Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 112.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyjaśniać pojęcia naprężenia i odkształcenia w opisie sprężystych deformacji materiałów;
  • opisywać rodzaje sprężystych deformacji przedmiotów i materiałów.

Model ciała sztywnego to przykład wyidealizowanego obiektu, który nie ulega deformacji pod wpływem sił zewnętrznych. Jest on bardzo użyteczny przy analizie układów mechanicznych, a wiele obiektów fizycznych jest sztywnych w szerokim zakresie warunków. Stopień, w jakim obiekt może być postrzegany jako sztywny, zależy od właściwości fizycznych materiału, z którego został wykonany. Na przykład piłeczka do ping-ponga z tworzywa sztucznego jest krucha, a piłka tenisowa z gumy jest elastyczna, gdy działa na nią siła zgniatająca. Jednak w innych okolicznościach obie mogą odbijać się jak ciała sztywne. Podobnie projektant protez kończynowych, może przybliżać mechanikę kończyn ludzkich, modelując je jako ciała sztywne, jednakże rzeczywiste połączenia kości i tkanek są elastyczne.

W dalszej części, przejdziemy od sił wpływających na ruch obiektu do tych, które wpływają na kształt obiektu. Zmiana kształtu spowodowana działaniem siły nazywana jest deformacją (ang. deformation). Znane są nawet bardzo małe siły, powodujące deformację. Ulegają jej obiekty fizyczne lub ośrodki pod wpływem sił zewnętrznych, na przykład zgniatania, ściskania, (ro)zrywania, skręcania, ścinania czy rozciągania. W języku fizyki dwa terminy opisują siły na obiektach podlegających deformacji: naprężenie (ang. stress) i odkształcenie (ang. strain).

Naprężenie to wielkość opisująca wartość sił powodujących deformację. Jest ono ogólnie definiowane jako siła na jednostkę powierzchni. Kiedy siły oddziałują na przedmiot i powodują jego wydłużenie, podobnie jak przy rozciąganiu elastycznej taśmy (gumy), takie naprężenie nazywamy naprężeniem rozciągającym (ang. tensile stress). Kiedy siły powodują ściskanie przedmiotu, wówczas mówimy o naprężeniu ściskającym (ang. compressive stress). Kiedy obiekt jest ściskany ze wszystkich stron, jak okręt podwodny w głębi oceanu, nazywamy to naprężeniem objętościowym (ang. bulk stress). W innych sytuacjach działające siły, nie będąc ani rozciągającymi, ani ściskającymi, wciąż powodują zauważalne deformacje. Na przykład, kiedy trzymasz książkę ściśle między dłońmi, a następnie jedną ręką, naciskasz i odciągasz przednią okładkę od siebie, a drugą ręką naciskasz i pociągasz tylną okładkę w kierunku do siebie. Wówczas, gdy siły odkształcające działają stycznie do powierzchni obiektu, nazywamy je siłami ścinającymi, a naprężenie, które powodują, nazywamy naprężeniem ścinającym (ang. shear stress).

Jednostką naprężenia w układzie SI jest paskal (Pa). Gdy siła 1 N naciska na powierzchnię 1m21m2 naprężenie wynosi 1 Pa:

jeden paskal = 1 Pa = 1 N 1 m 2 . jeden paskal = 1 Pa = 1 N 1 m 2 .

W systemie brytyjskim jednostką naprężenia jest psi, co oznacza funt na cal kwadratowy ( l b / i n 2 ) ( l b / i n 2 ). Inną jednostką używaną często w przypadku naprężenia objętościowego jest atmosfera (atm). Współczynniki konwersji to:

1 p s i = 6895 P a oraz 1 P a = 1,45 10 4 p s i 1 a t m = 1,013 10 5 P a = 14,7 p s i . 1 p s i = 6895 P a oraz 1 P a = 1,45 10 4 p s i 1 a t m = 1,013 10 5 P a = 14,7 p s i .

