Capítulo 10

Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

Este caso especial sería un círculo.

Es simétrico respecto al eje x, al eje y y al origen.

sí; $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$

sí; $\frac{x^2}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=1$

$\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{7^2}=1;$ Puntos finales del eje mayor $\left(0,7\right)$ y $\left(0,-7\right).$ Puntos finales del eje menor $\left(2,0\right)$ y $\left(–2,0\right).$ Focos en $\left(0,3\sqrt{5}\right),\left(0,-3\sqrt{5}\right).$

$\frac{x^2}{{\left(1\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=1;$ Puntos finales del eje mayor $\left(1,0\right)$ y $\left(-1,0\right).$ Puntos finales del eje menor $\left(0,\frac{1}{3}\right),\left(0,-\frac{1}{3}\right).$ Focos en $\left(\frac{2\sqrt{2}}{3},0\right),\left(–\frac{2\sqrt{2}}{3},0\right).$

$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{7^2}+\frac{{\left(y-4\right)}^2}{5^2}=1;$ Puntos finales del eje mayor $\left(9,4\right),\left(-5,4\right).$ Puntos finales del eje menor $\left(2,9\right),\left(2,-1\right).$ Focos en $\left(2+2\sqrt{6},4\right),\left(2-2\sqrt{6},4\right).$

$\frac{{\left(x+5\right)}^2}{2^2}+\frac{{\left(y-7\right)}^2}{3^2}=1;$ Puntos finales del eje mayor $\left(-5,10\right),\left(-5,4\right).$ Puntos finales del eje menor $\left(-3,7\right),\left(-7,7\right).$ Focos en $\left(-5,7+\sqrt{5}\right),\left(-5,7-\sqrt{5}\right).$

$\frac{{\left(x–1\right)}^2}{3^2}+\frac{{\left(y-4\right)}^2}{2^2}=1;$ Puntos finales del eje mayor $\left(4,4\right),\left(–2,4\right).$ Puntos finales del eje menor $\left(1,6\right),\left(1,2\right).$ Focos en $\left(1+\sqrt{5},4\right),\left(1-\sqrt{5},4\right).$

$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}+\frac{{\left(y-5\right)}^2}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=1;$ Puntos finales del eje mayor $\left(3+3\sqrt{2},5\right),\left(3-3\sqrt{2},5\right).$ Puntos finales del eje menor $\left(3,5+\sqrt{2}\right),\left(3,5-\sqrt{2}\right).$ Focos en $\left(7,5\right),\left(-1,5\right).$

$\frac{{\left(x+5\right)}^2}{{\left(5\right)}^2}+\frac{{\left(y-2\right)}^2}{{\left(2\right)}^2}=1;$ Puntos finales del eje mayor $\left(0,2\right),\left(-10,2\right).$ Puntos finales del eje menor $\left(-5,4\right),\left(-5,0\right).$ Focos en $\left(-5+\sqrt{21},2\right),\left(-5-\sqrt{21},2\right).$

$\frac{{\left(x+3\right)}^2}{{\left(5\right)}^2}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{{\left(2\right)}^2}=1;$ Puntos finales del eje mayor $\left(2,-4\right),\left(-8,-4\right).$ Puntos finales del eje menor $\left(-3,-2\right),\left(-3,-6\right).$ Focos en $\left(-3+\sqrt{21},-4\right),\left(-3-\sqrt{21},-4\right).$

Focos $\left(-3,-1+\sqrt{11}\right),\left(-3,-1-\sqrt{11}\right)$

Foco $\left(0,0\right)$

Focos $\left(-10,30\right),\left(-10,-30\right)$

Centro $\left(0,0\right),$ Vértices $\left(4,0\right),\left(-4,0\right),(0,3),(0,-3),$ Focos $\left(\sqrt{7},0\right),\left(-\sqrt{7},0\right)$

Centro $\left(0,0\right),$ Vértices $\left(\frac{1}{9},0\right),\left(-\frac{1}{9},0\right),\left(0,\frac{1}{7}\right),\left(0,-\frac{1}{7}\right),$ Focos $\left(0,\frac{4\sqrt{2}}{63}\right),\left(0,-\frac{4\sqrt{2}}{63}\right)$

Centro $\left(-3,3\right),$ Vértices $\left(0,3\right),\left(-6,3\right),\left(-3,0\right),\left(-3,6\right),$ Foco $\left(-3,3\right)$

Observe que esta elipse es un círculo. El círculo solo tiene un foco, que coincide con el centro.

