13.5 Prawa Keplera

Pierwsze prawo Keplera

W czasach Keplera przeważał pogląd, że wszystkie orbity planetarne są okrągłe. Dane zarejestrowane dla Marsa stanowiły największe wyzwanie dla tego założenia i w końcu zachęciły Keplera, by zmierzyć się z tym powszechnym przekonaniem. Pierwsze prawo Keplera (ang. Kepler’s first law) stwierdza, że każda planeta porusza się po elipsie, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk tej elipsy. Elipsa jest definiowana jako zbiór wszystkich punktów, których suma odległości od każdego z dwóch punktów, zwanych ogniskami elipsy, jest stała. Ilustracja 13.16 przedstawia elipsę i pokazuje, w jaki sposób można ją łatwo narysować.

Ilustracja 13.16 (a) Elipsa jest krzywą, którą tworzy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od jej ognisk $(f_1\text{i}{f}_2)$ jest stała. Na podstawie tej definicji można narysować elipsę w następujący sposób. Umieść szpilkę w każdym z ognisk, a następnie zamocuj kawałek sznurka pomiędzy szpilkami i owiń pętelkę wokół ołówka. Utrzymując stale naciągnięty sznurek, narysuj ołówkiem dookoła ognisk pełny obwód krzywej zamkniętej. Jeśli dwa ogniska znajdują się w tym samym miejscu, to w wyniku tej procedury otrzymamy okrąg, szczególny przypadek elipsy. (b) W przypadku orbity eliptycznej, jeśli $m\ll M$, to ciało o masie $m$ porusza się po elipsie wokół ciała o masie $M$ znajdującego się w jednym z ognisk. Dokładniej mówiąc, oba ciała poruszają się po własnych elipsach wokół ich wspólnego środka masy.

Dla orbity eliptycznej, punkt największego zbliżenia planety do Słońca nazywa się peryhelium (ang. perihelion). Jest to punkt $A$ na Ilustracji 13.16. Najdalszy punkt zwany jest aphelium (ang. aphelion). Jest to punkt $B$ na tym rysunku. W przypadku Księżyca krążącego po orbicie eliptycznej wokół Ziemi, punkty te są nazywane odpowiednio perygeum i apogeum.

Istnieje kilka postaci matematycznych równania elipsy. Wszystkie one są szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego równania krzywych stożkowych. Istnieją cztery różne krzywe stożkowe i wszystkie z nich spełniają równanie:

Zmienne $r$ i $\theta$ w przypadku elipsy zaznaczono na Ilustracji 13.17. Stałe $\alpha$ i $e$ zależą od energii całkowitej i momentu pędu satelity w danym punkcie. Stała $e$ jest zwana mimośrodem. Wartości stałych $\alpha$ i $e$ określają, która z czterech krzywych stożkowych reprezentuje trajektorię obiektu astronomicznego.

Ilustracja 13.17 Tak jak poprzednio, odległość między planetą a Słońcem jest równa $r$ i tworzy kąt $\theta$ z osią $x$, równoległą do osi wielkiej elipsy.

Jedną z największych zalet stosowania prawa powszechnego ciążenia, w którym siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, jest to, że gdy połączymy go z drugą zasadą dynamiki Newtona, to rozwiązaniem tego układu równań będzie trajektoria będąca krzywą, która jest jedną z krzywych stożkowych. Każda trajektoria, którą podąża ciało o masie $m$ po orbicie jest, jedną z czterech krzywych stożkowych: okręgiem lub elipsą w przypadku zamkniętych (czyli związanych) orbit albo parabolą lub hiperbolą w przypadku otwartych (czyli niezwiązanych) orbit. Wszystkie krzywe stożkowe przedstawiono na Ilustracji 13.18.

Ilustracja 13.18 Trajektoria każdego ciała, na które działa siła proporcjonalna do odwrotności kwadratu odległości między ciałami, jest jedną z czterech krzywych stożkowych. Ruch tego ciała jest określony przez energię i kierunek jego ruchu.

Jeśli energia całkowita ciała jest ujemna, to wtedy $0\le e<1$, i Równanie 13.10 opisuje orbitę zamkniętą (związaną) — elipsę w przypadku, gdy $0<e<1$, lub okrąg, gdy $e=0$. Na podstawie Równania 13.10 można zauważyć, że gdy $e=0$, to $r=\alpha$, więc promień trajektorii ciała jest stały. W przypadku elipsy, mimośród określa jak bardzo jest ona spłaszczona. Okrąg ma mimośród równy zero, a bardzo spłaszczona, wyciągnięta elipsa ma mimośród o wartości bliskiej jedności.

