Capítulo 12

El valor de la función, la salida, en $x=a$ es $f\left(a\right).$ Cuando el $\underset{x\to a}{\mathrm{lím}}f\left(x\right)$ se toma, los valores de $x$ se acercan infinitamente a $a$ pero nunca son iguales a $a.$ A medida que los valores de $x$ se acercan a $a$ desde la izquierda y desde la derecha, el límite es el valor al que se acerca la función.

-4

-4

2

no existe

4

no existe

Las respuestas variarán.

Las respuestas variarán.

Las respuestas variarán.

Las respuestas variarán.

Las respuestas variarán.

Las respuestas variarán.

Las respuestas variarán.

7,38906

54,59815

$e^6\approx \mathrm{403,428794},$ $e^7\approx \mathrm{1.096,633158},$ $e^n$

$\underset{x\to -2}{\mathrm{lím}}f(x)=1$

$\underset{x\to 3}{\mathrm{lím}}\left(\frac{x^2-x-6}{x^2-9}\right)=\frac{5}{6}\approx \mathrm{0,83}$

$\underset{x\to 1}{\mathrm{lím}}\left(\frac{x^2–1}{x^2-3x+2}\right)=-\mathrm{2,00}$

$\underset{x\to 1}{\mathrm{lím}}\left(\frac{10–10x^2}{x^2-3x+2}\right)=\mathrm{20,00}$

$\underset{x\to \frac{-1}{2}}{\mathrm{lím}}\left(\frac{x}{4x^2+4x+1}\right)$ no existe. Los valores de la función disminuyen sin límite a medida que $x$ se acerca a –0,5 desde la izquierda o desde la derecha.

$\underset{x\to 0}{\mathrm{lím}}\frac{7\tan x}{3x}=\frac{7}{3}$

$\underset{x\to 0}{\mathrm{lím}}{e}^{e^{-\frac{1}{x^2}}}=\mathrm{1,0}$

$\underset{x\to -1^{-}}{\mathrm{lím}}\frac{\left|x+1\right|}{x+1}=\frac{-(x+1)}{(x+1)}=-1$ y $\underset{x\to -1^{+}}{\mathrm{lím}}\frac{\left|x+1\right|}{x+1}=\frac{(x+1)}{(x+1)}=1;$ ya que el límite derecho no es igual al límite izquierdo, $\underset{x\to -1}{\mathrm{lím}}\frac{\left|x+1\right|}{x+1}$ no existe.

$\underset{x\to -1}{\mathrm{lím}}\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$ no existe. La función aumenta sin límite a medida que $x$ se acerca a $-1$ desde cualquier lado.

$\underset{x\to 0}{\mathrm{lím}}\frac{5}{1-e^{\frac{2}{x}}}$ no existe. Los valores de la función se acercan a 5 por la izquierda y se acercan a 0 por la derecha.

Mediante el examen de los postulados y la comprensión de la física relativista, a medida que $v\to c,$ $m\to \infty .$ Lleve esto un paso más allá de la solución,

Si $f$ es una función polinómica, el límite de una función polinómica a medida que $x$ se acerca a $a$ siempre será $f\left(a\right).$

Puede significar (1) que los valores de la función aumentan o disminuyen sin límite a medida que $x$ se acerca a $c,$ o (2) los límites izquierdo y derecho no son iguales.

$\frac{-10}{3}$

6

$\frac{1}{2}$

6

no existe

$-12$

$-\frac{\sqrt{5}}{10}$

$-108$

1

6

1

1

no existe

$6+\sqrt{5}$

$\frac{3}{5}$

0

$-3$

no existe; el límite derecho no es el mismo que el límite izquierdo.

2

El límite no existe; el límite se acerca al infinito.

$4x+2h$

$2x+h+4$

$\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}$

$\frac{-1}{x(x+h)}$

$\frac{-1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$

$f\left(x\right)=\frac{x^2+5x+6}{x+3}$

no existe

52

Informalmente, si una función es continua en $x=c,$ entonces no hay interrupción en el gráfico de la función en $f\left(c\right),$ y $f\left(c\right)$ está definida.

discontinua en $a=-3$; $f(-3)$ no existe

discontinuidad removible en $a=–4$; $f(-4)$ no está definida

Discontinua en $a=3$; $\underset{x\to 3}{\mathrm{lím}}f(x)=3,$ pero $f(3)=6,$ lo cual no es igual al límite.

$\underset{x\to 2}{\mathrm{lím}}f(x)$ no existe.

$\underset{x\to 1^{-}}{\mathrm{lím}}f(x)=4;\underset{x\to 1^{+}}{\mathrm{lím}}f(x)=1$. Por lo tanto, $\underset{x\to 1}{\mathrm{lím}}f(x)$ no existe.

$\underset{x\to 1^{-}}{\mathrm{lím}}f(x)=5\ne \underset{x\to 1^{+}}{\mathrm{lím}}f(x)=-1$. Por lo tanto, $\underset{x\to 1}{\mathrm{lím}}f(x)$ no existe.

$\underset{x\to -3^{-}}{\mathrm{lím}}f(x)=-6$, $\underset{x\to -3^{+}}{\mathrm{lím}}f(x)=-\frac{1}{3}$

Por lo tanto, $\underset{x\to -3}{\mathrm{lím}}f(x)$ no existe.

$f\left(2\right)$ no está definido.

$f\left(-3\right)$ no está definido.

$f\left(0\right)$ no está definido.

Continua en $(-\infty ,\infty )$

Continua en $(-\infty ,\infty )$

Discontinua en $x=0$ y $x=2$

Discontinua en $x=0$

Continua en $(0,\infty )$

Continua en $[4,\infty )$

Continua en $(-\infty ,\infty )$.

1, pero no 2 ni 3

1 y 2, pero no 3

$f\left(0\right)$ es indefinida.

$(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$

A $x=-1,$ el límite no existe. A $x=1,$ $f\left(1\right)$ no existe.

A $x=2,$ parece ser una asíntota vertical, y el límite no existe.

$\frac{x^3+6x^2-7x}{\left(x+7\right)\left(x–1\right)}$

La función es discontinua en $x=1$ porque el límite cuando $x$ se acerca a 1 es 5 y $f\left(1\right)=2.$

La pendiente de una función lineal se mantiene igual. La derivada de una función general varía según $x.$ Tanto la pendiente de una línea como la derivada en un punto miden la tasa de cambio de la función.

La velocidad media es de 55 millas por hora. La velocidad instantánea a las 2:30 p. m. es de 62 millas por hora. La velocidad instantánea mide la velocidad del auto en un instante de tiempo mientras que la velocidad media da la velocidad del auto a lo largo de un intervalo.

La tasa media de cambio de la cantidad de agua en el tanque es de 45 galones por minuto. Si los valores de $f\left(x\right)$ es la función que da la cantidad de agua en el tanque en cualquier tiempo $t,$ entonces la tasa media de cambio de $f\left(x\right)$ entre $t=a$ y $t=b$ es $f(a)+45(b–a).$

$f^{\prime }(x)=-2$

$f^{\prime }(x)=4x+1$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{{(x-2)}^2}$

$\frac{-16}{{\left(3+2x\right)}^2}$

$f^{\prime }(x)=9x^2-2x+2$

$f^{\prime }(x)=0$

$-\frac{1}{3}$

indefinida

$f^{\prime }(x)=-6x-7$

$f^{\prime }(x)=9x^2+4x+1$

$y=12x-15$

$k=-10$ o $k=2$

Discontinua en $x=-2$ y $x=0.$ No es diferenciable en –2, 0, 2.

Discontinua en $x=5.$ No es diferenciable en –4, –2, 0, 1, 3, 4, 5.

$f\left(0\right)=-2$

$f\left(2\right)=-6$

$f^{\prime }\left(-1\right)=9$

$f^{\prime }\left(1\right)=-3$

$f^{\prime }\left(3\right)=9$

Las respuestas varían. La pendiente de la línea tangente cerca de $x=1$ es 2.

A las 12:30 p. m., la tasa de cambio del número de galones en el tanque es de –20 galones por minuto. Es decir, el tanque está perdiendo 20 galones por minuto.

A los 200 minutos después del mediodía, el volumen de galones en el tanque está cambiando a una tasa de 30 galones por minuto.

La altura del proyectil después de 2 segundos es de 96 pies.

La altura del proyectil en $t=3$ segundos son 96 pies.

La altura del proyectil es cero en $t=0$ y de nuevo en $t=5.$ En otras palabras, el proyectil comienza en el suelo y vuelve a caer a la Tierra después de 5 segundos.

$36\pi$

50,00 dólares por unidad, que es la tasa instantánea de cambio de los ingresos cuando se venden exactamente 10 unidades.

21 dólares por unidad

$ 36 dólares

$f\text{'}(x)=10a-1$

$\frac{4}{{\left(3-x\right)}^2}$

2

no existe

Discontinua en $x=-1(\underset{x\to a}{\mathrm{lím}}f(x)$ no existe $),x=3($discontinuidad de salto$)$, y$x=7(\underset{x\to a}{\mathrm{lím}}f(x)$ no existe$).$

$\begin{array}{ll}\underset{x\to -2}{\mathrm{lím}}\hfill & f(x)=0\hfill \end{array}$

No existe

$\frac{3}{5}$

$1$

$6$

$500$

$\frac{6}{7}$

A $x=4,$ la función tiene una asíntota vertical.

A $x=3,$ la función tiene una asíntota vertical.

Discontinuidad removible en $a=9$

Discontinuidad removible en $x=5$

Discontinuidad removible en $x=5$, discontinuidad en $x=1$

Discontinuidad removible en $x=2$, discontinuidad en $x=5$

$3$

$\frac{1}{(x+1)(x+h+1)}$

$\frac{e^{2x+2h}{e}^{2x}}{h}$

$10x3$

La función no sería diferenciable en 0, sin embargo, 0 no está en su dominio. Por lo tanto, es diferenciable en todo su dominio.

3

0

$\mathrm{-1}$

$\underset{x\to 2^{–}}{\mathrm{lím}}f(x)=-\frac{5}{2}a$ y $\underset{x\to 2^{+}}{\mathrm{lím}}f(x)=9$ Por lo tanto, el límite de la función a medida que $x$ se acerca a 2 no existe.

$\frac{1}{50}$

$1$

Discontinuidad removible en $x=3$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{3}{2a\frac{3}{2}}$

Discontinua en –2, 0, no diferenciable en –2, 0, 2

No es diferenciable en $x=0$ (sin límite)

La altura del proyectil en $t=2$ Segundos

La velocidad media de $t=1$ $t=2$

$\frac{1}{3}$

$0$

2

$x=1$

$y=-14x-18$

El gráfico no es diferenciable en $x=1$ (cúspide).

$f^{\text{'}}(x)=8x$

$f^{\text{'}}(x)=-\frac{1}{{\left(2+x\right)}^2}$

$f^{\text{'}}(x)=-3x^2$

$f\text{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x–1}}$