William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

9.5 Zderzenia w wielu wymiarach

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyrażać pęd na płaszczyźnie;
zapisywać zasadę zachowania pędu z uwzględnieniem składowych pędu;
obliczać pęd jako wektor na płaszczyźnie.

Zderzenia ciał w dwóch wymiarach występują w przyrodzie znacznie częściej niż jednowymiarowe. W zderzeniach na płaszczyźnie kąty między prędkościami początkowymi ciał nie wynoszą $0^{\circ}$ lub $180^{\circ}$ i możliwa jest każda konfiguracja wektorów. Jeżeli natomiast zderzają się więcej niż dwa ciała lub wskutek eksplozji powstają więcej niż dwa fragmenty – sytuacja może wymagać opisu w trzech wymiarach, czyli w przestrzeni. Przyjrzyjmy się, jakie komplikacje to rodzi (dla uproszczenia na początek wystarczy nam zderzenie na płaszczyźnie).

Po pierwsze, należy zawsze pamiętać, że pęd jest wektorem. Jak wszystkie wektory, można go przedstawić przy pomocy składowych wzajemnie do siebie prostopadłych. Najczęściej są to składowe kartezjańskie $x$ , $y$ i $z$ (oznaczone odpowiednio wersorami osi: $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ ). Stosując później zasadę zachowania pędu, będziemy rozpisywać równania dla poszczególnych składowych.

Druga, niezwykle istotna informacja dotyczy relacji siły i pędu, wyrażającej się w II zasadzie dynamiki:

\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{d t},

gdzie siła również jest wektorem o trzech składowych, zatem:

F_{x} = \frac{d p_{x}}{d t}, F_{y} = \frac{d p_{y}}{d t}, F_{z} = \frac{d p_{z}}{d t} .

Wiemy, że druga zasada dynamiki jest słuszna dla każdego kierunku ruchu, niezależnie od pozostałych składowych. Skoro tak, to na mocy III zasady Newtona, również zasada zachowania pędu będzie słuszna niezależnie od kierunku.

Powyższe informacje pozwalają na analizę każdego problemu wielowymiarowego za pomocą równań rozpisanych dla dwóch (w przypadku opisu w 2D) lub trzech (przy opisie w 3D) składowych wektorów siły, pędu czy prędkości, a także wyrażenie pędu całkowitego jako sumy pędów elementów układu:

\begin{align} p_{x\sep \text{ suma po}} &= p_{x1 \text{ przed}} + p_{x2 \sep \text{ przed}} \text{,} \\ p_{y\sep \text{ suma po}} &= p_{y1 \text{ przed}} + p_{y2 \sep \text{ przed}} \text{.} \end{align}

9.24

Procedurę tę obrazuje Ilustracja 9.22.

