Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Hallar la suma y la diferencia de dos matrices.
Hallar múltiplos escalares de una matriz.
Hallar la multiplicación de dos matrices.

Figura 1 (Créditos: "SD Dirk", Flickr).

Dos equipos de fútbol de club, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevo equipamiento para una próxima temporada. La Tabla 1 muestra las necesidades de ambos equipos.

	Wildcats	Mud Cats
Porterías	6	10
Pelotas	30	24
Camisetas	14	20

Tabla 1

Una portería cuesta 300 dólares, un balón 10 dólares y una camiseta 30 dólares. ¿Cómo podemos calcular el costo total del equipamiento necesario para cada equipo? En esta sección descubrimos un método en el que los datos de la tabla de equipos de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Entonces, podremos calcular el costo del equipamiento.

Hallar la suma y la diferencia de dos matrices

Para resolver un problema como el descrito de los equipos de fútbol, podemos utilizar una matriz, que es un conjunto rectangular de números. La fila de una matriz es un conjunto de números alineados horizontalmente. La columna de una matriz es un conjunto de números alineados verticalmente. Cada número es una entrada, a veces llamado elemento, de la matriz. Las matrices (en plural) se encierran en [ ] o ( ), y suelen nombrarse con letras mayúsculas. Por ejemplo, tres matrices denominadas $A, B,$ y $C$ se muestran a continuación.

A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & −5 & 6 \\ 7 & 8 & 2 \end{matrix}], C = [\begin{matrix} −1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}]

Descripción de matrices

A menudo se hace referencia a una matriz por su tamaño o sus dimensiones: $m \times n$ indicando $m$ filas y $n$ columnas. Las entradas de la matriz se definen primero por fila y luego por columna. Por ejemplo, para localizar la entrada en la matriz $A$ identificada como $a_{i j},$ buscamos la entrada en la fila $i,$ columna $j .$ En la matriz $A,$ que se muestra a continuación, la entrada en la fila 2, columna 3 es $a_{23} .$

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}]

Una matriz cuadrada es una matriz de dimensiones $n \times n,$ lo que significa que tiene el mismo número de filas que de columnas. La matriz $3 \times 3$ La anterior es un ejemplo de matriz cuadrada.

Una matriz de filas es una matriz formada por una fila de dimensiones $1 \times n .$

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}]

Una matriz de columnas es una matriz formada por una columna de dimensiones $m \times 1.$

[\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix}]

Se puede utilizar una matriz para representar un sistema de ecuaciones. En estos casos, los números representan los coeficientes de las variables del sistema. Las matrices facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones porque no están cargadas de variables. Investigaremos esta idea más a fondo en la siguiente sección, pero primero veremos las operaciones con matrices básicas.

Matrices

Una matriz es un conjunto rectangular de números que se suele nombrar con una letra mayúscula $A, B, C,$ y así sucesivamente. Cada entrada de una matriz se denomina $a_{i j},$ de manera que $i$ representa la fila y $j$ representa la columna. Las matrices suelen denominarse por sus dimensiones $m \times n$ indicando $m$ filas y $n$ columnas.

Ejemplo 1

Hallar las dimensiones de la matriz dada y localizar las entradas

Matriz dada $A :$

Ⓐ ¿Cuáles son las dimensiones de la matriz $A ?$
Ⓑ ¿Cuáles son las entradas en $a_{31}$ y $a_{22} ?$
$A = [\begin{array}{r} 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 7 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}]$

Solución

Ⓐ Las dimensiones son $3 \times 3$ porque hay tres filas y tres columnas.
Ⓑ Entrada $a_{31}$ es el número de la fila 3, columna 1, que es el 3. La entrada $a_{22}$ es el número de la fila 2, columna 2, que es el 4. Recuerde que primero va la fila y luego la columna.

Suma y resta de matrices

Utilizamos las matrices para enumerar datos o representar sistemas. Como las entradas son números, podemos realizar operaciones con matrices. Sumamos o restamos matrices al sumar o restar las entradas correspondientes.

Para ello, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y la resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Podemos sumar o restar una matriz $3 \times 3$ y otra matriz $3 \times 3$ , pero no podemos sumar o restar una matriz $2 \times 3$ y una matriz $3 \times 3$ porque algunas entradas de una matriz no tendrán una entrada correspondiente en la otra matriz.

