Jay Abramson

Inténtelo

6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno

1.

$6 π$

2.

$\frac{1}{2}$ comprimida

3.

$\frac{π}{2};$ derecha

4.

2 unidades hacia arriba

5.

línea media: $y = 0;$ amplitud: $| A | = \frac{1}{2};$ periodo: $P = \frac{2 π}{| B |} = 6 π;$ desplazamiento de fase: $\frac{C}{B} = π$

6.

$f (x) = sen (x) + 2$

7.

dos posibilidades: $y = 4 sen (\frac{π}{5} x - \frac{π}{5}) + 4$ o $y = - 4 sen (\frac{π}{5} x + \frac{4 π}{5}) + 4$

8.

Gráfico de -0,8cos(2x). El gráfico tiene un rango de [-0.8, 0.8], un periodo de pi, una amplitud de 0,8, y se refleja alrededor del eje x en comparación con el de su función matriz cos(x).

línea media: $y = 0;$ amplitud: $| A | = 0,8;$ periodo: $P = \frac{2 π}{| B |} = π;$ desplazamiento de fase: $\frac{C}{B} = 0$ o ninguna de las anteriores

9.

Gráfico de -2cos((pi/3)x+(pi/6)). El gráfico tiene una amplitud de 2, un periodo de 6 y un desplazamiento de fase de 0,5 hacia la izquierda.

línea media: $y = 0;$ amplitud: $| A | = 2;$ periodo: $P = \frac{2 π}{| B |} = 6;$ desplazamiento de fase: $\frac{C}{B} = - \frac{1}{2}$

10.

7

Gráfico de 7cos(x). El gráfico tiene una amplitud de 7, un periodo de 2pi y un rango de [-7,7].

11.

$y = 3 \cos (x) - 4$

Gráfico de coseno con rango [-1,-7]. El periodo es de 2 pi. Máximos locales en (0,-1), (2pi,-1) y (4pi, -1). Mínimos locales en (pi,-7) y (3pi, -7).

6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas

1.

Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada, con asíntotas en x=-3 y x=3.

2.

Se reflejaría a través de la línea $y = - 1,$ para convertirse en una función creciente.

3.

$g (x) = 4 \tan (2 x)$

4.

Se trata de una reflexión vertical del gráfico anterior porque $A$ es negativo.

Gráfico de un periodo de una función secante modificada, que se parece a una parábola orientada hacia abajo y a una parábola orientada hacia arriba.

5.

Gráfico de un periodo de una función secante modificada. Hay dos asíntotas verticales, una aproximadamente en x=-pi/20 y otra aproximadamente en 3pi/16.

6.

7.

Gráfico de dos periodos de una función secante y coseno. El gráfico muestra que la función coseno tiene máximos locales donde la función secante tiene mínimos locales y viceversa.

6.3 Funciones trigonométricas inversas

1.

$\arccos (0,8776) \approx 0,5$

2.

Ⓐ $- \frac{π}{2};$
Ⓑ $- \frac{π}{4};$
Ⓒ $π;$
Ⓓ $\frac{π}{3}$

3.

1,9823 o 113,578°

4.

${sen}^{−1} (0,6) = 36,87° = 0,6435$ radianes

5.

$\frac{π}{8}; \frac{2 π}{9}$

6.

$\frac{3 π}{4}$

7.

$\frac{12}{13}$

8.

$\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

9.

$\frac{4 x}{\sqrt{16 x^{2} + 1}}$

6.1 Ejercicios de sección

1.

Las funciones seno y coseno tienen la propiedad de que $f (x + P) = f (x)$ para un determinado $P .$ Esto significa que los valores de la función se repiten para cada $P$ unidades en el eje x.

3.

El valor absoluto de la constante $A$ (amplitud) aumenta el alcance total y la constante $D$ (desplazamiento vertical) desplaza el gráfico verticalmente.

5.

En el punto en el que el lado terminal de $t$ interseca el círculo unitario, se puede determinar que el $sen t$ es igual a la coordenada de la y del punto.

