William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wiązać różnicę energii potencjalnej z pracą wykonaną nad ciałem w układzie pozbawionym tarcia oraz oporu powietrza;
wyjaśniać znaczenie zerowej energii potencjalnej w danym układzie;
obliczać i stosować energię potencjalną grawitacji ciała znajdującego się w pobliżu powierzchni Ziemi, a także energię potencjalną sprężystości w układzie z masą na sprężynie.

W podrozdziale Praca pokazaliśmy, że praca wykonana przez siłę grawitacji działającą na ciało znajdujące się w pobliżu powierzchni Ziemi nie jest zależna od toru ruchu, a zależy jedynie od różnicy położeń: końcowego i początkowego. Istnienie takiej zależności pozwala nam na wprowadzenie nowego, innego niż kinetyczna rodzaju energii – energii potencjalnej (ang. potential energy). W kolejnych sekcjach tego rozdziału będziemy rozważać różne formy energii potencjalnej.

Energia potencjalna: podstawy

W rozdziale Ruch w dwóch i trzech wymiarach analizowaliśmy ruch ciała w rzucie ukośnym podobny do tego przedstawionego na Ilustracji 8.2, gdzie zawodnik kopie piłkę. W tym przykładzie zignorujemy siły tarcia i opór powietrza. Podczas wznoszenia się piłki praca sił grawitacji ma znak ujemny, ponieważ przesunięcie pionowe piłki jest dodatnie (piłka się unosi), natomiast siła grawitacji jest skierowana w dół. Zauważmy, że piłka spowalnia w trakcie ruchu w górę, aż do momentu osiągnięcia najwyższego punktu swojego lotu. Ta „utracona” energia kinetyczna jest zamieniana na energię potencjalną grawitacji układu piłka-Ziemia.

Gdy piłka opada w kierunku Ziemi, praca ma znak dodatni, ponieważ zarówno siła, jak i przesunięcie są skierowane w dół. Piłka przyspiesza, co przekłada się na wzrost energii kinetycznej. Energia jest zatem zamieniana z energii potencjalnej grawitacji z powrotem na kinetyczną.

Obrazek przedstawia tor lotu piłki oraz jej energię. Punkt pierwszy na obrazku przedstawia jak jeden z zawodników kopie piłkę, wykonując tym samym pracę, którą nadaje piłce maksymalną energię kinetyczną. Energia kinetyczna jest w tym momencie minimalna. W punkcie drugim piłka wznosi się, natomiast jej energia kinetyczna spada, a potencjalna rośnie. Punkt trzeci przedstawia piłkę znajdującą się na maksymalnej wysokości swojego lotu - energia kinetyczna piłki jest minimalna, a potencjalna osiąga maksimum. Gdy piłka obniża swój lot, prezentuje to punkt czwarty, energia kinetyczna rośnie, a potencjalna maleje. W punkcie piątym drugi zawodnik łapie piłkę na tej samej wysokości nad ziemią z jakiej została wykopana. Energia kinetyczna piłki jest maksymalna, a potencjalna minimalna.

Ilustracja 8.2 W trakcie lotu piłki w górę i w dół energia kinetyczna zamienia się w energię potencjalną grawitacji i na odwrót.

W oparciu o ten przykład możemy zdefiniować różnicę energii potencjalnej w punktach $A$ i $B$ jako pracę wykonaną przez pewną siłę wziętą ze znakiem minus:

Δ E_{p A B} = E_{p B} - E_{p A} = - W_{A B} .

8.1

Wzór definiuje różnicę energii potencjalnej (ang. potential energy difference), a nie wartość bezwzględną energii. W związku z tym, aby wyznaczyć energię potencjalną w danym punkcie, powinniśmy porównać ją z wartością energii w punkcie, w którym jest ona znana. Punkt ten nazywamy punktem odniesienia. Oznaczając punkt odniesienia przez ${\vec{r}}_{0}$ możemy powyższy wzór zapisać następująco:

Δ E_{p} = E_{p} (\vec{r}) - E_{p} ({\vec{r}}_{0}) .

