9.4 Rodzaje zderzeń

Powstawanie deuteronu

Proton o masie $\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\mathrm{k}\mathrm{g}$ zderza się z neutronem o masie nieznacznie większej (tu z przyczyn praktycznych przyjmijmy, że takiej samej) i po ich złączeniu powstaje cząstka zwana deuteronem. Jaka jest prędkość deuteronu, jeżeli prędkość protonu wynosiła $7\cdot {10}^6\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$ i skierowana była w prawo, a prędkość neutronu, równa $4\cdot {10}^6\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$ – w lewo?

Strategia rozwiązania

Niech nasz układ tworzą obie cząstki: proton i neutron. Mamy do czynienia ze zderzeniem, spróbujmy określić, jakiego rodzaju. W efekcie oddziaływania z dwóch cząstek powstaje jedna, więc będzie to zderzenie niesprężyste. W tej sytuacji zachowany zostaje pęd, ale energia kinetyczna – nie. Użyjemy więc zasady zachowania pędu do wyznaczenia prędkości produktu tegoż zderzenia, natomiast zasadę zachowania energii możemy wykorzystać do obliczenia zmiany (straty) energii kinetycznej i stwierdzenia, ile dżuli energii przeszło w formę niemechaniczną – energię potrzebną do związania się protonu z neutronem, tzw. energię fuzji.

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że masy cząstek są jednakowe i wynoszą $M$. Indeksami p, n oraz d oznaczymy odpowiednio prędkości: protonu, neutronu i deuteronu. Zagadnienie jest jednowymiarowe, możemy więc w zapisie zasady zachowania pędu zrezygnować z oznaczeń wersorów, uwzględniając przeciwny zwrot wektora prędkości neutronu:

Po podzieleniu przez $M$ i podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:

Znaczenie

Opisana reakcja nosi nazwę reakcji fuzji (ang. fusion) i właśnie z myślą o takich zderzeniach uruchomiono Wielki Zderzacz Hadronów (LHC) w ośrodku badań reakcji jądrowych CERN pod Genewą. Przyspiesza on cząstki do bardzo dużych prędkości (i dużych pędów) w dwóch przeciwbieżnych strumieniach. W takim „czołowym” zderzeniu wiązek mają szansę narodzić się, w drodze fuzji, nowe cząstki wtórne (ang. daughter particles).

Krążki hokejowe na lodzie

Poniższy przykład jest modyfikacją zadania z poprzedniego rozdziału. Dwa krążki hokejowe, tym razem o różnych masach (czerwony o masie 15 g, niebieski o masie 12 g), położono na płaskim, gładkim lodzie. Czerwony krążek pozostaje w spoczynku, a niebieskiemu nadano prędkość 2,5 m/s skierowaną w lewo (Ilustracja 9.20), tak by uderzył on centralnie w krążek czerwony. Jeżeli zderzenie jest idealnie sprężyste, jakie będą prędkości krążków po zderzeniu?

Strategia rozwiązania

Rozważamy zderzenie dwóch krążków o znanych masach i prędkościach początkowych, gdzie nieznane są prędkości obu krążków po zderzeniu. Zasada zachowania pędu wydaje się tu być dobrą strategią. Układ tworzą tutaj oba krążki. Gładkość lodu zapewnia brak tarcia, a siłę ciężkości równoważy siła reakcji podłoża – układ jest więc układem zamkniętym i spełniona jest w nim zasada zachowania pędu. Ponieważ mamy do czynienia ze zderzeniem idealnie sprężystym, energia kinetyczna w tym układzie także będzie zachowana. Otrzymujemy więc dwa równania z dwiema niewiadomymi.

Początkowy pęd układu i jego energia kinetyczna jest początkowym pędem i energią kinetyczną tylko niebieskiego krążka. W zderzeniu sprężystym część pędu i energii zostaje przeniesiona na krążek czerwony.

Rozwiązanie

Zdefiniujmy kierunek osi ${\displaystyle +x}$ jako poziomy w lewo. Zasada zachowania pędu przedstawia się wówczas następująco:

Równanie opisujące łączną energię kinetyczną układu przed i po zderzeniu przyjmuje postać:

Chociaż wiemy, że prędkość początkowa krążka pierwszego jest równa zeru, dla ogólności rozważań zachowajmy jeszcze obecność tego członu w obu równaniach.

W obu równaniach pogrupujmy wyrazy zawierające masę ${\displaystyle m_1}$ po lewej stronie, a z masą ${\displaystyle m_2}$ - po stronie prawej:

Jeżeli równanie drugie podzielimy przez pierwsze, to (po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów) uzyskamy:

Z powyższego równania wyznaczamy jedną z niewiadomych i podstawiamy ją do równania pierwszego, opisującego zasadę zachowania pędu. Ostatecznie nowe prędkości krążków po zderzeniu to:

Podstawiając nasze dane, otrzymamy:

Znaczenie

Pamiętajmy, że oś ${\displaystyle x}$ układu współrzędnych zwrócona jest w lewo, więc prędkość krążka czerwonego $v_1^{{}^{\prime }}$, jako dodatnia – zwrócona jest także w lewo. Krążek niebieski, po odbiciu od cięższego krążka czerwonego – porusza się w prawo, o czym świadczy znak minus przed jego prędkością $v_2^{{}^{\prime }}$.

