2.2 Gráficos de funciones lineales

Gráficos de funciones lineales

En Funciones lineales, vimos que el gráfico de una función lineal es una línea recta. También pudimos ver los puntos de la función, así como el valor inicial de un gráfico. Por lo tanto, al graficar dos funciones, podemos comparar más fácilmente sus características.

Existen tres métodos básicos para graficar funciones lineales. El primero es trazar puntos y luego dibujar una línea a través de ellos. El segundo consiste en utilizar la intersección en y, así como la pendiente. El tercero es utilizar transformaciones de la función de identidad $f(x)=x.$

Graficar una función mediante el trazado de puntos

Para hallar los puntos de una función, podemos elegir los valores de entrada, evaluar la función en estos valores de entrada y calcular los valores de salida. Los valores de entrada y los correspondientes valores de salida forman pares de coordenadas. A continuación, trazamos los pares de coordenadas en una cuadrícula. En general, deberíamos evaluar la función en un mínimo de dos entradas para hallar al menos dos puntos en el gráfico. Por ejemplo, dada la función, $f(x)=2x,$ podríamos utilizar los valores de entrada 1 y 2. Evaluando la función para un valor de entrada de 1 se obtiene un valor de salida de 2, que se representa con el punto $\left(1,2\right).$ Evaluando la función para un valor de entrada de 2 se obtiene un valor de salida de 4, representado por el punto $\left(2,4\right).$ A menudo se aconseja elegir tres puntos, porque si no caen en la misma línea, sabemos que hemos cometido un error.

Cómo

Dada una función lineal, dibuje un gráfico trazando puntos.

1. Elija un mínimo de dos valores de entrada.
2. Evalúe la función en cada valor de entrada.
3. Utilice los valores de salida resultantes para identificar los pares de coordenadas.
4. Trace los pares de coordenadas en una cuadrícula.
5. Dibuje una línea que pase por los puntos.

Ejemplo 1

Graficar mediante el trazado de puntos

Grafique $f(x)=-\frac{2}{3}x+5$ mediante el trazado de puntos.

Solución

Comience por elegir los valores de entrada. Esta función incluye una fracción con un denominador de 3, así que elijamos múltiplos de 3 como valores de entrada. Elegiremos 0, 3 y 6.

Evalúe la función en cada valor de entrada y utilice el valor de salida para identificar los pares de coordenadas.

$$\begin{array}{ccc}x=0& & f(0)=-\frac{2}{3}(0)+5=5\Rightarrow \left(0,5\right)\\ x=3& & f(3)=-\frac{2}{3}(3)+5=3\Rightarrow \left(3,3\right)\\ x=6& & f(6)=-\frac{2}{3}(6)+5=1\Rightarrow \left(6,1\right)\end{array}$$

Trace los pares de coordenadas y dibuje una línea que pase por los puntos. La Figura 1 representa el gráfico de la función $f(x)=-\frac{2}{3}x+5.$

Figura 1 El gráfico de la función lineal $f(x)=-\frac{2}{3}x+5.$

Análisis

El gráfico de la función es una línea como se espera para una función lineal. Además, el gráfico tiene una inclinación hacia abajo, lo que indica una pendiente negativa. Esto también se espera de la tasa de cambio constante negativa en la ecuación de la función.

Inténtelo #1

Grafique $f(x)=-\frac{3}{4}x+6$ mediante el trazado de puntos.

Graficar una función mediante la intersección en y, además de la pendiente

Otra forma de representar gráficamente las funciones lineales es utilizar las características específicas de la función en lugar de trazar puntos. La primera característica es su intersección en y, que es el punto en el que el valor de entrada es cero. Para hallar la intersección en y, podemos establecer $x=0$ en la ecuación.

La otra característica de la función lineal es su pendiente $m,$ que es una medida de su inclinación. Recordemos que la pendiente es la tasa de cambio de la función. La pendiente de una función es igual la relación entre la variación de las salidas y de las entradas. Otra forma de pensar en la pendiente es dividir la diferencia vertical, o subida, entre la diferencia horizontal, o recorrido. Hallamos tanto la intersección en y como la pendiente en Funciones lineales.