8.2

Punkt odniesienia ${\vec{r}}_{0}$ , w którym energia potencjalna ma znaną, standardową wartość, jest dobierany w taki sposób, aby jak najbardziej uprościć rozpatrywane zagadnienie. Należy pamiętać, że niezależnie od tego, w jaki sposób go określono w trakcie rozwiązywania danego problemu fizycznego, należy konsekwentnie trzymać się tego wyboru. Istnieje kilka ogólnie przyjętych sposobów wyboru wartości odniesienia dla energii potencjalnej. Na przykład najniższe położenie w danym układzie jest zazwyczaj uznawane za zero dla energii potencjalnej grawitacji. Innym sposobem określenia zerowej energii jest umieszczenie ciała w punkcie jak najbardziej (nieskończenie) oddalonym, gdzie wartość siły oddziaływania można przyjąć za równą zero. Przy takim wyborze, przyjmując energię równą zero w ${\vec{r}}_{0}$ , zmianę energii potencjalnej można po prostu wyrazić jako energię potencjalną w danym punkcie $Δ E_{p} = E_{p} (\vec{r})$ .

Jeśli nie ma sił tarcia ani oporu powietrza, to zmiana energii kinetycznej piłki jest równa zmianie energii potencjalnej grawitacji. To stwierdzenie można uogólnić na dowolny typ energii potencjalnej:

Δ E_{k A B} = Δ E_{p A B} .

8.3

Przeanalizujmy następujące przykłady, w których przyjęliśmy zero energii potencjalnej grawitacji w różnych punktach.

Przykład 8.1

Podstawowe właściwości energii potencjalnej

Cząstka porusza się wzdłuż osi

x

pod wpływem siły przyciągającej określonej równaniem

F = − a x^{2}

, gdzie

a = 3 {N/m}^{2}

. (a) Jaka jest różnica energii potencjalnej przy przemieszczeniu cząstki z

x_{A} = 1 m

do

x_{B} = 2 m

? (b) Oblicz energię potencjalną cząstki w

x = 1 m

, wiedząc, że energia potencjalna w

x = 0 m

wynosi 0,5 J.

Strategia rozwiązania

(a) Różnica energii potencjalnej jest równa wartości wykonanej pracy wziętej ze znakiem minus, tak jak określa to Równanie 8.1. W poprzednim rozdziale praca została zdefiniowana poprzez iloczyn skalarny siły i wektora przemieszczenia. Cząstka porusza się w kierunku dodatnim

x

, zatem iloczyn skalarny sprowadza się się do zwykłego iloczynu wartości wektorów (

\hat{i} \cdot \hat{i} = 1

). Żeby wyznaczyć pracę, musimy obliczyć całkę w określonych granicach. Po scałkowaniu możemy określić pracę oraz energię kinetyczną. (b) Energia potencjalna (w stosunku do znanej energii odniesienia w

x = 0

) to całka nieoznaczona, taka sama jak ta przedstawiona w części (a), ze stałą całkowania określoną poprzez Równanie 8.3. Następnie, poprzez wstawienie wartości

x

do wzoru na energię potencjalną obliczamy jej wartość w

x = 1 m

.

Rozwiązanie

Praca wykonana przez siłę podczas przesunięcia cząstki z położenia $x$ do $x + d x$ w jednym wymiarze wynosi:

$d W = \vec{F} \cdot d \vec{r} = F d x = - a x^{2} d x .$

Podstawiając to wyrażenie do Równania 8.1, otrzymujemy:
$Δ E_{p} = - W = \int_{x_{1}}^{x_{2}} a x^{2} d x = \frac{1}{3} \cdot 3 \frac{N}{m^{2}} \cdot {[x^{3}]}_{1 m}^{2 m} = 7 J .$
Całka nieoznaczona pozwalająca wyznaczyć energię potencjalną z przykładu (a) jest równa:

$E_{p} (x) = \frac{1}{3} a x^{3} + const.,$

zakładamy, że stała całkowania wynosi

$E_{p} (0) = 0, 5 J .$

Stąd energia potencjalna w odniesieniu do zera w punkcie $x = 0$ wyrażona jest jako

$E_{p} (x) = \frac{1}{3} a x^{3} + 0, 5 J .$

Energia potencjalna w $x = 1 m$ wynosi:

$E_{p} (1 m) = \frac{1}{3} \cdot 3 \frac{N}{m^{2}} \cdot (1 m)^{3} + 0, 5 J = 1, 5 J .$

Znaczenie

W tym jednowymiarowym przykładzie każda funkcja, którą możemy scałkować niezależnie od drogi, jest zachowawcza. Zauważ, w jaki sposób zastosowaliśmy definicję różnicy energii potencjalnej w celu wyznaczenia energii potencjalnej w odniesieniu do zera w wybranym punkcie. Przeanalizuj też wartości energii, które można wyznaczyć na podstawie podpunktu (b) (np.

E_{p} (1 m) = 1 J

oraz

E_{p} (2 m) = 8 J

) w odniesieniu do różnicy wyznaczonej na podstawie (a).

Sprawdź, czy rozumiesz 8.1

W Przykładzie 8.1 ile będzie wynosić wartość energii potencjalnej w $x = 1 m$ oraz $x = 2 m$ , jeśli zero energii przyjmiemy w $x = 1,5 m$ ? Wykaż, że różnica energii potencjalnych w tych dwóch punktach ciągle wynosi 7 J.

Układy wielu cząstek

Rozpatrywany układ może zawierać wiele cząstek (lub w ogólności ciał fizycznych). Różnica energii potencjalnej będzie wtedy wyrażona poprzez wziętą z minusem pracę, wykonaną przez siły grawitacyjne lub sprężystości, które, jak to zobaczymy w następnych częściach rozdziału, są siłami zachowawczymi. Różnica energii potencjalnej zależy tylko i wyłącznie od końcowej różnicy położenia cząstek i od pewnych parametrów charakteryzujących oddziaływanie (np. masa w przypadku grawitacji albo stała sprężystości występująca w prawie Hooke'a).

Zapamiętaj, że energia potencjalna jest właściwością związaną z oddziaływaniami pomiędzy różnymi ciałami w układzie, a nie własnością pojedynczego obiektu. Jest to szczególnie istotne w przypadku rozpatrywania sił elektrostatycznych. Natomiast w przykładach rozpatrywanych poniżej elementy układu są tak olbrzymie (jak Ziemia w porównaniu do ciała znajdującego się na jej powierzchni) albo małe (jak nieważka sprężyna), że zmiany, którym ulegają, są nieistotne w naszych rozważaniach.

Rodzaje energii potencjalnej

Dla każdego rodzaju oddziaływania zachowawczego w układzie możesz wprowadzić odpowiadającą mu energię potencjalną. Całkowita energia potencjalna układu jest równa sumie wszystkich rodzajów energii potencjalnej. Można je do siebie dodawać, ponieważ są to wielkości skalarne. Przeanalizujmy teraz pewne wybrane zagadnienia dla szczególnych rodzajów energii omawianej w rozdziale Praca. Najpierw rozważmy każdą z działających sił oddzielnie, a potem łącznie.