Thor kontra Iron Man

W wyprodukowanym w roku 2012 filmie science-fiction The Avengers widzimy scenę walki Iron Mana z Thorem. Na początku Thor rzuca w Iron Mana swoim młotem tak, że siła zderzenia wyrzuca Iron Mana w powietrze i ciska o drzewo. W momencie uderzenia Iron Man stoi nieruchomo w odległości ok. 10 metrów od Thora, a czas lotu młota trwa około 1 s. Drzewo znajduje się w odległości ok. 2 m za Iron Manem i do uderzenia o nie dojdzie po ok. 0,75 s. Przyglądając się uważniej tejże scenie, zauważymy, że tor ruchu lecącego młota oraz Iron Mana wraz z młotem jest w przybliżeniu linią poziomą (jest to w rzeczywistości bardzo „spłaszczona” parabola). Przyjmij, że masa Iron Mana wynosi 200 kg.

1. Oszacuj masę młota Thora.
2. Oszacuj stratę energii kinetycznej podczas tego zderzenia.

Strategia rozwiązania

Po uderzeniu młot i Iron Man poruszają się razem – jest to więc zderzenie niesprężyste. Zatem, wybierając odpowiednio układ zamknięty, powinniśmy uzyskać spełnienie zasady zachowania pędu (ale nie energii kinetycznej). Zanim zastosujemy tę zasadę, obliczmy prędkości rzuconego młota i układu „młot plus Iron Man” z danych kinematycznych (droga i czas). Zagadnienie jest jednowymiarowe, więc wygodnie jest operować równaniami w postaci skalarnej.

Rozwiązanie

1. Postulujemy zastosowanie zasady zachowania pędu. Układ „młot plus Iron Man” w rozpatrywanym przedziale czasu, tj. od momentu zderzenia do chwili stratowania drzewa – spełnia wymogi dla układu zamkniętego. Przyjmijmy teraz następujące oznaczenia:
   
   • $M_{\text{m}}$ – masa młota,
   • $M_{\text{I}}$ – masa Iron Mana,
   • $v_{\text{m}}$ – prędkość młota tuż przed uderzeniem w Iron Mana,
   • $v$ – prędkość układu „młot plus Iron Man” tuż po zderzeniu.
   
   Prędkość początkowa Iron Mana wynosi zero. Zapisujemy zasadę zachowania pędu:
   $$M_{\text{m}}{v}_{\text{m}}=\left(M_{\text{m}}+M_{\text{I}}\right)v,$$
   
   a następnie wyznaczamy masę młota:
   $$\begin{array}{rl}{M}_{\text{m}}{v}_{\text{m}}& =M_{\text{m}}v+M_{\text{I}}v,\\ M_{\text{m}}\left(v_{\text{m}}-v\right)& =M_{\text{I}}v,\\ M_{\text{m}}& =\frac{M_{\text{I}}v}{v_{\text{m}}-v}=\frac{200\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \frac{2\mathrm{m}}{\mathrm{0,75}\mathrm{s}}}{10\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}-\frac{2\mathrm{m}}{\mathrm{0,75}\mathrm{s}}}=73\mathrm{k}\mathrm{g}.\end{array}$$
   
   Biorąc pod uwagę znaczną niepewność naszych oszacowań, wynikającą z oceny odległości i pomiaru czasu na podstawie kadru filmowego, bardziej miarodajne będzie podanie wyniku z dokładnością do dziesiątek kg, a więc $M_{\text{m}}=70\mathrm{k}\mathrm{g}$.
2. Energia kinetyczna układu, podobnie jak i pęd, pochodzi w całości z ruchu rozpędzonego młota:
   
   $$E_{K\text{przed}}=\frac{1}{2}{M}_{\text{m}}{v}_{\text{m}}^2=\frac{1}{2}\cdot 70\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\left(10\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}\right)}^2=3500\mathrm{J}.$$
   
   Po zderzeniu:
   $$E_{K\text{po}}=\frac{1}{2}\left(M_{\text{m}}+M_{\text{I}}\right)v^2=\frac{1}{2}\cdot \left(70\mathrm{k}\mathrm{g}+200\mathrm{k}\mathrm{g}\right)\cdot {\left(\mathrm{2,67}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}\right)}^2=960\mathrm{J}.$$
   
   Zatem zmiana energii kinetycznej wynosi $E_{K\text{po}}-E_{K\text{przed}}=960\mathrm{J}-3500\mathrm{J}=2540\mathrm{J}$, co oznacza jej ubytek.