Consideremos la función siguiente.

$$f(x)=\frac{1}{2}x+1$$

La pendiente es $\frac{1}{2}.$ Dado que la pendiente es positiva, sabemos que el gráfico se inclinará hacia arriba y de izquierda a derecha. La intersección en y es el punto del gráfico cuando $x=0.$ El gráfico cruza el eje y en $\left(0,1\right).$ Ahora conocemos la pendiente y la intersección en y. Podemos empezar a graficar al trazar el punto $(0,1)$ Sabemos que la pendiente se eleva sobre el recorrido, $m=\frac{\text{subida}}{\text{recorrido}}.$ De nuestro ejemplo, tenemos $m=\frac{1}{2},$ lo que significa que la subida es 1 y el recorrido es 2. Por lo tanto, a partir de nuestra intersección en y $\left(0,1\right),$ podemos subir 1 y luego recorrer 2, o recorrer 2 y luego subir 1. Lo repetimos hasta que tengamos unos cuantos puntos, y entonces trazamos una línea a través de los puntos como se muestra en la Figura 2.

Figura 2

Interpretación gráfica de una función lineal

En la ecuación $f(x)=mx+b$

• $b$ es la intersección en y del gráfico e indica el punto $\left(0,b\right)$ en el que el gráfico cruza el eje y.
• $m$ es la pendiente de la línea e indica el desplazamiento vertical (subida) y horizontal (recorrido) entre cada par de puntos sucesivos. Recordemos la fórmula de la pendiente:

$$m=\frac{\text{cambio en la salida (subida)}}{\text{cambio en la entrada (recorrido)}}=\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Preguntas y respuestas

¿Todas las funciones lineales tienen intersecciones en y?

Sí. Todas las funciones lineales cruzan el eje y, por lo que tienen intersecciones en y. (Nota: La línea vertical paralela al eje y no tiene intersección en y, pero no es una función).

Cómo

Dada la ecuación de una función lineal, graficar la función mediante la intersección en y, además de la pendiente.

1. Evalúe la función en un valor de entrada de cero para hallar la intersección en y.
2. Identifique la pendiente como la tasa de cambio del valor de entrada.
3. Trace el punto representado por la intersección en y.
4. Utilice $\frac{\text{subida}}{\text{recorrido}}$ para determinar al menos dos puntos más en la línea.
5. Trace la línea que pasa por los puntos.

Ejemplo 2

Graficar mediante la intersección en y, además de la pendiente

Grafique $f(x)=-\frac{2}{3}x+5$ mediante la intersección en y, además de la pendiente.

Solución

Evalúe la función en $x=0$ para hallar la intersección en y. El valor de salida cuando $x=0$ es 5, por lo que el gráfico cruzará el eje y en $\left(0,5\right).$

Según la ecuación de la función, la pendiente de la línea es $-\frac{2}{3}.$ Esto nos dice que, por cada disminución vertical de la "subida" de $–2$ unidades, el "recorrido" aumenta en 3 unidades en la dirección horizontal. Ahora podemos graficar la función al trazar primero la intersección en y en el gráfico en la Figura 3. A partir del valor inicial $\left(0,5\right)$ nos movemos hacia abajo 2 unidades y hacia la derecha 3 unidades. Podemos extender la línea a la izquierda y a la derecha repitiendo, y luego dibujar una línea a través de los puntos.

Figura 3

Análisis

El gráfico se inclina hacia abajo y de izquierda a derecha, lo que significa que tiene una pendiente negativa, como era de esperar.

Inténtelo #2

Halle un punto en el gráfico que hemos dibujado en el Ejemplo 2 que tenga un valor de x negativo.

Graficar una función mediante transformaciones

Otra opción para graficar es utilizar transformaciones de la función de identidad $f(x)=x$. Una función puede transformarse mediante un desplazamiento hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha. Una función también puede transformarse mediante una reflexión, un estiramiento o una compresión.

Estiramiento o compresión vertical

En la ecuación $f(x)=mx,$ el plano $m$ actúa como el estiramiento o la compresión vertical de la función de identidad. Cuando $m$ es negativo, también hay una reflexión vertical del gráfico. Observe que en la Figura 4 al multiplicar la ecuación de $f(x)=x$ por $m$ estira el gráfico de $f$ por un factor de $m$ unidades si $m>\text{1}$ y comprime el gráfico de $f$ por un factor de $m$ unidades si $0<m<1.$ Esto significa que, cuanto mayor sea el valor absoluto de $m,$ mayor será la pendiente.