Rysunek podzielony na 3 części. Pierwsza (a) zatytułowana: „rozłóż wektory pędów na składowe x i y” pokazuje wektor „p1przed” jako strzałkę narysowaną linią ciągłą skierowaną w prawo-w dół. Składową wektora „p1y przed” narysowano linią przerywaną z początku wektora p1 pionowo w dół, a składową „p1x przed” poprowadzono z końca wektora „p1y przed” poziomo w prawo do zakończenia wektora „p1przed”. Wektor „p2przed” narysowano linią ciągłą zaczynając ze strzałki wektora „p1przed” i jest on krótszy niż wektor „p1przed”. Wektor „p2przed” skierowany jest ukośnie w prawo i w górę. Jego składowe narysowano liniami przerywanymi: „p2xprzed” poprowadzony jest w prawo z początku wektora „p2przed”, a „p2yprzed” poprowadzono w górę z końca wektora „p2xprzed” do strzałki wektora „p2przed”. Wektor „ppo” rozpoczyna się w początku wektora „p1przed” a kończy w strzałce wektora „p2przed”, skierowany jest on w prawo, nieznacznie w dół. Rysunek (b) zatytułowany: dodaj do siebie liczbowo składowe dla odpowiednich osi, aby otrzymać składowe x i y pędu końcowego pokazuje sumy poszczególnych składowych. Wektor „p1yprzed” skierowany jest pionowo w dół, wektor „p1yprzed” skierowany jest pionowo w górę, jest jednak krótszy. Wektor „pypo” będący ich sumą jest więc krótki i skierowany pionowo w dół. Wektor „p1xprzed” skierowany jest w prawo, wektor „p2xprzed” również, więc wektor „p2ypo” będący ich sumą skierowany jest również w prawo i równy łącznej długości obu wektorów, rozpoczyna się w początku wektora „p1xprzed” a kończy w końcu wektora „p2xprzed”. Rysunek c, zatytułowany: dodaj do siebie wektorowo otrzymane składowe pędu końcowego pokazuje trójkąt prostokątny utworzony z przyprostokątnych „pxpo” i „pypo” oraz przeciwprostokątnej „ppo”. Styl graficzny i orientacja wektorów są takie same jak na rysunkach a i b. — Ilustracja 9.22 (a) W analizie zagadnienia dwuwymiarowego rozkładamy wektory pędów przed zderzeniem na składowe $x$ i $y$ . (b) Dodajemy do siebie wszystkie składowe pędów dla danego kierunku osi i otrzymujemy składową $p_{x po}$ i $p_{y po}$ odpowiednio pokazane czerwoną linią przerywaną. (c) Dodajemy do siebie składowe $p_{x po}$ i $p_{y po}$ i otrzymujemy wektor pędu po zderzeniu ${\vec{p}}_{po}$ .

Z równań dla każdej składowej niezależnie wyprowadzamy składową poszukiwanej prędkości:

\begin{matrix} v_{x po} & = & \frac{m_{1} v_{1x przed} + m_{2} v_{2x przed}}{m}, \\ v_{y po} & = & \frac{m_{1} v_{1y przed} + m_{2} v_{2y przed}}{m}, \end{matrix}

gdzie $m$ jest całkowitą masą układu. Długość wektora prędkości $v_{po}$ obliczymy z pomocą twierdzenia Pitagorasa:

v_{po} = | {\vec{v}}_{po} | = \sqrt{v_{x po}^{2} + v_{y po}^{2}} .

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: zasada zachowania pędu w dwóch wymiarach

Metoda postępowania w przypadku zagadnień dwu- lub trójwymiarowych z wykorzystaniem zasady zachowania pędu jest w gruncie rzeczy jednakowa, jak w przypadku problemu jednowymiarowego. Różnica polega na tym, że należy ułożyć i rozwiązać równanie dla każdej składowej:

Zidentyfikuj układ zamknięty.
Zapisz równania reprezentujące zasadę zachowania pędu dla poszczególnych składowych.
Jeżeli masz za zadanie wyznaczyć prędkość lub pęd – pamiętaj o wektorowym (graficznym) dodaniu składowych i wyznaczeniu długości wektora sumarycznego za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

Przykład 9.14

Zderzenie samochodów

Samochód osobowy o masie 1200 kg jadący na wschód z prędkością 60 km/h zderzył się na skrzyżowaniu z ciężarówką o masie 3 ton jadącą na północ z prędkością 40 km/h (Ilustracja 9.23). Oba pojazdy poruszają się dalej razem. Jaka jest ich prędkość po zderzeniu?

Na rysunku pokazano układ współrzędnych x,y. Ciężarówka o masie mc równej 3 tony porusza się w kierunku północnym. Samochód osobowy o masie ms = 1200 kg porusza się na wschód z prędkością vs większą od prędkości ciężarówki. Trajektorie obu pojazdów przecinają się w środku układu współrzędnych. — Ilustracja 9.23 Sytuacja tuż przed zderzeniem się ciężarówki jadącej na północ z samochodem osobowym jadącym na wschód. Sumaryczny pęd posiadać będzie składowe zarówno wzdłuż osi $x$ , jak i $y$ .