Obiekt lub ośrodek pod wpływem naprężania ulega deformacji. Wielkość, która opisuje tę deformację, nazywa się odkształceniem. Odkształcenie podawane jest albo jako względna zmiana długości (dla naprężeń rozciągających), albo jako zmiana objętości (dla naprężeń objętościowych) lub geometrii (dla naprężeń ścinających). Dlatego odkształcenie jest wartością bezwymiarową. Odkształcenie pod wpływem naprężenia rozciągającego nazywamy odkształceniem rozciągającym (ang. tensile strain) (lub liniowym), odkształcenie pod wpływem naprężenia objętościowego nazywa się odkształceniem objętościowym (ang. bulk strain), a spowodowane naprężeniem ścinającym - odkształceniem ścinającym (ang. shear strain).

Im większe naprężenie, tym większe odkształcenie, jednakże zależność między odkształceniem a naprężeniem nie musi być liniowa. Tylko gdy naprężenie jest wystarczająco małe, odkształcenie powodowane naprężeniem pozostaje wprost proporcjonalne do wartości naprężenia. Stałą proporcjonalności w tym stosunku nazywamy modułem sprężystości (ang. elastic modulus). W zakresie liniowej zależności dla małych wartości naprężeń, ogólny związek między naprężeniem a odkształceniem to:

naprężenie = (moduł sprężystości) · (odkształcenie). naprężenie=(moduł sprężystości)·(odkształcenie).
12.32

Jak widać z analizy wymiarowej tego związku, moduł sprężystości ma tę samą jednostkę fizyczną co naprężenie, ponieważ odkształcenie jest bezwymiarowe.

Widzimy też z Równania 12.32, że gdy obiekt charakteryzuje się dużą wartością modułu sprężystości, to efekt naprężenia jest niewielki. Z drugiej strony, niewielki moduł sprężystości oznacza, że naprężenie powoduje duże odkształcenie i zauważalne deformacje. Na przykład naprężenie na taśmie gumowej powoduje większe odkształcenie niż to samo naprężenie na taśmie stalowej o tych samych wymiarach, ponieważ moduł sprężystości gumy jest o dwa rzędy wielkości mniejszy niż moduł sprężystości stali.

Moduł sprężystości dla naprężenia rozciągającego nazywa się modułem Younga (ang. Young’s modulus), dla naprężenia objętościowego - modułem Helmholtza (ang. bulk modulus, inaczej moduł sprężystości objętościowej, moduł odkształcalności objętościowej albo moduł ściśliwości), a dla naprężenia ścinającego - modułem Kirchhoffa (ang. shear modulus, inaczej moduł sprężystości poprzecznej, moduł odkształcalności postaciowej albo moduł ścinania). Zauważmy, że zależność między naprężeniem a odkształceniem to obserwowalny związek mierzony w laboratorium. Moduły sprężystości dla różnych materiałów mierzy się w różnych warunkach fizycznych, takich jak zmienna temperatura, i zbiera w tabelach danych inżynierskich (Tabela 12.1). Są one cennymi danymi dla przemysłu i osób zaangażowanych w prace inżynieryjne i budowlane. W następnej części omówimy relacje naprężenie - odkształcenie w pełnym zakresie wartości naprężeń, aż do punktu zerwania (pęknięcia), tj. poza granicą zależności liniowej reprezentowaną przez Równanie 12.32. Natomiast na końcu tej sekcji omówimy granicę zależności linowej wyrażoną Równaniem 12.32.

Materiał moduł Younga E E
10 10 Pa) 10 10 Pa)
moduł Helmholtza K K
10 10 Pa) 10 10 Pa)
moduł Kirchhoffa G G
10 10 Pa) 10 10 Pa)
Glin 7,0 7,5 2,5
Kość (rozciąganie) 1,6 0,8 8,0
Kość (ściskanie) 0,9
Mosiądz 9,0 6,0 3,5
Cegła 1,5
Beton 2,0
Miedź 11,0 14,0 4,4
Szkło (kron) 6,0 5,0 2,5
Granit 4,5 4,5 2,0
Włosy (ludzkie) 1,0
Drewno twarde 1,5 1,0
Żelazo 21,0 16,0 7,7
Ołów 1,6 4,1 0,6
Marmur 6,0 7,0 2,0
Nikiel 21,0 17,0 7,8
Polistyren 3,0
Jedwab 6,0
Nić pajęcza 3,0
Stal 20,0 16,0 7,5
Aceton 0,07
Etanol 0,09
Gliceryna 0,45
Rtęć 2,5
Woda 0,22
Tabela 12.1

