Jay Abramson

Ejercicios de repaso

Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables

En los siguientes ejercicios, determina si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones.

1.

$\begin{array}{l} 3 x - y = 4 \\ x + 4 y = - 3 \end{array}$ y $(- 1, 1)$

2.

$\begin{array}{l} 6 x - 2 y = 24 \\ - 3 x + 3 y = 18 \end{array}$ y $(9, 15)$

En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución para resolver el sistema de ecuaciones.

3.

$\begin{array}{l} 10 x + 5 y = −5 \\ 3 x - 2 y = −12 \end{array}$

4.

$\begin{array}{l} \frac{4}{7} x + \frac{1}{5} y = \frac{43}{70} \\ \frac{5}{6} x - \frac{1}{3} y = - \frac{2}{3} \end{array}$

5.

$\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 14 \\ 4 x + 8 y = 8 \end{array}$

En los siguientes ejercicios, utilice adición para resolver el sistema de ecuaciones.

6.

$\begin{array}{l} 3 x + 2 y = −7 \\ 2 x + 4 y = 6 \end{array}$

7.

$\begin{array}{r} 3 x + 4 y = 2 \\ 9 x + 12 y = 3 \end{array}$

8.

$\begin{array}{l} 8 x + 4 y = 2 \\ 6 x - 5 y = 0,7 \end{array}$

En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones.

9.

Una fábrica tiene un costo de producción $C (x) = 150 x + 15.000$ y una función de ingresos $R (x) = 200 x .$ ¿Cuál es el punto de equilibrio?

10.

Un artista cobra $C (x) = 50 x + 10.000,$ donde $x$ es el número total de asistentes a un espectáculo. El local cobra 75 dólares por entrada. ¿Después de cuántas entradas vendidas el local alcanza el punto de equilibrio y cuál es el valor del total de entradas vendidas en ese momento?

Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de tres ecuaciones utilizando la sustitución o la adición.

11.

$\begin{array}{l} 0,5 x - 0,5 y = 10 \\ - 0,2 y + 0,2 x = 4 \\ 0,1 x + 0,1 c = 2 \end{array}$

12.

$\begin{array}{r} 5 x + 3 y - z = 5 \\ 3 x - 2 y + 4 z = 13 \\ 4 x + 3 y + 5 z = 22 \end{array}$

13.

$\begin{array}{r} x + y + z = 1 \\ 2 x + 2 y + 2 z = 1 \\ 3 x + 3 y = 2 \end{array}$

14.

$\begin{array}{l} 2 x - 3 y + z = –1 \\ x + y + z = -4 \\ 4 x + 2 y - 3 z = 33 \end{array}$

15.

$\begin{array}{l} 3 x + 2 y - z = −10 \\ x - y + 2 z = 7 \\ - x + 3 y + z = –2 \end{array}$

16.

$\begin{array}{r} 3 x + 4 z = −11 \\ x - 2 y = 5 \\ 4 y - z = −10 \end{array}$

17.

$\begin{array}{r} 2 x - 3 y + z = 0 \\ 2 x + 4 y - 3 z = 0 \\ 6 x - 2 y - z = 0 \end{array}$

18.

$\begin{array}{r} 6 x - 4 y - 2 z = 2 \\ 3 x + 2 y - 5 z = 4 \\ 6 y - 7 z = 5 \end{array}$

En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones.

19.

Tres números impares suman 61. El menor es un tercio del mayor y el número del medio es 16 menos que el mayor. ¿Cuáles son los tres números?

20.

Un teatro local agota las entradas para su espectáculo. Venden las 500 entradas para una bolsa total de 8.070 dólares. Las entradas tenían un precio de 15 dólares para estudiantes, 12 para niños y 18 para adultos. Si la banda vendió el triple de entradas para adultos que para niños, ¿cuántas se vendieron de cada tipo?

Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales.

21.

$\begin{array}{l} y = x^{2} - 7 \\ y = 5 x - 13 \end{array}$

22.