Strategia rozwiązania

Przede wszystkim należy wyodrębnić układ zamknięty. Naturalnym wyborem jest układ „ciężarówka plus samochód”: nie jest to jednak układ zamknięty ze względu na obecność siły tarcia między drogą a zdeformowanymi pojazdami po zderzeniu. Problem ten przestanie istnieć, jeśli zawęzimy zagadnienie do wyznaczenia prędkości masy pojazdów w chwili tuż po zderzeniu. Przy takim zastrzeżeniu układ będzie zamknięty, a zasada zachowania pędu spełniona.

Ponieważ rozważamy ruch na płaszczyźnie, analizujemy pęd w ujęciu składowych $x$ , $y$ i względem tychże osi zapisujemy zasadę zachowania pędu.

Rozwiązanie

Przed zderzeniem całkowity pęd układu wynosi:

\vec{p} = m_{s} {\vec{v}}_{s} + m_{c} {\vec{v}}_{c} .

Po zderzeniu pęd całkowity wynosi:

\vec{p} = (m_{s} + m_{c}) {\vec{v}}_{sc} .

Ponieważ mamy do czynienia z układem zamkniętym, pęd zostaje zachowany:

m_{s} {\vec{v}}_{s} + m_{c} {\vec{v}}_{c} = (m_{s} + m_{c}) {\vec{v}}_{sc} .

Istotne jest wciąż zachowanie zapisu wektorowego, ponieważ zagadnienie nie jest jednowymiarowe, tzn. wektory nie są do siebie równoległe. Należy je dodać wektorowo (Ilustracja 9.24).

Na rysunku pokazano trójkąt prostokątny utworzony z wektorów ps i pc. Wektor pc skierowany jest pionowo w górę, do jego końca doczepiono wektor ps skierowany poziomo w prawo. Linia przerywana tworzy przeciwprostokątną i zarazem wektor sumy, czyli całkowitego pędu. Zaczyna się on w początku wektora pc a kończy w końcu wektora ps. Kąt między kierunkiem wektora pc i wektora wypadkowego oznaczono jako teta. — Ilustracja 9.24 Graficzna ilustracja dodawania wektorów pędu. Zwróćmy uwagę, że chociaż prędkość samochodu osobowego jest większa od prędkości ciężarówki, to pęd samochodu jest mniejszy.

Oznaczmy osie układu współrzędnych jako $x$ –skierowaną w prawo i $y$ –skierowaną w górę, zgodnie z prędkościami pojazdów na rysunku. Wówczas pędy pojazdów:

\begin{align} \vec p_{\text{s}} &= m_{\text{s}} \vec v_{\text{s}} = m_{\text{s}} v_{\text{s}} \hat i \text{,} \\ \vec p_{\text{c}} &= m_{\text{c}} \vec v_{\text{c}} = m_{\text{c}} v_{\text{c}} \hat j \text{.} \end{align}

Zasada zachowania pędu wzdłuż osi $x$ ma wówczas postać:

\begin{aligned} m_{s} v_{s} & = (m_{s} + m_{c}) v_{scx}, \\ v_{scx} & = \frac{m_{s}}{m_{s} + m_{c}} v_{s} . \end{aligned}

Wzdłuż osi $y$ :

\begin{aligned} m_{c} v_{c} & = (m_{s} + m_{c}) v_{scy}, \\ v_{scy} & = \frac{m_{c}}{m_{s} + m_{c}} v_{c} . \end{aligned}