Figura 4 Estiramiento y compresión vertical, y reflexión en la función $f(x)=x.$

Desplazamiento vertical

En $f(x)=mx+b,$ el plano $b$ actúa como el desplazamiento vertical, al mover el gráfico hacia arriba y hacia abajo sin afectar la pendiente de la línea. Observe en la Figura 5 que la adición de un valor de $b$ a la ecuación de $f\left(x\right)=x$ desplaza el gráfico de $f$ un total de $b$ unidades hacia arriba si $b$ es positivo y $\left|b\right|$ unidades hacia abajo si $b$ es negativo.

Figura 5 Este gráfico ilustra los desplazamientos verticales de la función $f(x)=x.$

El uso de estiramiento o compresión vertical junto con desplazamiento vertical es otra forma de ver la identificación de diferentes tipos de funciones lineales. Aunque esta no sea la forma más fácil de graficar este tipo de funciones, es importante practicar cada método.

Cómo

Dada la ecuación de una función lineal, utilizar las transformaciones para graficar la función lineal en la forma $f\left(x\right)=mx+b.$

1. Grafique $f\left(x\right)=x.$
2. Estire o comprima verticalmente el gráfico por un factor $m.$
3. Desplace el gráfico hacia arriba o hacia abajo $b$ unidades.

Ejemplo 3

Graficar mediante el empleo de transformaciones

Grafique $f(x)=\frac{1}{2}x-3$ utilizando transformaciones.

Solución

La ecuación de la función muestra que $m=\frac{1}{2}$ por lo que la función de identidad se comprime verticalmente por $\frac{1}{2}.$ La ecuación de la función también muestra que $b=\mathrm{-3}$ por lo que la función de identidad se desplaza verticalmente hacia abajo 3 unidades. En primer lugar, grafique la función identidad, y muestre la compresión vertical como en la Figura 6.

Figura 6 La función, $y=x,$ comprimida por un factor de $\frac{1}{2}.$

A continuación, muestre el desplazamiento vertical como en la Figura 7.

Figura 7 La función $y=\frac{1}{2}x,$ se ha desplazado hacia abajo 3 unidades.

Inténtelo #3

Grafique $f(x)=4+2x,$ utilizando transformaciones.

Preguntas y respuestas

En el Ejemplo 3, ¿podríamos haber dibujado el gráfico invirtiendo el orden de las transformaciones?

No. El orden de las transformaciones sigue el orden de las operaciones. Cuando la función se evalúa en una entrada determinada, la salida correspondiente se calcula siguiendo el orden de las operaciones. Por eso realizamos primero la compresión. Por ejemplo, siguiendo el orden: supongamos que la entrada sea 2.

$$\begin{array}{l}f\text{(2)}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{(2)}-\text{3}\hfill \\ =\text{1}-\text{3}\hfill \\ =-\text{2}\hfill \end{array}$$

Escribir la ecuación de una función a partir del gráfico de una recta

Recuerde que en Funciones lineales, escribimos la ecuación de una función lineal a partir de un gráfico. Ahora podemos ampliar lo que sabemos con respecto a la graficación de funciones lineales para analizar los gráficos de manera pormenorizada. Comience por echar un vistazo a la Figura 8. Podemos ver de inmediato que el gráfico cruza el eje y en el punto $\left(0,\text{ 4}\right)$ así que esta es la intersección y.

Figura 8

Entonces podemos calcular la pendiente al hallar la subida y el recorrido. Podemos elegir dos puntos cualesquiera, pero veamos el punto $(–2,0).$ Para llegar desde este punto hasta la intersección en y, debemos movernos hacia arriba 4 unidades (subida) y hacia la derecha 2 unidades (recorrido). Por lo que la pendiente deberá ser

Sustituyendo la pendiente y la intersección en y en la forma pendiente-intersección de una línea se obtiene

Ejemplo 4

Relacionar las funciones lineales con sus gráficos

Relacione cada ecuación de las funciones lineales con una de las líneas en la Figura 9.

