂ 2 + q 3 r 3 2 ⁢ r ̂ 3 + … + q N r N 2 ⁢ r ̂ N ⁢ .

Możemy to zapisać w postaci

F → = Q ⁢ E → ⁢ , F → = Q ⁢ E → ⁢ ,
5.3

gdzie

E → = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ q 1 r 1 2 ⁢ r ̂ 1 + q 2 r 2 2 ⁢ r ̂ 2 + q 3 r 3 2 ⁢ r ̂ 3 + ⋯ + q N r N 2 ⁢ r ̂ N E → = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ q 1 r 1 2 ⁢ r ̂ 1 + q 2 r 2 2 ⁢ r ̂ 2 + q 3 r 3 2 ⁢ r ̂ 3 + ⋯ + q N r N 2 ⁢ r ̂ N

lub krócej

E → ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∑ i = 1 N q i r i 2 ⁢ r ̂ i ⁢ . E → ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∑ i = 1 N q i r i 2 ⁢ r ̂ i ⁢ .
5.4

To wyrażenie definiuje natężenie pola elektrycznego w punkcie P = P ⁢ x y z P= P ⁢ x y z wytworzonego przez N N ładunków źródłowych. P P jest punktem w przestrzeni, w którym obliczamy natężenie pola elektrycznego względem położeń r → i r → i ładunków źródłowych (Ilustracja 5.18). Zauważmy, że dla sformułowania tego zagadnienia musieliśmy wprowadzić układ współrzędnych.

Na rysunku znajduje się osiem ładunków, pokazanych jako kulki rozmieszczone w układzie współrzędnych x, y, z. Ładunki źródłowe są oznaczone q z indeksem 1, q z indeksem 2 itd. Ładunki 1, 2, 4, 7 i 8 są w kolorze czerwonym, a ładunki źródłowe 3, 5 i 6 są w kolorze niebieskim. Na rysunku zaznaczony jest też punkt P. W punkcie P pokazane są wektory natężenia pola elektrycznego, od ładunków źródłowych, w postaci strzałek skierowanych do punktu P i oznaczonych indeksami odpowiednich ładunków. Wektor E 1 jest zwrócony od ładunku q 1, E 2 jest zwrócony od ładunku q 2, E 4 jest zwrócony od ładunku q 4, E 7 jest zwrócony od ładunku q 7 i E 8 jest zwrócony od ładunku q 8. Wektor E 3 jest zwrócony w stronę ładunku q 3, wektor E 5 jest zwrócony w stronę ładunku q 5, a wektor E 6 jest zwrócony w stronę ładunku q 6.
Ilustracja 5.18 Każdy z ośmiu ładunków źródłowych wytwarza pole elektryczne w każdym punkcie przestrzeni; wektory natężenia pola elektrycznego znajdują się w dowolnie wybranym punkcie P P. Tak jak dla sił elektrostatycznych, zasada superpozycji ma zastosowanie do obliczania wypadkowego natężenia pola elektrycznego.

Zauważmy, że, obliczając natężenie pola elektrycznego, nie odwołujemy się do ładunku próbnego. Dlatego użytecznym sposobem jest obliczenie w pierwszej kolejności natężenia pola elektrycznego, a potem wykorzystanie go do obliczenia siły działającej na dowolny ładunek próbny. Na różne ładunki próbne działają różne siły elektrostatyczne (Równanie 5.3), ale natężenie pola elektrycznego jest takie samo jak w Równaniu 5.4. Mówiąc to, należy pamiętać, że nie ma różnicy między ładunkiem próbnym a ładunkiem źródłowym, to wyłącznie użyteczne nazewnictwo, oznaczenia dla potrzeb rozpatrywanego układu ładunków. Każdy ładunek wytwarza pole elektryczne (jest jego źródłem), jednak tak jak grawitacja ziemska nie wpływa na orbitę Ziemi, tak i na ładunek nie działa siła pochodząca od pola elektrycznego, które sam wytwarza. Ładunki podlegają tylko działaniu sił pochodzących od pól elektrycznych innych ładunków.