Naprężenie i odkształcenie rozciągające lub ściskające oraz moduł Younga

Rozciąganie lub ściskanie występuje wtedy, gdy dwie antyrównoległe siły o równej wartości działają na obiekt wzdłuż tylko jednego z jego wymiarów w taki sposób, że nie porusza się on. Taką sytuację przedstawia Rysunek 12.18. Pręt jest rozciągany lub ściskany przez parę sił działających wzdłuż jego długości, przyłożonych prostopadle do przekroju poprzecznego. Efektem wypadkowym działania takich sił jest zmiana długości pręta z pierwotnej L 0 L 0 przed pojawieniem się sił, na nową L L – pod wpływem działania sił. Zmiana ta Δ L = L L 0 Δ L = L L 0 może być albo wydłużeniem (gdy L L jest większe niż pierwotna długość L 0 L 0 ) albo skróceniem (gdy L L jest mniejsze niż pierwotna długość L 0 L 0 ). Naprężenie i odkształcenie rozciągające występują, gdy siły rozciągają obiekt, powodując jego wydłużenie, a zmiana długości Δ L Δ L jest dodatnia. Naprężenie i odkształcenie ściskające pojawiają się, gdy siły ściskają obiekt i powodują jego skrócenie, a zmiana długości Δ L Δ L jest ujemna.

W każdej z tych sytuacji definiujemy naprężenie jako stosunek siły odkształcającej F F do przekroju poprzecznego A A odkształconego obiektu. Symbol F F , który rezerwujemy dla siły odkształcającej, oznacza, że ta siła działa prostopadle do przekroju poprzecznego obiektu. Siły działające równolegle do niego nie zmieniają długości obiektu. Definicja naprężenia rozciągającego to:

naprężenie rozciągające = F A . naprężenie rozciągające = F A .
12.33

Odkształcenie rozciągające jest miarą deformacji obiektu pod wpływem naprężeń rozciągających i definiuje się je jako względną zmianę długości obiektu, gdy doświadcza on naprężenia rozciągającego:

odkształcenie rozciągające = Δ L L 0 . odkształcenie rozciągające = Δ L L 0 .
12.34

Naprężenie i odkształcenie ściskające są określone odpowiednio tymi samymi wzorami, tj. Równanie 12.33 oraz Równanie 12.34. Jedyną różnicą w stosunku do rozciągania jest to, że w przypadku naprężeń i odkształceń ściskających przyjmujemy bezwzględne wartości prawych stron obu równań.

Rysunek A przedstawia rozciągany cylinder o długości L0. Dwie siły po obu stronach cylindra zwiększają długość o Delta L. Rysunek B przedstawia cylinder o długości L0, który jest ściskany. Dwie siły po obu stronach cylindra zmniejszają długość o Delta L.
Rysunek 12.18 Jeśli obiekt jest rozciągany lub ściskany, wypadkowa siła na ten obiekt wynosi zero, ale deformuje się on zmieniając swoją pierwotną długość L 0 L 0 . (a) Rozciąganie: pręt jest wydłużony o Δ L . Δ L . (b) Ściskanie: pręt jest skrócony o Δ L . Δ L . W obu przypadkach siła odkształcająca działa wzdłuż długości pręta i prostopadle do jego przekroju poprzecznego. W liniowym zakresie małych naprężeń obszar przekroju poprzecznego pręta się nie zmienia.