Suma y resta de matrices

Dadas las matrices $A$ y $B$ de dimensiones similares, la suma y la resta de $A$ y $B$ producirá la matriz $C$ o
la matriz $D$ de la misma dimensión.

A + B = C tal que a_{i j} + b_{i j} = c_{i j}

A - B = D tal que a_{i j} - b_{i j} = d_{i j}

La suma de matrices es conmutativa.

A + B = B + A

También es asociativa.

(A + B) + C = A + (B + C)

Ejemplo 2

Calcular la suma de matrices

Calcule la suma de $A$ y $B,$ dado

A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] y B = [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}]

Solución

Sume las entradas correspondientes.

\begin{array}{l} A + B = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] + [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} a + e & b + f \\ c + g & d + h \end{matrix}] \end{array}

Ejemplo 3

Sumar la matriz A y la matriz B

Calcule la suma de $A$ y $B .$

A = [\begin{matrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}] y B = [\begin{matrix} 5 & 9 \\ 0 & 7 \end{matrix}]

Solución

Sume las entradas correspondientes. Sume la entrada en la fila 1, columna 1, $a_{11},$ de la matriz $A$ a la entrada de la fila 1, columna 1, $b_{11},$ de $B .$ Continúe el patrón hasta que se hayan sumado todas las entradas.

\begin{array}{l} A + B = [\begin{matrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 5 & 9 \\ 0 & 7 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 4 + 5 & 1 + 9 \\ 3 + 0 & 2 + 7 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 9 & 10 \\ 3 & 9 \end{matrix}] \end{array}

Ejemplo 4

Calcular la diferencia de dos matrices

Calcule la diferencia de $A$ y $B .$

A = [\begin{matrix} −2 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix}] y B = [\begin{matrix} 8 & 1 \\ 5 & 4 \end{matrix}]

Solución

Restamos las entradas correspondientes de cada matriz.

\begin{array}{l} A - B = [\begin{array}{r} - 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{r} 8 & 1 \\ 5 & 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} - 2 - 8 & 3 - 1 \\ 0 - 5 & 1 - 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} - 10 & 2 \\ - 5 & - 3 \end{array}] \end{array}

Ejemplo 5

Calcular la suma y la diferencia de dos matrices 3 x 3

Dados $A$ y $B :$

Ⓐ Calcule la suma.
Ⓑ Calcule la diferencia.

A = [\begin{array}{r} 2 & −10 & −2 \\ 14 & 12 & 10 \\ 4 & −2 & 2 \end{array}] y B = [\begin{array}{r} 6 & 10 & −2 \\ 0 & −12 & -4 \\ −5 & 2 & −2 \end{array}]

Solución

Ⓐ Sume las entradas correspondientes.
$\begin{array}{l} A + B = [\begin{array}{r} 2 & - 10 & - 2 \\ 14 & 12 & 10 \\ 4 & - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{r} 6 & 10 & - 2 \\ 0 & - 12 & - 4 \\ - 5 & 2 & - 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 2 + 6 & - 10 + 10 & - 2 - 2 \\ 14 + 0 & 12 - 12 & 10 - 4 \\ 4 - 5 & - 2 + 2 & 2 - 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 8 & 0 & - 4 \\ 14 & 0 & 6 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array}] \end{array}$
Ⓑ Reste las entradas correspondientes.
$\begin{array}{l} A - B = [\begin{array}{r} 2 & −10 & −2 \\ 14 & 12 & 10 \\ 4 & −2 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{r} 6 & 10 & −2 \\ 0 & −12 & -4 \\ −5 & 2 & −2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 2 - 6 & −10 - 10 & −2 + 2 \\ 14 - 0 & 12 + 12 & 10 + 4 \\ 4 + 5 & −2 - 2 & 2 + 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} -4 & -20 & 0 \\ 14 & 24 & 14 \\ 9 & -4 & 4 \end{array}] \end{array}$

Inténtelo #1

Sume la matriz $A$ y la matriz $B .$

A = [\begin{array}{r} 2 & 6 \\ 1 & 0 \\ 1 & −3 \end{array}] y B = [\begin{array}{r} 3 & −2 \\ 1 & 5 \\ -4 & 3 \end{array}]

Hallar múltiplos escalares de una matriz

Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante denominada escalar. Recordemos que un escalar es una cantidad de números reales que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de una multiplicación escalar.