Znaczenie

Z innej sceny filmu wynika, że Thor jest w stanie siłą umysłu kontrolować swój młot i dodatkowo rozpędzić młot w fazie po zderzeniu – w tej sytuacji w układzie „młot plus Iron Man” pojawiłaby się siła zewnętrzna i przestałby to już być układ zamknięty. Mentalne zdolności Thorna nie są oczywiście przedmiotem zainteresowań niniejszego podręcznika.

Analiza zderzenia samochodów

Ciężarówka o masie 3000 kg uderza w stojący na światłach samochód o masie 1200 kg. W efekcie zderzenia ciężarówka zatrzymuje się, a samochód osobowy porusza się do przodu i zatrzymuje po przebyciu 10 metrów. Zmierzony współczynnik tarcia między oponami a nawierzchnią drogi wynosi 0,62. Z jaką prędkością poruszała się ciężarówka przed zderzeniem?

Strategia rozwiązania

Z początku może się wydawać, że zbyt mało wiemy, aby rozwiązać ten problem. Choć znamy prędkość początkową samochodu osobowego, nie znamy prędkości ciężarówki (ją właśnie mamy wyznaczyć), a zatem i pędu układu. Podobnie, znamy prędkość końcową ciężarówki, ale nie znamy prędkości auta osobowego bezpośrednio po zderzeniu. Fakt, że samochód ostatecznie się zatrzymuje jest już efektem zadziałania sił zewnętrznych, czyli tarcia. Reguła pędu i popędu również nie wydaje się pomocna, ponieważ nie znamy czasu trwania zderzenia.

Przyjmijmy wstępnie, że w bardzo krótkim przedziale czasu odpowiadającym samemu zderzeniu, naszym układem zamkniętym będzie układ „ciężarówka plus auto”. Traktujemy wówczas zatrzymanie się ciężarówki jako błyskawiczne i prowadzące do natychmiastowego przekazania pędu samochodowi. Dopiero potem rozpocznie się ruch postępowy jednostajnie opóźniony samochodu (jest bardzo prawdopodobne, że przerażony kierowca uderzonego auta naciskał pedał hamulca aż do chwili zatrzymania, zatem samochód wytracił swoją prędkość za sprawą siły tarcia). Prędkość początkową tej fazy ruchu można wyznaczyć z zależności kinematycznych albo z twierdzenia o równoważności pracy i energii. Tu zastosujemy tę drugą metodę.

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia:

• $M_{\text{s}}$ i $M_{\text{c}}$ – odpowiednio masa samochodu i ciężarówki,
• $v_{\text{c0}}$ i $v_{\text{c1}}$ – prędkość ciężarówki: początkowa (przed zderzeniem) i końcowa (po zderzeniu),
• $v_{\text{s0}}$ i $v_{\text{s1}}$ – prędkość samochodu: początkowa (przed zderzeniem) i końcowa (bezpośrednio po zderzeniu),
• $E_{\text{K1}}$ i $E_{\text{K2}}$ – energia kinetyczna samochodu bezpośrednio po zderzeniu i na końcu ruchu (po zatrzymaniu $E_{\text{K2}}=0$),
• $L$ – droga, jaką pokonał samochód zanim się zatrzymał.

Zasadę zachowania pędu dla układu „ciężarówka plus auto” zapisujemy jako:

Ponieważ $v_{\text{s0}}=0$ i $v_{\text{c1}}=0$, otrzymujemy prędkość początkową ciężarówki równą:

Aby wyznaczyć prędkość auta po zderzeniu, zastosujmy twierdzenie o równoważności pracy i energii, zgodnie z którym:

Z drugiej strony, praca siły tarcia wykonana na odcinku $L$:

Kąt $\theta$ jest kątem między wektorem siły tarcia (działającym poziomo, przeciwnie do ruchu) i przemieszczenia (działającym poziomo, zgodnie z kierunkiem ruchu). Wynosi więc on ${180}^{\circ }$, zatem $\cos {180}^{\circ }=-1$.

Siłę tarcia na poziomym torze możemy powiązać z siłą nacisku (tu: równą ciężarowi auta) i współczynnikiem tarcia kinetycznego ${\mu }_{\text{k}}$ zależnością:

Zatem pracę siły tarcia możemy przyrównać do zmiany energii kinetycznej:

Prędkość auta bezpośrednio po zderzeniu wynosi więc:

Teraz możemy już wrócić do zasady zachowania pędu i wyznaczyć prędkość ruchu ciężarówki przed zderzeniem:

Znaczenie

Powyższy przykład pokazuje typową analizę, jakiej dokonują policjanci po przybyciu na miejsce wypadku. Widać więc, że od znajomości pojęć pędu i energii kinetycznej oraz ich prawidłowego zastosowania zależą często prawne i finansowe konsekwencje rzeczywistych wypadków.