William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

określać kierunek i zwrot siły magnetycznej wywieranej na przewodnik z prądem w zewnętrznym polu magnetycznym;
wyznaczać siłę działającą na przewodnik z prądem w zewnętrznym polu magnetycznym.

Ładunki poruszające się w polu magnetycznym doświadczają działania siły magnetycznej (tzw. siła Lorentza). Jeżeli poruszają się one w przewodniku z prądem, tzn. jeżeli drut przewodzi prąd, to także drut doświadcza działania siły. Płynący w przewodniku prąd elektryczny wytwarza pole magnetyczne. Z drugiej strony jednak ładunki poruszające się w polu magnetycznym doznają działania siły magnetycznej. w tym podrozdziale zbadamy te zagadnienia dokładniej.

Pola magnetyczne wytwarzane przez prądy elektryczne

Omawiając historyczne odkrycia w magnetyzmie, wspomnieliśmy obserwację Oersteda mówiącą o tym, że drut przewodzący prąd elektryczny powodował odchylanie igły kompasu znajdującego się w jego pobliżu. Na tej podstawie ustalono zależność: prąd elektryczny wytwarza pole magnetyczne. (Związek pomiędzy elektrycznością i magnetyzmem omawiamy dokładnie w Źródła pola magnetycznego).

Igła kompasu w pobliżu przewodnika z prądem doświadcza działania siły magnetycznej, która ustawia ją stycznie do okręgu otaczającego przewodnik. Tym samym można wywnioskować, iż przewodnik z prądem wytwarza kołowe pętle pola magnetycznego. Do wyznaczenia kierunku i zwrotu pola magnetycznego wytwarzanego wokół przewodnika zastosujemy regułę prawej dłoni 2 (ang. right-hand rule-2, RHR-2). Zgodnie z RHR-2, gdy kciuk ustawiony jest w kierunku przepływu prądu, pozostałe palce okrążające przewodnik wskazują zwrot wytworzonej indukcji magnetycznej – Ilustracja 11.11 (a). Złożony schemat okręgów magnetycznych przedstawiony jest na Ilustracji 11.11 (b), gdzie spadek wartości indukcji pola przy oddalaniu się od drutu przedstawiono za pomocą wzrastających odległości pomiędzy kolejnymi pętlami.

Rysunek a pokazuje regułę prawej dłoni zastosowaną do przewodu przenoszącego prąd ku górze. Prawa ręka ustawiona jest tak, że kciuk wskazuje kierunek prądu. Palce zwijają się wokół przewodu. Pole magnetyczne jest poza stroną z lewej i wewnątrz strony z prawej. Rysunek b pokazuje linie sił pola magnetycznego skierowane na zewnątrz w prawo. Linie pola wychodzą z koncentrycznych kręgów w tym samym kierunku co palce prawej ręki na rysunku a. Odstęp między kręgami zwiększa się wraz z odległością od przewodu z prądem.

Ilustracja 11.11 (a) Gdy przewodnik z prądem leży w płaszczyźnie kartki, pole jest prostopadłe do niej. Zastosowane symbole wskazują zwrot wektora indukcji do wewnątrz (jako strzałkę widzianą od tyłu) oraz na zewnątrz (jako strzałkę widzianą od przodu). (b) Długi prostoliniowy przewodnik z prądem wytwarza pole magnetyczne z liniami tworzącymi kołowe pętle.

Obliczanie siły magnetycznej

Prąd elektryczny jest uporządkowanym przepływem ładunków elektrycznych. Przewodnik z prądem w polu magnetycznym musi więc doświadczać działania siły pochodzącej od tego pola. Żeby zbadać tę siłę, rozważmy nieskończenie mały fragment przewodnika, przedstawiony na Ilustracji 11.12. Długość i pole powierzchni przekroju poprzecznego tego fragmentu wynoszą odpowiednio $d l$ i $S$ , więc jego objętość to $V = S \cdot d l$ . Przewodnik wykonano z materiału, który zawiera $n$ nośników ładunku na jednostkę objętości, zatem liczba nośników w rozważanym fragmencie wynosi $n S \cdot d l$ . Jeżeli nośniki ładunku poruszają się z prędkością unoszenia ${\vec{v}}_{d}$ , to natężenie prądu $I$ w przewodniku wynosi (patrz rozdział Prąd i rezystancja)

I = n e S v_{d} .