1. Ⓐ $f\left(x\right)=2x+3$
2. Ⓑ $g\left(x\right)=2x-3$
3. Ⓒ $h\left(x\right)=-2x+3$
4. Ⓓ $j\left(x\right)=\frac{1}{2}x+3$

Figura 9

Solución

Analice la información de cada función.

1. Ⓐ Esta función tiene una pendiente de 2 y una intersección en y de 3. Debe pasar por el punto (0, 3) y tener una inclinación hacia arriba de izquierda a derecha. Podemos utilizar dos puntos para hallar la pendiente o podemos compararla con las otras funciones enumeradas. La función $g$ tiene la misma pendiente, pero una intersección en y diferente. Las líneas I y III tienen la misma inclinación porque tienen la misma pendiente. La línea III no pasa por $\left(0,\text{ 3}\right)$ por lo que $f$ deberá representarse con la línea I.
2. Ⓑ Esta función también tiene una pendiente de 2, pero una intersección en y de $-3.$ Deberá pasar por el punto $\left(0,-3\right)$ e inclinarse hacia arriba de izquierda a derecha. Debe representarse por la línea III.
3. Ⓒ Esta función tiene una pendiente de -2 y una intersección en y de 3. Esta es la única función que se indica con una pendiente negativa, de allí que deba representarse con la línea IV porque se inclina hacia abajo y de izquierda a derecha.
4. Ⓓ Esta función tiene una pendiente de $\frac{1}{2}$ y una intersección en y de 3. Debe pasar por el punto (0, 3) y tener una inclinación hacia arriba de izquierda a derecha. Las líneas I y II pasan por $\left(0,\text{ 3}\right),$ pero la pendiente de $j$ es menor que la pendiente de $f$ por lo que la línea de $j$ deberá ser más plana. Esta función está representada por la línea II.

Ahora podemos volver a etiquetar las líneas como en la Figura 10.

Figura 10

Hallar la intersección en x de una línea

Hasta ahora, hemos hallado las intersecciones en y de una función: el punto en el que el gráfico de la función cruza el eje y. Una función también puede tener una intersección en x, que es la coordenada de la x del punto donde el gráfico de la función cruza el eje x. En otras palabras, es el valor de entrada cuando el valor de salida es cero.

Para hallar la intersección en x, se establece una función $f(x)$ igual a cero y se resuelve para el valor de $x.$ Por ejemplo, considere la función indicada.

Iguale la función a 0 y resuelva para $x.$

El gráfico de la función cruza el eje x en el punto $\left(2,\text{ 0}\right).$

Preguntas y respuestas

¿Todas las funciones lineales tienen intersecciones en x?

No. Sin embargo, las funciones lineales de la forma $y=c,$ donde $c$ es un número real distinto a cero, son los únicos ejemplos de funciones lineales sin intersección en x. Por ejemplo, $y=5$ es una línea horizontal 5 unidades por encima del eje x. Esta función no tiene intersecciones en x, como se muestra en la Figura 11.

Figura 11

Ejemplo 5

Hallar una intersección en x

Calcule la intersección en x de $f(x)=\frac{1}{2}x-\mathrm{3,}$

Solución

Iguale la función a cero para resolver $x.$

$$\begin{array}{l}0=\frac{1}{2}x-3\\ 3=\frac{1}{2}x\\ 6=x\\ x=6\end{array}$$

El gráfico cruza el eje x en el punto $\left(6,\text{ 0}\right).$

Análisis

El gráfico de la función se muestra en la Figura 12. Observamos que la intersección en x es $\left(6,\text{ 0}\right)$ como esperábamos.

Figura 12 El gráfico de la función lineal $f(x)=\frac{1}{2}x-\mathrm{3,}$

Describir líneas horizontales y verticales

Hay dos casos especiales de líneas en un gráfico: horizontales y verticales. La línea horizontal indica una salida constante o valor de y. En la Figura 13, vemos que la salida tiene un valor de 2 para cada valor de entrada. Por lo tanto, la variación en las salidas entre dos puntos cualesquiera es 0. En la fórmula de la pendiente, el numerador es 0, por lo que la pendiente es 0. Si utilizamos $m=\; 0,0$ en la ecuación $f(x)=mx+b,$ la ecuación se simplifica a $f(x)=b.$ En otras palabras, el valor de la función es una constante. Este gráfico representa la función $f(x)=2.$

Figura 13 Una línea horizontal que representa la función $f(x)=2.$

Una línea vertical indica una entrada constante o valor de x. Podemos ver que el valor de entrada para cada punto de la línea es 2, pero el valor de salida varía. Dado que este valor de entrada se asigna a más de un valor de salida, una línea vertical no representa una función. Observe que entre dos puntos cualesquiera, el cambio en los valores de entrada es cero. En la fórmula de la pendiente, el denominador será cero, por lo que la pendiente de una línea vertical es indefinida.

