13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi

Ciężar ciała

Przypomnijmy, że przyspieszenie swobodnie spadających ciał przy powierzchni Ziemi wynosi około $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$. Siła, która jest źródłem tego przyspieszenia, nazywana jest siłą ciężkości lub potocznie ciężarem ciała. Na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona ma ona wartość $mg$. Siła ta występuje niezależnie od tego, czy ciało spada swobodnie, czy nie. Teraz już wiemy, że ciężar jest to siła grawitacji działająca pomiędzy ciałem o masie $m$ i Ziemią. Podstawiając $mg$ w miejsce wartości siły ${\overrightarrow{F}}_{12}$ w prawie powszechnego ciążenia, $m$ za $m_1$ oraz $M_Z$ za $m_2$, otrzymujemy równanie:

gdzie $r$ jest odległością między środkiem masy Ziemi i danego ciała. Średni promień Ziemi wynosi około 6370 km. W związku z tym dla ciał znajdujących się kilka kilometrów nad powierzchnią Ziemi możemy przyjąć $r=R_Z$ (Ilustracja 13.7). Masa ciała $m$ skraca się po obu stronach równania, dając:

Równanie to tłumaczy, dlaczego wszystkie ciała spadają na Ziemię z tym samym przyspieszeniem, niezależnie od ich masy. Zignorowaliśmy fakt, że także Ziemia uzyskuje pewne przyspieszenie w kierunku spadającego na nią ciała, jednak uproszczenie to jest poprawne, jeśli tylko masa ciała jest zaniedbywalna w porównaniu z masą Ziemi.

Ilustracja 13.7 Możemy przyjąć, że odległość między środkiem masy Ziemi i obiektem na jej powierzchni jest równa promieniowi Ziemi pod warunkiem, że rozmiar tego obiektu jest dużo mniejszy niż promień Ziemi.

Pole grawitacyjne

Równanie 13.2 jest równaniem skalarnym, określającym zależność wartości przyspieszenia grawitacyjnego jako funkcję odległości od środka masy ciała, będącego źródłem tego przyspieszenia. Możemy jednak zachować postać wektorową siły grawitacji w Równaniu 13.1, i zapisać przyspieszenie w postaci wektorowej jako:

Określamy wówczas pole wektorowe reprezentowane przez wektor $\overrightarrow{g}$ jako pole grawitacyjne (ang. gravitational field), którego źródłem jest masa $M$. Możemy przedstawić to pole tak, jak pokazano na Ilustracji 13.8. Linie na rysunku są skierowane wzdłuż promienia w kierunku źródła pola grawitacyjnego i są symetrycznie rozmieszczone wokół masy.

Ilustracja 13.8 Trójwymiarowa reprezentacja pola grawitacyjnego wokół masy $M$. Należy pamiętać, że linie są równomiernie rozłożone we wszystkich kierunkach. (Sześcian został dodany jedynie w celu ułatwienia wizualizacji.)

Podobnie jak w przypadku dowolnego pola wektorowego, kierunek wektora $\overrightarrow{g}$ w każdym punkcie jest równoległy do linii pola grawitacyjnego, a jego długość w każdym z punktów jest odwrotnie proporcjonalna do odległości między tymi liniami. Inaczej mówiąc, wartość pola w każdym obszarze jest proporcjonalna do liczby linii pola, które przechodzą przez jednostkową powierzchnię, czyli do gęstości linii pola. Ponieważ linie te są równomiernie rozmieszczone we wszystkich kierunkach (jednorodne pole centralne), to ich liczba na jednostkę powierzchni w odległości $r$ od ciała jest równa całkowitej liczbie linii sił pola, podzielonej przez pole powierzchni kuli o promieniu $r$, które z kolei jest proporcjonalne do $r^2$. Dlatego też powyższy rysunek doskonale obrazuje prawo odwrotności kwadratów, a dodatkowo wskazuje kierunek pola. Przedstawiając pole w taki sposób, mówimy, że masa $m$ oddziałuje z polem grawitacyjnym, którego źródłem jest masa $M$. Koncepcja pól będzie bardzo pomocna w późniejszych rozdziałach dotyczących elektromagnetyzmu.

Ciężar pozorny: wykazanie ruchu obrotowego Ziemi

W podrozdziale Zastosowania praw Newtona dowiedzieliśmy się, że na ciała poruszające się ze stałą prędkością po okręgu działa przyspieszenie dośrodkowe, skierowane wzdłuż promienia w kierunku środka tego okręgu. Oznacza to, że musi istnieć wypadkowa siła skierowana do środka okręgu. Ponieważ wszystkie ciała na powierzchni Ziemi poruszają się po okręgu z okresem wynoszącym 24 godziny, to musi istnieć wypadkowa siła dośrodkowa, działająca na każde z nich skierowana w kierunku środka tego okręgu. O sile dośrodkowej, a nie odśrodkowej, mówimy tylko wtedy, gdy obserwator zewnętrzny, nie znajdujący się na Ziemi, stwierdza, że tą siłą dośrodkową jest w istocie realna siła grawitacji. O sile i przyspieszeniu odśrodkowym może mówić obserwator znajdujący się na Ziemi, czyli odczuwający siłę odśrodkową bezwładności.

