Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Expresar las raíces cuadradas de los números negativos como múltiplos de $i$ .
Representar los números complejos en el plano complejo.
Sumar y restar números complejos.
Multiplicar y dividir números complejos.

El estudio de las matemáticas se construye continuamente sobre sí mismo. Los números enteros negativos, por ejemplo, llenan el vacío dejado por el conjunto de números enteros positivos. El conjunto de los números racionales, a su vez, llena el vacío dejado por el conjunto de los números enteros. El conjunto de los números reales llena el vacío dejado por el conjunto de los números racionales. No es de extrañar que el conjunto de los números reales también tenga vacíos. Por ejemplo, todavía no tenemos solución para ecuaciones como

x^{2} + 4 = 0

Nuestras mejores suposiciones podrían ser +2 o –2. Sin embargo, si probamos +2 en esta ecuación, no funciona. Si probamos –2, no funciona. Si queremos tener una solución para esta ecuación, tendremos que ir más lejos de lo que hemos hecho hasta ahora. Después de todo, hasta ahora hemos descrito la raíz cuadrada de un número negativo como indefinida. Afortunadamente, existe otro sistema de números que proporciona soluciones a tales problemas. En esta sección, exploraremos este sistema numérico y cómo trabajar dentro de él.

Expresar raíces cuadradas de los números negativos como múltiplos de i

Sabemos cómo hallar la raíz cuadrada de cualquier número real positivo. De forma similar, podemos hallar la raíz cuadrada de un número negativo. La diferencia es que la raíz no es real. Si el valor del radicando es negativo, se dice que la raíz es un número imaginario. El número imaginario $i$ se define como la raíz cuadrada de 1 negativo.

\sqrt{- 1} = i

Entonces, con las propiedades de los radicales,

i^{2} = {(\sqrt{- 1})}^{2} = - 1

Podemos escribir la raíz cuadrada de cualquier número negativo como un múltiplo de $i .$ Considere la raíz cuadrada de –25.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sqrt{- 25} = \sqrt{25 \cdot (- 1)} \end{array} \\ = \sqrt{25} \sqrt{- 1} \\ = 5 i \end{array}

Utilizamos $5 i$ y no $- 5 i$ porque la raíz principal de $25$ es la raíz positiva.

Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario. Un número complejo se expresa en forma estándar cuando se escribe $a + b i$ donde $a$ es la parte real y $b i$ es la parte imaginaria. Por ejemplo, $5 + 2 i$ es un número complejo. También lo es $3 + 4 \sqrt{3} i .$

Mostrar las partes real e imaginaria de 5 + 2i. En este número complejo, 5 es la parte real y 2i es la parte compleja.

Los números imaginarios se distinguen de los reales porque un número imaginario elevado al cuadrado produce un número real negativo. Recordemos que, cuando un número real positivo se eleva al cuadrado, el resultado es un número real positivo y cuando un número real negativo se eleva al cuadrado, de nuevo, el resultado es un número real positivo. Los números complejos son una combinación de números reales e imaginarios.

Números imaginarios y complejos

Un número complejo es un número de la forma $a + b i$ donde

$a$ es la parte real del número complejo.
$b i$ es la parte imaginaria del número complejo.

Si los valores de $b = 0,$ entonces $a + b i$ es un número real. Si los valores de $a = 0$ y $b$ no es igual a 0, el número complejo recibe el nombre de número imaginario. Un número imaginario es la raíz par de un número negativo.

Cómo

Dado un número imaginario, expresarlo en forma estándar.

Escriba $\sqrt{- a}$ cuando $\sqrt{a} \sqrt{- 1} .$
Exprese $\sqrt{- 1}$ cuando $i .$
Escriba $\sqrt{a} \cdot i$ en la forma más sencilla.

Ejemplo 1

Expresar un número imaginario en forma estándar

Exprese $\sqrt{- 9}$ en forma estándar.