Observe que una línea vertical, como la que aparece en la Figura 14, tiene una intersección en x, pero no tiene intersección en y, a menos que sea la línea $x=0.$ Este gráfico representa la línea $x=2.$

Figura 14 La línea vertical, $x=2,$ que no representa una función.

Ejemplo 6

Escribir la ecuación de una línea horizontal

Escriba la ecuación de la línea representada gráficamente en la Figura 15.

Figura 15

Solución

Para cualquier valor de x, el valor de y es $-4,$ por lo que la ecuación es $y=-4.$

Ejemplo 7

Escribir la ecuación de una línea vertical

Escriba la ecuación de la línea representada gráficamente en la Figura 16.

Figura 16

Solución

El valor constante de x es $7,$ por lo que la ecuación es $x=7.$

Determinar si las líneas son paralelas o perpendiculares

Las dos líneas en la Figura 17 son líneas paralelas: nunca se intersecan. Observe que tienen exactamente la misma inclinación, lo que significa que sus pendientes son idénticas. La única diferencia entre las dos líneas es la intersección en y. Si desplazamos una línea verticalmente hacia la intersección en y de la otra, se convertirían en la misma línea.

Figura 17 Líneas paralelas.

Podemos determinar a partir de sus ecuaciones si dos líneas son paralelas al comparar sus pendientes. Si las pendientes son iguales y las intersecciones en y son diferentes, las líneas son paralelas. Si las pendientes son diferentes, las líneas no son paralelas.

A diferencia de las líneas paralelas, las líneas perpendiculares sí se intersecan. Su intersección forma un ángulo recto o de 90 grados. Las dos líneas en la Figura 18 son perpendiculares.

Figura 18 Líneas perpendiculares.

Las líneas perpendiculares no tienen la misma pendiente. Las pendientes de las líneas perpendiculares son diferentes entre sí de una manera específica. La pendiente de una línea es el recíproco negativo de la pendiente de la otra línea. El producto de un número por su recíproco es 1. Por lo tanto, si $m_1$ y $m_2$ son recíprocos negativos entre sí, se pueden multiplicar entre sí para obtener –1.

Para calcular el recíproco de un número, divídalo entre 1. Así, el recíproco de 8 es $\frac{1}{8},$ y el recíproco de $\frac{1}{8}$ es 8. Para hallar el recíproco negativo, primero hay que calcular el recíproco y luego cambiar el signo.

Al igual que con las líneas paralelas, podemos determinar si dos líneas son perpendiculares al comparar sus pendientes, suponiendo que las líneas no sean horizontales ni verticales. La pendiente de cada una de las líneas de abajo es el recíproco negativo de la otra, por lo que son perpendiculares.

El producto de las pendientes es -1.

Ejemplo 8

Identificar líneas paralelas y perpendiculares

Dadas las funciones siguientes, identifique las funciones cuyos gráficos sean un par de líneas paralelas y un par de líneas perpendiculares.

$$\begin{array}{lll}f(x)=2x+3\hfill & \hfill & h(x)=-2x+2\hfill \\ g(x)=\frac{1}{2}x-4\hfill & \hfill & j(x)=2x-6\hfill \end{array}$$

Solución

Las líneas paralelas tienen la misma pendiente. Ya que las funciones $f(x)=2x+3$ y $j(x)=2x-6$ tienen cada una de estas una pendiente de 2, representan líneas paralelas. Las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas. Dado que -2 y $\frac{1}{2}$ son recíprocos negativos, las ecuaciones, $g(x)=\frac{1}{2}x-4$ y $h(x)=-2x+2$ representan líneas perpendiculares.

Análisis

Un gráfico de las líneas se muestra en la Figura 19.