Considere un escenario del mundo real en el que una universidad necesita aumentar su inventario de computadoras, mesas de computadora y sillas en dos de los laboratorios del campus debido al aumento de las inscripciones. Calculan que se necesita un 15 % más de equipamiento en ambos laboratorios. El inventario actual de la escuela se muestra en la Tabla 2.

	Laboratorio A	Laboratorio B
Computadoras	15	27
Mesas de computadora	16	34
Sillas	16	34

Tabla 2

Al convertir los datos en una matriz, tenemos

C_{2013} = [\begin{matrix} 15 \\ 16 \\ 16 \end{matrix} \begin{matrix} 27 \\ 34 \\ 34 \end{matrix}]

Para calcular cuánto equipo informático se necesitará, multiplicamos todas las entradas de la matriz $C$ por 0,15.

(0,15) C_{2013} = [\begin{matrix} (0,15) 15 \\ (0,15) 16 \\ (0,15) 16 \end{matrix} \begin{matrix} (0,15) 27 \\ (0,15) 34 \\ (0,15) 34 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2,25 \\ 2,4 \\ 2,4 \end{matrix} \begin{matrix} 4,05 \\ 5,1 \\ 5,1 \end{matrix}]

Debemos redondear al siguiente número entero, por lo que la cantidad de equipos nuevos necesarios es

[\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 6 \end{matrix}]

Al sumar las dos matrices como se muestra a continuación, vemos las nuevas cantidades de inventario.

[\begin{matrix} 15 \\ 16 \\ 16 \end{matrix} \begin{matrix} 27 \\ 34 \\ 34 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 18 \\ 19 \\ 19 \end{matrix} \begin{matrix} 32 \\ 40 \\ 40 \end{matrix}]

Esto significa que

C_{2014} = [\begin{matrix} 18 \\ 19 \\ 19 \end{matrix} \begin{matrix} 32 \\ 40 \\ 40 \end{matrix}]

Así, el laboratorio A tendrá 18 computadoras, 19 mesas de computadora y 19 sillas; el laboratorio B tendrá 32 computadoras, 40 mesas de computadora y 40 sillas.

Multiplicación escalar

La multiplicación escalar consiste en hallar el producto de una constante por cada entrada de la matriz. Dado

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}]

el múltiplo escalar $c A$ es

\begin{array}{l} c A = c [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} c a_{11} & c a_{12} \\ c a_{21} & c a_{22} \end{matrix}] \end{array}

La multiplicación escalar es distributiva. Para las matrices $A, B,$ y $C$ con escalares $a$ y $b,$

\begin{array}{l} \begin{matrix} a (A + B) = a A + a B \\ (a + b) A = a A + b A \end{matrix} \end{array}

Ejemplo 6

Multiplicar la matriz por un escalar

Multiplique la matriz $A$ por el escalar 3.

A = [\begin{matrix} 8 & 1 \\ 5 & 4 \end{matrix}]

Solución

Multiplique cada entrada en $A$ por el escalar 3.

\begin{array}{l} 3 A = 3 [\begin{array}{r} 8 & 1 \\ 5 & 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 3 \cdot 8 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 5 & 3 \cdot 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 24 & 3 \\ 15 & 12 \end{array}] \end{array}

Inténtelo #2

Matriz dada $B,$ halle $−2 B$ donde

B = [\begin{matrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}]

Ejemplo 7

Calcular la suma de múltiplos escalares

Calcule la suma $3 A + 2 B .$

A = [\begin{array}{r} 1 & −2 & 0 \\ 0 & −1 & 2 \\ 4 & 3 & −6 \end{array}] y B = [\begin{array}{r} −1 & 2 & 1 \\ 0 & −3 & 2 \\ 0 & 1 & -4 \end{array}]