Siła magnetyczna działająca na pojedynczy nośnik ładunku to $e {\vec{v}}_{d} \times \vec{B}$ , więc suma sił magnetycznych $d \vec{F}$ działających na $n S \cdot d l$ nośników ładunku w danym fragmencie przewodnika wynosi

d \vec{F} = n S \cdot d l \cdot e {\vec{v}}_{d} \times \vec{B} .

11.9

Możemy zdefiniować $\d \vec{l}$ jako wektor o długości $d l$ , skierowany i zwrócony podobnie jak ${\vec{v}}_{d}$ , co pozwala zapisać powyższe wyrażenie jako

\d \vec{F} = neSv_{\text{d}} \d \vec{l} \times \vec{B}

11.10

lub

\d \vec{F} = I \d \vec{l} \times \vec{B} \text{.}

11.11

Jest to siła magnetyczna działająca na dany fragment przewodnika. Zauważmy, że naprawdę jest to wypadkowa sił działających na same nośniki ładunku. Kierunek tej siły wyznacza RHR-1, zgodnie z którą zgięte palce prawej dłoni ustawiamy tak, by wskazywały kierunek przepływu prądu, a zatem również kierunek pola magnetycznego. Wtedy kciuk wskazuje kierunek i zwrot siły.

Ilustracja zakrzywionego przewodu umieszczonego w jednorodnym polu magnetycznym. Pokazany jest w powiększeniu fragment małego prostego odcinka przewodu o długości d i z prądem l wewnątrz. Prędkość v ze znakiem d jest prędkością prądu. Pole B tworzy kąt theta z wektorem prędkości.

Ilustracja 11.12 Infinitezymalnie krótki odcinek przewodnika z prądem w polu magnetycznym.

Aby określić siłę magnetyczną $\vec{F}$ działającą na przewodnik o dowolnej długości i kształcie, musimy wykonać całkowanie Równania 11.11 po całym konturze przewodnika, co w przypadku prostoliniowego przewodnika sprowadza się do prostej relacji

\vec{F} = I \vec{l} \times \vec{B} .

11.12

Jest to siła działająca na prostoliniowy przewodnik z prądem w jednorodnym polu magnetycznym.

Przykład 11.4

Równoważenie się sił grawitacji i magnetycznej działających na przewodzący prąd drut

Drut o długości

50 cm

i masie

10 g

zawieszono w pozycji poziomej za pomocą pary elastycznych przewodów (Ilustracja 11.13). Następnie poddano go oddziaływaniu stałego pola magnetycznego o indukcji

0,5 T

, skierowanego i zwróconego jak na rysunku. Jaką wartość i kierunek musi mieć prąd płynący w drucie, aby usunąć naprężenie w podtrzymujących go przewodach?

Rysunek a: ilustracja przewodu zawieszonego w jednorodnym polu magnetycznym. Pole skierowane jest do środka strony. Przewód zawieszony jest poziomo i ma 50 cm długości. Zmienne źródło napięcia zamyka obwód składający się z drutu i przewodów uzywanych do zawieszania. Rysunek b: swobodny schemat przewodu. Prąd płynie na prawo. Ciężar, mg, wskazuje w dół. Napięcie na każdym końcu wskazuje do góry. Siła magnetyczna skierowana ku górze.

Ilustracja 11.13 (a) Przewodnik zawieszony w polu magnetycznym. (b) Schemat przewodnika jako bryły sztywnej, na którym

\vec{F}

oznacza siłę magnetyczną, działającą na przewodnik natomiast

\vec{T}

– naprężenia drutu.