7.

Gráfico de (2/3)cos(x). El gráfico tiene una amplitud de 2/3, un periodo de 2pi y un rango de [-2/3, 2/3].

amplitud: $\frac{2}{3};$ periodo: $2 π;$ línea media: $y = 0;$ máximo: $y = \frac{2}{3}$ se produce en $x = 0;$ mínimo: $y = - \frac{2}{3}$ se produce en $x = π;$ para un periodo, el gráfico comienza en 0 y termina en $2 π$

9.

Gráfico de 4sen(x). El gráfico tiene una amplitud de 4, un periodo de 2pi y un rango de [-4, 4].

amplitud: 4; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 0;$ máximo $y = 4$ se produce en $x = \frac{π}{2};$ mínimo: $y = - 4$ se produce en $x = \frac{3 π}{2};$ un periodo completo ocurre desde $x = 0$ hasta $x = 2 π$

11.

Gráfico de cos(2x). El gráfico tiene una amplitud de 1, un periodo de pi y un rango de [-1,1].

amplitud: 1; periodo: $π;$ línea media: $y = 0;$ máximo: $y = 1$ se produce en $x = π;$ mínimo: $y = - 1$ se produce en $x = \frac{π}{2};$ un periodo completo se grafica desde $x = 0$ hasta $x = π$

13.

Gráfico de 4cos(pi*x). El gráfico tiene una amplitud de 4, un periodo de 2 y un rango de [-4, 4].

amplitud: 4; periodo: 2; línea media: $y = 0;$ máximo: $y = 4$ se produce en $x = 0;$ mínimo: $y = - 4$ se produce en $x = 1$

15.

Gráfico de 3sen(8(x+4))+5. El gráfico tiene una amplitud de 3, un rango de [2, 8] y un periodo de pi/4.

amplitud: 3; periodo: $\frac{π}{4};$ línea media: $y = 5;$ máximo: $y = 8$ se produce en $x = 0,12;$ mínimo: $y = 2$ se produce en $x = 0,516;$ desplazamiento horizontal: $- 4;$ traslación vertical 5; se produce un periodo de $x = 0$ hasta $x = \frac{π}{4}$

17.

Gráfico de 5sen(5x+20)-2. El gráfico tiene una amplitud de 5, un periodo de 2pi/5 y un rango de [-7,3].

amplitud: 5; periodo: $\frac{2 π}{5};$ línea media: $y = −2;$ máximo: $y = 3$ se produce en $x = 0,08;$ mínimo: $y = −7$ se produce en $x = 0,71;$ desplazamiento de fase: $-4;$ traslación vertical: $−2;$ un periodo completo puede graficarse en $x = 0$ hasta $x = \frac{2 π}{5}$

19.

Gráfico de -cos(t+pi/3)+1. El gráfico tiene una amplitud de 1, un periodo de 2pi y un rango de [0,2]. Desplazamiento de fase pi/3 hacia la izquierda.

amplitud: 1; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 1;$ máximo: $y = 2$ se produce en $x = 2,09;$ máximo: $y = 2$ se produce en $t = 2,09;$ mínimo: $y = 0$ se produce en $t = 5,24;$ desplazamiento de fase: $- \frac{π}{3};$ traslación vertical: 1; un periodo completo es de $t = 0$ a $t = 2 π$

21.

Gráfico de -sen((1/2)*t + 5pi/3). El gráfico tiene una amplitud de 1, un rango de [-1,1], un periodo de 4pi y un desplazamiento de fase de -10pi/3.

amplitud: 1; periodo: $4 π;$ línea media: $y = 0;$ máximo: $y = 1$ se produce en $t = 11,52;$ mínimo: $y = - 1$ se produce en $t = 5,24;$ desplazamiento de fase: $- \frac{10 π}{3};$ desplazamiento vertical: 0

23.

amplitud: 2; línea media: $y = - 3;$ periodo: 4; ecuación: $f (x) = 2 sen (\frac{π}{2} x) - 3$

25.

amplitud: 2; periodo: 5; línea media: $y = 3;$ ecuación: $f (x) = - 2 \cos (\frac{2 π}{5} x) + 3$

27.

amplitud: 4; periodo: 2; línea media: $y = 0;$ ecuación: $f (x) = - 4 \cos (π (x - \frac{π}{2}))$

29.

amplitud: 2; periodo: 2; línea media: $y = 1;$ ecuación: $f (x) = 2 \cos (π x) + 1$

31.