Solución

En primer lugar, calcule $3 A,$ entonces $2 B .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} 3 A = [\begin{array}{l} 3 \cdot 1 & 3 (−2) & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 (–1) & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 4 & 3 \cdot 3 & 3 (−6) \end{array}] \end{array} \\ = [\begin{array}{r} 3 & −6 & 0 \\ 0 & −3 & 6 \\ 12 & 9 & -18 \end{array}] \end{array}

\begin{array}{l} \begin{array}{l} 2 B = [\begin{array}{l} 2 (–1) & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 0 & 2 (−3) & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 (–4) \end{array}] \end{array} \\ = [\begin{array}{r} −2 & 4 & 2 \\ 0 & −6 & 4 \\ 0 & 2 & −8 \end{array}] \end{array}

Ahora, sume $3 A + 2 B .$

\begin{array}{l} 3 A + 2 B = [\begin{array}{r} 3 & −6 & 0 \\ 0 & −3 & 6 \\ 12 & 9 & -18 \end{array}] + [\begin{array}{r} −2 & 4 & 2 \\ 0 & −6 & 4 \\ 0 & 2 & −8 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 3 - 2 & −6 + 4 & 0 + 2 \\ 0 + 0 & −3 - 6 & 6 + 4 \\ 12 + 0 & 9 + 2 & -18 −8 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 1 & −2 & 2 \\ 0 & −9 & 10 \\ 12 & 11 & - 26 \end{array}] \end{array}

Calcular la multiplicación de dos matrices

Además de multiplicar una matriz por un escalar, podemos multiplicar dos matrices. Calcular la multiplicación de dos matrices solo es posible cuando las dimensiones internas son iguales, es decir, cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda. Si los valores de $A$ es una matriz $m \times r$ y $B$ es una matriz $r \times n$ , entonces la matriz producto $A B$ es una matriz $m \times n$ . Por ejemplo, el producto $A B$ es posible porque el número de columnas en $A$ es el mismo que el número de filas en $B .$ Si las dimensiones interiores no coinciden, el producto no está definido.

Multiplicamos las entradas de $A$ con entradas de $B$ de acuerdo con un patrón específico que se describe a continuación. El proceso de la multiplicación de matrices se hace más claro cuando se trabaja un problema con números reales.

Para obtener las entradas de la fila $i$ de $A B,$ multiplicamos las entradas de la fila $i$ de $A$ por columna $j$ en $B$ y sumamos. Por ejemplo, dadas las matrices $A$ y $B,$ donde las dimensiones de $A$ son $2 \times 3$ y las dimensiones de $B$ son $3 \times 3,$ el producto de $A B$ será una matriz $2 \times 3$ .

A = [\begin{array}{r} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}] y B = [\begin{array}{r} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{array}]

Multiplique y sume de la siguiente forma para obtener la primera entrada de la matriz producto $A B .$

Para obtener la entrada en la fila 1, columna 1 de $A B,$ multiplique la primera fila de $A$ por la primera columna de $B,$ y sumamos.
$[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31}$
Para obtener la entrada en la fila 1, columna 2 de $A B,$ multiplique la primera fila de $A$ por la segunda columna de $B,$ y sumamos.
$[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{12} \\ b_{22} \\ b_{32} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + a_{13} \cdot b_{32}$
Para obtener la entrada en la fila 1, columna 3 de $A B,$ multiplique la primera fila de $A$ por la tercera columna de $B,$ y sumamos.
$[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{13} \\ b_{23} \\ b_{33} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{13} + a_{12} \cdot b_{23} + a_{13} \cdot b_{33}$

Procedemos de la misma manera para obtener la segunda fila de $A B .$ En otras palabras, la fila 2 de $A$ por la columna 1 de $B;$ fila 2 de $A$ por la columna 2 de $B;$ fila 2 de $A$ por la columna 3 de $B .$ Cuando se haya culminado, la matriz producto será

A B = [\begin{matrix} \begin{array}{l} a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31} \end{array} \\ a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} + a_{23} \cdot b_{31} \end{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{l} a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + a_{13} \cdot b_{32} \end{array} \\ a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} + a_{23} \cdot b_{32} \end{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{l} a_{11} \cdot b_{13} + a_{12} \cdot b_{23} + a_{13} \cdot b_{33} \end{array} \\ a_{21} \cdot b_{13} + a_{22} \cdot b_{23} + a_{23} \cdot b_{33} \end{matrix}]

Propiedades de la multiplicación de matrices

Para las matrices $A, B,$ y $C$ las siguientes propiedades se mantienen.

