12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości

Naprężenie i odkształcenie rozciągające lub ściskające oraz moduł Younga

Rozciąganie lub ściskanie występuje wtedy, gdy dwie antyrównoległe siły o równej wartości działają na obiekt wzdłuż tylko jednego z jego wymiarów w taki sposób, że nie porusza się on. Taką sytuację przedstawia Ilustracja 12.18. Pręt jest rozciągany lub ściskany przez parę sił działających wzdłuż jego długości, przyłożonych prostopadle do przekroju poprzecznego. Efektem wypadkowym działania takich sił jest zmiana długości pręta z pierwotnej $L_0$ przed pojawieniem się sił, na nową $L$ – pod wpływem działania sił. Zmiana ta $\text{Δ}L=L-L_0$ może być albo wydłużeniem (gdy $L$ jest większe niż pierwotna długość $L_0$) albo skróceniem (gdy $L$ jest mniejsze niż pierwotna długość $L_0$). Naprężenie i odkształcenie rozciągające występują, gdy siły rozciągają obiekt, powodując jego wydłużenie, a zmiana długości $\text{Δ}L$ jest dodatnia. Naprężenie i odkształcenie ściskające pojawiają się, gdy siły ściskają obiekt i powodują jego skrócenie, a zmiana długości $\text{Δ}L$ jest ujemna.

W każdej z tych sytuacji definiujemy naprężenie jako stosunek siły odkształcającej $F_{\perp }$ do przekroju poprzecznego $A$ odkształconego obiektu. Symbol $F_{\perp }$, który rezerwujemy dla siły odkształcającej, oznacza, że ta siła działa prostopadle do przekroju poprzecznego obiektu. Siły działające równolegle do niego nie zmieniają długości obiektu. Definicja naprężenia rozciągającego to:

Odkształcenie rozciągające jest miarą deformacji obiektu pod wpływem naprężeń rozciągających i definiuje się je jako względną zmianę długości obiektu, gdy doświadcza on naprężenia rozciągającego:

Naprężenie i odkształcenie ściskające są określone odpowiednio tymi samymi wzorami, tj. Równanie 12.33 oraz Równanie 12.34. Jedyną różnicą w stosunku do rozciągania jest to, że w przypadku naprężeń i odkształceń ściskających przyjmujemy bezwzględne wartości prawych stron obu równań.

Ilustracja 12.18 Jeśli obiekt jest rozciągany lub ściskany, wypadkowa siła na ten obiekt wynosi zero, ale deformuje się on zmieniając swoją pierwotną długość $L_0$. (a) Rozciąganie: pręt jest wydłużony o $\text{Δ}L.$ (b) Ściskanie: pręt jest skrócony o $\text{Δ}L.$ W obu przypadkach siła odkształcająca działa wzdłuż długości pręta i prostopadle do jego przekroju poprzecznego. W liniowym zakresie małych naprężeń obszar przekroju poprzecznego pręta się nie zmienia.

Moduł Younga $E$ jest modułem sprężystości, gdy odkształcenie zostaje spowodowane naprężeniem rozciągającym lub ściskającym i określa je Równanie 12.32. Dzieląc to równanie przez odkształcenie rozciągające, otrzymujemy wzór na moduł Younga:

Przykład 12.7

Naprężenie ściskające w kolumnie

Rzeźba o ciężarze 10 000 N spoczywa na poziomej powierzchni u szczytu pionowej kolumny o wysokości 6 m (Ilustracja 12.19). Powierzchnia przekroju poprzecznego kolumny wynosi $0{\text{,2 m}}^2$ i wykonana jest z granitu o gęstości $2700{\text{kg/m}}^3.$ Oblicz naprężenie ściskające (ang. compressive stress) w przekroju znajdującym się 3 m poniżej górnej części kolumny i wartości odkształcenia ściskającego górny 3-metrowy odcinek kolumny.

Ilustracja 12.19 Kolumna Nelsona na Trafalgar Square w Londynie, Wielka Brytania. (Źródło: modyfikacja pracy Cristiana Bortesa)

Strategia rozwiązania

Najpierw obliczmy ciężar 3-metrowego górnego odcinka kolumny. Siła działająca na przekrój poprzeczny usytuowany w odległości 3 m od góry to suma ciężaru fragmentu kolumny i masy rzeźby. Mając siłę normalną, używamy Równania 12.33, aby wyliczyć naprężenie. Żeby obliczyć odkształcenie ściskające, odczytujemy wartość modułu Younga dla granitu z Tabeli 12.1 i przekształcamy Równanie 12.35.