Figura 19

El gráfico muestra que las líneas $f(x)=2x+3$ y $j(x)=2x–6$ son paralelas, y las líneas $g(x)=\frac{1}{2}x–4$ y $h(x)=-2x+2$ son perpendiculares.

Escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a una línea dada

Si conocemos la ecuación de una línea, podemos utilizar lo que sabemos sobre la pendiente para escribir la ecuación de una línea que sea paralela o perpendicular a la línea dada.

Escribir ecuaciones de líneas paralelas

Supongamos, por ejemplo, que nos dan la siguiente ecuación.

$$f(x)=3x+1$$

Sabemos que la pendiente de la línea formada por la función es 3. También sabemos que la intersección en y es $\left(0,1\right).$ Cualquier otra línea con una pendiente de 3 será paralela a $f(x).$ Así que las líneas formadas por todas las funciones siguientes serán paralelas a $f(x).$

$$\begin{array}{l}g(x)=3x+6\hfill \\ h(x)=3x+1\hfill \\ p(x)=3x+\frac{2}{3}\hfill \end{array}$$

Supongamos entonces que queremos escribir la ecuación de una línea que es paralela a $f$ y pasa por el punto $\left(1,\text{ 7}\right).$ Ya sabemos que la pendiente es 3. Lo único que tenemos que hacer es determinar cuál valor para $b$ dará la línea correcta. Podemos empezar con la forma punto-pendiente de una ecuación para una línea, y luego reescribirla en la forma pendiente-intersección.

$$\begin{array}{l}y–y_1=m(x–x_1)\hfill \\ y-7=3(x–1)\hfill \\ y-7=3x-3\hfill \\ y=3x+4\hfill \end{array}$$

Así que $g(x)=3x+4$ es paralela a $f\left(x\right)=3x+1$ y pasa por el punto $\left(1,\text{ 7}\right).$

Cómo

Dada la ecuación de una función y un punto por el que pasa su gráfico, escribir la ecuación de una línea paralela a la línea dada que pase por el punto dado.

1. Calcule la pendiente de la función.
2. Sustituya los valores dados en la ecuación general de punto-pendiente o en la ecuación pendiente-intersección de una línea.
3. Simplifique.

Ejemplo 9

Hallar una línea paralela a una línea dada

Halle una línea paralela al gráfico de $f(x)=3x+6$ que pasa por el punto $\left(3,\text{ 0}\right).$

Solución

La pendiente de la línea dada es 3. Si elegimos la forma pendiente-intersección, podemos sustituir $m=3,$ $x=3,$ y $f(x)=0$ en la forma pendiente-intersección para hallar la intersección en y.

$$\begin{array}{l}g(x)=3x+b\hfill \\ 0=3(3)+b\hfill \\ b=–9\hfill \end{array}$$

La línea paralela a $f(x)$ que pasa por $\left(3,\text{ 0}\right)$ es $g(x)=3x-9.$

Análisis

Podemos confirmar que las dos líneas son paralelas al representarlas gráficamente. La Figura 20 muestra que las dos líneas nunca se intersecan.

Figura 20

Escribir ecuaciones de líneas perpendiculares

Podemos utilizar un proceso muy similar para escribir la ecuación de una línea perpendicular a una línea dada. Sin embargo, en lugar de utilizar la misma pendiente, utilizamos el recíproco negativo de la pendiente dada. Supongamos que nos dan la siguiente función:

$$f\left(x\right)=2x+4$$

La pendiente de la línea es 2, y su recíproco negativo es $-\frac{1}{2}.$ Cualquier función con una pendiente de $-\frac{1}{2}$ será perpendicular a $f(x).$ Así que las líneas formadas por todas las siguientes funciones serán perpendiculares a $f(x).$

$$\begin{array}{l}g(x)=-\frac{1}{2}x+4\hfill \\ h(x)=-\frac{1}{2}x+2\hfill \\ p(x)=-\frac{1}{2}x–\frac{1}{2}\hfill \end{array}$$