La multiplicación de matrices es asociativa: $(A B) C = A (B C) .$
La multiplicación de matrices es distributiva: $\begin{array}{l} \begin{array}{l} C (A + B) = C A + C B, \end{array} \\ (A + B) C = A C + B C . \end{array}$

Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Ejemplo 8

Multiplicación de dos matrices

Multiplique la matriz $A$ y la matriz $B .$

A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}] y B = [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}]

Solución

Primero, comprobamos las dimensiones de las matrices. La matriz $A$ tiene dimensiones $2 \times 2$ y la matriz $B$ tiene dimensiones $2 \times 2.$ Las dimensiones interiores son las mismas por lo que podemos realizar la multiplicación. El producto tendrá las dimensiones $2 \times 2.$

Realizamos las operaciones descritas anteriormente.

Ejemplo 9

Multiplicación de dos matrices

Dados $A$ y $B :$

Ⓐ Calcule $A B .$
Ⓑ Calcule $B A .$

A = [\begin{array}{l} \begin{matrix} −1 & 2 & 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 & 0 & 5 \end{matrix} \end{array}] y B = [\begin{matrix} 5 \\ -4 \\ 2 \end{matrix} \begin{matrix} −1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}]

Solución

Ⓐ Como las dimensiones de $A$ son $2 \times 3$ y las dimensiones de $B$ son $3 \times 2,$ estas matrices pueden multiplicarse entre sí porque el número de columnas de $A$ coincide con el número de filas de $B .$ El producto resultante será una matriz $2 \times 2$ , el número de filas de $A$ por el número de columnas de $B .$
$\begin{array}{l} A B = [\begin{array}{r} −1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \end{array}] [\begin{array}{r} 5 & −1 \\ - 4 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −1 (5) + 2 (–4) + 3 (2) & −1 (–1) + 2 (0) + 3 (3) \\ 4 (5) + 0 (–4) + 5 (2) & 4 (–1) + 0 (0) + 5 (3) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −7 & 10 \\ 30 & 11 \end{array}] \end{array}$
Ⓑ Las dimensiones de $B$ son $3 \times 2$ y las dimensiones de $A$ son $2 \times 3.$ Las dimensiones interiores coinciden, por lo que el producto está definido y será una matriz $3 \times 3$ .
$\begin{array}{l} B A = [\begin{array}{r} 5 & −1 \\ -4 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] [\begin{array}{r} −1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 5 (–1) + −1 (4) & 5 (2) + −1 (0) & 5 (3) + −1 (5) \\ -4 (–1) + 0 (4) & -4 (2) + 0 (0) & -4 (3) + 0 (5) \\ 2 (–1) + 3 (4) & 2 (2) + 3 (0) & 2 (3) + 3 (5) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −9 & 10 & 10 \\ 4 & −8 & −12 \\ 10 & 4 & 21 \end{array}] \end{array}$

Análisis

Tenga en cuenta que los productos $A B$ y $B A$ no son iguales.

A B = [\begin{matrix} −7 & 10 \\ 30 & 11 \end{matrix}] \neq [\begin{matrix} −9 & 10 & 10 \\ 4 & −8 & −12 \\ 10 & 4 & 21 \end{matrix}] = B A

Esto ilustra el hecho de que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Preguntas y respuestas

¿Es posible que se defina AB pero no BA?

Sí, consideremos una matriz A de dimensión $3 \times 4$ y la matriz B con dimensión $4 \times 2.$ Para el producto AB las dimensiones interiores son 4 y el producto está definido, pero para el producto BA las dimensiones interiores son 2 y 3 por lo que el producto no está definido.

Ejemplo 10

Usar matrices en problemas del mundo real

Volvamos al problema presentado al principio de esta sección. Tenemos la Tabla 3, que representa las necesidades de equipamiento de dos equipos de fútbol.

	Wildcats	Mud Cats
Porterías	6	10
Pelotas	30	24
Camisetas	14	20

Tabla 3

También se nos facilitan los precios de los equipos, como se indica en la Tabla 4.