Jeśli całkowita energia ciała jest dokładnie równa zero, to $e=1$ i trajektorią ruchu jest parabola. Przypomnijmy, że satelita o całkowitej energii równej zero porusza się z prędkością równą dokładnie drugiej prędkości kosmicznej. (Parabola powstaje przez przecięcie stożka płaszczyzną równoległą do tworzącej stożka.) W końcu jeśli całkowita energia ciała jest dodatnia, to $e>1$, więc trajektorią jest hiperbola. Te dwie ostatnie krzywe reprezentują orbity ciał niezwiązanych grawitacyjnie, gdzie ciało o masie $m$ mija ciało o masie $M$ tylko jeden raz. Ta sytuacja została zaobserwowana w przypadku kilku komet, które zbliżyły się do Słońca, a potem oddaliły się, by już nigdy do niego nie powrócić.

Ograniczyliśmy się tylko do przypadków, w których mniejsza masa (planeta) krąży wokół znacznie większej, a co za tym idzie, nieruchomej masy (gwiazdy). Jednak Równanie 13.10 odnosi się także do dowolnych dwóch oddziałujących grawitacyjnie ciał. Oba ciała poruszają się wówczas po krzywych stożkowych o takim samym kształcie. Kształt ten zależy od całkowitej energii i momentu pędu układu, przy czym środek masy układu znajduje się w jednym z ognisk tej krzywej. Stosunek rozmiarów ich torów ruchu jest odwrotnie proporcjonalny do stosunku ich mas.

Podróże międzyplanetarne

Ludzie marzyli o podróżowaniu na inne planety naszego Układu Słonecznego, od kiedy tylko zostały one odkryte. Ale w jaki sposób można najłatwiej do nich dotrzeć? Najbardziej efektywna metoda została podana w 1925 roku przez Waltera Hohmanna. Zainspirowała go jedna z popularnych w tamtych czasach powieści science fiction. Metoda ta nazywa się teraz manewrem transferowym Hohmanna. W przypadku podróży pomiędzy dwoma orbitami kołowymi transfer odbywa się po eliptycznej orbicie transferowej Hohmanna, która jest styczna do tych orbit w aphelium i peryhelium elipsy. Ilustracja 13.19 przedstawia przypadek podróży z orbity Ziemi na orbitę Marsa. Tak jak poprzednio, Słońce znajduje się w ognisku elipsy.

Dla każdej elipsy, długość jej półosi wielkiej jest zdefiniowana jako połowa odległości położenia ciała w peryhelium i aphelium. Na Ilustracji 13.17 półoś ta jest równa połowie odległości od miejsca startu do lądowania po przeciwnej stronie osi wielkiej elipsy. W związku z tym przemieszczając się z jednej orbity kołowej o promieniu $r_1$ do drugiej orbity kołowej o promieniu $r_2$, aphelium elipsy transferowej znajduje się na większej orbicie kołowej, a peryhelium na mniejszej orbicie. Półoś wielka oznaczona na rysunku symbolem $a$ jest wówczas równa $a=\frac{1}{2}\left(r_1+r_2\right)$.

Ilustracja 13.19 Orbita transferowa Hohmanna ma swoje peryhelium na orbicie Ziemi i aphelium na orbicie Marsa.

Rozważmy przypadek podróży z Ziemi na Marsa. W tej chwili zignorujemy obecność obu planet i założymy, że jesteśmy sami na orbicie Ziemi i chcemy przenieść się na orbitę Marsa. Dzięki Równaniu 13.9 opisującemu energię całkowitą możemy zauważyć, że całkowita energia statków kosmicznych na dalszej orbicie (Marsa) jest większa (mniej ujemna) niż na bliższej orbicie (Ziemi). Aby przemieścić się po elipsie transferowej z orbity Ziemi, będziemy musieli zwiększyć naszą energię kinetyczną, czyli musimy zwiększyć prędkość. Najbardziej skuteczną metodą jest bardzo szybkie przyspieszanie po orbicie kołowej w obszarze, w którym tor ciała na tej orbicie pokrywa się z torem na elipsie transferowej. (Najlepiej aby przyspieszenie było natychmiastowe, tak by orbity kołowa i eliptyczna były zgodne podczas całego procesu przyspieszania, a są one styczne jedynie w punkcie startowym. W praktyce droga przyspieszania jest na tyle krótka, że różnica dróg na orbitach nie jest znaczącym czynnikiem.) Po przybyciu na orbitę Marsa potrzebny będzie kolejny impuls zmiany prędkości, aby wejść na tę orbitę, gdyż inaczej pozostalibyśmy na transferowej orbicie eliptycznej i po prostu wrócilibyśmy z powrotem do peryhelium, skąd startowaliśmy. Podczas podróży powrotnej wystarczy w każdym punkcie orbity transferowej zmienić kierunek przyspieszenia na przeciwny.