Al igual que antes, podemos reducir nuestras opciones para una línea perpendicular particular si sabemos que pasa por un punto determinado. Supongamos entonces que queremos escribir la ecuación de una línea que es perpendicular a $f(x)$ y pasa por el punto $\left(4,\text{ 0}\right).$ Ya sabemos que la pendiente es $-\frac{1}{2}.$ Ahora podemos utilizar el punto para hallar la intersección en y al sustituir los valores dados en la forma pendiente-intersección de una línea y resolver para $b.$

$$\begin{array}{l}g(x)=mx+b\hfill \\ 0=-\frac{1}{2}(4)+b\hfill \\ 0=-2+b\hfill \\ 2=b\hfill \\ b=2\hfill \end{array}$$

La ecuación de la función con pendiente de $-\frac{1}{2}$ y una intersección en y de 2 es

$$g(x)=-\frac{1}{2}x+2.$$

Así que $g(x)=-\frac{1}{2}x+2$ es perpendicular a $f\left(x\right)=2x+4$ y pasa por el punto $\left(4,\text{ 0}\right).$ Tenga en cuenta que las líneas perpendiculares pueden no parecer obviamente perpendiculares en una calculadora gráfica, a menos que utilicemos la función de zoom cuadrado.

Preguntas y respuestas

Una línea horizontal tiene una pendiente de cero y una línea vertical tiene una pendiente indefinida. Estas dos líneas son perpendiculares, pero el producto de sus pendientes no es -1. ¿No contradice este hecho la definición de líneas perpendiculares?

No. Para dos funciones lineales perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1. Sin embargo, una línea vertical no es una función, por lo que la definición no se contradice.

Cómo

Dada la ecuación de una función y un punto por el que pasa su gráfico, escribir la ecuación de una línea perpendicular a la línea dada.

1. Calcule la pendiente de la función.
2. Determine el recíproco negativo de la pendiente.
3. Sustituya la nueva pendiente y los valores de $x$ y $y$ a partir del par de coordenadas facilitado en $g\left(x\right)=mx+b.$
4. Resuelva para $b.$
5. Escriba la ecuación de la línea.

Ejemplo 10

Hallar la ecuación de una línea perpendicular

Halle la ecuación de una línea perpendicular a $f(x)=3x+3$ que pasa por el punto $\left(3,\text{ 0}\right).$

Solución

La línea original tiene pendiente $m=3,$ por lo que la pendiente de la línea perpendicular será su recíproco negativo o $-\frac{1}{3}.$ Con esta pendiente y el punto dado, podemos hallar la ecuación de la línea.

$$\begin{array}{l}g(x)=–\frac{1}{3}x+b\hfill \\ 0=–\frac{1}{3}(3)+b\hfill \\ 1=b\hfill \\ b=1\hfill \end{array}$$

La línea perpendicular a $f(x)$ que pasa por $\left(3,\text{ 0}\right)$ es $g(x)=-\frac{1}{3}x+1.$

Análisis

El gráfico de las dos líneas se muestra en la Figura 21 a continuación.

Figura 21

Inténtelo #5

Dada la función $h(x)=2x-4,$ escribir una ecuación para la línea que pasa por $\left(0,0\right)$ que es

1. Ⓐ paralela a $h(x)$
2. Ⓑ perpendicular a $h(x)$

Cómo

Dados dos puntos de una línea y un tercer punto, escribir la ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto.

1. Determine la pendiente de la línea que pasa por los puntos.
2. Calcule el recíproco negativo de la pendiente.
3. Utilice la forma pendiente-intersección o la forma punto-pendiente para escribir la ecuación al sustituir los valores conocidos.
4. Simplifique.

Ejemplo 11

Hallar la ecuación de una línea perpendicular a una línea dada que pasa por un punto

Una línea pasa por los puntos $\left(–2,\text{ 6}\right)$ y $\left(4,5\right).$ Halle la ecuación de una línea perpendicular que pasa por el punto $\left(4,5\right).$

Solución

A partir de los dos puntos de la línea dada, podemos calcular su pendiente.

$$\begin{array}{l}{m}_1=\frac{5-6}{4-(–2)}\hfill \\ =\frac{-1}{6}\hfill \\ =-\frac{1}{6}\hfill \end{array}$$

Calcule el recíproco negativo de la pendiente.

$$\begin{array}{l}{m}_2=\frac{-1}{-\frac{1}{6}}\hfill \\ =-1\left(-\frac{6}{1}\right)\hfill \\ =6\hfill \end{array}$$