Meta	300 dólares
Balón	10 dólares
Camiseta	30 dólares

Tabla 4

Convertiremos los datos en matrices. Así, la matriz de necesidades de equipamiento se escribe como

E = [\begin{matrix} 6 \\ 30 \\ 14 \end{matrix} \begin{matrix} 10 \\ 24 \\ 20 \end{matrix}]

La matriz de costos se escribe como

C = [\begin{matrix} 300 & 10 & 30 \end{matrix}]

Realizamos una multiplicación de matrices para obtener los costos de los equipos

\begin{array}{l} C E = [\begin{array}{r} 300 & 10 & 30 \end{array}] [\begin{array}{r} 6 & 10 \\ 30 & 24 \\ 14 & 20 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 300 (6) + 10 (30) + 30 (14) & 300 (10) + 10 (24) + 30 (20) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 2.520 & 3.840 \end{array}] \end{array}

El costo total del equipamiento de los Wildcats es de 2.520 dólares y el de los Mud Cats de 3.840 dólares.

Cómo

Dada una operación de matrices, evalúe utilizando una calculadora.

Guarde cada matriz como una variable de matriz. $[A], [B], [C], ...$
Introduzca la operación en la calculadora, llamando a cada variable de la matriz según sea necesario.
Si la operación está definida, la calculadora presentará la matriz de solución; si la operación no está definida, mostrará un mensaje de error.

Ejemplo 11

Usar una calculadora para realizar operaciones con matrices

Calcule $A B - C$ dado

A = [\begin{array}{r} −15 & 25 & 32 \\ 41 & −7 & −28 \\ 10 & 34 & −2 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 45 & 21 & -37 \\ −24 & 52 & 19 \\ 6 & −48 & −31 \end{array}], y C = [\begin{array}{r} -100 & -89 & −98 \\ 25 & -56 & 74 \\ –67 & 42 & -75 \end{array}] .

Solución

En la página de matrices de la calculadora, introducimos la matriz $A$ arriba como la variable de la matriz $[A],$ $B$ arriba como la variable de la matriz $[B],$ y la matriz $C$ arriba como la variable de la matriz $[C] .$

En la pantalla de inicio de la calculadora, escribimos el problema y llamamos a cada variable de la matriz según sea necesario.

[A] [B] - [C]

La calculadora nos da la siguiente matriz.

[\begin{array}{r} - 983 & - 462 & 136 \\ 1, 820 & 1, 897 & - 856 \\ - 311 & 2, 032 & 413 \end{array}]

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las matrices y las operaciones con matrices.

9.5 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Podemos sumar dos matrices cualesquiera? Si es así, explique por qué; si no, explique por qué no y dé un ejemplo de dos matrices que no puedan sumarse.

2.

¿Podemos multiplicar cualquier matriz de columnas por cualquier matriz de filas? Explique por qué sí o por qué no.

3.

¿Se pueden definir los productos $A B$ y $B A$ ? Si es así, explique cómo; si no, explique por qué.

4.

¿Dos matrices del mismo tamaño se pueden multiplicar? Si es así, explique por qué, y si no, explique por qué no y dé un ejemplo de dos matrices del mismo tamaño que no se puedan multiplicar juntas.

5.

¿La multiplicación de matrices es conmutativa? Es decir, ¿es $A B = B A ?$ Si es así, demuestre por qué lo es. Si no, explique por qué no lo es.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación y realice la suma o la resta de matrices. Indicar si la operación es indefinida.

A = [\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 7 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 2 & 14 \\ 22 & 6 \end{matrix}], C = [\begin{matrix} 1 & 5 \\ 8 & 92 \\ 12 & 6 \end{matrix}], D = [\begin{matrix} 10 & 14 \\ 7 & 2 \\ 5 & 61 \end{matrix}], E = [\begin{matrix} 6 & 12 \\ 14 & 5 \end{matrix}], F = [\begin{matrix} 0 & 9 \\ 78 & 17 \\ 15 & 4 \end{matrix}]

6.

$A + B$

7.

$C + D$

8.

$A + C$

9.

$B - E$

10.

$C + F$

11.

$D - B$

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación escalar.

A = [\begin{array}{r} 4 & 6 \\ 13 & 12 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 3 & 9 \\ 21 & 12 \\ 0 & 64 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 16 & 3 & 7 & 18 \\ 90 & 5 & 3 & 29 \end{array}], D = [\begin{array}{r} 18 & 12 & 13 \\ 8 & 14 & 6 \\ 7 & 4 & 21 \end{array}]

12.