Strategia rozwiązania

Zgodnie ze schematem bryły sztywnej z rysunku, naprężenia w podtrzymujących przewodach dążą do zera, gdy siły grawitacyjna i magnetyczna równoważą się wzajemnie. Stosując RHR-1, znajdujemy kierunek i zwrot siły magnetycznej – pionowo w górę. Możemy wyznaczyć natężenie prądu

I

, przyrównując obie siły.

Rozwiązanie

Porównajmy siłę ciężkości (ciężar) i siłę magnetyczną działające na przewodnik z prądem

m g = I l B .

Zatem

I = \frac{m g}{l B} = \frac{0,01 kg \cdot 9,8 m ∕ s^{2}}{0,5 m \cdot 0,5 T} = 0,39 A .

Znaczenie

Silne pole magnetyczne wytwarza znaczną siłę na odcinku przewodnika z prądem, przeciwdziała ona jego ciężarowi.

Przykład 11.5

Obliczanie siły magnetycznej działającej na przewodzący prąd drut

Prostoliniowy przewodnik z prądem, ułożony wzdłuż osi

y

, przewodzi prąd

5 A

płynący w kierunku dodatnim osi

y

.

Jeżeli stałe pole magnetyczne o indukcji $0,3 T$ ustawione jest w kierunku dodatnim osi $x$ , to jaką wartość ma siła magnetyczna na jednostkę długości przewodnika?
Jeżeli stałe pole magnetyczne o indukcji $0,3 T$ jest odchylone pod kątem $30 °$ od kierunku dodatniego osi $x$ w kierunku dodatnim osi $y$ , to jaka siła magnetyczna działa na jednostkę długości przewodnika?

Strategia rozwiązania

Siła magnetyczna działa na przewodnik w polu magnetycznym, danym przez

\vec{F} = I \vec{l} \times \vec{B}

.

Ponieważ prąd i pole magnetyczne są wzajemnie prostopadłe, możemy uprościć wyrażenie na wartość siły oraz wyznaczyć kierunek i zwrot siły dzięki RHR-1. Kąt $θ$ wynosi $90 °$ , co oznacza, że $sin θ = 1$ . Poza tym możemy podzielić wyrażenie obustronnie przez długość, przenosząc ją w ten sposób na lewą stronę równania, aby otrzymać siłę na jednostkę długości.
Iloczyn natężenia prądu i wektora długości zapisano przy użyciu wektorów jednostkowych, podobnie jak wektor indukcji magnetycznej. Po obliczeniu iloczynu wektorowego kierunek i zwrot są jednoznacznie określone przez wynikowy wektor jednostkowy.

Rozwiązanie

Wychodzimy z ogólnego wzoru na siłę magnetyczną działającą na przewodnik. Chcemy obliczyć siłę przypadającą na jednostkę długości, dlatego dzielimy wyrażenie obustronnie przez długość, przenosząc ją na lewą stronę równania. Wykorzystujemy zależność $sin θ = 1$ . Wtedy rozwiązaniem jest
$F = IlB\sin \theta \implies \frac{F}{l} = \SI{5}{\ampere} \cdot \SI{0,3}{\tesla} = \SI{1,5}{\newton\per\metre} \text{.}$
Kierunek i zwrot: ustawiamy palce w kierunku dodatnim osi $y$ i obracamy je na kierunek dodatni osi $x$ . Kciuk wskaże kierunek i zwrot $(-\hat{k})$ . Tym samym przy określonych kierunku i zwrocie rozwiązaniem jest
$\frac{\vec{F}}{l} = - 1,5 N ∕ m \cdot \vec{k} .$
Iloczyn natężenia prądu i wektora długości oraz wektor indukcji magnetycznej wyrażone są za pomocą wektorów jednostkowych. W takiej sytuacji obliczamy iloczyn wektorowy, aby obliczyć siłę
$\vec{F} = I \vec{l} \times \vec{B} = Il\hat{j} \times \vec{B} \implies \frac{\vec{F}}{l} = I\hat{j} \times \vec{B} \text{,}$
$\frac{\vec{F}}{l} = \SI{5}{\ampere} \cdot \hat{j} \times (\SI{0,3}{\tesla} \cdot \cos \ang{30} \cdot \hat{i} + \SI{0,3}{\tesla} \cdot \sin \ang{30} \cdot \hat{j}) = -\SI{1,3}{\newton\per\metre} \cdot \hat{k} \text{.}$

Znaczenie

Pole magnetyczne o tak dużej indukcji wytwarza znaczącą siłę działającą na małej długości przewodnika. Im mniejszy jest kąt pomiędzy polem magnetycznym a kierunkiem prądu w drucie, tym mniejsza siła działająca na przewodnik, co widać z porównania rozwiązań części (a) i części (b).

