Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

11.5 Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 211.5 Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyznaczać wypadkową sił działających na pętlę z prądem w zewnętrznym polu magnetycznym;
  • wyznaczać moment sił działających na pętlę z prądem w zewnętrznym polu magnetycznym;
  • definiować moment magnetyczny pętli z prądem.

W silnikach elektrycznych (ang. electrical motors) najpowszechniej stosowane są siły magnetyczne działające na przewodniki z przepływającym przez nie prądem. Znajdują się w nich pętle przewodnika w polu magnetycznym. Podczas przepływu prądu przez przewodnik pole magnetyczne wytwarza moment sił działających na przewodnik, co powoduje obrót wału. W procesie tym energia elektryczna ulega przekształceniu w pracę mechaniczną. Gdy powierzchnia obejmowana przez pętlę zostanie obrócona przez pole magnetyczne, kierunek przepływu prądu zmieni się na przeciwny, tak aby zachować stałość momentu sił działających na nią (Ilustracja 11.15). Zmiana kierunku prądu dokonuje się za pośrednictwem komutatora (przełącznika) i szczotek. Komutator (ang. commutator) jest ustawiony tak, aby zmieniać kierunek przepływu prądu w określonych chwilach dla zachowania ciągłości pracy (ruchu) silnika. W typowym komutatorze występują trzy obszary braku kontaktu i martwe punkty, w których chwilowy moment sił działających na pętlę wynosi zero. Szczotki, dociskane do komutatora, wytwarzają kontakt elektryczny pomiędzy częściami komutatora podczas jego ruchu obrotowego.

Schemat silnika prądu stałego składającego się z magnesu z poziomą szczeliną, zasilacza z przewodami połączonymi ze szczotkami, przewodem wygiętym w prostokątną pętlę. Końce przewodu są przyłączone do styków, które łączą się ze szczotkami zasilacza gdy pętla jest w pozycji poziomej. Gdy pętla jest ustawiona pionowo, dostosowują się one do szczeliny między stykami. Północny biegun magnesu jest po lewej, pole południowe po prawej. Rysunek a: Pętla jest ustawiona poziomo i szczotki mają kontakt z pętlą. Prąd (patrząc w dół) płynie przez pętlę zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara, tak że prąd z lewej części pętli płynie ku środkowi strony, a prąd w prawej części płynie poza stroną. Siła magnetyczna z lewej części jest skierowana w dół, a w prawej części w górę. Pętla obraca się odwrotnie (patrząc ku środkowi strony) do ruchu wskazówek zegara. Rysunek b; Pętla jest ustawiona pionowo. Szczotki nie mają styczności z pętlą. Nie płynie prąd i nie działają żadne siły.
Ilustracja 11.15 Uproszczona wersja silnika elektrycznego prądu stałego. (a) Prostokątna pętla przewodnika umieszczona jest w polu magnetycznym. Siły działające na nią w pobliżu biegunów magnetycznych (N oraz S) są zwrócone przeciwnie, co wynika z reguły prawej dłoni 1. Zatem moment sił działających na pętlę powoduje jej obrót do pozycji widocznej na rysunku (b). (b) Szczotki stykają się teraz z segmentami komutatora w taki sposób, że prąd nie płynie przez pętlę. Moment sił działających na pętlę nie występuje, ale ruch obrotowy pętli jest kontynuowany dzięki początkowej prędkości obrotowej nadanej pętli podczas fazy (a). Do czasu odwrócenia się pętli prąd znowu popłynie przez przewodnik, ale tym razem w przeciwnym kierunku i proces z fazy (a) zostanie powtórzony. Umożliwi to ciągły ruch obrotowy pętli.