Pod tym względem natężenie pola elektrycznego E → E → ładunku punktowego jest podobne do natężenia pola grawitacyjnego g → g → Ziemi; jeżeli obliczymy natężenie pola grawitacyjnego w dowolnym punkcie przestrzeni, możemy ten wynik wykorzystać w dowolnej chwili do obliczenia siły działającej na dowolną masę umieszczoną w tym punkcie. W rzeczywistości jest to dokładnie to, co robimy, mówiąc, że natężenie pola grawitacyjnego Ziemi (w pobliżu powierzchni Ziemi) ma wartość 9,81 ⁢⁢ m ∕ s 2 ⁢ , 9,81 ⁢⁢ m ∕ s 2 ⁢, a następnie obliczamy wynikającą z tego siłę (tzn. ciężar) działającą na różne masy. Również ogólne wyrażenie na obliczanie g → g → w dowolnej odległości od środka Ziemi (tzn. nie tylko w pobliżu powierzchni Ziemi) jest bardzo podobne do wyrażenia na E → ∕ g → = G ⁢ M ∕ r 2 ⋅ r ̂ E → ∕ g → = G ⁢ M ∕ r 2 ⋅ r ̂ , gdzie G G jest stałą proporcjonalności mającą takie samo znaczenie dla obliczania g → g → jak 1 ∕ 4 ⁢ π ⁢ ε 0 1∕ 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ma dla obliczania E → E → . Wartość g → g → jest obliczana jeden raz, a następnie wykorzystywana przy rozwiązywaniu niezliczonej ilość zagadnień, zadań.

Żeby zobaczyć więcej analogii, zwróć uwagę na jednostkę natężenia pola elektrycznego: na podstawie wyrażenia F = Q ⁢ E F= Q ⁢ E , jednostką E E jest niuton na kulomb ( N ∕ C N∕C), to znaczy pole elektryczne działa siłą na każdą jednostkę ładunku (ładunek jednostkowy). A teraz zwróćmy uwagę na jednostkę g g. Na podstawie wyrażenia F = m ⁢ g F= m ⁢ g jednostką g g jest niuton na kilogram ( N ∕ kg N∕kg), to znaczy, że pole grawitacyjne działa na każdą jednostkę masy. Możemy powiedzieć, że natężenie pola grawitacyjnego Ziemi w pobliżu jej powierzchni wynosi 9,81 ⁢⁢ N ∕ kg 9,81⁢⁢ N ∕ kg .

Co oznacza termin „pole”?

Przypomnij sobie, że gdy uczyłeś się o grawitacji, termin „pole” miał tam ściśle określone znaczenie. W fizyce pole jest wielkością, której wartość zależy od (jest funkcją) położenia względem źródła pola. W przypadku pola elektrycznego z Równania 5.4 wynika, że wartość natężenia pola elektrycznego E → E → (wartość i zwrot) zależy od tego, gdzie w przestrzeni znajduje się punkt P P względem położeń r → i r → i ładunków źródłowych q i q i .

Ponadto ze względu na to, że natężenie pola elektrycznego jest wielkością wektorową, to o polu elektrycznym mówimy jako o polu wektorowym (ang. vector field; pole grawitacyjne jest też polem wektorowym). Natomiast pole, które ma w każdym punkcie przestrzeni przypisaną tylko wartość (wielkość skalarną), nazywamy polem skalarnym (ang. scalar field). Temperatura panująca w pokoju jest przykładem pola skalarnego. Zasadniczo ma ona różną wartość w różnych miejscach w pokoju i jest wielkością skalarną, dlatego mówimy o niej jako o polu skalarnym.

Podobnie jak to miało miejsce w przypadku pola grawitacyjnego wytwarzanego przez ciała posiadające masę, powinieneś wyobrazić sobie pole elektryczne ciała obdarzonego ładunkiem (ładunek źródłowy) jako niematerialny ośrodek (stan przestrzeni) otaczający ładunek źródłowy i rozciągający się zasadniczo do ± ∞ ±∞ we wszystkich kierunkach. Pole elektryczne istnieje we wszystkich punktach przestrzeni. Wyrażając to inaczej, ładunek elektryczny ciała zmienia przestrzeń wokół niego tak, że wszystkie inne znajdujące się w przestrzeni naładowane ciała doznają działania siły elektrostatycznej wynikającej z umieszczenia w polu elektrycznym. Pole elektryczne opisuje więc mechanizm propagacji właściwości ładunku źródłowego na otaczający wszechświat. (Siły elektrostatyczne mają nieskończony zasięg).

W następnych rozdziałach dowiemy się, że prędkość rozchodzenia się pól elektrycznych jest równa prędkości światła. Istnieje zasadniczy związek pomiędzy polem elektrycznym a światłem.

Zasada superpozycji

Przeprowadzone doświadczenia pokazują, że zasada superpozycji ma zastosowanie do pól. W naszym przypadku oznacza to, że zasadniczo możemy obliczyć całkowite natężenie pola elektrycznego wielu ładunków źródłowych, obliczając w punkcie P P natężenie pola elektrycznego wyłącznie od ładunku q 1 q 1 , a następnie obliczając w punkcie P P natężenie pola elektrycznego od ładunku q 2 q 2 oraz ignorując (i na tym polega ta zasada) obecność ładunku q 1 q 1 . Możemy powtórzyć tę procedurę, obliczając po kolei natężenie pola od każdego ładunku źródłowego, niezależnie od obecności innych ładunków. Całkowite natężenie pola elektrycznego jest wtedy sumą wektorową wszystkich tych pól. I to stanowi sedno tego, co wyraża Równanie 5.4.

W następnej części opiszemy, jak określić konfigurację pola elektrycznego pochodzącego z rozkładu ładunków źródłowych i jak ją przedstawić graficznie.

Kierunek i zwrot pola elektrycznego

Równanie 5.4 pozwala wyznaczyć wartość natężenia pola elektrycznego, ale potrzebujemy też znać jego kierunek i zwrot. Przyjmujemy konwencję, że kierunek i zwrot każdego wektora natężenia pola elektrycznego są takie, jak kierunek i zwrot siły elektrostatycznej, która działałaby na umieszczony w tym polu dodatni ładunek próbny. Taki ładunek próbny będzie odpychany przez dodatni ładunek źródłowy (siła będzie zwrócona w kierunku od dodatniego ładunku źródłowego) i przyciągany przez ładunki ujemne (siła będzie skierowana w stronę ujemnego ładunku źródłowego).

Kierunek pola elektrycznego

Zgodnie z przyjętą konwencją, każdy wektor natężenia pola elektrycznego E → E → jest skierowany od ładunków dodatnich w stronę ładunków ujemnych.

Materiały pomocnicze

Uruchom program Electric Field of Dreams, wprowadź ładunki i zobacz, jak zachowują się one w polu elektrycznym. Włącz w programie zewnętrzne pole elektryczne i zmieniaj jego wartość i kierunek.

Przykład 5.3

Pole E E atomu

W zjonizowanym atomie helu najbardziej prawdopodobna odległość pomiędzy jądrem a elektronem wynosi r = 26,5 ⋅ 10 -12 ⁢⁢ m r= 26,5 ⋅ 10 -12 ⁢⁢ m . Jakie pole elektryczne wytwarza jądro w punkcie, w którym znajduje się elektron?

Strategia rozwiązania

Zauważmy, że chociaż mówimy w zadaniu o elektronie, to nie bierzemy go pod uwagę przy obliczeniach. W zadaniu pytamy o natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez jądro, a nie o siłę, tak więc tylko jeden ładunek jest brany pod uwagę. Sam elektron to mylny trop, liczy się tylko jego odległość od jądra. Ponadto ponieważ odległość pomiędzy dwoma protonami w jądrze jest o wiele mniejsza od odległości elektronu od jądra, można potraktować te dwa protony jako pojedynczy ładunek + 2 ⁢ e + 2 ⁢ e (Ilustracja 5.19).
Dodatni ładunek 2 e znajduje się w środku sfery o promieniu r. Elektron jest zaznaczony jako punkt na sferze. Wektor r ma początek w środku sfery i jest zwrócony w stronę elektronu. Natężenie pola elektrycznego w miejscu elektronu jest pokazane jako wektor E z początkiem w miejscu elektronu i zwrócony na zewnątrz od środka.
Ilustracja 5.19 Na rysunku przedstawiono schematycznie atom helu. W rzeczywistości atom helu tak nie wygląda, ale ten obrazek jest pomocny do obliczenia natężenia pola elektrycznego, którego źródłem jest jądro.

Rozwiązanie

Natężenie pola elektrycznego obliczamy ze wzoru
E → = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∑ i = 1 N q i r i 2 ⁢ r ̂ i ⁢ . E → = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∑ i = 1 N q i r i 2 ⁢ r ̂ i ⁢ .

Ponieważ mamy tylko jeden ładunek źródłowy, wyrażenie upraszcza się do postaci

E → = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ r ̂ ⁢ . E → = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ r ̂ ⁢ .

W naszym przykładzie q = 2 ⁢ e = 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 -19 ⁢⁢ C q= 2 ⁢ e = 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 -19 ⁢⁢ C (bo mamy dwa protony) i dana jest odległość r r. Podstawiwszy te wartości do wzoru na natężenie pola elektrycznego, otrzymujemy

E → = q 4 ⁢ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 -12 ⁢ C 2 ∕ N ⁢ m 2 ⋅ 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 -19 ⁢ C 26,5 ⋅ 10 -12 ⁢ m 2 ⁢ r ̂ = 4,1 ⋅ 10 12 ⁢ N ∕ C ⋅ r ̂ ⁢ . E → = q 4 ⁢ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 -12 ⁢ C 2 ∕ N ⁢ m 2 ⋅ 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 -19 ⁢ C 26,5 ⋅ 10 -12 ⁢ m 2 ⁢ r ̂ = 4,1 ⋅ 10 12 ⁢ N ∕ C ⋅ r ̂ ⁢ . \vec{E} = \frac{q}{4\pi \cdot \SI{8,85e-12}{\coulomb\squared\per\newton\per\metre\squared}} \cdot \frac{2\cdot \SI{1,6e-19}{\coulomb}}{(\SI{26,5e-12}{\metre})^2} \hat{r} = \SI{4,1e12}{\newton\per\coulomb} \cdot \hat{r} \text{.}

Wektor E → E → jest zwrócony radialnie na zewnątrz od jądra we wszystkich kierunkach. Dlaczego? Ponieważ ładunek próbny umieszczony w tym polu elektrycznym przyspieszałby radialnie, uciekając od jądra (które też jest naładowane dodatnio); ponownie przyjmujemy konwencję, że zwrot wektora natężenia pola elektrycznego jest zdefiniowany poprzez siłę, z jaką pole elektryczne działałoby na dodatni ładunek próbny.

Przykład 5.4

Natężenie pola elektrycznego E E w punkcie leżącym nad dwoma identycznymi ładunkami

  1. Obliczmy natężenie pola elektrycznego (wielkość, kierunek i zwrot) w odległości z z od punktu leżącego pośrodku między dwoma identycznymi ładunkami + q +q, które znajdują się w odległości d d od siebie (Ilustracja 5.20). Sprawdźmy, czy wynik jest zgodny z tym, jakiego oczekiwalibyśmy dla z ≫ d z≫d.
  2. Obliczmy to samo, co w punkcie (a), z tą tylko różnicą, że po prawej stronie mamy teraz ładunek − q −q zamiast + q +q.
    Punkt P znajduje się w odległości z ponad środkiem odcinka o długości d, łączącego dwa ładunki. Odległość od punktu P do każdego z ładunków wynosi r, a kąt pomiędzy r i linią pionowa wynosi theta.
    Ilustracja 5.20 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego wytworzonego w punkcie P P przez dwa identyczne ładunki. Ze względu na symetrię wypadkowe pole elektryczne jest w punkcie P P skierowane wyłącznie pionowo. (Zauważmy, że nie jest to prawdą w punktach poza symetralną odcinka łączącego ładunki).

Strategia rozwiązania

Dodajemy wektorowo natężenia pól, zgodnie z Równaniem 5.4. Zauważmy, że układ (i co za tym idzie pole elektryczne) jest symetryczny względem pionowej osi, w konsekwencji składowe poziome wektorów natężenia pola elektrycznego się znoszą. To upraszcza obliczenia. Ponadto musimy zadbać o to, żeby nasza odpowiedź była wyrażona tylko za pomocą wielkości danych w treści zadania: q q, z z, d d, oraz stałych ( π ⁢ , ⁢ ε 0 π ⁢ , ⁢ ε 0 ).

Rozwiązanie

  1. Dzięki symetrii, składowe poziome ( x x) pola E → E → się znoszą (Ilustracja 5.21)
    E x = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ sin θ − 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ sin θ = 0 ⁢⁢ V ∕ m ⁢ . E x = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ sin θ − 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ sin θ = 0 ⁢⁢ V ∕ m ⁢ .
    Punkt P znajduje się w odległości z ponad środkiem odcinka o długości d, łączącego dwa ładunki. Odległość od punktu P do każdego z ładunków wynosi r, a kąt pomiędzy r i linią pionowa wynosi theta. Składowe x i y natężenia pola elektrycznego są przedstawione jako strzałki zaczepione w punkcie P. Pokazane są cztery strzałki: E z indeksem x p jest zwrócona w lewo, E z indeksem x l jest zwrócona w prawo, E z indeksem y l jest zwrócona w górę i E z indeksem y p jest zwrócona w górę.
    Ilustracja 5.21 Zauważmy, że składowe poziome natężenia pola elektrycznego pochodzącego od tych dwóch ładunków znoszą się wzajemnie, podczas gdy składowe pionowe się dodają.
    Składowa pionowa ( z z) jest dana wyrażeniem
    E z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ cos θ + 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ cos θ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q r 2 ⁢ cos θ ⁢ . E z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ cos θ + 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ cos θ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q r 2 ⁢ cos θ ⁢ .
    Ponieważ nie istnieją inne składowe pola, to składowa pionowa przedstawia całkowite natężenie pola elektrycznego, które jest tym samym zwrócone w kierunku k ̂ k ̂ . Warto zauważyć, że skorzystaliśmy w obliczeniach z zasady superpozycji (ang. principle of superposition); obliczyliśmy natężenia pól elektrycznych niezależnie dla obu ładunków, a następnie dodaliśmy je.
    To, co teraz chcemy zrobić, to zastąpić w równaniu te wielkości, których nie znamy (takie jak r r) lub których nie można w łatwy sposób zmierzyć (jak cos θ cosθ), wielkościami znanymi lub dającymi się zmierzyć. Z geometrii układu wynika, że
    r 2 = z 2 + d 2 2 r 2 = z 2 + d 2 2
    oraz
    cos θ = z r = z z 2 + d 2 2 1 ∕ 2 ⁢ k ̂ ⁢ . cos θ = z r = z z 2 + d 2 2 1 ∕ 2 ⁢ k ̂ ⁢ .
    Podstawiwszy, otrzymujemy
    E→⁡z=14⁢π⁢ε0⋅2⁢qz2+d22⋅zz2+d221∕2⁢k̂⁢.E→⁡z=14⁢π⁢ε0⋅2⁢qz2+d22⋅zz2+d221∕2⁢k̂⁢. \vec E \apply (z) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{2q}{z^2 + (\frac{d}{2})^2} \cdot \frac{z}{[z^2 + (\frac{d}{2})^2]^{1/2}} \hat k \text{.}
    E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q ⁢ z z 2 + d 2 2 3 ∕ 2 ⁢ k ̂ ⁢ . E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q ⁢ z z 2 + d 2 2 3 ∕ 2 ⁢ k ̂ ⁢ .
    5.5
  2. Gdy ładunki źródłowe są równe, ale różnoimienne, składowe pionowe znoszą się, ponieważ
    E z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ sin θ − 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ sin θ = 0 ⁢⁢ V ∕ m ⁢ , E z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ sin θ − 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ sin θ = 0 ⁢⁢ V ∕ m ⁢ ,
    a dla składowej poziomej pola E → E → otrzymujemy
    E → ⁡ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ sin θ ⋅ i ̂ − 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ − q r 2 ⁢ sin θ ⋅ i ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q ⁢ sin θ r 2 ⁢ i ̂ E → ⁡ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q z 2 + d 2 2 2 ⋅ d 2 z 2 + d 2 2 1 ∕ 2 ⁢ i ̂ E → ⁡ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ sin θ ⋅ i ̂ − 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ − q r 2 ⁢ sin θ ⋅ i ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q ⁢ sin θ r 2 ⁢ i ̂ E → ⁡ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q z 2 + d 2 2 2 ⋅ d 2 z 2 + d 2 2 1 ∕ 2 ⁢ i ̂ \begin{multiline} \vec{E} \apply(z) &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} \sin \theta \cdot \hat{i} - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{-q}{r^2} \sin \theta \cdot \hat{i} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{2q \sin \theta}{r^2} \hat{i} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{2q}{[z^2+(\frac{d}{2})^2]^2} \cdot \frac{\frac{d}{2}}{[z^2+(\frac{d}{2})^2]^{1/2}} \hat{i} \end{multiline} E → ⁡ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q r 2 ⁢ sin θ ⋅ i ̂ − 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ − q r 2 ⁢ sin θ ⋅ i ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q ⁢ sin θ r 2 ⁢ i ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q z 2 + d 2 2 2 ⋅ d 2 z 2 + d 2 2 1 ∕ 2 ⁢ i ̂
    i ostatecznie
    E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q ⁢ d z 2 + d 2 2 3 ∕ 2 ⁢ i ̂ ⁢ . E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q ⁢ d z 2 + d 2 2 3 ∕ 2 ⁢ i ̂ ⁢ .
    5.6

Znaczenie

Powszechną i użyteczną praktyką sprawdzenia, czy otrzymany wynik jest poprawny, jest przetestowanie go w warunkach granicznych. W tym przykładzie sprawdzimy wyrażenie na natężenie pola elektrycznego dla przypadków: d = 0 d=0, z ≫ d z≫d i z ⟶ ∞ z⟶∞, i potwierdzimy, że otrzymane wyrażenie odpowiada przewidywaniom fizyki.

Zaczynamy od Równania 5.5, wyrażającego natężenie pola elektrycznego dwóch identycznych ładunków. Widziane z daleka (tzn. dla z ≫ d z≫ d ) dwa ładunki źródłowe zlewają się i widzimy pole elektryczne od pojedynczego ładunku 2 ⁢ q 2⁢q. Jeżeli więc przyjmiemy, że z ≫ d ⁢ z≫ d ⁢ , to możemy pominąć wyraz d 2 d 2 w Równaniu 5.5 i otrzymamy

lim d ⟶ 0 E → = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q ⁢ z z 2 3 ∕ 2 ⁢ k ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q ⁢ z z 3 ⁢ k ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q z 2 ⁢ k ̂ ⁢ , lim d ⟶ 0 E → = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q ⁢ z z 2 3 ∕ 2 ⁢ k ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q ⁢ z z 3 ⁢ k ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ q z 2 ⁢ k ̂ ⁢ ,

co jest poprawnym wyrażeniem na natężenie pola elektrycznego w odległości z z od ładunku 2 ⁢ q 2⁢q.

Jako następny przykład rozpatrujemy natężenie pola elektrycznego od równych, ale różnoimiennych ładunków (Równanie 5.6). Można pokazać (korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora), że dla d ≪ z ≪ ∞ d≪z≪∞, otrzymujemy

E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q ⁢ d z 3 ⁢ i ̂ ⁢ , E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q ⁢ d z 3 ⁢ i ̂ ⁢ ,
5.7

który to wzór opisuje natężenie pola elektrycznego dipola, układu, który poznamy później (zauważmy, że w tym wzorze jednostki E → E → są poprawne, ponieważ jednostka d d w liczniku skraca się z jedną nadmiarową jednostką z z w mianowniku). Jeżeli z z jest bardzo duże z ⟶ ∞ z ⟶ ∞ , to wtedy E ⟶ 0 E⟶0, tak jak powinno; dwa ładunki zlewają się i wzajemnie znoszą.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.3

Jakie jest natężenie pola elektrycznego od pojedynczej, punktowej cząsteczki?

Materiały pomocnicze

Skorzystaj z symulacji hokeja pola elektrycznego, spróbuj umieścić ładunek w bramce (zdobyć gola), umieszczając inne ładunki na boisku.

PoprzedniaNastępna
Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.