Moduł Younga E E jest modułem sprężystości, gdy odkształcenie zostaje spowodowane naprężeniem rozciągającym lub ściskającym i określa je Równanie 12.32. Dzieląc to równanie przez odkształcenie rozciągające, otrzymujemy wzór na moduł Younga:

E = naprężenie rozciągające odkształcenie rozciągające = F / A Δ L / L 0 = F A L 0 Δ L . E= naprężenie rozciągające odkształcenie rozciągające = F / A Δ L / L 0 = F A L 0 Δ L .
12.35

Przykład 12.7

Naprężenie ściskające w kolumnie

Rzeźba o ciężarze 10 000 N spoczywa na poziomej powierzchni u szczytu pionowej kolumny o wysokości 6 m (Rysunek 12.19). Powierzchnia przekroju poprzecznego kolumny wynosi 0 ,2 m 2 0 ,2 m 2 i wykonana jest z granitu o gęstości 2 700 kg/m 3 . 2700 kg/m 3 . Oblicz naprężenie ściskające (ang. compressive stress) w przekroju znajdującym się 3 m poniżej górnej części kolumny i wartości odkształcenia ściskającego górny 3-metrowy odcinek kolumny.
Zdjęcie przedstawia fotografię Kolumny Nelsona na placu Trafalgar.
Rysunek 12.19 Kolumna Nelsona na Trafalgar Square w Londynie, Wielka Brytania. (Źródło: modyfikacja pracy Cristiana Bortesa)

Strategia rozwiązania

Najpierw obliczmy ciężar 3-metrowego górnego odcinka kolumny. Siła działająca na przekrój poprzeczny usytuowany w odległości 3 m od góry to suma ciężaru fragmentu kolumny i masy rzeźby. Mając siłę normalną, używamy Równania 12.33, aby wyliczyć naprężenie. Żeby obliczyć odkształcenie ściskające, odczytujemy wartość modułu Younga dla granitu z Tabeli 12.1 i przekształcamy Równanie 12.35.

Rozwiązanie

Objętość fragmentu kolumny o wysokości h = 3 m h = 3 m i powierzchni przekroju A = 0,2 m 2 A = 0,2 m 2 to:
V = A h = 0,2 m 2 3 m = 0,6 m 3 . V=Ah=0,2 m 2 3 m =0,6 m 3 .

Z gęstością granitu ρ = 2,7 · 10 3 kg/m 3 ρ=2,7· 10 3 kg/m 3 masa fragmentu kolumny to:

m = ρ V = 2,7 10 3 k g / m 3 0,6 m 3 = 1,6 10 3 k g . m=ρV=2,7 10 3 k g / m 3 0,6 m 3 =1,6 10 3 k g .

Ciężar fragmentu kolumny to:

F k = m g = 1,6 10 3 k g 9,81 m / s 2 = 1,57 10 4 N . F k =mg=1,6 10 3 k g 9,81 m / s 2 =1,57 10 4 N .

Ciężar rzeźby F r = 1 10 4 N F r =1 10 4 N , więc normalna siła na powierzchnię przekroju poprzecznego znajdującą się 3 m poniżej rzeźby to:

F = F k + F r = ( 1,57 + 1 ) 10 4 N = 2,57 10 4 N . F = F k + F r =(1,57+1) 10 4 N =2,57 10 4 N .

Dlatego naprężenie to:

naprężenie = F A = 2,57 10 4 N 0,2 m 2 = 1,285 10 5 P a = 128,5 k P a . naprężenie= F A = 2,57 10 4 N 0,2 m 2 =1,285 10 5 P a =128,5 k P a .

Moduł Younga dla granitu E = 4,5 10 10 P a = 4,5 10 7 k P a E=4,5 10 10 P a =4,5 10 7 k P a . Dlatego odkształcenie ściskające w tym położeniu wynosi:

odkształcenie = naprężenie E = 128,5 k P a 4,5 10 7 k P a = 2,85 10 6 . odkształcenie= naprężenie E = 128,5 k P a 4,5 10 7 k P a =2,85 10 6 .

Znaczenie

Zwróćmy uwagę, że normalna siła działająca na pole przekroju kolumny nie jest stała na całej jej długości, ale zmienia się od swojej najmniejszej wartości na górze do największej wartości na dole kolumny. Jeśli zatem kolumna ma jednolity przekrój poprzeczny na całej długości, to naprężenie jest największe u jej podstawy.