Energia potencjalna grawitacji w pobliżu powierzchni Ziemi

Rozważmy układ składający się z Ziemi oraz jednej lub większej liczby cząsteczek w pobliżu jej powierzchni (albo innego rodzaju ciał, których masa jest znikoma w porównaniu do masy planety). Siła grawitacji działająca na każdą cząsteczkę (albo ciało) na powierzchni jest skierowana pionowo w dół, a jej wartość obliczamy ze wzoru $F_{g} = m g$ . Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona każda cząstka, na którą działa siła grawitacji, wynikająca z przyciągania cząstki przez Ziemię, działa na Ziemię siłą o takiej samej wartości, ale o przeciwnym zwrocie. Na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona możemy wyznaczyć przyspieszenie związane z siłą, z jaką każda cząstka działa na Ziemię. Przyspieszenie Ziemi jest równe sile oddziaływania (czyli w tym przypadku ciężarowi cząstki $m g$ ) podzielonej przez masę Ziemi. Masa planety jest bardzo duża w porównaniu do masy cząsteczki, a więc przyspieszenie Ziemi jest bardzo małe. Ruch Ziemi wynikający z tego oddziaływania może zostać pominięty. W rozpatrywanym układzie (grupy cząstek znajdujących się w pobliżu powierzchni Ziemi) na wszystkie cząstki działa jednorodna siła grawitacji naszej planety.

W podrozdziale Praca pokazaliśmy, że praca wykonywana nad ciałem przez siłę grawitacyjną Ziemi (w pobliżu jej powierzchni) zależy od jego masy, przyspieszenia ziemskiego i różnicy wysokości, którą ciało pokonało podczas swojego ruchu (tak jak przedstawiono to w Równaniu 7.4). Z definicji, praca jest różnicą energii potencjalnej w polu grawitacyjnym Ziemi, wziętą ze znakiem minus, opisaną poniższym wzorem:

Δ E_{p_{graw}} = - W_{{graw}_{A B}} = m g (y_{B} - y_{A}) .

8.4

Zatem energia potencjalna grawitacji (ang. gravitational potential energy) w pobliżu powierzchni Ziemi jest opisana wzorem:

E_{p} (y) = m g y + const.

8.5

W powyższym równaniu wybór stałej jest dowolny (może być taki jak ten opisany w Równaniu 8.2), jednakże najwygodniej jest przyjąć zero energii potencjalnej w $y = 0$ , czyli w najniższym możliwym położeniu rozpatrywanego układu.

Zdjęcie przedstawia osobę skaczącą z klifu do wody.

Ilustracja 8.3 Nie skacz – masz ogromny potencjał (w postaci energii potencjalnej)! (Źródło: Andy Spearing)

Przykład 8.2

Energia potencjalna grawitacji turysty

Szczyt wzgórza Great Blue Hill w Milton (Massachusetts) ma wysokość 195 m, licząc od poziomu morza, a od podstawy – 147 m (Ilustracja 8.4) (Przez rdzennych Amerykanów szczyt jest określany mianem Massachusett i tego słowa osadnicy europejscy zaczęli używać jako nazwy dla okolicznych obszarów). Turysta o masie 75 kg wspina się na szczyt wzgórza. Jaka jest energia potencjalna turysty (w odniesieniu do energii, jaką miałby on znajdując się na wysokości podstawy wzgórza, którą traktujemy jako poziom odniesienia) w momencie, gdy turysta znajduje się:

na wysokości podstawy wzgórza;
na szczycie;
na wysokości poziomu morza?

Szkic profilu wzgórza Great Blue Hill w Milton (Massachusetts). Szczyt ma wysokość 195 metrów nad poziomem morza. Podstawa wzgórza znajduje się 147 metrów poniżej szczytu.

Ilustracja 8.4 Szkic profilu wzgórza Great Blue Hill w Milton (Massachusetts). Na rysunku zaznaczono rozpatrywane poziomy.

Strategia rozwiązania

Najpierw musimy przyjąć początek osi

y

i określić wartość odniesienia dla energii potencjalnej. W tym przypadku za początek układu współrzędnych należy przyjąć podstawę wzgórza oraz założyć, że energia potencjalna wynosi zero dla

y = 0

. Następnie energię potencjalną turysty na danej wysokości należy obliczyć w odniesieniu do przyjętego punktu.