Centro $\left(1,1\right),$ Vértices $\left(5,1\right),\left(-3,1\right),\left(1,3\right),\left(1,-1\right),$ Focos $\left(1,1+2\sqrt{3}\right),\left(1,1-2\sqrt{3}\right)$

Centro $\left(-4,5\right),$ Vértices $\left(–2,5\right),\left(-6,4\right),\left(-4,6\right),\left(-4,4\right),$ Focos $\left(-4+\sqrt{3},5\right),\left(-4-\sqrt{3},5\right)$

Centro $\left(–2,1\right),$ Vértices $\left(0,1\right),\left(-4,1\right),\left(–2,5\right),\left(–2,-3\right),$ Focos $\left(–2,1+2\sqrt{3}\right),\left(–2,1-2\sqrt{3}\right)$

Centro $\left(–2,-2\right),$ Vértices $\left(0,-2\right),\left(-4,-2\right),\left(–2,0\right),\left(–2,-4\right),$ Foco $\left(–2,-2\right)$

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{29}=1$

$\frac{{\left(x-4\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-2\right)}^2}{1}=1$

$\frac{{\left(x+3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y-4\right)}^2}{4}=1$

$\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1$

$\frac{{\left(x+2\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y-2\right)}^2}{9}=1$

$\text{Área = 12π}\text{unidades}\text{al cuadrado}$

$\text{Área = 2}\sqrt{\text{5}}\text{π}$ unidades cuadradas.

$\text{Área = 9π}$ unidades cuadradas.

$\frac{x^2}{4h^2}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}{h}^2}=1$

$\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{144}=1$. Distancia = 17,32 pies

Aproximadamente 51,96 pies

Una hipérbola es el conjunto de puntos de un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es una constante positiva.

Los focos deben estar en el eje transversal y en el interior de la hipérbola.

El centro debe ser el punto medio del segmento de línea que une los focos.

sí $\frac{x^2}{6^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$

sí $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{5^2}=1$

$\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{6^2}=1;$ vértices: $\left(5,0\right),\left(-5,0\right);$ focos: $\left(\sqrt{61},0\right),\left(-\sqrt{61},0\right);$ asíntotas: $y=\frac{6}{5}x,y=-\frac{6}{5}x$

$\frac{y^2}{2^2}-\frac{x^2}{9^2}=1;$ vértices: $\left(0,2\right),\left(0,-2\right);$ focos: $\left(0,\sqrt{85}\right),\left(0,-\sqrt{85}\right);$ asíntotas: $y=\frac{2}{9}x,y=-\frac{2}{9}x$

$\frac{{\left(x–1\right)}^2}{3^2}-\frac{{\left(y-2\right)}^2}{4^2}=1;$ vértices: $\left(4,2\right),\left(–2,2\right);$ focos: $\left(6,2\right),\left(-4,2\right);$ asíntotas: $y=\frac{4}{3}\left(x–1\right)+2,y=–\frac{4}{3}\left(x–1\right)+2$

$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{7^2}-\frac{{\left(y+7\right)}^2}{7^2}=1;$ vértices: $\left(9,-7\right),\left(-5,-7\right);$ focos: $\left(2+7\sqrt{2},-7\right),\left(2-7\sqrt{2},-7\right);$ asíntotas: $y=x-9,y=-x-5$

$\frac{{\left(x+3\right)}^2}{3^2}-\frac{{\left(y-3\right)}^2}{3^2}=1;$ vértices: $\left(0,3\right),\left(-6,3\right);$ focos: $\left(-3+3\sqrt{2},1\right),\left(-3-3\sqrt{2},1\right);$ asíntotas: $y=x+6,y=-x$

$\frac{{\left(y-4\right)}^2}{2^2}-\frac{{\left(x-3\right)}^2}{4^2}=1;$ vértices: $\left(3,6\right),\left(3,2\right);$ focos: $\left(3,4+2\sqrt{5}\right),\left(3,4–2\sqrt{5}\right);$ asíntotas: $y=\frac{1}{2}\left(x-3\right)+4,y=-\frac{1}{2}\left(x-3\right)+4$

$\frac{{\left(y+5\right)}^2}{7^2}-\frac{{\left(x+1\right)}^2}{{70}^2}=1;$ vértices: $\left(-1,2\right),\left(-1,-12\right);$ focos: $\left(-1,-5+7\sqrt{101}\right),\left(-1,-5-7\sqrt{101}\right);$ asíntotas: $y=\frac{1}{10}\left(x+1\right)-5,y=-\frac{1}{10}\left(x+1\right)-5$

$\frac{{\left(x+3\right)}^2}{5^2}-\frac{{\left(y-4\right)}^2}{2^2}=1;$ vértices: $\left(2,4\right),\left(-8,4\right);$ focos: $\left(-3+\sqrt{29},4\right),\left(-3-\sqrt{29},4\right);$ asíntotas: $y=\frac{2}{5}\left(x+3\right)+4,y=-\frac{2}{5}\left(x+3\right)+4$

$y=\frac{2}{5}\left(x-3\right)-4,y=-\frac{2}{5}\left(x-3\right)-4$

$y=\frac{3}{4}\left(x–1\right)+1,y=-\frac{3}{4}\left(x–1\right)+1$

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

$\frac{{\left(x-6\right)}^2}{25}-\frac{{\left(y-1\right)}^2}{11}=1$