$5 A$

13.

$3 B$

14.

$−2 B$

15.

$-4 C$

16.

$\frac{1}{2} C$

17.

$100 D$

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación.

A = [\begin{array}{r} −1 & 5 \\ 3 & 2 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 3 & 6 & 4 \\ −8 & 0 & 12 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 4 & 10 \\ −2 & 6 \\ 5 & 9 \end{array}], D = [\begin{array}{r} 2 & −3 & 12 \\ 9 & 3 & 1 \\ 0 & 8 & −10 \end{array}]

18.

$A B$

19.

$B C$

20.

$C A$

21.

$B D$

22.

$D C$

23.

$C B$

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación.

A = [\begin{array}{r} 2 & −5 \\ 6 & 7 \end{array}], B = [\begin{array}{r} −9 & 6 \\ -4 & 2 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 0 & 9 \\ 7 & 1 \end{array}], D = [\begin{array}{r} −8 & 7 & −5 \\ 4 & 3 & 2 \\ 0 & 9 & 2 \end{array}], E = [\begin{array}{r} 4 & 5 & 3 \\ 7 & −6 & −5 \\ 1 & 0 & 9 \end{array}]

24.

$A + B - C$

25.

$4 A + 5 D$

26.

$2 C + B$

27.

$3 D + 4 E$

28.

$C -0,5 D$

29.

$100 D −10 E$

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista: $A^{2} = A \cdot A$ )

A = [\begin{array}{r} −10 & 20 \\ 5 & 25 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 40 & 10 \\ -20 & 30 \end{array}], C = [\begin{array}{r} −1 & 0 \\ 0 & −1 \\ 1 & 0 \end{array}]

30.

$A B$

31.

$B A$

32.

$C A$

33.

$B C$

34.

$A^{2}$

35.

$B^{2}$

36.

$C^{2}$

37.

$B^{2} A^{2}$

38.

$A^{2} B^{2}$

39.

${(A B)}^{2}$

40.

${(B A)}^{2}$

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista: $A^{2} = A \cdot A$ )

A = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}], B = [\begin{array}{r} −2 & 3 & 4 \\ −1 & 1 & −5 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 0,5 & 0,1 \\ 1 & 0,2 \\ -0,5 & 0,3 \end{array}], D = [\begin{array}{r} 1 & 0 & −1 \\ −6 & 7 & 5 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}]

41.

$A B$

42.

$B A$

43.

$B D$

44.

$D C$

45.

$D^{2}$

46.

$A^{2}$

47.

$D^{3}$

48.

$(A B) C$

49.

$A (B C)$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. Utilice una calculadora para verificar su solución.

A = [\begin{array}{r} −2 & 0 & 9 \\ 1 & 8 & −3 \\ 0,5 & 4 & 5 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 0,5 & 3 & 0 \\ -4 & 1 & 6 \\ 8 & 7 & 2 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

50.

$A B$

51.

$B A$

52.

$C A$

53.

$B C$

54.

$A B C$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la matriz que aparece a continuación para realizar la operación indicada.

B = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]

55.

$B^{2}$

56.

$B^{3}$

57.

$B^{4}$

58.

$B^{5}$

59.

Utilizando las preguntas anteriores, halle una fórmula para $B^{n} .$ Pruebe la fórmula para $B^{201}$ y $B^{202},$ utilizando una calculadora.

9.5 Matrices y operaciones con matrices

Hallar la suma y la diferencia de dos matrices

Descripción de matrices

Hallar las dimensiones de la matriz dada y localizar las entradas

Solución

Suma y resta de matrices

Calcular la suma de matrices

Solución

Sumar la matriz A y la matriz B

Solución

Calcular la diferencia de dos matrices

Solución

Calcular la suma y la diferencia de dos matrices 3 x 3

Solución

Hallar múltiplos escalares de una matriz

Multiplicar la matriz por un escalar

Solución

Calcular la suma de múltiplos escalares

Solución

Calcular la multiplicación de dos matrices

Multiplicación de dos matrices

Solución

Multiplicación de dos matrices

Solución

Análisis

Usar matrices en problemas del mundo real

Usar una calculadora para realizar operaciones con matrices

Solución

9.5 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

En tecnología

Extensiones