Rozwiązanie

Objętość fragmentu kolumny o wysokości $h=3\text{m}$ i powierzchni przekroju $A=\mathrm{0,2}{\text{m}}^2$ to:

$$V=Ah=\mathrm{0,2}{\mathrm{m}}^2\cdot 3\mathrm{m}=\mathrm{0,6}{\mathrm{m}}^3.$$

Z gęstością granitu $\rho =\mathrm{2,7}·{10}^3{\text{kg/m}}^3$ masa fragmentu kolumny to:

$$m=\rho V=\mathrm{2,7}\cdot {10}^3\mathrm{k}\mathrm{g}\text{/}{\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{0,6}{\mathrm{m}}^3=\mathrm{1,6}\cdot {10}^3\mathrm{k}\mathrm{g}.$$

Ciężar fragmentu kolumny to:

$$F_k=mg=\mathrm{1,6}\cdot {10}^3\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{9,81}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2=\mathrm{1,57}\cdot {10}^4\mathrm{N}.$$

Ciężar rzeźby $F_r=1\cdot {10}^4\mathrm{N}$, więc normalna siła na powierzchnię przekroju poprzecznego znajdującą się 3 m poniżej rzeźby to:

$$F_{\perp }=F_k+F_r=(\mathrm{1,57}+1)\cdot {10}^4\mathrm{N}=\mathrm{2,57}\cdot {10}^4\mathrm{N}.$$

Dlatego naprężenie to:

$$\text{naprężenie}=\frac{F_{\perp }}{A}=\frac{\mathrm{2,57}\cdot {10}^4\mathrm{N}}{\mathrm{0,2}{\mathrm{m}}^2}=\mathrm{1,285}\cdot {10}^5\mathrm{P}\mathrm{a}=\mathrm{128,5}\mathrm{k}\mathrm{P}\mathrm{a}.$$

Moduł Younga dla granitu $E=\mathrm{4,5}\cdot {10}^{10}\mathrm{P}\mathrm{a}=\mathrm{4,5}\cdot {10}^7\mathrm{k}\mathrm{P}\mathrm{a}$. Dlatego odkształcenie ściskające w tym położeniu wynosi:

$$\text{odkształcenie}=\frac{\text{naprężenie}}{E}=\frac{\mathrm{128,5}\mathrm{k}\mathrm{P}\mathrm{a}}{\mathrm{4,5}\cdot {10}^7\mathrm{k}\mathrm{P}\mathrm{a}}=\mathrm{2,85}\cdot {10}^{-6}.$$

Znaczenie

Zwróćmy uwagę, że normalna siła działająca na pole przekroju kolumny nie jest stała na całej jej długości, ale zmienia się od swojej najmniejszej wartości na górze do największej wartości na dole kolumny. Jeśli zatem kolumna ma jednolity przekrój poprzeczny na całej długości, to naprężenie jest największe u jej podstawy.

Obiekty często doświadczają naprężeń ściskających i rozciągających jednocześnie (Ilustracja 12.20). Przykładem może być długa półka zastawiona ciężkimi książkami, która ugina się w środku pod ich ciężarem. Górna powierzchnia półki podlega naprężeniu ściskającemu, a dolna naprężeniu rozciągającemu. Podobnie długie i ciężkie belki uginają się pod własnym ciężarem.