Sprawdź, czy rozumiesz 12.9

Oblicz naprężenie i odkształcenie ściskające u podstawy kolumny Nelsona.

Przykład 12.8

Rozciąganie pręta

Stalowy pręt o długości 2 m i przekroju poprzecznym 0,3 cm 2 0,3 cm 2 jest częścią pionowego wspornika utrzymującego platformę o masie 550 kg, zawieszoną na dolnym końcu tego pręta. Oblicz jest naprężenie rozciągające w pręcie i jego wydłużenie pod wpływem naprężenia, ciężar pomiń.

Strategia rozwiązania

Najpierw obliczamy naprężenie rozciągające w pręcie wywołane ciężarem platformy zgodnie z Równaniem 12.33. Potem przekształcamy Równanie 12.35, aby znaleźć wydłużenie pręta, używając L 0 = 2 m . L 0 = 2 m . Z Tabeli 12.1 moduł Younga dla stali to E = 2 10 11 P a E=2 10 11 P a .

Rozwiązanie

Podstawienie wartości liczbowych do równań daje nam
FA=550kg9,81m/s2310-5m=1,8108Pa,ΔL=FAL0E=1,8108Pa2m21011Pa=1,810-3m=1,8mm.FA=550kg9,81m/s2310-5m=1,8108Pa,ΔL=FAL0E=1,8108Pa2m21011Pa=1,810-3m=1,8mm.

Znaczenie

Podobnie jak w przykładzie z kolumną także tutaj naprężenie rozciągające nie jest jednolite wzdłuż całego pręta. W przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, jeśli uwzględnimy ciężar pręta, to okaże się, że naprężenie w nim jest największe na górze, a najmniejsze na dole.

Sprawdź, czy rozumiesz 12.10

Drut o długości 2 m rozciąga się o 1 mm przy obciążeniu. Jakie jest odkształcenie rozciągające w drucie?

Obiekty często doświadczają naprężeń ściskających i rozciągających jednocześnie (Rysunek 12.20). Przykładem może być długa półka zastawiona ciężkimi książkami, która ugina się w środku pod ich ciężarem. Górna powierzchnia półki podlega naprężeniu ściskającemu, a dolna naprężeniu rozciągającemu. Podobnie długie i ciężkie belki uginają się pod własnym ciężarem.

Rysunek A przedstawia siły doświadczane przez obiekt podczas zginania w dół. Obiekt doświadcza w górnej części naprężenia rozciągającego oraz naprężenia ściskającego w dolnej części. Rysunek B pokazuje zdjęcie zawodnika podnoszącego sztangę. Gryf sztangi jest zgięty.
Rysunek 12.20 (a) Obiekt, uginając się w dół, doświadcza naprężeń rozciągających (rozciągania) w górnej części i naprężeń ściskających (ściskania) w dolnej części. (b) Zawodnicy podnoszący ciężary często chwilowo uginają żelazne sztangi podczas podnoszenia, tak jak w konkursie olimpijskim w 2012 roku. (Źródło: modyfikacja pracy Oleksandra Kocherzhenko)

Materiały pomocnicze

Ciężkie pudełko spoczywa na stole stojącym na trzech nogach. Obejrzyj demonstrację i przesuń pudełko, aby zobaczyć, jaki jest wpływ na ściskanie (lub rozciąganie) w nogach, gdy pudełko zmienia swoją pozycję.

Naprężenie i odkształcenie objętościowe oraz moduł Helmholtza (moduł sprężystości objętościowej)

Kiedy zanurzamy się w wodzie, czujemy siłę naciskającą na każdą część ciała ze wszystkich stron. To, czego doświadczamy, jest to naprężenie objętościowe, czyli ciśnienie. Naprężenie objętościowe zawsze ma tendencję do zmniejszania objętości otoczonej powierzchnią zanurzonego obiektu. Siły ściskania zawsze są prostopadłe do powierzchni zanurzonego obiektu (Rysunek 12.21). Efektem ich działania jest zmniejszenie objętości zanurzonego obiektu o wielkość Δ V Δ V w porównaniu z objętością V 0 V 0 obiektu przy braku naprężeń objętościowych. Ten rodzaj odkształcenia nazywa się odkształceniem objętościowym i określa go zmiana objętości w stosunku do pierwotnej objętości:

odkształcenie objętościowe = Δ V V 0 . odkształcenie objętościowe = Δ V V 0 .
12.36
Rysunek przedstawia siły doświadczane przez obiekt przy naprężeniu objętościowym. Równe siły działają prostopadle do powierzchni obiektu ze wszystkich kierunków i zmniejszają objętość o wartość delta V w porównaniu z pierwotną objętością V0.
Rysunek 12.21 Objętość obiektu pod rosnącym naprężeniem objętościowym zawsze ulega zmniejszeniu. Równe siły działają prostopadle do powierzchni ze wszystkich stron. Efektem jest zmniejszenie objętości o wielkość Δ V Δ V w porównaniu z pierwotną wielkością V 0 . V 0 .

Odkształcenie objętościowe wynika z naprężenia objętościowego, czyli normalnej do powierzchni siły F F naciskającej na powierzchnię A A zanurzonego obiektu. Ta wielkość fizyczna oraz ciśnienie p p są zdefiniowane jako:

ciśnienie = p F A . ciśnienie = p F A .
12.37

Bardziej szczegółowo ciśnienie w płynach omówimy w rozdziale Mechanika płynów. Ważną cechą ciśnienia jest to, że stanowi ono wielkość skalarną i nie ma żadnego określonego kierunku, tzn. działa ono tak samo we wszystkich możliwych kierunkach. Kiedy zanurzymy rękę w wodzie, odczujemy, że na każdą powierzchnię dłoni (górną, dolną, boczną, między palcami) działa ciśnienie o takiej samej wartości. Jest to zwiększenie ciśnienia Δ p Δ p ponad to, co czujemy kiedy dłoń nie jest zanurzona w wodzie. Kiedy ręka nie jest zanurzona, odczuwamy ciśnienie normalne (ang. normal pressure) p 0 p 0 1 atm, które służy jako punkt odniesienia. Naprężeniem objętościowym jest wzrost ciśnienia Δ p Δ p ponad poziom normalny p 0 . p 0 .

Kiedy wzrasta naprężenie objętościowe, odpowiednio zwiększa się odkształcenie objętościowe, zgodnie z Równaniem 12.32. Stała proporcjonalności w tym stosunku nazywa się modułem Helmholtza (inaczej modułem sprężystości objętościowej lub modułem odkształcalności objętościowej) K K:

K = naprężenie objętościowe odkształcenie objętościowe = Δ p Δ V / V 0 = Δ p V 0 Δ V . K = naprężenie objętościowe odkształcenie objętościowe = Δ p Δ V / V 0 = Δ p V 0 Δ V .
12.38

Znak minus, który pojawia się w Równaniu 12.38 wprowadzono dla spójności, aby moduł K K był wielkością dodatnią. Należy zauważyć, że jest on konieczny, ponieważ wzrost ciśnienia o Δ p Δ p (dodatnia wartość) zawsze powoduje spadek objętości o Δ V Δ V , a zmniejszenie objętości jest wielkością ujemną. Odwrotność modułu Helmholtza nazywa się współczynnikiem sprężystości objętościowej bądź współczynnikiem ściśliwości (ang. compressibility) β β:

β = 1 K = Δ V / V 0 Δ p . β = 1 K = Δ V / V 0 Δ p .
12.39

Określenie ściśliwość jest stosowane w odniesieniu do płynów (gazów i cieczy). Współczynnik ściśliwości opisuje zmianę objętości płynu w jednostce wzrostu ciśnienia. Ciecz charakteryzująca się dużym współczynnikiem ściśliwości jest stosunkowo łatwa do sprężania (ściskania). Przykładowo ściśliwość wody to 4,64 10 5 a t m 1 4,64 10 5 a t m 1 , a ściśliwość acetonu 1,45 10 4 a t m 1 1,45 10 4 a t m 1 Oznacza to, że przy podwyższeniu ciśnienia o 1 atm względny spadek objętości jest blisko trzykrotnie większy dla acetonu niż dla wody.