Solución

$\sqrt{- 9} = \sqrt{9} \sqrt{- 1} = 3 i$

En forma estándar, esto es $0 + 3 i .$

Inténtelo #1

Exprese $\sqrt{- 24}$ en forma estándar.

Trazar un número complejo en el plano complejo

No podemos representar los números complejos en una línea numérica como lo haríamos con los números reales. Sin embargo, podemos representarlos gráficamente. Para representar un número complejo tenemos que abordar los dos componentes del número. Utilizamos el plano complejo, que es un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal representa la componente real y el eje vertical representa el componente imaginario. Los números complejos son los puntos del plano, expresados como pares ordenados $(a, b),$ donde $a$ representa la coordenada del eje horizontal y $b$ representa la coordenada del eje vertical.

Consideremos el número $−2 + 3 i .$ La parte real del número complejo es $−2$ y la parte imaginaria es $3 i .$ Trazamos el par ordenado $(–2, 3)$ para representar el número complejo $−2 + 3 i$ como se muestra en la Figura 1.

Gráfico de un número complejo, -2 + 3i. Observe que la parte real (-2) se representa en el eje x y la parte imaginaria (3i) en el eje y.

Figura 1

Plano complejo

En el plano complejo, el eje horizontal es el eje real, y el eje vertical es el eje imaginario, como se muestra en la Figura 2.

Figura 2

Cómo

Dado un número complejo, representar sus componentes en el plano complejo.

Determine la parte real y la parte imaginaria del número complejo.
Muévase por el eje horizontal para mostrar la parte real del número.
Muévase en paralelo al eje vertical para mostrar la parte imaginaria del número.
Trace el punto.

Ejemplo 2

Trazar un número complejo en el plano complejo

Trace el número complejo $3 - 4 i$ en el plano complejo.

Solución

La parte real del número complejo es $3,$ y la parte imaginaria es $-4 i .$ Trazamos el par ordenado $(3, –4)$ como se muestra en la Figura 3.

Trazado de un número complejo, 3 - 4i. Observe que la parte real (3) se representa en el eje x y la parte imaginaria (-4i) en el eje y.

Figura 3

Inténtelo #2

Trace el número complejo $-4 - i$ en el plano complejo.

Sumar y restar números complejos

Al igual que con los números reales, podemos realizar operaciones aritméticas con los números complejos. Para sumar o restar números complejos, combinamos las partes reales y las partes imaginarias.

Números complejos: suma y resta

Sumar números complejos:

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

Restar números complejos:

(a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i

Cómo

Dados dos números complejos, hallar la suma o la diferencia.

Identifique las partes real e imaginaria de cada número.
Sume o reste las partes reales.
Sume o reste las partes imaginarias.

Ejemplo 3

Sumar números complejos

Añadir $3 - 4 i$ y $2 + 5 i .$

Solución

Sumamos las partes reales y las partes imaginarias.

\begin{array}{l} (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i \\ (3 - 4 i) + (2 + 5 i) = (3 + 2) + (- 4 + 5) i \\ = 5 + i \end{array}

Inténtelo #3

Reste $2 + 5 i$ a partir de $3 - 4 i .$

Multiplicar números complejos

Multiplicar números complejos es muy parecido a multiplicar binomios. La principal diferencia es que trabajamos con las partes reales e imaginarias por separado.

Multiplicar un número complejo por un número real

Empecemos por multiplicar un número complejo por un número real. Distribuimos el número real igual que lo haríamos con un binomio. Así, por ejemplo,

Cómo

Dado un número complejo y un número real, multiplicar para hallar el producto.

Utilice la propiedad distributiva.
Simplifique.