Sprawdź, czy rozumiesz 11.3

Prosty, giętki przewodnik miedziany umieszczony jest w polu magnetycznym zwróconym do płaszczyzny rysunku.

Jeżeli prąd w przewodniku płynie w górę osi $x$ , to w jaki sposób wygina się drut?
W jaki sposób wygnie się przewodnik, jeżeli prąd popłynie w dół osi $x$ ?

Przykład 11.6

Siła działająca na kołową pętlę przewodnika z prądem

Kołowa pętla z prądem, o promieniu

R

, przewodząca prąd

I

ustawiona jest w płaszczyźnie

x⁣ y

. Stałe, jednorodne pole magnetyczne przechodzi przez pętlę równolegle do osi

y

(Ilustracja 11.14). Wyznaczmy siłę magnetyczną działającą na górną połowę pętli, na dolną połowę pętli oraz wypadkową sił działających na pętlę.

W płaszczyźnie strony znajduje się pętla o promieniu R. Prąd l płynie w pętli zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara a jednorodne pole magnetyczne skierowane jest w górę strony.

Ilustracja 11.14 Pętla przewodnika z prądem w polu magnetycznym.

Strategia rozwiązania

Siłę magnetyczną działającą na górną połowę pętli należy zapisać za pomocą różniczek sił działających na każdy wycinek pętli. Całkując wszystkie przyrosty różniczkowe, wyznaczymy całkowitą siłę działającą na górną część pętli. Siłę działającą na dolną połowę pętli wyznacza się w podobny sposób, a wypadkowa sił jest sumą tych dwóch sił.

Rozwiązanie

Różniczką siły działającej na dowolny wycinek przewodnika wybrany z górnej części pierścienia jest

d F = I B sin θ d l,

gdzie $θ$ jest kątem pomiędzy kierunkiem pola magnetycznego ( $+ y$ ) a wycinkiem przewodnika. Krzywizna każdego z różniczkowych wycinków ma ten sam promień, więc po zastosowaniu wzoru na długość łuku otrzymamy

\begin{matrix} d l = R d θ, \\ d F = I B R sin θ d θ . \end{matrix}

W celu wyznaczenia siły działającej na część pętli całkujemy po kątach z górnej połowy okręgu, w granicach od $0$ do $π$ . To daje

F = I B R \int_{0}^{π} sin θ d θ = I B R (- cos π + cos 0) = 2 I B R .

Po kątach z dolnej połowy okręgu całkujemy w granicach od $π$ do $0$ , co daje

F = I B R \int_{π}^{0} sin θ d θ = I B R (- cos 0 + cos π) = - 2 I B R .

Wypadkowa sił jest sumą obu tych wielkości i wynosi zero.

Znaczenie

Wypadkowa sił działających na dowolną zamkniętą pętlę w jednorodnym polu magnetycznym wynosi zero. Nawet jeśli na każdy wycinek pętli działa siła, to wypadkowa tych sił dla całego układu wynosi zero (zauważmy, że występuje wypadkowy moment sił działających na pętlę, który omówimy w następnym podrozdziale).

11.4 Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem

Pola magnetyczne wytwarzane przez prądy elektryczne

Obliczanie siły magnetycznej

Równoważenie się sił grawitacji i magnetycznej działających na przewodzący prąd drut

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Obliczanie siły magnetycznej działającej na przewodzący prąd drut

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Siła działająca na kołową pętlę przewodnika z prądem

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie