Jay Abramson

Ejercicios de repaso

Ha llegado al final del capítulo 3: Funciones polinómicas y racionales. Repasemos algunos de los términos, conceptos y ecuaciones clave que aprendió.

Números complejos

Realice la operación indicada con números complejos.

1.

$(4 + 3 i) + (- 2 - 5 i)$

2.

$(6 - 5 i) - (10 + 3 i)$

3.

$(2 - 3 i) (3 + 6 i)$

4.

$\frac{2 - i}{2 + i}$

Resuelva las siguientes ecuaciones sobre el sistema de números complejos.

5.

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

6.

$x^{2} + 2 x + 10 = 0$

Funciones cuadráticas

En los siguientes ejercicios, escriba la función cuadrática en forma estándar. A continuación, dé los vértices y las intersecciones de los ejes. Por último, grafique la función.

7.

$f (x) = x^{2} - 4 x - 5$

8.

$f (x) = - 2 x^{2} - 4 x$

En los siguientes problemas, halle la ecuación de la función cuadrática con la información dada.

9.

El vértice es $(- 2, 3)$ y un punto en el gráfico es $(3, 6) .$

10.

El vértice es $(- 3, 6,5)$ y un punto en el gráfico es $(2, 6) .$

Responda las siguientes preguntas.

11.

Una parcela rectangular será cercada con vallas. Uno de los lados está junto a un río, por lo que no hace falta la valla. Si el total de vallas disponibles es de 600 metros, calcule las dimensiones de la parcela para tener la máxima superficie.

12.

Un objeto proyectado desde el suelo en un ángulo de 45 grados a una velocidad inicial de 120 pies por segundo tiene altura, $h,$ en términos de distancia horizontal recorrida, $x,$ dado por $h (x) = \frac{- 32}{{(120)}^{2}} x^{2} + x .$ Calcule la altura máxima que alcanza el objeto.

Funciones de potencia y funciones polinómicas

En los siguientes ejercicios, determine si la función es polinómica y, de ser así, dé el grado y el coeficiente principal.

13.

$f (x) = 4 x^{5} - 3 x^{3} + 2 x - 1$

14.

$f (x) = 5^{x + 1} - x^{2}$

15.

$f (x) = x^{2} (3 - 6 x + x^{2})$

En los siguientes ejercicios, determine el comportamiento final de la función polinómica.

16.

$f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7$

17.

$f (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2$

18.

$f (x) = 2 x^{2} (1 + 3 x - x^{2})$

Gráfico de funciones polinómicas

En los siguientes ejercicios, halle todos los ceros de la función polinómica; tome nota de las multiplicidades.

19.

$f (x) = {(x + 3)}^{2} (2 x - 1) {(x + 1)}^{3}$

20.

$f (x) = x^{5} + 4 x^{4} + 4 x^{3}$

21.

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x - 4$

En los siguientes ejercicios, a partir del gráfico dado, determine los ceros de la función y tome nota de la multiplicidad.

22.

Gráfico de un polinomio de grado impar con dos puntos de inflexión.

23.

Gráfico de un polinomio de grado par con dos puntos de inflexión.

24.

Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que al menos un cero se encuentra entre 2 y 3 para la función $f (x) = x^{3} - 5 x + 1$

Dividir polinomios

En los siguientes ejercicios, utilice la división larga para hallar el cociente y el restante.

25.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4}{x - 2}$

26.

$\frac{3 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x + 8}{x + 1}$

En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente. Si el divisor es un factor, entonces escriba la forma factorizada.

27.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 1}{x + 3}$

28.

$\frac{x^{3} + 4 x + 10}{x - 3}$

29.

$\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} - 11 x - 12}{x + 4}$

30.

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} + 2 x + 2}{x + 1}$

Ceros de funciones polinómicas

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del cero racional para resolver la ecuación polinómica.

31.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 18 x - 8 = 0$

32.

$3 x^{3} + 11 x^{2} + 8 x - 4 = 0$

33.

$2 x^{4} - 17 x^{3} + 46 x^{2} - 43 x + 12 = 0$

34.

$4 x^{4} + 8 x^{3} + 19 x^{2} + 32 x + 12 = 0$

En los siguientes ejercicios, utilice la regla de los signos de Descartes para calcular el número posible de soluciones positivas y negativas.

35.

$x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 4 = 0$

36.

$2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1 = 0$

Funciones racionales

En las siguientes funciones racionales, halle las intersecciones y las asíntotas verticales y horizontales, y luego úsales para trazar un gráfico.

37.

$f (x) = \frac{x + 2}{x - 5}$

38.

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$

39.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 27}{x^{2} + x - 2}$

40.

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 9}$

En los siguientes ejercicios, halle la asíntota oblicua.

41.

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 2}$

42.

$f (x) = \frac{2 x^{3} - x^{2} + 4}{x^{2} + 1}$

Funciones inversas y radicales

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función con el dominio dado.

43.

$f (x) = {(x - 2)}^{2}, x \geq 2$

44.

$f (x) = {(x + 4)}^{2} - 3, x \geq - 4$

45.

$f (x) = x^{2} + 6 x - 2, x \geq - 3$

46.

$f (x) = 2 x^{3} - 3$

47.

$f (x) = \sqrt{4 x + 5} - 3$

48.

$f (x) = \frac{x - 3}{2 x + 1}$

Modelado mediante la variación

En los siguientes ejercicios, calcule el valor de la incógnita.

49.

$y$ varía directamente como el cuadrado de $x .$ Si cuando $x = 3, y = 36,$ calcule $y$ si $x = 4.$

50.

$y$ varía inversamente a la raíz cuadrada de $x$ Si cuando $x = 25, y = 2,$ calcule $y$ si $x = 4.$

51.

$y$ varía conjuntamente como el cubo de $x$ y dado que $c .$ Si cuando $x = 1$ y $z = 2,$ $y = 6,$ calcule $y$ si $x = 2$ y $z = 3.$

52.

$y$ varía junto como $x$ y el cuadrado de $c$ e inversamente como el cubo de $w .$ Si cuando $x = 3,$ $z = 4,$ y $w = 2,$ $y = 48,$ calcule $y$ si $x = 4,$ $z = 5,$ y $w = 3.$

En los siguientes ejercicios, resuelva el problema de aplicación.

53.

El peso de un objeto sobre la Tierra varía inversamente con el cuadrado de su distancia al centro de la Tierra. Si una persona pesa 150 libras cuando está en la superficie de la Tierra (a 3.960 millas del centro), calcule su peso si está a 20 millas por encima de la superficie.

54.

El volumen $V$ de un gas ideal varía directamente con la temperatura $T$ e inversamente con la presión $P$ . Un cilindro contiene oxígeno a una temperatura de 310 grados K y una presión de 18 atmósferas en un volumen de 120 litros. Calcule la presión si el volumen disminuye a 100 litros y la temperatura aumenta a 320 grados K.