4.3 Funciones logarítmicas

Convertir de la forma logarítmica a la exponencial

Para analizar la magnitud de un movimiento telúrico o compararla con la de otro, debemos estar en capacidad de convertir entre la forma logarítmica y la exponencial. Por ejemplo, supongamos que la cantidad de energía que libera un terremoto es 500 veces mayor que la cantidad de energía que libera otro. Queremos calcular la diferencia en la magnitud. La ecuación que representa este problema es ${10}^x=500,$ donde $x$ representa la diferencia de magnitud en la escala de Richter. ¿Cómo podríamos resolver $x?$

Todavía no hemos aprendido el método para resolver ecuaciones exponenciales. Ninguna de las herramientas algebraicas que se han analizado hasta ahora basta para resolver ${10}^x=500.$ Sabemos que ${10}^2=100$ y ${10}^3=1.000,$ por lo que está claro que $x$ deberá ser algún valor entre 2 y 3, ya que $y={10}^x$ aumenta. Podemos examinar un gráfico, como en la Figura 2, para estimar mejor la solución.

Figura 2

Sin embargo, la estimación a partir de un gráfico es imprecisa. Para hallar una solución algebraica, debemos introducir una nueva función. Observe que el gráfico en la Figura 2 pasa la prueba de la línea horizontal. La función exponencial $y=b^x$ es biunívoca, por lo que su inversa, $x=b^y$ también es una función. Como ocurre con todas las funciones inversas, simplemente intercambiamos la $x$ como $y$, a la vez que resolvemos para $y$ con el fin de dar con la función inversa. Para representar $y$ en función de $x,$ utilizamos una función logarítmica de la forma $y={\log }_b\left(x\right).$ La base $b$ logaritmo de un número es el exponente por el que debemos elevar $b$ para obtener esa cifra.

Leemos una expresión logarítmica como: "El logaritmo con base $b$ de $x$ es igual a $y",$ o, simplificado, la "base logarítmica $b$ de $x$ es $y.$ «”. También podemos enunciar: " $b$ elevado a la potencia de $y$ es $x",$ porque los logaritmos son exponentes. Por ejemplo, el logaritmo de base 2 de 32 es 5, porque 5 es el exponente que debemos aplicar a 2 para obtener 32. Dado que $2^5=32,$ podemos escribir ${\log }_{2}32=5.$ Lo leemos como “la base logarítmica 2 de 32 es 5".

Podemos expresar la relación entre la forma logarítmica y su correspondiente forma exponencial como sigue:

Tenga en cuenta que la base $b$ es siempre positiva.

Dado que el logaritmo es una función, la manera más correcta de escribirlo es: ${\log }_b(x),$ con paréntesis para denotar la evaluación de la función, al igual que haríamos con $f(x).$ Sin embargo, cuando la entrada es una sola variable o un número, es común ver los paréntesis eliminados y la expresión escrita sin paréntesis, como ${\log }_{b}x.$ Tenga en cuenta que muchas calculadoras requieren paréntesis alrededor de la $x.$

Podemos ilustrar la notación de los logaritmos de la siguiente manera:

Observe que, al comparar la función logarítmica y la función exponencial, la entrada y la salida se intercambian. Esto significa que $y={\log }_b\left(x\right)$ y de $y=b^x$ son funciones inversas.

Convertir de la forma exponencial a la forma logarítmica

Para convertir de exponentes a logaritmos, seguimos los mismos pasos, pero a la inversa. Identificamos la base $b,$ exponente $x,$ y salida $y.$ Entonces escribimos $x={\log }_b\left(y\right).$

Evaluar logaritmos

Conocer los cuadrados, cubos y raíces de los números nos permite evaluar mentalmente muchos logaritmos. Por ejemplo, considere ${\log }_{2}8.$ Nos preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar $2$ para obtener el 8?”. Dado que ya sabemos que $2^3=8,$ se deduce que ${\log }_{2}8=3.$

Ahora, considere resolver ${\log }_{7}49$ y ${\log }_{3}27$ mentalmente.

• Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 7 para obtener 49?”. Sabemos que $7^2=49.$ Por lo tanto, ${\log }_{7}49=2$
• Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 3 para obtener 27?”. Sabemos que $3^3=27.$ Por lo tanto, ${\log }_{3}27=3$

Incluso algunos logaritmos aparentemente más complicados pueden evaluarse sin necesidad de la calculadora. Por ejemplo, evaluemos ${\log }_{\frac{2}{3}}\frac{4}{9}$ mentalmente.

• Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar $\frac{2}{3}$ para obtener $\frac{4}{9}?$ “. Sabemos que $2^2=4$ y $3^2=9,$ tal que ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}.$ Por lo tanto, ${\log }_{\frac{2}{3}}\left(\frac{4}{9}\right)=2.$

Usar logaritmos comunes

A veces podemos ver un logaritmo escrito sin base. En este caso, suponemos que la base es 10. En otras palabras, la expresión $\log \left(x\right)$ significa ${\log }_{10}\left(x\right).$ Llamamos logaritmo común a un logaritmo de base 10. Los logaritmos comunes se utilizan para medir la escala de Richter que se menciona al principio de la sección. Las escalas para medir el brillo de las estrellas y el pH de los ácidos y las bases también utilizan logaritmos comunes.

Usar logaritmos naturales

La base más utilizada para los logaritmos es $e.$Los logaritmos con base $e$ son importantes en el cálculo y en algunas aplicaciones científicas; reciben el nombre de logaritmos naturales. El logaritmo con base $e$, ${\log }_e\left(x\right),$ tiene su propia notación, $\ln (x).$

La mayoría de los valores de $\ln \left(x\right)$ se hallan únicamente con la calculadora. La mayor excepción es esa, porque el logaritmo de 1 es siempre 0 en cualquier base, $\ln 1=0.$ Para otros logaritmos naturales, podemos utilizar la tecla $\ln$, que se encuentra en la mayoría de las calculadoras científicas. También podemos hallar el logaritmo natural de cualquier potencia de $e$ utilizando la propiedad inversa de los logaritmos.