Aby wejść na elipsę transferową, a następnie z niej zejść, musimy znać prędkość na każdej orbicie kołowej i prędkości w aphelium i peryhelium orbity transferowej. Wymagana zmiana prędkości jest po prostu różnicą pomiędzy prędkością na orbicie kołowej i eliptycznej w każdym z tych punktów. Prędkości na orbitach kołowych możemy wyznaczyć z Równania 13.7. Wymaganą prędkość na orbicie eliptycznej możemy wyznaczyć z Równania 13.11. Podajemy go bez dowodu, gdyż wykracza to poza zakres tego kursu. Energia całkowita na orbicie eliptycznej wynosi:

gdzie $M_S$ jest masą Słońca, a $a$ jest długością półosi transferowej orbity eliptycznej. Co ciekawe, równanie to ma taką samą postać jak Równanie 13.9 dla orbity kołowej, tylko zamiast długości promienia orbity kołowej występuje w nim długość półosi transferowej orbity eliptycznej. Ponieważ znamy energię potencjalną z Równania 13.4, możemy obliczyć energię kinetyczną, a tym samym wymaganą prędkość w każdym z interesujących nas punktów na elipsie. Jako zadanie dla czytelnika zostawiamy obliczenie tych prędkości podczas wycieczki z Ziemi na Marsa.

Zakończymy tę analizę, wskazując na kilka ważnych szczegółów. Po pierwsze, nie uwzględniliśmy grawitacyjnej energii potencjalnej związanej z obecnością Ziemi i Marsa na orbicie oraz mechaniki procesu lądowania na Marsie. W praktyce, by dotrzeć do Marsa musimy uwzględnić te czynniki w obliczeniach. Po drugie, ważna jest koordynacja czasowa transferu. Nie chcesz przecież przybyć na orbitę Marsa i stwierdzić, że w danym miejscu orbity akurat go nie ma. Musimy opuścić Ziemię w odpowiednim momencie tak, aby Mars był w aphelium naszej orbity transferowej, gdy dotrzemy na miejsce. Taka okazja zdarza się mniej więcej co 2 lata. Powrót także wymaga właściwej koordynacji czasowej. Całkowity czas podróży wynosi prawie 3 lata! Są jeszcze inne opcje, które umożliwiają szybszy przelot, w tym wykorzystanie asysty grawitacyjnej Wenus. Jednak wiążą się one z dodatkowym wydatkiem energetycznym i zagrożeniem dla życia astronautów.

Drugie prawo Keplera

Drugie prawo Keplera (ang. Kepler’s second law) mówi, że prędkość polowa planety (ang. areal velocity) na orbicie jest stała. Prędkość polową planety definiujemy jako stosunek pola powierzchni zakreślonego przez promień wodzący planety do czasu, w którym planeta przebywa, odpowiadającą temu polu odległość po orbicie. Przyjrzyjmy się Ilustracji 13.20. Czas potrzebny, by planeta przemieściła się z położenia $A$ do $B$, zakreślając powierzchnię $S_1$, jest dokładnie równy czasowi potrzebnemu by planeta przemieściła się z położenia $C$ do $D$, zakreślając powierzchnię $S_2$ oraz dokładnie taki sam, by przemieściła się ona z położenia $E$ do $F$, zakreślając powierzchnię $S_3$, pod warunkiem, że wszystkie te trzy pola powierzchni są takie same: $S_1=S_2=S_3$.

Ilustracja 13.20 Zacienione obszary pokazane na rysunku mają równe pola powierzchni i są zakreślane w ciągu takiego samego przedziału czasu.

Porównując obszary zacienione na rysunku i odległości przebyte przez planetę po obwodzie elipsy w każdym z tych przypadków widzimy, że aby zacienione pola powierzchni były równe, planeta musi przyspieszać, gdy zbliża się do Słońca i spowalniać w miarę oddalania się od niego. Takie zachowanie jest całkowicie zgodne z zasadą zachowania energii (Równanie 13.5). Poniżej pokażemy, że drugie prawo Keplera jest przede wszystkim konsekwencją zasady zachowania momentu pędu, która odnosi się do dowolnego układu, w którym występują jedynie siły grawitacyjne działające wzdłuż promienia wodzącego.