Rozwiązanie

Wybierzmy początek osi $y$ na wysokości podstawy. W tym punkcie przyjmiemy energię potencjalną równą zero. Takie założenie sprawi, że stała całkowania ze wzoru na energię potencjalną będzie równa zero:

$E_{p} (podstawa) = E_{p} (0) = 0 k J .$
Szczyt znajduje się na wysokości $y = 147 m$ nad podstawą, więc:

$E_{p} (szczyt) = E_{p} (147 m) = m g h = 75 k g \cdot 9, 8 \frac{m}{s^{2}} \cdot 147 m = 108 k J .$
Poziom morza znajduje się na wysokości $y = 147 m - 195 m = −48 m$ , a zatem:

$E_{p} (poziom morza) = E_{p} (- 48 m) = m g h = 75 k g \cdot 9, 8 \frac{m}{s^{2}} \cdot (- 48 m) = - 35, 3 k J .$

Znaczenie

Przedstawiliśmy użyteczność Równania 8.4 oraz Równania 8.5, a także wyznaczyliśmy wartości energii potencjalnej, które są racjonalne z fizycznego punktu widzenia. Energia potencjalna grawitacji jest największa na szczycie oraz najmniejsza na poziomie morza. Siła grawitacji wykonuje pracę – również kiedy się wspinasz! Praca sił grawitacji ma wtedy wartość ujemną i w porównaniu do pracy wykonywanej przez twoje mięśnie jest nieznacząca. Niemniej jednak ta praca istnieje! Podobnie w drodze w dół – twoje mięśnie też wykonują pracę, ale o ujemnym znaku. Wartości liczbowe energii potencjalnej zależą od punku odniesienia, natomiast różnica energii potencjalnej, która ma większy sens fizyczny, już nie. Zauważ, że Równanie 8.2 przedstawia różnicę, której wartości liczbowe nie zależą od początku układu współrzędnych.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.2

Jakie są wartości energii potencjalnej grawitacji turysty na wysokości szczytu, podstawy wzgórza i poziomu morza w sytuacji, gdy zero energii potencjalnej przyjmiemy na poziomie morza?

Energia potencjalna sprężystości

W podrozdziale Praca wykazaliśmy, że praca wykonana przez idealną sprężynę, w jednym wymiarze, zależy wyłącznie od stałej sprężystości i kwadratu przemieszczenia (w odniesieniu do nierozciągniętej sprężyny), tak jak przedstawia to Równanie 7.5. Wyznaczona praca jest wynikiem własności prawa Hooka, a nie cech charakterystycznych sprężyny (z wyjątkiem stałej sprężystości) czy ciała, które do niej dołączono. W związku z tym możemy zdefiniować pojęcie różnicy energii potencjalnej sprężystości (ang. elastic potential energy) jako pracę wykonaną przez siłę sprężystości wziętą ze znakiem minus. Wyrażenie możemy wyprowadzić już teraz, zanim poddamy analizie układ, w którym takie oddziaływania występują:

Δ E_{p} = - W_{A B} = \frac{1}{2} k (x_{B}^{2} - x_{A}^{2}) .

8.6

W powyższym równaniu $A$ oznacza punkt, z którego ciało rozpoczęło ruch, a $B$ końcowy punkt ruchu. Energia potencjalna związana z tą różnicą opisana jest wzorem:

E_{p} (x) = \frac{1}{2} k x^{2} + const.

8.7

Jeśli siła sprężystości jest jedyną siłą działającą w rozpatrywanym układzie, to najprościej jest przyjąć zero energii potencjalnej w $x = 0$ , czyli wtedy, gdy sprężyna jest nierozciągnięta. W takiej sytuacji stała z Równania 8.7 wynosi zero. (W przypadku gdy na ciało działa więcej sił, przyjęcie innego punktu zerowego może być wygodniejsze.)

Przykład 8.3

Energia potencjalna sprężyny

Układ składa się ze sprężyny o długości wynoszącej w stanie nierozciągniętym 20 cm i stałej sprężystości 4 N/cm. (a) Jaką energię potencjalną posiada rozciągnięta sprężyna o długości 23 cm? (b) Jaką energię potencjalną posiada rozciągnięta sprężyna o długości 26 cm?