Rozpatrzymy najpierw przypadek, gdy ciało o masie $m$ znajduje się na równiku i jest zawieszone na wadze sprężynowej (Ilustracja 13.9). Na ciało działa siła ${\overrightarrow{F}}_s$ skierowana w górę od środka Ziemi. Waga sprężynowa wskazuje wartość tej siły, zwanej pozorną siłą ciężkości lub ciężarem pozornym ciała. Siła ciężkości ($mg$ ) skierowana jest w kierunku środka Ziemi. Gdyby Ziemia się nie obracała, to przyspieszenie dośrodkowe byłoby równe zero i w konsekwencji także wypadkowa siła dośrodkowa byłaby równa zero, a w rezultacie otrzymalibyśmy $F_{\text{s}}=mg$. Takie byłoby wówczas wskazanie wagi.

Ilustracja 13.9 Na równiku przyspieszenie dośrodkowe $a_d$ ma ten sam kierunek co siła grawitacji. Na szerokości geograficznej $\phi$, kąt pomiędzy $a_d$ a siłą grawitacji jest równy $\phi$. Wartość $a_{\text{d}}$ maleje ze wzrostem szerokości geograficznej, jak funkcja $\text{cos}\phi$.

W przypadku obracającej się Ziemi, suma tych sił musi zapewnić występowanie przyspieszenia dośrodkowego $a_d$. Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona, otrzymujemy:

Należy zwrócić uwagę, że przyspieszenie odśrodkowe $a_d$, odczuwane przez obserwatora na Ziemi, ma ten sam kierunek i przeciwny zwrot niż siła ciężkości. Prędkość liniowa w ruchu po okręgu $v$ jest prędkością ciała na równiku, a wtedy $r$ jest równe $R_Z$. Prędkość tę możemy łatwo obliczyć, zauważając, że ciała na równiku pokonują odległość równą obwodowi Ziemi w czasie 24 godzin. Użyjmy w tym celu alternatywnego wyrażenia na $a_d$ z podrozdziału Ruch w dwóch i trzech wymiarach. Przypomnijmy, że prędkość liniowa jest związana z prędkością kątową $\omega$ zależnością $v=r\omega$. Stąd otrzymujemy $a_d=\text{−}r{\omega }^2$. Przekształcając Równanie 13.3 i podstawiając w miejsce $r=R_Z$, pozorna siła ciężkości na równiku wynosi:

Prędkość kątowa ruchu obrotowego Ziemi jest taka sama na całej jej powierzchni i wynosi:

Podstawiając wartości w miejsce $R_Z$ oraz $\omega$, otrzymujemy wartość przyspieszenia odśrodkowego, odczuwanego przez obserwatora na Ziemi, która wynosi $R_Z{\omega }^2=\mathrm{0,0337}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$. Stanowi ono jedynie 0,34% wartości przyspieszenia grawitacyjnego, więc jest to naprawdę niewielka poprawka.

Przypadek większych szerokości geograficznych

Przy zbliżaniu się do biegunów $a_d\text{→}0$ i na samych biegunach $F_s=mg$, tak samo jak w przypadku braku ruchu obrotowego Ziemi. Dla każdej innej szerokości geograficznej $\phi$, sytuacja jest bardziej skomplikowana. Przyspieszenie dośrodkowe jest skierowane w kierunku zaznaczonego na rysunku punktu $P$, a wówczas promień okręgu $r=R_Z\cos \phi$. Suma wektorowa siły ciężkości i ciężaru pozornego musi być skierowana do punktu $P$. Różnica ta jest mała i znacznie wyolbrzymiona na rysunku. W konsekwencji siła ${\overrightarrow{F}}_s$ nie ma już kierunku wzdłuż promienia od środka Ziemi, lecz jest nieznacznie odchylona (niewidoczne na rysunku). Ciężarek zawieszony na linie będzie zawsze wyznaczał pion także wzdłuż tego odchylonego kierunku. Wszystkie budynki na Ziemi są ustawione także wzdłuż odchylonego kierunku, a nie wzdłuż promienia Ziemi. W przypadku najwyższych budynków odchylenie to na ich szczycie wynosi około 1 metra.

Warto również zauważyć, że Ziemia nie jest idealną sferą. Jej wnętrze jest częściowo ciekłe, a to zwiększa wybrzuszenie Ziemi na równiku z powodu ruchu obrotowego. Promień Ziemi jest około 30 km większy w kierunku równika w porównaniu z kierunkiem do biegunów. Jako ćwiczenie pozostawiamy porównanie siły grawitacji na biegunach i na równiku za pomocą Równania 13.2. Różnica wynikająca z innej długości promienia Ziemi jest porównywalna z różnicą wynikającą z ruchu obrotowego i ma taki sam znak. Wydaje się, że naprawdę można się „schudnąć” przenosząc się do tropików.