W jednorodnym polu magnetycznym pętla przewodnika z prądem, taka jak w silniku, doświadcza działania sił i momentów sił. Ilustracja 11.16 pokazuje prostokątną pętlę przewodnika I I, o bokach długości a a oraz b b. Pętla znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji: B → = B ⁢ j ̂ B → = B ⁢ j ̂ . Siła magnetyczna działająca na prostych odcinkach przewodzącego prąd drutu długości l l jest dana przez I ⁢ l → × B → I ⁢ l → × B → . Żeby obliczyć wypadkową sił działających na pętlę, należy zastosować to równanie do każdego z czterech jej boków. Siła działająca na bok 1 to

F → 1 = I ⁢ a ⁢ B ⁢ sin 90 ° − θ ⋅ i ̂ = I ⁢ a ⁢ B ⁢ cos θ ⋅ i ̂ ⁢ , F → 1 = I ⁢ a ⁢ B ⁢ sin 90 ° − θ ⋅ i ̂ = I ⁢ a ⁢ B ⁢ cos θ ⋅ i ̂ ⁢ ,
11.13

gdzie kierunek i zwrot wyznaczono za pomocą RHR-1. Prąd wzdłuż boku 3 płynie w przeciwnym kierunku niż wzdłuż boku 1, więc

F → 3 = − I ⁢ a ⁢ B ⁢ sin 90 ° + θ ⋅ i ̂ = − I ⁢ a ⁢ B ⁢ cos θ ⋅ i ̂ ⁢ . F → 3 = − I ⁢ a ⁢ B ⁢ sin 90 ° + θ ⋅ i ̂ = − I ⁢ a ⁢ B ⁢ cos θ ⋅ i ̂ ⁢ .
11.14

Prądy wzdłuż boków 2 i 4 są prostopadłe do B → B → , a siły wypadkowe działające na nie są równe

F → 2 = I ⁢ b ⁢ B ⁢ k ̂ ⁢ , ⁢ F → 4 = − I ⁢ b ⁢ B ⁢ k ̂ ⁢ . F → 2 = I ⁢ b ⁢ B ⁢ k ̂ ⁢ , ⁢ F → 4 = − I ⁢ b ⁢ B ⁢ k ̂ ⁢ .
11.15

Możemy więc wyznaczyć wypadkową sił działających na pętlę

F → wyp = ∑ i = 1 4 F → i = F → 1 + F → 2 + F → 3 + F → 4 = 0 ⁢ N ⁢ . F → wyp = ∑ i = 1 4 F → i = F → 1 + F → 2 + F → 3 + F → 4 = 0 ⁢ N ⁢ . \vec{F}_{\text{wyp}} = \sum_{i=1}^4 \vec{F}_i = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 = \SI{0}{\newton} \text{.}
11.16

Mimo że wynik ten ( F wyp = 0 ⁢ N F wyp = 0 ⁢ N F_{\text{wyp}} = \SI{0}{\newton} ) otrzymaliśmy dla pętli prostokątnej, to jest on znacznie bardziej ogólny i pozostaje w mocy dla dowolnego kształtu pętli przewodzących prąd, zatem nie występuje wypadkowa sił działających na pętlę z prądem w jednorodnym polu magnetycznym.