Podemos entonces resolver la intersección en y de la línea que pasa por el punto $\left(4,5\right).$

$$\begin{array}{l}g(x)=6x+b\hfill \\ 5=6(4)+b\hfill \\ 5=24+b\hfill \\ -19=b\hfill \\ b=\mathrm{-19}\hfill \end{array}$$

La ecuación de la línea que es perpendicular a la que pasa por los dos puntos dados y también por el punto $\left(4,5\right)$ es

$$y=6x-19$$

Inténtelo #6

Una línea pasa por los puntos, $(\mathrm{–2},\text{−15})$ y $(\mathrm{2,}\mathrm{-3}).$ Halle la ecuación de una línea perpendicular que pasa por el punto, $(6,4).$

Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico

Un sistema de ecuaciones lineales incluye dos o más ecuaciones lineales. Los gráficos de dos líneas se intersecan en un mismo punto si no son paralelos. Dos líneas paralelas también pueden intersecarse si son coincidentes, lo que significa que son la misma línea y se cruzan en cada punto. En el caso de dos líneas que no son paralelas, el único punto de intersección satisfará ambas ecuaciones y, por lo tanto, representará la solución del sistema.

Para hallar este punto cuando las ecuaciones están dadas como funciones, podemos resolver para un valor de entrada de manera que $f(x)=g(x).$ En otras palabras, podemos establecer las fórmulas de las líneas iguales entre sí y resolver la entrada que satisface la ecuación.

Ejemplo 12

Hallar un punto de intersección algebraicamente

Halle el punto de intersección de las líneas $h(t)=3t-4$ y $j(t)=5-t.$

Solución

Establezca $h(t)=j(t).$

$$\begin{array}{l}3t-4=5-t\hfill \\ 4t=9\hfill \\ t=\frac{9}{4}\hfill \end{array}$$

Esto nos indica que las líneas se intersecan cuando la entrada es $\frac{9}{4}.$

A continuación, podemos hallar el valor de salida del punto de intersección al evaluar cualquiera de las dos funciones en esta entrada.

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\hfill \\ j\left(\frac{9}{4}\right)=5-\frac{9}{4}\hfill \end{array}\hfill \\ =\frac{11}{4}\hfill \end{array}$$

Estas líneas se intersecan en el punto $\left(\frac{9}{4},\frac{11}{4}\right).$

Análisis

Si observamos la Figura 22, este resultado luce razonable.

Figura 22

Ejemplo 13

Hallar el punto de equilibrio

Una empresa vende cascos deportivos. La empresa incurre en un costo fijo único de 250.000 dólares. La producción de cada casco cuesta 120 dólares y se vende por 140 dólares.

1. Ⓐ Halle la función de costo, $C,$ para producir $x$ cascos, en dólares.
2. Ⓑ Halle la función de ingresos, $R,$ a partir de las ventas de $x$ cascos, en dólares.
3. Ⓒ Halle el punto de equilibrio, el punto de intersección de los dos gráficos $C$ y $R.$

Solución

1. Ⓐ La función de costo en la suma del costo fijo, 125.000 dólares, y el costo variable, 120 dólares por casco.
   $$C\left(x\right)=120x+250.000$$
2. Ⓑ La función de ingresos es el total de ingresos por la venta de $x$ cascos, $R\left(x\right)=140x.$
3. Ⓒ El punto de equilibrio es el punto de intersección en el gráfico de las funciones de costo e ingresos. Para hallar la coordenada de la x del par de coordenadas del punto de intersección, hay que igualar las dos ecuaciones y resolver $x.$
   $$\begin{array}{l}C(x)=R(x)\hfill \\ 250.000+120x=140x\hfill \\ 250.000=20x\hfill \\ 12.500=x\hfill \\ x=12.500\hfill \end{array}$$

   Para hallar $y,$ evalúe la función de ingresos o la de costo en 12.500.

   $$\begin{array}{l}R(x)=140(12,500)\hfill \\ =\$\mathrm{1.750.000}\hfill \end{array}$$

El punto de equilibrio es $\left(\mathrm{12.500,}\mathrm{1.750.000}\right).$

Análisis

Esto significa que, si la empresa vende 12.500 cascos, alcanza el punto de equilibrio; tanto las ventas como los costos incurridos equivalen a 1,75 millones de dólares. Vea la Figura 23

Figura 23