$\begin{array}{l} y = x^{2} - 4 \\ y = 5 x + 10 \end{array}$

23.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 16 \\ y = x - 8 \end{array}$

24.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 25 \\ y = x^{2} + 5 \end{array}$

25.

$\begin{array}{r} x^{2} + y^{2} = 4 \\ y - x^{2} = 3 \end{array}$

En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación.

26.

$y > x^{2} - 1$

27.

$\frac{1}{4} x^{2} + y^{2} < 4$

En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de inecuaciones.

28.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + 2 x < 3 \\ y > - x^{2} - 3 \end{array}$

29.

$\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + y^{2} - 4 x < 4 \\ y < - x + 4 \end{array}$

30.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} < 1 \\ y^{2} < x \end{array}$

Fracciones parciales

En los siguientes ejercicios, descomponga en fracciones parciales.

31.

$\frac{- 2 x + 6}{x^{2} + 3 x + 2}$

32.

$\frac{10 x + 2}{4 x^{2} + 4 x + 1}$

33.

$\frac{7 x + 20}{x^{2} + 10 x + 25}$

34.

$\frac{x - 18}{x^{2} - 12 x + 36}$

35.

$\frac{- x^{2} + 36 x + 70}{x^{3} - 125}$

36.

$\frac{- 5 x^{2} + 6 x - 2}{x^{3} + 27}$

37.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 11}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

38.

$\frac{4 x^{4} - 2 x^{3} + 22 x^{2} - 6 x + 48}{x {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Matrices y operaciones con matrices

En los siguientes ejercicios, realice las operaciones solicitadas con las matrices dadas.

A = [\begin{array}{r} 4 & - 2 \\ 1 & 3 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 6 & 7 & - 3 \\ 11 & - 2 & 4 \end{array}], C = [\begin{array}{r} \begin{matrix} 6 & 7 \\ 11 & - 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 14 & 0 \end{matrix} \end{array}], D = [\begin{array}{r} 1 & - 4 & 9 \\ 10 & 5 & - 7 \\ 2 & 8 & 5 \end{array}], E = [\begin{array}{r} 7 & - 14 & 3 \\ 2 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & 9 \end{array}]

39.

$- 4 A$

40.

$10 D - 6 E$

41.

$B + C$

42.

$A B$

43.

$B A$

44.

$B C$

45.

$C B$

46.

$D E$

47.

$E D$

48.

$E C$

49.

$C E$

50.

$A^{3}$

Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan

En los siguientes ejercicios, escriba el sistema de ecuaciones lineales a partir de la matriz aumentada. Indique si habrá una solución única.

51.

$[\begin{array}{r} 1 & 0 & −3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 7 \\ −5 \\ 0 \end{array}]$

52.

$[\begin{array}{r} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} −9 \\ 4 \\ 3 \end{array}]$

En los siguientes ejercicios, escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.

53.

$\begin{array}{r} - 2 x + 2 y + z = 7 \\ 2 x - 8 y + 5 z = 0 \\ 19 x - 10 y + 22 c = 3 \end{array}$

54.

$\begin{array}{l} 4 x + 2 y - 3 z = 14 \\ - 12 x + 3 y + z = 100 \\ 9 x - 6 y + 2 z = 31 \end{array}$

55.

$\begin{array}{r} x + 3 z = 12 \\ - x + 4 y = 0 \\ y + 2 z = - 7 \end{array}$

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales mediante la eliminación de Gauss-Jordan.

56.

$\begin{array}{r} 3 x - 4 y = - 7 \\ - 6 x + 8 y = 14 \end{array}$

57.

$\begin{array}{r} 3 x - 4 y = 1 \\ - 6 x + 8 y = 6 \end{array}$

58.

$\begin{array}{l} - 1,1 x - 2,3 y = 6,2 \\ - 5,2 x - 4,1 y = 4,3 \end{array}$

59.