Grawitacja z dala od powierzchni

Zaczęliśmy nasze rozważania bez podania dowodu na to, że prawo powszechnego ciążenia ma zastosowanie do sferycznie symetrycznych ciał, gdzie można przyjąć, że cała masa takiego ciała zlokalizowana jest w jego środku. Ponieważ Równanie 13.2 wywodzi się z Równania 13.1, jest ono także poprawne dla sferycznie symetrycznie rozłożonej masy, ale oba równania są poprawne tylko dla $r\ge R_{\text{Z}}$. Jak widzieliśmy w Przykładzie 13.4, 400 km nad powierzchnią Ziemi, gdzie orbituje Międzynarodowa Stacja Kosmiczna, wartość $g$ wynosi $\mathrm{8,67}{\text{m/s}}^2$. (Dalej zobaczymy, że jest to także wartość przyspieszenia dośrodkowego stacji, czyli takiego, które rejestruje obserwator będący z dala od stacji. Astronauta na stacji odczuwa takie samo co do wartości przyspieszenie, jednak jest ono skierowane na zewnątrz orbity i nazywa się przyspieszeniem odśrodkowym).

Dla promienia $r<R_{\text{Z}}$, Równanie 13.1 i Równanie 13.2 nie są poprawne. Jednak możemy wyznaczyć wartość $g$ dla tych przypadków, korzystając z prawa Gaussa. Jest ono potężnym narzędziem matematycznym, które będziemy badać bardziej szczegółowo w dalszej części kursu. Konsekwencją zastosowania prawa Gaussa do grawitacji jest fakt, że tylko część masy ciała, znajdująca się wewnątrz kuli o promieniu $r$ , jest źródłem siły grawitacji. Podobnie jak poprzednio możemy przyjąć, że ta część masy ciała także znajduje się w jego środku. Efekt grawitacyjny części masy ciała, znajdującej się na zewnątrz promienia $r$ , znosi się.

Występują tu dwa bardzo ciekawe przypadki szczególne. W przypadku kulistych planet o stałej gęstości, część ich masy zlokalizowanej wewnątrz promienia $r$ jest równa gęstości pomnożonej przez objętość kuli o promieniu$r$. Masę tę można traktować jako zlokalizowaną w środku planety. Gdy podstawimy w miejsce $M_Z$ tylko tę jej część, która znajduje się wewnątrz kuli o promieniu$r$, wtedy $M=\rho \cdot (\text{objętość kuli})$ i w miejsce $R_Z$ podstawiamy $r$, Równanie 13.2 przybiera postać:

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego $g$, i w związku z tym także twój ciężar, malałyby liniowo w miarę zbiliżania się do środka dziury wydrążonej wydrążonej w kulistej planecie. Po dotarciu do jej środka byłbyś nieważki, ponieważ masa planety przyciągała by cię jednakowo we wszystkich kierunkach ku jej powierzchni. W rzeczywistości gęstość Ziemi nie jest stała, podobnie jak i cała Ziemia nie jest ciałem stałym. Ilustracja 13.10 pokazuje zależność $g$ wynikającą z prawa Gaussa, przy założeniu stałej gęstości Ziemi, oraz bardziej rzeczywistą zależność opartą na szacunkach gęstości Ziemi, pochodzących z danych sejsmicznych.

Ilustracja 13.10 Dla $r<R_Z$, wartość przyspieszenia grawitacyjnego $g$ w przypadku stałej gęstości przedstawiono za pomocą zielonej linii. Niebieska linia przedstawia profil $g$ wyznaczony na podstawie sejsmologicznego modelu Ziemi, który jest bardziej zbliżony do rzeczywistego profilu przyspieszenia grawitacyjnego wewnątrz Ziemi.

Drugi ciekawy przypadek dotyczy życia na planecie zbudowanej w formie kulistej powłoki. Ten scenariusz został zaproponowany w wielu opowiadaniach science fiction. Pomijając istotne problemy inżynierskie, powłoka może być zbudowana z zadanym promieniem i masie całkowitej dobranych tak, że wartość przyspieszenia grawitacyjnego $g$ na powierzchni powłoki jest taka sama jak na Ziemi. Czy wiesz, co by się stało, gdybyś zjeżdżał w windzie do wnętrza powłoki, gdzie nie byłoby żadnej masy między tobą i jej środkiem? Jakie korzyści wynikałyby z tego faktu, w przypadku podróżowania na duże odległości pomiędzy dwoma punktami na powierzchni powłoki? Jaki efekt by się pojawił, jeśli planeta by się obracała?