Ilustracja przedstawiająca prostokątną pętlę przewodzącą prąd l. Prąd w pętli jest skierowany odwrotnie do kierunku ruchu wskazówek zegara patrząc od dodatniego kierunku y w kierunku początku układu. Pętla jest w jednorodnym polu magnetycznym, B, które skierowane jest na prawo. Rysunek a przedstawia trójwymiarowy obraz pętli. Boki górny i dolne są równoległe do osi x i mają długość b. Bok górny jest jako y=0 i dodatni z prądem w dodatnim kierunku x. Bok u podstawy ma dodatnie y i z=0, a prąd w ujemnym kierunku x. Pozostałe dwa boki mają długość b. Jeden jest x=0 i ma prąd skierowany w górę, a drugi ma x dodatni i prąd skierowany w górę. Obydwa boki są pochylone tworząc kąt theta u szczytu odpowiednio do osi z. Pokazany jest kierunek wektora jednostkowego n z daszkiem prostopadłego do powierzchni prostokątnej pętli. Pokazane są również siły działające na każdym z boków. F 1 jest siłą na pochylonej stronie przy x=0 wskazującą dodatni kierunek x oraz skierowaną w dodatnim kierunku x. F 2 jest siłą na szczycie strony wskazującą w górę. F 3 jest siłą na pochylonej stronie przy x=0 wskazującą ujemny kierunek x. F4 jest siłą u podstawy wskazującą w dół. Rysunek b przedstawia stronę widoku pętli, tak że oglądamy płaszczyznę y z i widzimy tylko pochyloną stronę, która tworzy kąt theta z linią pionową szczytu. Prąd przypływa do nas ze szczytu pętli i podąża ku środkowi strony u podstawy. Siła F 2 jest u góry szczytu, siła F 4 jest w dole podstawy. Wektor n z daszkiem wskazuje w górę i w prawo, na kąt theta pola B. Pokazany jest punkt przegubowy O, dla którego obliczamy moment obrotowy w odległości x od szczytu pętli i a-x od podstawy.
Ilustracja 11.16 (a) Prostokątna pętla z prądem w jednorodnym polu magnetycznym znajduje się pod wpływem wypadkowego momentu sił, ale nie wypadkowej sił. (b) Widok z boku.

Żeby wyznaczyć moment sił działających na pętlę z prądem na Ilustracji 11.16, rozważmy najpierw F 1 F 1 i F 3 F 3 . Ponieważ mają one ten sam kierunek, równe wartości i przeciwne zwroty, rzuty sumy ich momentów na dowolną oś wynoszą zero (zobacz: Obrót wokół ustalonej osi). Zatem jeżeli występuje (nieznikający) moment sił działających na pętlę, to musi pochodzić od F 2 F 2 i F 4 F 4 . Obliczmy rzuty momentów sił na oś przechodzącą przez punkt O O na Ilustracji 11.16 (b) i na prostopadłą do płaszczyzny rysunku. Punkt O O znajduje się w odległości x x od boku 2 i w odległości a − x a−x od boku 4 pętli. Ramiona momentów sił F 2 F 2 i F 4 F 4 są długości odpowiednio x ⁢ sin θ x⁢ sin θ i a − x ⁢ sin θ a − x ⁢ sin θ , wypadkowy moment sił działających na pętlę wynosi

M → wyp = ∑ i = 1 4 M → i = M → 1 + M → 2 + M → 3 + M → 4 M → wyp = F 2 ⁢ x ⁢ sin θ ⋅ i ̂ − F 4 ⁢ a − x ⁢ sin θ ⋅ i ̂ M → wyp = − I ⁢ b ⁢ B ⁢ x ⁢ sin θ ⋅ i ̂ − I ⁢ b ⁢ B ⁢ a − x ⁢ sin θ ⋅ i ̂ ⁢ . M → wyp = ∑ i = 1 4 M → i = M → 1 + M → 2 + M → 3 + M → 4 M → wyp = F 2 ⁢ x ⁢ sin θ ⋅ i ̂ − F 4 ⁢ a − x ⁢ sin θ ⋅ i ̂ M → wyp = − I ⁢ b ⁢ B ⁢ x ⁢ sin θ ⋅ i ̂ − I ⁢ b ⁢ B ⁢ a − x ⁢ sin θ ⋅ i ̂ ⁢ . \begin{multiline} \vec{M}_{\text{wyp}} &= \sum_{i=1}^{4} \vec{M}_i = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 + \vec{M}_3 + \vec{M}_4 \\ &= F_2 x \sin \theta \cdot \hat{i} - F_4 (a-x) \sin \theta \cdot \hat{i} \\ &= -IbBx \sin \theta \cdot \hat{i} - IbB(a-x) \sin \theta \cdot \hat{i} \text{.} \end{multiline} M → wyp = ∑ i = 1 4 M → i = M → 1 + M → 2 + M → 3 + M → 4 = F 2 ⁢ x ⁢ sin θ ⋅ i ̂ − F 4 ⁢ a − x ⁢ sin θ ⋅ i ̂ = − I ⁢ b ⁢ B ⁢ x ⁢ sin θ ⋅ i ̂ − I ⁢ b ⁢ B ⁢ a − x ⁢ sin θ ⋅ i ̂ ⁢ .
11.17