Przykład 12.9

Prasa hydrauliczna

W prasie hydraulicznej na Rysunku 12.22 250 l oleju podlega zwiększeniu ciśnienia do 160 atm. Ściśliwość oleju to 2 10 5 a t m 1 2 10 5 a t m 1 , oblicz odkształcenie objętościowe i bezwzględny spadek objętości oleju, gdy urządzenie pracuje.
Rysunek prasy hydraulicznej. Mały tłok jest przemieszczany w dół i powoduje to, że duży tłok podtrzymujący obiekt przemieszcza się do góry.
Rysunek 12.22 Gdy mały tłok prasy hydraulicznej przemieszcza się w dół, ciśnienie w oleju przenosi się przez całą jego objętość do dużego tłoka. Niewielka siła przyłożona do małego tłoka powoduje powstanie siły nacisku o dużej wartości wywieranej przez duży tłok na podnoszony lub ściskany obiekt. Urządzenie działa jak mechaniczna dźwignia.

Strategia rozwiązania

Przekształcamy Równanie 12.39, aby znaleźć odkształcenie objętościowe. Objętość początkowa to V 0 = 250 l V 0 =250l.

Rozwiązanie

Wstawiwszy wartości do równania, otrzymujemy:
odkształcenie objętościowe = Δ V V 0 = Δ p K = β Δ p = 2 10 –5 a t m 1 160 a t m = 0,0032, odkształcenie objętościowe= Δ V V 0 = Δ p K =βΔp=2 10 –5 a t m 1 160 a t m =0,0032,
odpowiedź : Δ V = 0,0032 V 0 = 0,0032 250 l = 0,78 l .odpowiedź:ΔV=0,0032 V 0 =0,0032250 l =0,78 l .
12.40

Znaczenie

Zauważmy, że ze względu na to, że ściśliwość wody jest 2,32 razy większa od ściśliwości oleju, zmiana substancji roboczej w prasie hydraulicznej w tym przykładzie na wodę spowodowałaby zwiększenie naprężenia objętościowego i zmiany objętości o 2,32 razy.

Sprawdź, czy rozumiesz 12.11

Siła normalna działająca na każdą powierzchnię kostki stalowej o objętości 1 m 3 1 m 3 zmienia się o 1 10 7 N 1 10 7 N , oblicz wynikową zmianę objętości tej kostki.

Naprężenie i odkształcenie ścinające oraz moduł Kirchhoffa

Koncepcje naprężenia i odkształcenia ścinającego dotyczą jedynie ciał stałych. Budynki i płyty tektoniczne to przykłady obiektów, narażonych na naprężenia ścinające. Zasadniczo pojęcia te nie dotyczą płynów.

Odkształcenie ścinające występuje, gdy do przeciwległych powierzchni ciała stałego przyłożone są stycznie dwie równoległe przeciwnie skierowane siły o równej wartości, nie powodujące odkształcenia w kierunku poprzecznym do kierunku siły, jak w typowym przykładzie naprężenia ścinającego przedstawionym na Rysunku 12.23. Odkształcenie ścinające charakteryzuje się stopniowym przesunięciem Δ x Δ x warstw w kierunku stycznym do sił działających. Przesunięcie Δ x Δ x zachodzi w poprzecznym kierunku wzdłuż pewnej odległości L 0 . L 0 . Odkształcenie ścinające to stosunek największego przesunięcia Δ x Δ x do poprzecznej odległości L 0 L 0 :

odkształcenie ścinające = Δ x L 0 . odkształcenie ścinające = Δ x L 0 .
12.41

Odkształcenie ścinające jest spowodowane naprężeniem ścinającym. To ostatnie wywołują siły równoległe do powierzchni. Wartość siły F F na pole powierzchni A A, gdzie przykładana jest siła ścinająca, stanowi miarę naprężeń ścinających:

naprężenie ścinające = F A . naprężenie ścinające = F A .
12.42

Modułem Kirchhoffa (inaczej moduł ścinania, moduł sztywności, moduł odkształcalności postaciowej albo moduł sprężystości poprzecznej) jest stała proporcjonalności w Równaniu 12.32, określona przez stosunek naprężenia do odkształcenia. Moduł Kirchhoffa powszechnie oznacza się jako G G:

G = naprężenie ścinające odkształcenie ścinające = F / A Δ x / L 0 = F A L 0 Δ x . G = naprężenie ścinające odkształcenie ścinające = F / A Δ x / L 0 = F A L 0 Δ x .
12.43
Rysunek obiektu pod naprężeniem ścinającym: Die równoległe siły o równej wielkości są przykładane stycznie do przeciwległych równoległych powierzchni obiektu. W wyniku tego obiekt jest przekształcany z prostokąta na kształt równoległoboczny. Chociaż wysokość obiektu pozostaje taka sama, górne naroża przesuwają się w prawo o Delta X.
Rysunek 12.23 Obiekt pod wpływem naprężenia ścinającego: dwie antyrównoległe siły o takich samych wartościach są przykładane stycznie do przeciwległych powierzchni obiektu. Linia przerywana przedstawia odkształcenie. Nie ma zmiany w kierunku poprzecznym do sił działających i poprzeczna długość L 0 L 0 pozostaje taka sama. Odkształcenie ścinające charakteryzuje się stopniowym przesunięciem Δ x Δ x warstw w kierunku stycznym do sił.

Przykład 12.10

Stary regał na książki

Osoba sprzątająca stara się przesunąć ciężki regał z książkami na dywanik, naciskając (popychając) stycznie do powierzchni górnej półki. Jedyny zauważalny efekt tego wysiłku jest podobny do pokazanego na Rysunku 12.23 i znika on, gdy osoba sprzątająca przestaje naciskać. Regał ma 180 cm wysokości i 90 cm szerokości oraz cztery półki o głębokości 30 cm. Wszystkie są częściowo zastawione książkami. Całkowity ciężar szafki i książek wynosi 600 N. Jeśli dana osoba naciska na górną półkę siłą 50 N, wówczas przemieszcza ją poziomo o 15 cm w stosunku do nieruchomej półki. Oblicz moduł Kirchhoffa regału.

Strategia rozwiązania

Jedynymi istotnymi informacjami są wymiary regału, wartość siły stycznej i przesunięcie, które powoduje ta siła. Zapisujemy F = 50 N , Δ x = 15 cm , F = 50 N , Δ x = 15 cm , L 0 = 180 cm , L 0 = 180 cm , oraz A = 30 c m 90 c m = 2700 c m 2 A=30 c m 90 c m =2700 c m 2 i używamy Równania 12.43 do obliczenia modułu Kirchhoffa.

Rozwiązanie

Podstawiwszy liczby do równania, otrzymamy moduł Kirchhoffa:
G = F | | A L 0 Δ x = 50 N 2 700 cm 2 180 cm 15 cm = 2 9 10 4 N m 2 = 20 9 10 3 Pa = 2,222 kPa . G= F | | A L 0 Δ x = 50 N 2 700 cm 2 180 cm 15 cm = 2 9 10 4 N m 2 = 20 9 10 3 Pa=2,222kPa.

Możemy również wyliczyć naprężenie i odkształcenie, odpowiednio:

F A = 50 N 2700 cm 2 = 5 27 kPa = 185,2 Pa Δ x L 0 = 15 cm 180 cm = 1 12 = 0,083 . F A = 50 N 2700 cm 2 = 5 27 kPa = 185,2 Pa Δ x L 0 = 15 cm 180 cm = 1 12 = 0,083 .

Znaczenie

Jeśli w tym przykładzie osoba sprzątająca nacisnęłaby zbyt mocno na półkę, to spowodowane naciskiem ścinanie mogłoby zniszczyć regał. Mechanizm ścinania w znacznym stopniu odpowiada za awarie wypełnionych ziemią zapór i wałów oraz ogólnie powstawanie osuwisk.

Sprawdź, czy rozumiesz 12.12

Wyjaśnij, dlaczego koncepcje modułu Younga i moduł Kirchhoffa nie mają zastosowania do płynów.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.