Ilustracja 12.20 (a) Obiekt, uginając się w dół, doświadcza naprężeń rozciągających (rozciągania) w górnej części i naprężeń ściskających (ściskania) w dolnej części. (b) Zawodnicy podnoszący ciężary często chwilowo uginają żelazne sztangi podczas podnoszenia, tak jak w konkursie olimpijskim w 2012 roku. (Źródło: modyfikacja pracy Oleksandra Kocherzhenko)

Naprężenie i odkształcenie objętościowe oraz moduł Helmholtza (moduł sprężystości objętościowej)

Kiedy zanurzamy się w wodzie, czujemy siłę naciskającą na każdą część ciała ze wszystkich stron. To, czego doświadczamy, jest to naprężenie objętościowe, czyli ciśnienie. Naprężenie objętościowe zawsze ma tendencję do zmniejszania objętości otoczonej powierzchnią zanurzonego obiektu. Siły ściskania zawsze są prostopadłe do powierzchni zanurzonego obiektu (Ilustracja 12.21). Efektem ich działania jest zmniejszenie objętości zanurzonego obiektu o wielkość $\text{Δ}V$ w porównaniu z objętością $V_0$ obiektu przy braku naprężeń objętościowych. Ten rodzaj odkształcenia nazywa się odkształceniem objętościowym i określa go zmiana objętości w stosunku do pierwotnej objętości:

Ilustracja 12.21 Objętość obiektu pod rosnącym naprężeniem objętościowym zawsze ulega zmniejszeniu. Równe siły działają prostopadle do powierzchni ze wszystkich stron. Efektem jest zmniejszenie objętości o wielkość $\text{Δ}V$ w porównaniu z pierwotną wielkością $V_0.$

Odkształcenie objętościowe wynika z naprężenia objętościowego, czyli normalnej do powierzchni siły $F_{\perp }$ naciskającej na powierzchnię $A$ zanurzonego obiektu. Ta wielkość fizyczna oraz ciśnienie $p$ są zdefiniowane jako:

Bardziej szczegółowo ciśnienie w płynach omówimy w rozdziale Mechanika płynów. Ważną cechą ciśnienia jest to, że stanowi ono wielkość skalarną i nie ma żadnego określonego kierunku, tzn. działa ono tak samo we wszystkich możliwych kierunkach. Kiedy zanurzymy rękę w wodzie, odczujemy, że na każdą powierzchnię dłoni (górną, dolną, boczną, między palcami) działa ciśnienie o takiej samej wartości. Jest to zwiększenie ciśnienia $\text{Δ}p$ ponad to, co czujemy kiedy dłoń nie jest zanurzona w wodzie. Kiedy ręka nie jest zanurzona, odczuwamy ciśnienie normalne (ang. normal pressure) $p_0$1 atm, które służy jako punkt odniesienia. Naprężeniem objętościowym jest wzrost ciśnienia $\text{Δ}p$ ponad poziom normalny $p_0.$

Kiedy wzrasta naprężenie objętościowe, odpowiednio zwiększa się odkształcenie objętościowe, zgodnie z Równaniem 12.32. Stała proporcjonalności w tym stosunku nazywa się modułem Helmholtza (inaczej modułem sprężystości objętościowej lub modułem odkształcalności objętościowej) $K$:

Znak minus, który pojawia się w Równaniu 12.38 wprowadzono dla spójności, aby moduł $K$ był wielkością dodatnią. Należy zauważyć, że jest on konieczny, ponieważ wzrost ciśnienia o $\text{Δ}p$ (dodatnia wartość) zawsze powoduje spadek objętości o $\text{Δ}V$, a zmniejszenie objętości jest wielkością ujemną. Odwrotność modułu Helmholtza nazywa się współczynnikiem sprężystości objętościowej bądź współczynnikiem ściśliwości (ang. compressibility) $\beta$:

Określenie ściśliwość jest stosowane w odniesieniu do płynów (gazów i cieczy). Współczynnik ściśliwości opisuje zmianę objętości płynu w jednostce wzrostu ciśnienia. Ciecz charakteryzująca się dużym współczynnikiem ściśliwości jest stosunkowo łatwa do sprężania (ściskania). Przykładowo ściśliwość wody to $\mathrm{4,64}\cdot {10}^{-5}\mathrm{a}\mathrm{t}{\mathrm{m}}^{-1}$, a ściśliwość acetonu $\mathrm{1,45}\cdot {10}^{-4}\mathrm{a}\mathrm{t}{\mathrm{m}}^{-1}$ Oznacza to, że przy podwyższeniu ciśnienia o 1 atm względny spadek objętości jest blisko trzykrotnie większy dla acetonu niż dla wody.