$0, π$

33.

$sen (\frac{π}{2}) = 1$

35.

$\frac{π}{2}$

37.

$f (x) = sen x$ es simétrico.

39.

$\frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

41.

Máximo: $1$ en $x = 0$ ; mínimo: $-1$ a las $x = π$

43.

Se añade una función lineal a una función seno periódica. El gráfico no tiene amplitud porque, al aumentar la función lineal sin límite, la función combinada $h (x) = x + sen x$ también aumentará sin límites. El gráfico está acotado entre los gráficos de $y = x + 1$ y $y = x 1$ porque el seno oscila entre -1 y 1.

45.

No hay amplitud porque la función no está acotada.

47.

El gráfico es simétrico con respecto al eje y; además, no hay amplitud porque los límites de la función disminuyen a medida que $| x |$ aumenta. Parece que hay una asíntota horizontal en $y = 0$ .

6.2 Ejercicios de sección

1.

Dado que $y = \csc x$ es la función recíproca de $y = sen x,$ se puede trazar el recíproco de las coordenadas en el gráfico de $y = sen x$ para obtener las coordenadas de la y de $y = \csc x .$ Las intersecciones en x del gráfico $y = sen x$ son las asíntotas verticales del gráfico de $y = \csc x .$

3.

Las respuestas variarán. Utilizando el círculo unitario, se puede demostrar que $\tan (x + π) = \tan x .$

5.

El periodo es el mismo: $2 π .$

7.

IV

9.

III

11.

periodo: 8; desplazamiento horizontal: 1 unidad a la izquierda

13.

1,5

15.

5

17.

$- \cot x \cos x - sen x$

19.

Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada. Hay dos asíntotas verticales.

factor de estiramiento: 2; periodo: $\frac{π}{4};$ asíntotas: $x = \frac{1}{4} (\frac{π}{2} + π k) + 8, donde k es un número entero$

21.

Gráfico de dos periodos de una función cosecante modificada. Asíntotas verticales en x= -6, -3, 0, 3 y 6.

factor de estiramiento: 6; periodo: 6; asíntotas $x = 3 k, donde k es un número entero$

23.

Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada. Asíntotas verticales en múltiplos de pi.

factor de estiramiento: 1; periodo: $π;$ asíntotas: $x = π k, donde k es un número entero$

25.

Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada. Se muestran tres asíntotas verticales.

Factor de estiramiento: 1; periodo: $π;$ asíntotas: $x = \frac{π}{4} + π k, donde k es un número entero$

27.

Gráfico de dos periodos de una función cosecante modificada. Asíntotas verticales en múltiplos de pi.

factor de estiramiento: 2; periodo: $2 π;$ asíntotas: $x = π k, donde k es un número entero$

29.

Gráfico de dos periodos de una función secante modificada. Asíntotas verticales en x=-pi/2, -pi/6, pi/6 y pi/2.

factor de estiramiento: 4; periodo: $\frac{2 π}{3};$ asíntotas: $x = \frac{π}{6} k, donde k es un número entero impar$

31.

Gráfico de dos periodos de una función secante modificada. Hay cuatro asíntotas verticales separadas por pi/5.

factor de estiramiento: 7; punto $\frac{2 π}{5};$ asíntotas: $x = \frac{π}{10} k, donde k es un número entero impar$

33.