$\begin{array}{r} 2 x + 3 y + 2 z = 1 \\ - 4 x - 6 y - 4 z = - 2 \\ 10 x + 15 y + 10 z = 0 \end{array}$

60.

$\begin{array}{r} - x + 2 y - 4 z = 8 \\ 3 y + 8 z = - 4 \\ - 7 x + y + 2 z = 1 \end{array}$

Resolver sistemas con inversos

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la matriz.

61.

$[\begin{array}{r} - 0,2 & 1,4 \\ 1,2 & - 0,4 \end{array}]$

62.

$[\begin{array}{r} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{array}]$

63.

$[\begin{matrix} 12 & 9 & - 6 \\ - 1 & 3 & 2 \\ - 4 & - 3 & 2 \end{matrix}]$

64.

$[\begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}]$

En los siguientes ejercicios, halle las soluciones mediante el cálculo de la inversa de la matriz.

65.

$\begin{array}{l} 0,3 x - 0,1 y = - 10 \\ - 0,1 x + 0,3 y = 14 \end{array}$

66.

$\begin{array}{l} 0,4 x - 0,2 y = - 0,6 \\ - 0,1 x + 0,05 y = 0,3 \end{array}$

67.

$\begin{array}{r} 4 x + 3 y - 3 z = - 4,3 \\ 5 x - 4 y - z = - 6,1 \\ x + z = - 0,7 \end{array}$

68.

$\begin{array}{r} \begin{array}{l} - 2 x - 3 y + 2 z = 3 \end{array} \\ - x + 2 y + 4 z = - 5 \\ - 2 y + 5 z = - 3 \end{array}$

En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones.

69.

Se pidió a los estudiantes que trajeran a clase su fruta favorita. El 90 % de las frutas consistía en bananas, manzanas y naranjas. Si las naranjas fueran la mitad de populares que las bananas y las manzanas fueran el 5 % más populares que las bananas, ¿cuáles son los porcentajes de cada fruta?

70.

Un club escolar organizó una venta de pasteles para recaudar fondos y vendió brownies y galletas de chocolate. El precio de los brownies es de 2 dólares y el de las galletas de chocolate de 1 dólar. Recaudaron 250 dólares y vendieron 175 artículos. ¿Cuántos brownies y cuántas galletas se vendieron?

Resolver sistemas con la regla de Cramer

En los siguientes ejercicios, calcule el determinante.

71.

$| \begin{matrix} 100 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} |$

72.

$| \begin{matrix} 0,2 & - 0,6 \\ 0,7 & - 1,1 \end{matrix} |$

73.

$| \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & - 3 \end{matrix} |$

74.

$| \begin{matrix} \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \end{matrix} |$

En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Cramer para resolver los sistemas lineales de ecuaciones.

75.

$\begin{array}{r} 4 x - 2 y = 23 \\ - 5 x - 10 y = - 35 \end{array}$

76.

$\begin{array}{l} 0,2 x - 0,1 y = 0 \\ - 0,3 x + 0,3 y = 2,5 \end{array}$

77.

$\begin{array}{r} - 0,5 x + 0,1 y = 0,3 \\ - 0,25 x + 0,05 y = 0,15 \end{array}$

78.

$\begin{array}{l} x + 6 y + 3 z = 4 \\ 2 x + y + 2 z = 3 \\ 3 x - 2 y + z = 0 \end{array}$

79.

$\begin{array}{r} 4 x - 3 y + 5 z = - \frac{5}{2} \\ 7 x - 9 y - 3 z = \frac{3}{2} \\ x - 5 y - 5 z = \frac{5}{2} \end{array}$

80.

$\begin{array}{r} \frac{3}{10} x - \frac{1}{5} y - \frac{3}{10} z = - \frac{1}{50} \\ \frac{1}{10} x - \frac{1}{10} y - \frac{1}{2} z = - \frac{9}{50} \\ \frac{2}{5} x - \frac{1}{2} y - \frac{3}{5} z = - \frac{1}{5} \end{array}$