Przypomnijmy definicję momentu pędu $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}$ z rozdziału Moment pędu. W przypadku ruchu po orbicie, $\overrightarrow{L}$ jest momentem pędu planety orbitującej wokół Słońca, $\overrightarrow{r}$ jest wektorem promienia wodzącego planetę o początku na Słońcu i końcu w danym punkcie orbity, w którym znajduje się planeta, a $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$ jest chwilową wartością pędu planety w danym punkcie na orbicie. Gdy planeta porusza się po orbicie, wektor $\overrightarrow{p}$ jest zawsze styczny do tej orbity.

Możemy rozłożyć wektor pędu na dwie składowe: składową ${\overrightarrow{p}}_{\text{równ}}$ skierowaną do środka orbity ku Słońcu i równoległą do promienia wodzącego $\overrightarrow{r}$ oraz składową ${\overrightarrow{p}}_{\text{prost}}$ prostopadłą do promienia wodzącego $\overrightarrow{r}$. Iloczyn wektorowy momentu pędu można wówczas zapisać jako:

Pierwszy składnik jest równy zero ponieważ wektor $\overrightarrow{r}$ jest równoległy do ${\overrightarrow{p}}_{\text{równ}}$, a w przypadku drugiego składnika $\overrightarrow{r}$ jest prostopadły do ${\overrightarrow{p}}_{\text{prost}}$, więc wartość iloczynu wektorowego redukuje się do $L=r{p}_{\text{prost}}=rm{v}_{\text{prost}}$. Zwróćmy uwagę, że moment pędu nie zależy od $p_{\text{równ}}$. Ponieważ siła grawitacji jest skierowana tylko w kierunku promienia wodzącego, może ona zmieniać tylko składową $p_{\text{równ}}$, a nie $p_{\text{prost}}$, dlatego moment pędu musi pozostać stały.

Rozpatrzmy teraz Ilustracja 13.21. Powierzchnia $\text{Δ}S$ małego, zacienionego trójkąta jest zakreślana w czasie $\text{Δ}t$. Prędkość planety jest styczna do toru jej ruchu i tworzy kąt $\theta$ z kierunkiem promienia wodzącego. W związku z tym składowa prędkości prostopadła do promienia wodzącego jest równa $v_{\text{prost}}=v\text{sin}\theta$. W czasie $\text{Δ}t$ planeta przebywa odległość $\text{Δ}l=v\text{Δ}t\text{sin}\theta$ wzdłuż kierunku prostopadłego do $r$. Ponieważ powierzchnia trójkąta jest równa połowie długości jego podstawy $(r)$ razy wysokość trójkąta $\left(\text{Δ}l\right)$, to dla małych przemieszczeń powierzchnia trójkąta wynosi $\text{Δ}S=\frac{1}{2}r\text{Δ}l$. Podstawiając $\text{Δ}l$ oraz mnożąc licznik i mianownik przez $m$, a następnie przekształcając, otrzymujemy:

Ilustracja 13.21 Pole powierzchni $\text{Δ}S$ jest zakreślane w czasie $\text{Δ}t$, gdy planeta przemieszcza się o kąt $\text{Δ}\varphi$. Kąt pomiędzy kierunkiem promienia wodzącego i $\overrightarrow{v}$ wynosi $\theta$.

Prędkość polowa jest po prostu równa stosunkowi zmiany pola powierzchni do czasu, więc otrzymujemy:

Ponieważ moment pędu planety na orbicie jest stały, to także jej prędkość polowa musi być stała. Jest to drugie prawo Keplera. Newton pokazał, że podobnie jak w przypadku pierwszego prawa Keplera, jest ono naturalną konsekwencją podanego przez niego prawa powszechnego ciążenia.

Trzecie prawo Keplera

Trzecie prawo Keplera (ang. Kepler’s third law) mówi, że kwadrat okresu obiegu planety jest proporcjonalny do sześcianu wielkiej półosi jej orbity. W podrozdziale Orbity satelitów i ich energia, wyprowadziliśmy trzecie prawo Keplera dla szczególnego przypadku orbity kołowej. Równanie 13.8 określa okres obiegu ciała po orbicie kołowej o promieniu $r$ wokół Ziemi:

Przypomnij sobie, że w przypadku elipsy półoś wielka jest połową odległości między peryhelium i aphelium. Dla orbity kołowej półoś wielka $(a)$ jest równa promieniowi orbity. Jeśli do Równania 13.8 zamiast promienia $r$ podstawimy długość $a$ i podniesiemy do kwadratu obie strony równania, to określi ono trzecie prawo Keplera:

W miejsce masy Ziemi podstawiliśmy bardziej ogólną masę $M$, gdyż równanie to stosuje się do satelitów krążących wokół dowolnego ciała o dużej masie.