Gráfico de dos periodos de una función cosecante modificada. Tres asíntotas verticales, cada una separada por un pi.

factor de estiramiento: 2; periodo: $2 π;$ asíntotas: $x = - \frac{π}{4} + π k, donde k es un número entero$

35.

Gráfico de una función cosecante modificada. Cuatro asíntotas verticales.

factor de estiramiento: $\frac{7}{5};$ periodo: $2 π;$ asíntotas: $x = \frac{π}{4} + π k, donde k es un número entero$

37.

$y = \tan (3 (x - \frac{π}{4})) + 2$

Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada. Asíntotas verticales en x=-pi/4 y pi/12.

39.

$f (x) = \csc (2 x)$

41.

$f (x) = \csc (4 x)$

43.

$f (x) = 2 \csc x$

45.

$f (x) = \frac{1}{2} \tan (100 π x)$

47.

Gráfico del valor absoluto de la función cotangente. El rango es de 0 al infinito.

49.

51.

Gráfico de dos periodos de una función secante modificada. Asíntotas verticales en múltiplos de 500pi.

53.

55.

Ⓐ $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2});$
Ⓑ
Ⓒ $x = - \frac{π}{2}$ y $x = \frac{π}{2};$ la distancia crece sin límites a medida que $| x |$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ , es decir, en ángulo recto con la línea que representa el norte, el barco estaría tan lejos que el pescador no podría verlo;
Ⓓ 3; cuando $x = - \frac{π}{3},$ el barco está a 3 km;
Ⓔ 1,73; cuando $x = \frac{π}{6},$ el barco está a unos 1,73 km;
Ⓕ 1,5 km; cuando $x = 0$

57.

Ⓐ $h (x) = 2 \tan (\frac{π}{120} x);$
Ⓑ
Ⓒ $h (0) = 0 :$ después de 0 segundos, el cohete está a 0 millas sobre el suelo $h (30) = 2 :$ después de 30 segundos, los cohetes están a 2 millas de altura;
Ⓓ A medida que $x$ se acerca a los 60 segundos, los valores de $h (x)$ aumentan cada vez más. La distancia al cohete aumenta tanto que la cámara ya no puede seguirlo.

6.3 Ejercicios de sección

1.

La función $y = sen x$ es biunívoca en $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}];$ así, este intervalo es el rango de la función inversa de $y = sen x,$ $f (x) = {sen}^{- 1} x .$ La función $y = \cos x$ es biunívoca en $[0, π];$ así, este intervalo es el rango de la función inversa de $y = \cos x, f (x) = \cos^{- 1} x .$

3.

$\frac{π}{6}$ es la medida del radián de un ángulo entre $- \frac{π}{2}$ y $\frac{π}{2}$ cuyo seno es 0,5.

5.

Para que cualquier función tenga una inversa, deberá ser biunívoca y pasar la prueba de la línea horizontal. La función seno regular no es biunívoca, a menos que su dominio esté restringido de alguna manera. Los matemáticos han acordado restringir la función seno al intervalo $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ para que sea biunívoca y posea una inversa.

7.

Verdadero. El ángulo, $θ_{1}$ que es igual a $\arccos (- x)$ , $x > 0$ , será un ángulo de segundo cuadrante con ángulo de referencia, $θ_{2}$ , donde $θ_{2}$ es igual a $\arccos x$ , $x > 0$ . Dado que $θ_{2}$ es el ángulo de referencia para $θ_{1}$ , $θ_{2} = π - θ_{1}$ y $\arccos (- x)$ = $π - \arccos x$ -

9.

$- \frac{π}{6}$

11.

$\frac{3 π}{4}$

13.

$- \frac{π}{3}$

15.

$\frac{π}{3}$

17.

1,98

19.

0,93

21.

1,41

23.

0,56 radianes

25.

0

27.

0,71

29.

-0,71

31.

$- \frac{π}{4}$

33.

0,8

35.

$\frac{5}{13}$

37.

$\frac{x - 1}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}}$

39.

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

41.

$\frac{x + 0,5}{\sqrt{- x^{2} - x + \frac{3}{4}}}$

43.

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x + 1}$

45.

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x}$

47.

$t$

49.

Gráfico de la función arcocoseno de x, de -1 a 1. El rango de la función es de 0 a pi.

dominio $[- 1, 1];$ rango $[0, π]$

51.

aproximadamente $x = 0,00$

53.

0,395 radianes

55.

1,11 radianes

57.

1,25 radianes

59.

0,405 radianes

61.

No. El ángulo que forma la escalera con la horizontal es de 60 grados.

Ejercicios de repaso

1.

amplitud: 3; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 3;$ sin asíntotas

Gráfico de dos períodos con una función coseno matriz. El gráfico tiene un rango de [0,6] graficado sobre -2pi a 2pi. Máximos como -pi y pi.

3.

amplitud: 3; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 0;$ sin asíntotas

Gráfico de cuatro periodos con una función coseno matriz. Graficado de -4pi a 4pi. El rango es [-3,3].

5.

amplitud: 3; periodo: $2 π;$ línea media: $y = - 4;$ sin asíntotas

Gráfico de dos periodos de una función sinusoidal. El rango es [-7,-1]. Máximos en -5pi/4 y 3pi/4.

7.

amplitud: 6; periodo: $\frac{2 π}{3};$ línea media: $y = - 1;$ sin asíntotas

Gráfico sinusoidal en dos periodos. El rango es [-7,5], la amplitud es 6 y el periodo es 2pi/3.

9.

factor de estiramiento: ninguno; periodo: $π;$ línea media: $y = - 4;$ asíntotas: $x = \frac{π}{2} + π k,$ donde $k$ es un número entero

Gráfico de una función tangente en dos periodos. Graficado de -pi a pi, con asíntotas en -pi/2 y pi/2.

11.

factor de estiramiento: 3; periodo: $\frac{π}{4};$ línea media: $y = - 2;$ asíntotas: $x = \frac{π}{8} + \frac{π}{4} k,$ donde $k$ es un número entero

Gráfico de una función tangente en dos periodos. Asíntotas en -pi/8 y pi/8. Periodo de pi/4. Línea media en y=-2.

13.

amplitud: ninguna; periodo: $2 π;$ sin desplazamiento de fase; asíntotas: $x = \frac{π}{2} k,$ donde $k$ es un número entero impar

Gráfico de dos periodos de una función secante. Periodo de 2 pi, graficado de -2pi a 2pi. Asíntotas en -3pi/2, -pi/2, pi/2 y 3pi/2.

15.

amplitud: ninguna; periodo: $\frac{2 π}{5};$ sin desplazamiento de fase; asíntotas: $x = \frac{π}{5} k,$ donde $k$ es un número entero

Gráfico de una función cosecante sobre dos periodos y medio. Graficado de -pi a pi, periodo de 2pi/5.

17.

amplitud: ninguna; periodo: $4 π;$ sin desplazamiento de fase; asíntotas: $x = 2 π k,$ donde $k$ es un número entero

Gráfico de dos periodos de una función cosecante. Graficado de -4pi a 4pi. Asíntotas en múltiplos de 2pi. Periodo de 4pi.

19.

mayor: 20.000; menor: 4.000

21.

amplitud: 8.000; periodo: 10; deslizamiento de fase: 0

23.

En 2007, la población prevista es de 4.413 habitantes. En 2010, la población será de 11.924 habitantes.

25.

5 pulgadas.

27.

10 segundos

29.

$\frac{π}{6}$

31.

$\frac{π}{4}$

33.

$\frac{π}{3}$

35.

No hay solución

37.

$\frac{12}{5}$

39.

Los gráficos no son simétricos con respecto a la línea $y = x .$ Son simétricos con respecto al eje $y$ .

Un gráfico de coseno de x y secante de x. El coseno de x tiene máximos donde la secante tiene mínimos y viceversa. Asíntotas en x=-3pi/2, -pi/2, pi/2 y 3pi/2.

41.

Los gráficos lucen idénticos.

Dos gráficos de dos funciones idénticas en el intervalo [-1 a 1]. Ambos gráficos parecen sinusoidales.

Examen de práctica

1.

amplitud: 0,5; periodo: $2 π;$ línea media $y = 0$

Gráfico de dos periodos de una función sinusoidal, graficada de -2pi a 2pi. El rango es [-0,5,0,5]. Intersecciones en x en múltiplos de pi.

3.

amplitud: 5; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 0$

Dos periodos de una función seno, graficada de -2pi a 2pi. El rango es [-5,5], la amplitud es 5 y el periodo es 2pi.

5.

amplitud: 1; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 1$

Gráfico de dos periodos de una función coseno, graficada de -7pi/3 a 5pi/3. El rango es [0,2], el periodo es 2pi y la amplitud es 1.

7.

amplitud: 3; periodo: $6 π;$ línea media: $y = 0$

Gráfico de dos periodos de una función coseno, sobre -7pi/2 a 17pi/2. El rango es [-3,3], el periodo es 6pi y la amplitud es 3.

9.

amplitud: ninguna; periodo: $π;$ línea media: $y = 0,$ asíntotas: $x = \frac{2 π}{3} + π k,$ donde $k$ es un número entero

Gráfico de dos periodos de una función tangente de -5pi/6 a 7pi/6. El periodo es pi, la línea media en y=0.

11.

amplitud: ninguna; periodo: $\frac{2 π}{3};$ línea media: $y = 0,$ asíntotas: $x = \frac{π}{3} k,$ donde $k$ es un número entero

Gráfico de dos periodos de una función cosecante, de -2pi/3 a 2pi/3. Asíntotas verticales en múltiplos de pi/3. Periodo de 2pi/3.

13.

amplitud: ninguna; periodo: $2 π;$ línea media: $y = - 3$

Gráfico de dos periodos de una función cosecante, graficada de -9pi/4 a 7pi/4. El periodo es 2pi, la línea media en y=-3.

15.

amplitud: 2; periodo: 2; línea media: $y = 0;$ $f (x) = 2 sen (π (x - 1))$

17.

amplitud: 1; periodo: 12; desplazamiento de fase $−6;$ línea media $y = −3$

19.

$D (t) = 68 - 12 sen (\frac{π}{12} x)$

21.

periodo: $\frac{π}{6};$ desplazamiento horizontal: $−7$

23.

$f (x) = \sec (π x);$ periodo: 2; desplazamiento de fase: 0

25.

$4$

27.

Las vistas son diferentes porque el periodo de la onda es $\frac{1}{25} .$ En un dominio más grande, habrá más ciclos del gráfico.

Dos gráficos paralelos de una función sinusoidal. El primer gráfico se grafica de 0 a 1, el segundo de 0 a 3. Hay muchos periodos para cada uno.

29.

$\frac{3}{5}$

31.

En los intervalos aproximados $(0,5, 1), (1,6, 2,1), (2,6, 3,1), (3,7, 4,2), (4,7, 5,2), (5,6, 6,28)$

33.

$f (x) = 2 \cos (12 (x + \frac{π}{4})) + 3$

Gráfico de un periodo de una función coseno, graficada de -pi/4 a 0. El rango es [1,5], el periodo es pi/6.

35.

Este gráfico es periódico con un periodo de $2 π .$

Gráfico de dos periodos de una función sinusoidal. El gráfico tiene un periodo de 2pi.

37.

$\frac{π}{3}$

39.

$\frac{π}{2}$

41.

$\sqrt{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

43.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{4}}}$

45.

$\frac{x + 1}{x}$

47.

Falso

49.

aproximadamente 0,07 radianes

Capítulo 6

Inténtelo

6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno

6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas

6.3 Funciones trigonométricas inversas

6.1 Ejercicios de sección

6.2 Ejercicios de sección

6.3 Ejercicios de sección

Ejercicios de repaso

Examen de práctica