Przykład 12.9

Prasa hydrauliczna

W prasie hydraulicznej na Ilustracji 12.22 250 l oleju podlega zwiększeniu ciśnienia do 160 atm. Ściśliwość oleju to $2\cdot {10}^{-5}\mathrm{a}\mathrm{t}{\mathrm{m}}^{-1}$, oblicz odkształcenie objętościowe i bezwzględny spadek objętości oleju, gdy urządzenie pracuje.

Ilustracja 12.22 Gdy mały tłok prasy hydraulicznej przemieszcza się w dół, ciśnienie w oleju przenosi się przez całą jego objętość do dużego tłoka. Niewielka siła przyłożona do małego tłoka powoduje powstanie siły nacisku o dużej wartości wywieranej przez duży tłok na podnoszony lub ściskany obiekt. Urządzenie działa jak mechaniczna dźwignia.

Strategia rozwiązania

Przekształcamy Równanie 12.39, aby znaleźć odkształcenie objętościowe. Objętość początkowa to $V_0=250\text{l}$.

Rozwiązanie

Wstawiwszy wartości do równania, otrzymujemy:

$$\text{odkształcenie objętościowe}=\frac{\mathrm{\Delta }V}{V_0}=\frac{\mathrm{\Delta }p}{K}=\beta \mathrm{\Delta }p=2\cdot {10}^{\mathrm{–5}}\mathrm{a}\mathrm{t}{\mathrm{m}}^{-1}\cdot 160\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{m}=\mathrm{0,0032},$$

$$\text{odpowiedź}:\mathrm{\Delta }V=\mathrm{0,0032}{V}_0=\mathrm{0,0032}\cdot 250\mathrm{l}=\mathrm{0,78}\mathrm{l}.$$

12.40

Znaczenie

Zauważmy, że ze względu na to, że ściśliwość wody jest 2,32 razy większa od ściśliwości oleju, zmiana substancji roboczej w prasie hydraulicznej w tym przykładzie na wodę spowodowałaby zwiększenie naprężenia objętościowego i zmiany objętości o 2,32 razy.

Naprężenie i odkształcenie ścinające oraz moduł Kirchhoffa

Koncepcje naprężenia i odkształcenia ścinającego dotyczą jedynie ciał stałych. Budynki i płyty tektoniczne to przykłady obiektów, narażonych na naprężenia ścinające. Zasadniczo pojęcia te nie dotyczą płynów.

Odkształcenie ścinające występuje, gdy do przeciwległych powierzchni ciała stałego przyłożone są stycznie dwie równoległe przeciwnie skierowane siły o równej wartości, nie powodujące odkształcenia w kierunku poprzecznym do kierunku siły, jak w typowym przykładzie naprężenia ścinającego przedstawionym na Ilustracji 12.23. Odkształcenie ścinające charakteryzuje się stopniowym przesunięciem $\text{Δ}x$ warstw w kierunku stycznym do sił działających. Przesunięcie $\text{Δ}x$ zachodzi w poprzecznym kierunku wzdłuż pewnej odległości $L_0.$ Odkształcenie ścinające to stosunek największego przesunięcia $\text{Δ}x$ do poprzecznej odległości $L_0$:

Odkształcenie ścinające jest spowodowane naprężeniem ścinającym. To ostatnie wywołują siły równoległe do powierzchni. Wartość siły $F_{\parallel }$ na pole powierzchni $A$, gdzie przykładana jest siła ścinająca, stanowi miarę naprężeń ścinających:

Modułem Kirchhoffa (inaczej moduł ścinania, moduł sztywności, moduł odkształcalności postaciowej albo moduł sprężystości poprzecznej) jest stała proporcjonalności w Równaniu 12.32, określona przez stosunek naprężenia do odkształcenia. Moduł Kirchhoffa powszechnie oznacza się jako $G$:

Ilustracja 12.23 Obiekt pod wpływem naprężenia ścinającego: dwie antyrównoległe siły o takich samych wartościach są przykładane stycznie do przeciwległych powierzchni obiektu. Linia przerywana przedstawia odkształcenie. Nie ma zmiany w kierunku poprzecznym do sił działających i poprzeczna długość $L_0$ pozostaje taka sama. Odkształcenie ścinające charakteryzuje się stopniowym przesunięciem $\text{Δ}x$ warstw w kierunku stycznym do sił.