Strategia rozwiązania

Energia potencjalna nierozciągniętej sprężyny wynosi zero, a więc możemy użyć Równania 8.7 ze stałą równą zero. Przyjmijmy, że

x

to odkształcenie, czyli różnica pomiędzy długością sprężyny rozciągniętej i sprężyny nierozciągniętej. Zatem dla sprężyny rozciągniętej możemy użyć wartości

x

, aby obliczyć wartość energii potencjalnej.

Rozwiązanie

Odkształcenie sprężyny wynosi $x = 23 cm - 20 cm = 3 cm$ , więc związana z nim energia potencjalna jest równa $E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \frac{N}{c m} \cdot (3 c m)^{2} = 0, 18 J$ .
Sprężyna jest odkształcona na długość $x = 26 cm - 20 cm = 6 cm$ , zatem energia potencjalna wynosi $E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \frac{N}{c m} \cdot (6 c m)^{2} = 0, 72 J .$ Wzrost energii w porównaniu do podpunktu (a) jest równy 0,54 J.

Znaczenie

Obliczenie energii potencjalnej sprężystości na podstawie Równania 8.7 wymaga rozwiązania równania dla danych długości sprężyny. Skoro energia potencjalna zależy od

x^{2}

, to jej wartość dla ściskania (ujemny

x

) jest taka sama jak dla rozciągania (dodatni

x

) sprężyny.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.3

Kiedy długość sprężyny w Przykładzie 8.3 zmienia się z 22,0 cm do pewnej wartości końcowej, energia potencjalna sprężystości zmienia się o $−0,0800 J .$ Znajdź długość końcową.

Energia potencjalna grawitacji i sprężystości

Masa zawieszona na sprężynie to przykład prostego, jednowymiarowego układu, uwzględniającego zarówno oddziaływania sprężyste, jak i grawitacyjne. Drugi koniec sprężyny jest przymocowany tak, jak to przedstawiono na Ilustracji 8.5.

Na ilustracji przedstawiono pionowy układ masa-sprężyna. Górny koniec sprężyny przyczepiony jest do sufitu, a do dolnego przyczepiono ciężarek. Sprężyna jest narysowana w dwóch stanach. Po lewej przestawiono układ w stanie równowagi, a po prawej sprężyna jest rozciągnięta na długość y min. W stanie rozciągnięcia oznaczono, że masa jest na wysokości h równej zero. Wykres y w funkcji x jest przedstawiony po prawej stronie ilustracji. Y równe zero jest przyjęte w pozycji równowagi. Wykres przedstawia sinusoidę z minimum funkcji w x równym zero. Minimum funkcji pokrywa się z położeniem rozciągniętej sprężyny z ilustracji.

Ilustracja 8.5 Układ pionowy masa-sprężyna; oś

y

jest skierowana w górę. Początkowo masa znajduje się w położeniu równowagi, a następnie odciągnięta zostaje w dół do położenia

y_{min}

. Po uwolnieniu sprężyny rozpoczyna się ruch drgający wokół położenia równowagi.

Rozpocznijmy od rozważenia energii potencjalnej grawitacji tego układu. Załóżmy, że sprężyna jest nieważka, a jedynie układ ciężarek – Ziemia uzyskuje lub traci energię potencjalną. Musimy zdefiniować punkt odniesienia dla funkcji energii potencjalnej przedstawionej w Równaniu 8.5. Poziom podłoża w zadaniach związanych z polem grawitacyjnym Ziemi jest często uznawany za najwygodniejszy wybór. Jednakże w tym przypadku przyjęcie zera energii w najniższym punkcie ruchu, czyli $h = 0$ , będzie bardziej korzystne. Zauważ, że wybór jest dowolny i dla innego punktu odniesienia rozwiązanie zadania i tak dałoby ten sam wynik.