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

\begin{multiline} \abs{\vec v_{\text{sc}}} &= \sqrt{ ( \frac{ m_{\text{s}} }{ m_{\text{s}} + m_{\text{c}} } v_{\text{s}} )^2 + (\frac{m_{\text{c}}}{m_{\text{s}} + m_{\text{c}}} v_{\text{c}})^2 } \\ &= \sqrt{(\frac{ \SI{1200}{\kilo\gram} }{ \SI{4200}{\kilo\gram} } \cdot \SI{16,67}{\metre\per\second})^2 + (\frac{\SI{3000}{\kilo\gram}}{\SI{4200}{\kilo\gram}} \cdot \SI{11,1}{\metre\per\second})^2} \\ &= \sqrt{(\SI{4,79}{\metre\per\second})^2 + (\SI{7,93}{\metre\per\second})^2} = \SI{9,25}{\metre\per\second} = \SI{33,3}{\kilo\metre\per\hour} \text{.} \end{multiline}

Kąt wskazany na rysunku wynosi:

θ = arctg \frac{v_{scx}}{v_{scy}} = artg \frac{7,93 m / s}{4,79 m / s} = 59^{\circ} .

Znaczenie

W praktyce, aby określić prędkości pojazdów przed zderzeniem, policjanci lub ekipa dochodzeniowa czynności omówione we wcześniejszym przykładzie wykonują w odwrotnej kolejności: mierzą długość śladów hamowania na drodze (drogę hamowania) i korzystają z twierdzenia o równoważności pracy i energii oraz z zasady zachowania pędu.

Sprawdź, czy rozumiesz 9.9

Załóżmy, że prędkości przed zderzeniem pojazdów nie są do siebie prostopadłe. Jak zmieniłoby to efekt fizyczny i matematyczną analizę zderzenia?

Przykład 9.15

Eksplozja butli nurkowej

Typowa butla nurkowa jest aluminiowym cylindrem o masie własnej ok. 14,4 kg (Ilustracja 9.25). Po napełnieniu jej sprężonym powietrzem ciśnienie wewnątrz butli wynosi 170–200 atm. Załóżmy, że w pewnym momencie taka spoczywająca butla eksploduje, rozrywając się na trzy fragmenty. Pierwszy z nich, o masie ok. 4,5 kg odlatuje w płaszczyźnie poziomej z prędkością 105 m/s, drugi – o masie 3,2 kg również odlatuje w płaszczyźnie poziomej z prędkością 77 m/s, pod kątem

19^{\circ}

do kierunku ruchu pierwszego fragmentu. Jaką masę i prędkość początkową po wybuchu będzie miał trzeci fragment?

Rysunek butli nurkowej przed wybuchem oraz trzech fragmentów różnej wielkości, po wybuchu. — Ilustracja 9.25 Butla nurkowa rozpadająca się w wyniku eksplozji na trzy fragmenty.

Strategia rozwiązania

Aby skorzystać z zasady zachowania pędu, niezbędne jest określenie układu zamkniętego. Jeśli weźmiemy pod uwagę samą butlę bezpośrednio po wybuchu, możemy pominąć wpływ siły grawitacji na butlę i jej fragmenty. Uznajemy zatem, że jest to układ zamknięty o początkowym pędzie równym zeru.

Ponieważ wiemy, że dwa fragmenty poruszają się w płaszczyźnie poziomej, zatem i trzeci fragment będzie poruszał się w tejże płaszczyźnie (w przeciwnym razie jakakolwiek pionowa składowa wektora pędu nie mogłaby zrównoważyć się, a wiemy, że na początku wszystkie składowe wynosiły zero). Zatem, patrząc „z góry” na odlatujące elementy wybieramy początek dwuwymiarowego układu współrzędnych $x y$ w środku butli, zaś oś $x$ w taki sposób, by była skierowana zgodnie z skierowaną zgodnie z prędkością pierwszego fragmentu. Zapisujemy równania wyrażające zasadę zachowania pędu dla obu składowych, aby otrzymać składowe nieznanego pędu trzeciego fragmentu, z których (przy zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa) obliczymy jego wartość. Następnie, dzieląc wynik przez masę trzeciego fragmentu, otrzymamy prędkość tegoż fragmentu.