Wyrażenie upraszczamy do

M → = − I ⁢ S ⁢ B ⁢ sin θ ⋅ i ̂ ⁢ , M → = − I ⁢ S ⁢ B ⁢ sin θ ⋅ i ̂ ⁢ , \vec{M} = - ISB \sin \theta \cdot \hat{i} \text{,}
11.18

gdzie S = a ⁢ b S= a ⁢ b oznacza pole powierzchni pętli.

Zauważmy, że otrzymany moment sił nie zależy od x x, tym samym nie zależy od położenia punktu O O w płaszczyźnie pętli z prądem. W konsekwencji pętla doznaje działania takich samych momentów sił pochodzących od pola magnetycznego przy obrotach wokół dowolnych osi, leżących w płaszczyźnie pętli i równoległych do osi x x.

Zamkniętą pętlę z prądem często traktuje się jako dipol magnetyczny (ang. magnetic dipole), a wyrażenie I ⁢ S I⁢S określa się jako wartość jego magnetycznego momentu dipolowego (ang. magnetic dipole moment) μ μ. Dokładniej, magnetyczny moment dipolowy jest wektorem zdefiniowanym jako

μ → = I ⁢ S ⁢ n ̂ ⁢ , μ → = I ⁢ S ⁢ n ̂ ⁢ ,
11.19

gdzie n ̂ n ̂ jest wektorem jednostkowym, prostopadłym do płaszczyzny pętli (Ilustracja 11.16). Kierunek i zwrot n ̂ n ̂ określa się przy pomocy RHR-2 – jeżeli zgięte palce prawej dłoni wskazują kierunek przepływu prądu przez pętlę, to kciuk pokazuje kierunek i zwrot n ̂ n ̂ . Jeżeli pętla zawiera N N zwojów przewodnika, to magnetyczny moment dipolowy jest równy odpowiedniej wielokrotności

μ → = N ⁢ I ⁢ S ⁢ n ̂ ⁢ . μ → = N ⁢ I ⁢ S ⁢ n ̂ ⁢ .
11.20

Za pomocą magnetycznego momentu dipolowego moment sił działających na pętlę z prądem w jednorodnym polu magnetycznym może być prosto wyrażony jako iloczyn wektorowy

M → = μ → × B → ⁢ . M → = μ → × B → ⁢ .
11.21

Zależność ta jest zachowana dla dowolnego kształtu płaskiej pętli z prądem.

Przy użyciu analogicznego rachunku, jak wykonany w Pojemność elektryczna dla dipola elektrycznego, energię potencjalną dipola magnetycznego wyznaczymy jako

E p = − μ → ⋅ B → ⁢ . E p = − μ → ⋅ B → ⁢ .
11.22

Przykład 11.7

Siły i momenty sił działających na pętlę przewodzącą prąd

Kołowa pętla o promieniu 2 ⁢ cm 2⁢cm przewodzi prąd o natężeniu 2 ⁢ mA 2⁢mA.
  1. Ile wynosi wartość jej magnetycznego momentu dipolowego?
  2. Jeżeli moment dipolowy jest zorientowany pod kątem 30 ° 30° do kierunku wektora indukcji (jednorodnego) pola magnetycznego o wartości 0,5 ⁢ T 0,5⁢T, to ile wynosi wartość momentu sił w takim przypadku i jaka jest jego energia potencjalna?

Strategia rozwiązania

Moment dipolowy zdefiniowano za pomocą iloczynu natężenia prądu i pola powierzchni pętli. Pole powierzchni pętli może być obliczone jako pole koła. Moment sił działających na pętlę i energię potencjalną można obliczyć po wyznaczeniu momentu magnetycznego, indukcji pola magnetycznego i kąta orientacji momentu względem pola.