Ejemplo 4

Multiplicar un número complejo por un número real

Halle el producto $4 (2 + 5 i) .$

Solución

Distribuya el 4.

\begin{array}{l} 4 (2 + 5 i) = (4 \cdot 2) + (4 \cdot 5 i) \\ = 8 + 20 i \end{array}

Inténtelo #4

Halle el producto $- 4 (2 + 6 i) .$

Multiplicar números complejos juntos

Ahora, multipliquemos dos números complejos. Podemos utilizar la propiedad distributiva o el método FOIL. Recordemos que FOIL es el acrónimo en inglés de multiplicar juntos los términos Primero, Exterior, Interior y Último. Utilizando la propiedad distributiva o el método FOIL, obtenemos

(a + b i) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2}

Ya que $i^{2} = - 1,$ tenemos

(a + b i) (c + d i) = a c + a d i + b c i - b d

Para simplificar, combinamos las partes reales y las partes imaginarias.

(a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i

Cómo

Dados dos números complejos, multiplicar para hallar el producto.

Utilice la propiedad distributiva o el método FOIL.
Simplifique.

Ejemplo 5

Multiplicar un número complejo por otro número complejo

Multiplique $(4 + 3 i) (2 - 5 i) .$

Solución

Utilice $(a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$

\begin{array}{l} (4 + 3 i) (2 - 5 i) = (4 \cdot 2 - 3 \cdot (- 5)) + (4 \cdot (- 5) + 3 \cdot 2) i \\ = (8 + 15) + (- 20 + 6) i \\ = 23 - 14 i \end{array}

Inténtelo #5

Multiplique $(3 - 4 i) (2 + 3 i) .$

Dividir números complejos

La división de dos números complejos es más complicada que la suma, la resta y la multiplicación porque no podemos dividir entre un número imaginario, lo que significa que cualquier fracción deberá tener un denominador de número real. Tenemos que hallar un término entre el cual podamos multiplicar el numerador y el denominador que elimine la parte imaginaria del denominador para que acabemos con un número real como denominador. Este término se llama conjugado complejo del denominador, que se encuentra al cambiar el signo de la parte imaginaria del número complejo. En otras palabras, el conjugado complejo de $a + b i$ es $a - b i .$

Observe que los conjugados complejos tienen una relación recíproca: El conjugado complejo de $a + b i$ es $a - b i,$ y el conjugado complejo de $a - b i$ es $a + b i .$ Además, cuando una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene soluciones complejas, las soluciones son siempre conjugadas complejas entre sí.

Supongamos que queremos dividir $c + d i$ entre $a + b i,$ donde ni $a$ ni $b$ son iguales a cero. Primero escribimos la división como una fracción, luego hallamos el conjugado complejo del denominador y multiplicamos.

\frac{c + d i}{a + b i} donde a \neq 0 y b \neq 0

Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador.

\frac{(c + d i)}{(a + b i)} \cdot \frac{(a - b i)}{(a - b i)} = \frac{(c + d i) (a - b i)}{(a + b i) (a - b i)}

Aplicamos la propiedad distributiva.

= \frac{c a - c b i + a d i - b d i^{2}}{a^{2} - a b i + a b i - b^{2} i^{2}}

Simplificamos, recordando que $i^{2} = −1.$

\begin{array}{l} = \frac{c a - c b i + a d i - b d (- 1)}{a^{2} - a b i + a b i - b^{2} (- 1)} \\ = \frac{(c a + b d) + (a d - c b) i}{a^{2} + b^{2}} \end{array}

El conjugado complejo

El conjugado complejo de un número complejo $a + b i$ es $a - b i .$ Se halla al cambiar el signo de la parte imaginaria del número complejo. La parte real del número no se modifica.

Cuando un número complejo se multiplica por su conjugado complejo, el resultado es un número real.
Cuando un número complejo se suma a su conjugado complejo, el resultado es un número real.

Ejemplo 6

Hallar conjugados complejos

Halle el conjugado complejo de cada número.

Ⓐ $2 + i \sqrt{5}$
Ⓑ $- \frac{1}{2} i$

Solución

Ⓐ El número ya está en la forma $a + b i .$ El conjugado complejo es $a - b i,$ o $2 - i \sqrt{5} .$
Ⓑ Podemos reescribir este número en la forma $a + b i$ cuando $0 - \frac{1}{2} i .$ El conjugado complejo es $a - b i,$ o $0 + \frac{1}{2} i .$ Esto se puede escribir sencillamente como $\frac{1}{2} i .$

Análisis

Aunque hemos visto que podemos hallar el conjugado complejo de un número imaginario, en la práctica generalmente lo hallamos únicamente de números complejos con una componente real y otra imaginaria. Para obtener un número real a partir de un número imaginario, basta con multiplicar por $i .$

Cómo

Dados dos números complejos, dividir uno entre el otro.

Escriba el problema de división como una fracción.
Determine el conjugado complejo del denominador.
Multiplique el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado complejo del denominador.
Simplifique.

Ejemplo 7

Dividir números complejos

Divida $(2 + 5 i)$ entre $(4 - i) .$

Solución

Comenzamos por escribir el problema como una fracción.

\frac{(2 + 5 i)}{(4 - i)}

Luego multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador.

\frac{(2 + 5 i)}{(4 - i)} \cdot \frac{(4 + i)}{(4 + i)}

Para multiplicar dos números complejos, expandimos el producto como lo haríamos con los polinomios (el proceso llamado FOIL).

\begin{array}{l} \frac{(2 + 5 i)}{(4 - i)} \cdot \frac{(4 + i)}{(4 + i)} = \frac{8 + 2 i + 20 i + 5 i^{2}}{16 + 4 i - 4 i - i^{2}} \\ = \frac{8 + 2 i + 20 i + 5 (- 1)}{16 + 4 i - 4 i - (- 1)} & Ya que i^{2} = - 1 \\ = \frac{3 + 22 i}{17} \\ = \frac{3}{17} + \frac{22}{17} i & Separe las partes real e imaginaria . \end{array}

Observe que esto expresa el cociente en forma estándar.

Ejemplo 8

Sustituir un número complejo en una función polinómica

Supongamos que $f (x) = x^{2} - 5 x + 2.$ Evalúe $f (3 + i) .$

Solución

Sustituya $x = 3 + i$ en la función $f (x) = x^{2} - 5 x + 2$ y simplifique.

Análisis

Escribimos $f (3 + i) = −5 + i .$ Observe que la entrada es $3 + i$ y la salida es $−5 + i .$

Inténtelo #6

Supongamos que $f (x) = 2 x^{2} - 3 x .$ Evalúe $f (8 - i) .$

Ejemplo 9

Sustituir un número imaginario en una función racional

Supongamos que $f (x) = \frac{2 + x}{x + 3} .$ Evalúe $f (10 i) .$

Solución

Sustituya $x = 10 i$ y simplifique.

\begin{array}{l} \frac{2 + 10 i}{10 i + 3} & Sustituya 10 i para x . \\ \frac{2 + 10 i}{3 + 10 i} & Reescriba el denominador en forma estándar . \\ \frac{2 + 10 i}{3 + 10 i} \cdot \frac{3 - 10 i}{3 - 10 i} & Prepárese para multiplicar el numerador y \\ denominador por el conjugado complejo \\ del denominador . \\ \frac{6 - 20 i + 30 i - 100 i^{2}}{9 - 30 i + 30 i - 100 i^{2}} & Multiplique utilizando la propiedad distributiva o el método FOIL . \\ \frac{6 - 20 i + 30 i - 100 (- 1)}{9 - 30 i + 30 i - 100 (- 1)} & Sustituya –1 por i^{2} . \\ \frac{106 + 10 i}{109} & Simplifique . \\ \frac{106}{109} + \frac{10}{109} i & Separe las partes real e imaginaria . \end{array}

Inténtelo #7

Supongamos que $f (x) = \frac{x + 1}{x - 4} .$ Evalúe $f (- i) .$

Simplificar las potencias de i

Las potencias de $i$ son cíclicas. Veamos qué ocurre cuando elevamos $i$ a potencias crecientes.

\begin{array}{l} i^{1} = i \\ i^{2} = - 1 \\ i^{3} = i^{2} \cdot i = - 1 \cdot i = - i \\ i^{4} = i^{3} \cdot i = - i \cdot i = - i^{2} = - (- 1) = 1 \\ i^{5} = i^{4} \cdot i = 1 \cdot i = i \end{array}

Podemos ver que, cuando llegamos a la quinta potencia de $i,$ es igual a la primera potencia. Mientras seguimos multiplicando $i$ por sí mismo para potencias crecientes, veremos un ciclo de 4. Examinemos las siguientes 4 potencias de $i .$

\begin{array}{l} i^{6} = i^{5} \cdot i = i \cdot i = i^{2} = - 1 \\ i^{7} = i^{6} \cdot i = i^{2} \cdot i = i^{3} = - i \\ i^{8} = i^{7} \cdot i = i^{3} \cdot i = i^{4} = 1 \\ i^{9} = i^{8} \cdot i = i^{4} \cdot i = i^{5} = i \end{array}

Ejemplo 10

Simplificar las potencias de $i$

Evalúe $i^{35} .$

Solución

Dado que $i^{4} = 1,$ podemos simplificar el problema al factorizar tantos factores de $i^{4}$ como sea posible. Para ello, primero hay que determinar cuántas veces va 4 en 35 $35 = 4 \cdot 8 + 3.$

i^{35} = i^{4 \cdot 8 + 3} = i^{4 \cdot 8} \cdot i^{3} = {(i^{4})}^{8} \cdot i^{3} = 1^{8} \cdot i^{3} = i^{3} = - i

Preguntas y respuestas

¿Podemos escribir $i^{35}$ en otras formas útiles?

Como vimos en el Ejemplo 10, redujimos $i^{35}$ con $i^{3}$ al dividir el exponente entre 4 y utilizar el resto para dar con la forma simplificada. Quizás otra factorización de $i^{35}$ sería más conveniente. La Tabla 1 muestra algunas otras factorizaciones posibles.

Factorización de $i^{35}$	$i^{34} \cdot i$	$i^{33} \cdot i^{2}$	$i^{31} \cdot i^{4}$	$i^{19} \cdot i^{16}$
Forma reducida	${(i^{2})}^{17} \cdot i$	$i^{33} \cdot (- 1)$	$i^{31} \cdot 1$	$i^{19} \cdot {(i^{4})}^{4}$
Forma simplificada	${(- 1)}^{17} \cdot i$	$- i^{33}$	$i^{31}$	$i^{19}$

Tabla 1

Cada uno de ellos acabará dando la respuesta que hemos obtenido anteriormente, pero puede que se necesiten varios pasos más que nuestro método anterior.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los números complejos.

3.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique cómo sumar números complejos.

2.

¿Cuál es el principio básico de la multiplicación de los números complejos?

3.

Dé un ejemplo para demostrar que el producto de dos números imaginarios no siempre es imaginario.

4.

¿Cuál es la característica del trazado de un número real en el plano complejo?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones algebraicas.

5.

$Si f (x) = x^{2} + x - 4,$ evaluar $f (2 i) .$

6.

$Si f (x) = x^{3} - 2,$ evaluar $f (i) .$

7.

$Si f (x) = x^{2} + 3 x + 5,$ evaluar $f (2 + i) .$

8.

$Si f (x) = 2 x^{2} + x - 3,$ evaluar $f (2 - 3 i) .$

9.

$Si f (x) = \frac{x + 1}{2 - x},$ evaluar $f (5 i) .$

10.

$Si f (x) = \frac{1 + 2 x}{x + 3},$ evaluar $f (4 i) .$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine el número de soluciones reales y no reales de cada función cuadrática mostrada.

11.

Gráfico de una parábola que interseca el eje real.

12.

Gráfico de una parábola que no interseca el eje real.

En los siguientes ejercicios, trace los números complejos en el plano complejo.

13.

$1 - 2 i$

14.

$- 2 + 3 i$

15.

$i$

16.

$- 3 - 4 i$

Numéricos

En los siguientes ejercicios, realice la operación indicada y exprese el resultado como un número complejo simplificado.

17.

$(3 + 2 i) + (5 - 3 i)$

18.

$(- 2 - 4 i) + (1 + 6 i)$

19.

$(- 5 + 3 i) - (6 - i)$

20.

$(2 - 3 i) - (3 + 2 i)$

21.

$(- 4 + 4 i) - (- 6 + 9 i)$

22.

$(2 + 3 i) (4 i)$

23.

$(5 - 2 i) (3 i)$

24.

$(6 - 2 i) (5)$

25.

$(- 2 + 4 i) (8)$

26.

$(2 + 3 i) (4 - i)$

27.

$(- 1 + 2 i) (- 2 + 3 i)$

28.

$(4 - 2 i) (4 + 2 i)$

29.

$(3 + 4 i) (3 - 4 i)$

30.

$\frac{3 + 4 i}{2}$

31.

$\frac{6 - 2 i}{3}$

32.

$\frac{- 5 + 3 i}{2 i}$

33.

$\frac{6 + 4 i}{i}$

34.

$\frac{2 - 3 i}{4 + 3 i}$

35.

$\frac{3 + 4 i}{2 - i}$

36.

$\frac{2 + 3 i}{2 - 3 i}$

37.

$\sqrt{- 9} + 3 \sqrt{- 16}$

38.

$- \sqrt{- 4} - 4 \sqrt{- 25}$

39.

$\frac{2 + \sqrt{- 12}}{2}$

40.

$\frac{4 + \sqrt{- 20}}{2}$

41.

$i^{8}$

42.

$i^{15}$

43.

$i^{22}$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para responder las preguntas.

44.

Evalúe ${(1 + i)}^{k}$ para $k = 4, 8 y 12 .$ Prediga el valor si $k = 16.$

45.

Evalúe ${(1 - i)}^{k}$ para $k = 2, 6 y 10 .$ Prediga el valor si $k = 14.$

46.

Evalúe $(1 + i)^{k} - (1 - i)^{k}$ para $k = 4, 8 y 12$ . Prediga el valor de $k = 16.$

47.

Demuestre que una solución de $x^{6} + 1 = 0$ es $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i .$

48.

Demuestre que una solución de $x^{8} - 1 = 0$ es $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i .$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones al escribir el resultado como un número complejo simplificado.

49.

$\frac{1}{i} + \frac{4}{i^{3}}$

50.

$\frac{1}{i^{11}} - \frac{1}{i^{21}}$

51.

$i^{7} (1 + i^{2})$

52.

$i^{−3} + 5 i^{7}$

53.

$\frac{(2 + i) (4 - 2 i)}{(1 + i)}$

54.

$\frac{(1 + 3 i) (2 - 4 i)}{(1 + 2 i)}$

55.

$\frac{{(3 + i)}^{2}}{{(1 + 2 i)}^{2}}$

56.

$\frac{3 + 2 i}{2 + i} + (4 + 3 i)$

57.

$\frac{4 + i}{i} + \frac{3 - 4 i}{1 - i}$

58.

$\frac{3 + 2 i}{1 + 2 i} - \frac{2 - 3 i}{3 + i}$

3.1 Números complejos

Expresar raíces cuadradas de los números negativos como múltiplos de i

Expresar un número imaginario en forma estándar

Solución

Trazar un número complejo en el plano complejo

Trazar un número complejo en el plano complejo

Solución

Sumar y restar números complejos

Sumar números complejos

Solución

Multiplicar números complejos

Multiplicar un número complejo por un número real

Multiplicar un número complejo por un número real

Solución

Multiplicar números complejos juntos

Multiplicar un número complejo por otro número complejo

Solución

Dividir números complejos

Hallar conjugados complejos

Solución

Análisis

Dividir números complejos

Solución

Sustituir un número complejo en una función polinómica

Solución

Análisis

Sustituir un número imaginario en una función racional

Solución

Simplificar las potencias de i

Simplificar las potencias de i i

Solución

3.1 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Numéricos

En tecnología

Extensiones

Simplificar las potencias de $i$