Rozwiązanie

Zacznijmy od wyliczenia masy trzeciego fragmentu butli:

\begin{align} m_3 &= m_{\text{b}} - (m_1 + m_2) \text{,} \\ m_3 &= \SI{14,4}{\kilo\gram} - (\SI{4,5}{\kilo\gram} + \SI{3,2}{\kilo\gram}) = \SI{6,7}{\kilo\gram} \text{.} \end{align}

Zapiszemy teraz zasadę zachowania pędu dla składowych $x$ i $y$ :

Trzy fragmenty butli nurkowej pokazane w układzie współrzędnych xy. Fragment o średniej masie porusza się wzdłuż osi x i posiada pęd p1. Najmniejszy fragment posiada pęd p2 i porusza się po prostej o kącie nachylenia teta względem dodatniej półosi x. Największy fragment o pędzie p3 porusza się w lewo, nieznacznie w dół, pod kątem fi względem ujemnej półosi x.

Kierunek osi $x$ :

\begin{aligned} p_{x po} & = p_{x przed}, \\ p_{1 x} + p_{2 x} + p_{3 x} & = 0, \\ m_{1} v_{1 x} + m_{2} v_{2 x} + p_{3 x} & = 0, \\ p_{3 x} & = - m_{1} v_{1 x} - m_{2} v_{2 x} . \end{aligned}

Kierunek osi $y$ :

\begin{aligned} p_{y po} & = p_{y przed}, \\ p_{1 y} + p_{2 y} + p_{3 y} & = 0, \\ m_{1} v_{1 y} + m_{2} v_{2 y} + p_{3 y} & = 0, \\ p_{3 y} & = - m_{1} v_{1 y} - m_{2} v_{2 y} . \end{aligned}

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta $θ$ obliczamy składową $x$ :

p_{3 x} = - m_{1} v_{1} - m_{2} v_{2} \cos θ = - 4,5 k g \cdot 105 m / s - 3,2 k g \cdot 77 m / s \cdot \cos 19^{\circ} = - 705 k g \cdot m / s .

Następnie wyznaczamy składową $y$ :

p_{3 y} = 0 - m_{2} v_{2} \sin θ = - 3,2 k g \cdot 77 m / s \cdot \sin 19^{\circ} = - 80 k g \cdot m / s .

Z obu składowych wyznaczamy wartość pędu:

| {\vec{p}}_{3} | = \sqrt{p_{3 x}^{2} + p_{3 y}^{2}} = \sqrt{{(- 705 k g \cdot m / s)}^{2} + {(- 80 k g \cdot m / s)}^{2}} = 710 k g \cdot m / s .

Prędkość trzeciego fragmentu butli wynosi więc:

v_{3} = \frac{p_{3}}{m_{3}} = \frac{710 k g \cdot m / s}{6,7 k g} = 106 m / s .

Kierunek tej prędkości jest taki, jak kierunek wektora pędu:

ϕ = arctg \frac{p_{3 y}}{p_{3 x}} = arctg (\frac{- 80 k g \cdot m / s}{- 705 k g \cdot m / s}) = {6,5}^{\circ} .

Ponieważ kąt $ϕ$ mierzony jest od ujemnej półosi $x$ jego właściwa wartość to ${186,5}^{\circ}$ względem kierunku $+ x$ .

Znaczenie

Ogromne wartości prędkości są typowe i odzwierciedlają siłę wybuchu sprężonego gazu. Rozpędzone fragmenty mogą z łatwością przebić ścianę, spowodować poważne obrażenia, a nawet śmierć. Na szczęście statystyki pokazują, że tego typu zdarzenia występują niezwykle rzadko.

Sprawdź, czy rozumiesz 9.10

Zauważ, że masa samego powietrza sprężonego w butli została w powyższej analizie pominięta. Jak zmieniłaby się metoda rozwiązania zadania, gdyby uwzględnić masę powietrza? Jak bardzo wpłynęłoby to na wynik liczbowy?