Rozwiązanie

  1. Moment magnetyczny μ μ obliczymy, mnożąc natężenie prądu przez pole powierzchni kołowej pętli π ⁢ r 2 π⁢ r 2
    μ = I ⁢ S = 2 ⋅ 10 − 3 ⁢ A ⋅ π ⋅ 0,02 ⁢ m 2 = 2,5 ⋅ 10 − 6 ⁢ A ⁢ m 2 ⁢ . μ= I ⁢ S = 2 ⋅ 10 − 3 ⁢ A ⋅ π ⋅ 0,02 ⁢ m 2 = 2,5 ⋅ 10 − 6 ⁢ A ⁢ m 2 ⁢ .
  2. Moment sił i energię potencjalną wyznaczymy, identyfikując moment magnetyczny, indukcję pola magnetycznego i kąt pomiędzy ich wektorami. Wykonujemy następujące obliczenia
    M = M → = μ → × B → = μ ⁢ B ⁢ sin θ = 2,5 ⋅ 10 -6 ⁢ A ⁢ m 2 ⋅ 0,5 ⁢ T ⋅ sin 30 ° M = M → = 6,3 ⋅ 10 -7 ⁢ N ⁢ m ⁢ , M = M → = μ → × B → = μ ⁢ B ⁢ sin θ = 2,5 ⋅ 10 -6 ⁢ A ⁢ m 2 ⋅ 0,5 ⁢ T ⋅ sin 30 ° M = M → = 6,3 ⋅ 10 -7 ⁢ N ⁢ m ⁢ , \begin{multiline} M &= \abs{\vec{M}} = \abs{\vec{\mu} \times \vec{B}} = \mu B \sin \theta = \SI{2,5e-6}{\ampere\metre\squared} \cdot \SI{0,5}{\tesla} \cdot \sin \ang{30} \\ &= \SI{6,3e-7}{\newton\metre} \text{,} \end{multiline} M = M → = μ → × B → = μ ⁢ B ⁢ sin θ = 2,5 ⋅ 10 -6 ⁢ A ⁢ m 2 ⋅ 0,5 ⁢ T ⋅ sin 30 ° = 6,3 ⋅ 10 -7 ⁢ N ⁢ m ⁢ ,
    E p = − μ → ⋅ B → = − μ ⁢ B ⁢ cos θ = − 2,5 ⋅ 10 -6 ⁢ A ⁢ m 2 ⋅ 0,5 ⁢ T ⋅ cos 30 ° = − 1,1 ⋅ 10 -6 ⁢ J ⁢ . E p = − μ → ⋅ B → = − μ ⁢ B ⁢ cos θ = − 2,5 ⋅ 10 -6 ⁢ A ⁢ m 2 ⋅ 0,5 ⁢ T ⋅ cos 30 ° = − 1,1 ⋅ 10 -6 ⁢ J ⁢ . E_{\text{p}} = - \vec{\mu} \cdot \vec{B} = - \mu B \cos \theta = -\SI{2,5e-6}{\ampere\metre\squared} \cdot \SI{0,5}{\tesla} \cdot \cos \ang{30} = -\SI{1,1e-6}{\joule} \text{.}

Znaczenie

Zagadnienie momentu magnetycznego na poziomie atomowym omówimy w następnym rozdziale. Reorientacja momentu magnetycznego za pomocą pola magnetycznego stanowi podstawę działania urządzeń takich jak silniki magnetyczne. W rezultacie przełączanie zewnętrznego pola magnetycznego powoduje stały ruch obrotowy pętli, która dąży do ustawienia się w stosunku do pola tak, aby minimalizować energię potencjalną.

Sprawdź, czy rozumiesz 11.4

Jak powinien być zorientowany względem pola magnetycznego moment dipolowy, aby

  1. wytworzyć maksymalny moment sił w danym polu magnetycznym;
  2. nadać dipolowi maksymalną energię?
PoprzedniaNastępna
Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.