Musimy też zdefiniować punkt odniesienia dla energii potencjalnej sprężystości zgodnie z Równaniem 8.7. Położenie równowagi jest punktem matematycznie najdogodniejszym do przyjęcia zera energii potencjalnej sprężystości.

Przyjmując powyższe założenia, każdą z energii potencjalnych oraz energię kinetyczną możemy zapisać w odniesieniu do trzech punktów krytycznych układu: (1) najniższe położenie ciężarka, (2) położenie równowagi układu masa-sprężyna oraz (3) najwyższy punkt osiągany przez ciało. Zauważmy, że energia całkowita układu musi być zachowana, a zatem poszczególne postacie energii przekształcają się w siebie nawzajem. Wynik rozważań przedstawiono w Tabeli 8.1.

	Energia potencjalna grawitacji	Energia potencjalna sprężystości	Energia kinetyczna
(3) Najwyższy punkt	$2 m g y_{min}$	$\frac{1}{2} k y^{2}_{min}$	$0$
(2) Równowaga	$m g y_{min}$	$0$	$\frac{1}{2} m v^{2}$
(1) Najniższy punkt	$0$	$\frac{1}{2} k y^{2}_{min}$	$0$

Tabela 8.1 Energie składowe w układzie pionowym masa-sprężyna

Ilustracja 8.6 Skoczek na bungee (ang. bungee jumper) zamienia swoją energię potencjalną grawitacji na początku ruchu na energię potencjalną sprężystości na końcu.

Przykład 8.4

Energia potencjalna układu pionowego masa-sprężyna

Ciężarek o ciężarze

12 N

jest zawieszony na sprężynie o stałej sprężystości

6,0 N / m

, tak jak przedstawiono na Ilustracji 8.5. Następnie ciężarek jest odchylony na odległość

5,0 cm

od położenia równowagi i puszczony swobodnie.

Jaka jest różnica energii potencjalnej sprężystości pomiędzy nowym położeniem i położeniem równowagi?
Jaka jest różnica energii potencjalnej grawitacji pomiędzy tymi położeniami?
Jaka jest energia kinetyczna ciężarka, kiedy przechodzi on przez położenie równowagi?

Strategia rozwiązania

W części (a) i (b) musimy znaleźć różnicę energii potencjalnej, więc możemy skorzystać odpowiednio z Równania 8.6 i Równania 8.4. Każde z tych równań pozwala obliczyć energię w odniesieniu do określonego położenia, co podkreśla fakt, że energia potencjalna zawsze jest obliczana w stosunku do jakiegoś punktu odniesienia. Wybierając punkty odniesienia, takie jak omawiano poprzednio, czyli minimum energii potencjalnej grawitacji w najniższym punkcie ruchu, a minimum energii sprężystości w położeniu równowagi układu masa-sprężyna, możemy obliczyć odpowiednie różnice energii. W części (c) należy zwrócić uwagę na różnicę dwóch rodzajów energii potencjalnej: grawitacji i sprężystości. Dzięki niej możemy obliczyć energię kinetyczną, ponieważ w rozważanym układzie nie ma tarcia, a energia całkowita musi zostać zachowana.

Rozwiązanie

Punkt odniesienia dla energii potencjalnej sprężystości znajduje się w położeniu równowagi, zatem różnicę energii potencjalnej sprężystości wyznaczamy jako

$Δ E_{p_{spr}} = 0 - \frac{1}{2} k y_{min}^{2} = - \frac{1}{2} \cdot 6, 0 \frac{N}{m} \cdot (5, 0 c m)^{2} = - 0, 75 J .$
W związku z tym, że minimum energii potencjalnej grawitacji przypada w najniższym położeniu, możemy ją wyznaczyć w następujący sposób:

$Δ E_{p_{graw}} = m g y - 0 = 12 N \cdot 5, 0 c m = 0, 60 J .$
Ciężarek odciągnięto w dół, nadając mu energię potencjalną sprężystości, równą $0,75 J .$ Energia potencjalna grawitacji potrzebna do wzniesienia go na wysokość 5,0 cm wynosi 0,60 J. Pozostała energia musi być zatem równa energii kinetycznej w położeniu równowagi. Możemy znaleźć jej wartość poprzez Równanie 8.2:

$Δ E_{k} = - (Δ E_{p_{spr}} + Δ E_{p_{graw}}) = - (- 0, 75 J + 0, 60 J) = 0, 15 J .$

Znaczenie

Chociaż energia potencjalna jest zawsze liczona względem jakiegoś punktu, rozwiązanie powyższego problemu jest niezależne od wyboru tego punktu.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.4

Załóżmy, że masa w Przykładzie 8.4 jest w równowadze, a ty odciągasz ciężarek w dół o 3 cm więcej niż w rozważanym uprzednio przykładzie (czyli całkowite wydłużenie wynosi $8,0 cm$ ). Energia potencjalna sprężystości wzrasta, ponieważ rozciągasz ją bardziej, ale energia potencjalna grawitacji maleje, ponieważ ciężarek znajduje się dalej od położenia równowagi niż poprzednio. Czy sumaryczna energia potencjalna rośnie, maleje czy pozostaje bez zmian?

Materiały pomocnicze

Wyświetl symulację, aby dowiedzieć się więcej o zasadzie zachowania energii na przykładzie skatera. Buduj tory, rampy i skocznie dla skatera, wyświetlaj wskazania energii kinetycznej, potencjalnej oraz tarcia w trakcie jego ruchu. Możesz zabrać skatera na inne planety, a nawet w przestrzeń kosmiczną!

Zestawienie wartości różnych energii występujących we wszechświecie zebrano w Tabeli 8.2 po to, by pokazać przykłady typowych wartości energii związanych z pewnymi zjawiskami. Część wartości obliczono na podstawie energii kinetycznej, a inne bazują na różnego rodzaju wielkościach energii potencjalnej (ale nie będziemy ich omawiać w tym miejscu).

Obiekt lub zjawisko	Energia w dżulach
Wielki Wybuch	$1, 0 \cdot 10^{68}$
Roczne światowe zużycie energii	$4, 0 \cdot 10^{20}$
Duża bomba termojądrowa (9 megaton)	$3, 8 \cdot 10^{16}$
Niewielka rozszczepieniowa bomba atomowa (np. jak ta zrzucona na Hiroszimę; 10 kiloton)	$4, 2 \cdot 10^{13}$
1 baryłka ropy naftowej	$5, 9 \cdot 10^{9}$
1 tona trotylu	$4, 2 \cdot 10^{9}$
1 galon benzyny (ok. 4 litry)	$1, 2 \cdot 10^{8}$
Zalecana dzienna dawka spożycia dla dorosłego człowieka	$1, 2 \cdot 10^{7}$
Samochód o masie 1000 kg i prędkości 90 km/h	$3, 1 \cdot 10^{5}$
Piłka tenisowa o prędkości 100 km/h	$22$
Komar ( $10^{−2} g$ o prędkości 0,5 m/s)	$1, 3 \cdot 10^{- 6}$
Pojedynczy elektron w kineskopie telewizora	$4, 0 \cdot 10^{- 15}$
Energia potrzebna do zerwania jednego łańcucha DNA	$1, 0 \cdot 10^{- 19}$

Tabela 8.2 Energie różnych obiektów i zjawisk

8.1 Energia potencjalna układu

Energia potencjalna: podstawy

Podstawowe właściwości energii potencjalnej

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Układy wielu cząstek

Rodzaje energii potencjalnej

Energia potencjalna grawitacji w pobliżu powierzchni Ziemi

Energia potencjalna grawitacji turysty

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Energia potencjalna sprężystości

Energia potencjalna sprężyny

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Energia potencjalna grawitacji i sprężystości

Energia potencjalna układu pionowego masa-sprężyna

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie