Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Graficar funciones utilizando desplazamientos verticales y horizontales.
Graficar funciones con reflexiones en torno al eje de la $x$ y el eje de la $y$ .
Determinar si una función es par, impar o ninguna de las dos, a partir de su gráfico.
Graficar funciones con compresión y estiramiento.
Combinar transformaciones.

Figura 1 (créditos: "Misko"/Flickr)

Todos sabemos que un espejo plano nos permite ver una imagen exacta de nosotros mismos y de lo que hay detrás. Cuando inclinamos el espejo, las imágenes que vemos pueden desplazarse horizontal o verticalmente. Sin embargo, ¿qué ocurre cuando doblamos un espejo flexible? Como un espejo de feria, nos presenta una imagen distorsionada de nosotros mismos, estirada o comprimida horizontal o verticalmente. Del mismo modo, podemos distorsionar o transformar las funciones matemáticas para adaptarlas mejor a la descripción de objetos o procesos del mundo real. En esta sección, echaremos un vistazo a varios tipos de transformación.

Graficar funciones con desplazamiento vertical y horizontal.

A menudo, cuando se nos plantea un problema, intentamos modelar el escenario con las matemáticas en forma de palabras, tablas, gráficos y ecuaciones. Un método que podemos emplear es adaptar los gráficos básicos de las funciones del conjunto de herramientas para construir nuevos modelos en un escenario determinado. Hay formas sistemáticas de alterar las funciones para construir modelos adecuados a los problemas que intentamos resolver.

Identificación del desplazamiento vertical

Un tipo sencillo de transformación consiste en desplazar todo el gráfico de una función hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda. El desplazamiento más sencillo es un desplazamiento vertical, moviendo el gráfico hacia arriba o hacia abajo, porque esta transformación implica añadir una constante positiva o negativa a la función. En otras palabras, sumamos la misma constante al valor de salida de la función, independientemente de la entrada. Para una función $g (x) = f (x) + k,$ la función $f (x)$ se desplaza verticalmente $k$ unidades. Vea la Figura 2 a modo de ejemplo.

Figura 2 Desplazamiento vertical en

k = 1

de la función de raíz cúbica

f (x) = \sqrt[3]{x} .

Para ayudarle con el concepto de desplazamiento vertical, considere que $y = f (x) .$ Por lo tanto, $f (x) + k$ equivale a $y + k .$ Cada unidad de $y$ se sustituye por $y + k,$ por lo que el valor $y$ valor aumenta o disminuye, dependiendo del valor de $k .$ El resultado es un desplazamiento hacia arriba o hacia abajo.

Desplazamiento vertical

Dada una función $f (x),$ una nueva función $g (x) = f (x) + k,$ donde $k$ es una constante, es un desplazamiento vertical de la función $f (x) .$ Todos los valores de salida cambian en $k$ unidades. Si los valores de $k$ es positivo, el gráfico se desplazará hacia arriba. Si los valores de $k$ es negativo, el gráfico se desplazará hacia abajo.

Ejemplo 1

Sumar una constante a una función

Para regular la temperatura en un edificio ecológico, las rejillas de ventilación cercanas al tejado se abren y se cierran a lo largo del día. La Figura 3 muestra el área de las rejillas de ventilación abiertas $V$ (en pies cuadrados) a lo largo del día en horas, pasada la medianoche, $t .$ Durante el verano, el responsable de las instalaciones decide intentar regular mejor la temperatura al incrementar la cantidad de rejillas de ventilación abiertas en 20 pies cuadrados todo el día y toda la noche. Dibuje un gráfico de esta nueva función.

Figura 3

Solución

Podemos dibujar un gráfico de esta nueva función al sumar 20 a cada uno de los valores de salida de la función original. Esto tendrá el efecto de desplazar el gráfico verticalmente hacia arriba, como se muestra en la Figura 4.

Figura 4

Observe que en la Figura 4, por cada valor de entrada, el valor de salida se ha incrementado en 20, por lo que, si llamamos la nueva función $S (t),$ podríamos escribir

S (t) = V (t) + 20

Esta notación nos indica que, para cualquier valor de $t, S (t)$ puede hallarse al evaluar la función $V$ a la misma entrada y luego sumar 20 hasta el resultado. Esto define $S$ como transformación de la función $V,$ en este caso, un desplazamiento vertical hacia arriba en 20 unidades. Observe que, con un desplazamiento vertical, los valores de entrada permanecen iguales y solo cambian los de salida. Vea la Tabla 1.

$t$	0	8	10	17	19	24
$V (t)$	0	0	220	220	0	0
$S (t)$	20	20	240	240	20	20

Tabla 1

Cómo

Dada una función tabular, crear una nueva fila que represente el desplazamiento vertical.

Identifique la fila o columna de salida.
Determine la magnitud del desplazamiento.
Añada el desplazamiento al valor de cada celda de salida. Sume un valor positivo hacia arriba o un valor negativo hacia abajo.

Ejemplo 2

Desplazar una función tabular verticalmente

Una función $f (x)$ se da en la Tabla 2. Cree una tabla para la función $g (x) = f (x) - 3,$

$x$	2	4	6	8
$f (x)$	1	3	7	11

Tabla 2

Solución

La fórmula $g (x) = f (x) - 3$ nos indica que podemos hallar los valores de salida de $g$ al restar 3 de los valores de salida de $f .$ Por ejemplo:

\begin{array}{l} f (2) = 1 & Dado \\ g (x) = f (x) - 3 & Transformación dada \\ g (2) = f (2) - 3 \\ = 1 - 3 \\ = - 2 \end{array}

Al restar 3 de cada valor, $f (x)$ podemos construir una tabla de valores para $g (x)$ como se muestra en la Tabla 3.

$x$	2	4	6	8
$f (x)$	1	3	7	11
$g (x)$	−2	0	4	8

Tabla 3

Análisis

Al igual que con el desplazamiento vertical anterior, observe que los valores de entrada siguen siendo los mismos y solo cambian los valores de salida.

Inténtelo #1

La función $h (t) = - 4,9 t^{2} + 30 t$ da la altura $h$ de una pelota (en metros) lanzada hacia arriba desde el suelo después de $t$ segundos. Supongamos que la pelota se lanzó desde la parte superior de un edificio de 10 m. Relacione esta nueva función de altura $b (t)$ con $h (t),$ y luego halle una fórmula para $b (t) .$

Identificar el desplazamiento horizontal

Acabamos de ver que el desplazamiento vertical es un cambio en la salida, o fuera, de la función. Ahora veremos cómo los cambios en la entrada, en el interior de la función, cambian su gráfico y su significado. Un desplazamiento a la entrada provoca un movimiento del gráfico de la función a la izquierda o a la derecha, en lo que se conoce como desplazamiento horizontal, que se muestra en la Figura 5.

Figura 5 Desplazamiento horizontal de la función

f (x) = \sqrt[3]{x} .

Observe que

(x + 1)

significa

h = 1

que desplaza el gráfico a la izquierda, esto es, hacia valores negativos de

x .

Por ejemplo, si $f (x) = x^{2},$ entonces $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ es una nueva función. Cada entrada se reduce en 2 antes de elevar la función al cuadrado. El resultado es que el gráfico se desplaza 2 unidades a la derecha, porque tendríamos que aumentar la entrada anterior en 2 unidades para obtener el mismo valor de salida que se da en $f .$

Desplazamiento horizontal

Dada una función $f,$ una nueva función $g (x) = f (x - h),$ donde $h$ es una constante, es un desplazamiento horizontal de la función $f .$ Si $h$ es positiva, el gráfico se desplazará a la derecha. Si los valores de $h$ es negativa, el gráfico se desplazará a la izquierda.

Ejemplo 3

Sumar una constante a una función

Volviendo a nuestro ejemplo del flujo de aire en el edificio desde la Figura 3, supongamos que en otoño el responsable de las instalaciones decide que el plan original de ventilación empieza demasiado tarde y quiere empezar todo el programa de ventilación 2 horas antes. Dibuje un gráfico de la nueva función.

Solución

Podemos ajustar $V (t)$ para que sea el programa original, y $F (t)$ para que sea el programa revisado.

\begin{matrix} V (t) = el plan original de ventilación \\ F (t) = comenzar 2 horas antes \end{matrix}

En el nuevo gráfico, en cada tiempo, el flujo de aire es el mismo, ya que la función original $V$ era 2 horas más tarde. Por ejemplo, en la función original $V,$ el flujo de aire comienza a cambiar a las 8 a. m., mientras que para la función $F,$ el flujo de aire comienza a cambiar a las 6 a. m. Los valores comparables de la función son $V (8) = F (6) .$ Vea la Figura 6. Observe igualmente que las rejillas de ventilación se abrieron por primera vez a $220 {pies}^{2}$ a las 10 a. m., conforme al plan original, mientras que, con el nuevo plan, las rejillas de ventilación alcanzan $220 {pies}^{2}$ a las 8 a. m., por lo que $V (10) = F (8) .$

En ambos casos, vemos que, porque $F (t)$ empieza 2 horas antes, $h = - 2.$ Esto significa que se alcanzan los mismos valores de salida cuando $F (t) = V (t - (- 2)) = V (t + 2) .$

Figura 6

Análisis

Observe que $V (t + 2)$ tiene el efecto de desplazar el gráfico a la izquierda.

Los cambios horizontales o "cambios interiores" afectan el dominio de una función (la entrada), en lugar del rango, y a menudo parecen contrarios a la intuición. La nueva función $F (t)$ utiliza los mismos valores de entrada que $V (t),$ pero equipara esos valores de salida a los valores de entrada 2 horas antes que los de $V (t) .$ Dicho de otro modo, debemos sumar 2 horas al valor de entrada de $V$ para hallar el valor de salida correspondiente a $F : F (t) = V (t + 2) .$

Cómo

Dada una función tabular, cree una nueva fila que represente el desplazamiento horizontal.

Identifique la fila o columna de entrada.
Determine la magnitud del desplazamiento.
Sume el desplazamiento al valor en cada celda de entrada.

Ejemplo 4

Desplazar una función tabular horizontalmente

Una función $f (x)$ se da en la Tabla 4. Cree una tabla para la función $g (x) = f (x - 3) .$

$x$	2	4	6	8
$f (x)$	1	3	7	11

Tabla 4

Solución

La fórmula $g (x) = f (x - 3)$ nos dice que los valores de salida de $g$ son los mismos que el valor de salida de $f$ cuando el valor de entrada es 3 menos que el valor original. Por ejemplo, sabemos que $f (2) = 1.$ Para obtener la misma salida a partir de la función $g,$ necesitaremos un valor de entrada que sea 3 unidades más. Introducimos un valor de entrada que sea 3 unidades más para $g (x)$ porque la función resta 3 antes de evaluar la función $f .$

\begin{array}{l} g (5) = f (5 - 3) \\ = f (2) \\ = 1 \end{array}

Continuamos con los demás valores para crear la Tabla 5.

$x$	5	7	9	11
$x - 3$	2	4	6	8
$f (x - 3)$	1	3	7	11
$g (x)$	1	3	7	11

Tabla 5

El resultado es que la función $g (x)$ se ha desplazado a la derecha por 3. Observe que los valores de salida para $g (x)$ siguen siendo los mismos que los valores de salida para $f (x),$ pero los valores correspondientes de entrada, $x,$ se han desplazado a la derecha por 3. En concreto, 2 pasó a 5, 4 a 7, 6 a 9 y 8 a 11.

Análisis

La Figura 7 representa ambas funciones. Podemos ver el desplazamiento horizontal en cada punto.

Gráfico de los puntos de la tabla anterior para f(x) y g(x)=f(x-3).

Figura 7

Ejemplo 5

Identificar el desplazamiento horizontal de una función de la caja de herramientas

La Figura 8 representa la transformación de la función de la caja de herramientas $f (x) = x^{2} .$ Relacione esta nueva función $g (x)$ al $f (x),$ y luego halle una fórmula para $g (x) .$

Figura 8

Solución

Observe que la forma del gráfico es idéntica a la función $f (x) = x^{2}$ , pero los valores de x se han desplazado a la derecha en 2 unidades. El vértice estaba en (0,0), pero ahora está en (2,0). El gráfico es la función cuadrática básica, desplazada en 2 unidades a la derecha, por lo que

g (x) = f (x - 2)

Observe cómo ingresamos el valor $x = 2$ para obtener el valor de salida $y = 0;$ los valores de x deberán ser 2 unidades más, debido al desplazamiento a la derecha en 2 unidades. Luego podemos utilizar la definición de la función $f (x)$ para escribir una fórmula para $g (x)$ evaluando $f (x - 2) .$

\begin{array}{l} f (x) = x^{2} \\ g (x) = f (x - 2) \\ g (x) = f (x - 2) = {(x - 2)}^{2} \end{array}

Análisis

Para determinar si el desplazamiento es $+ 2$ o $- 2$ , considere un solo punto de referencia en el gráfico. En una cuadrática, es conveniente mirar el punto del vértice. En la función original, $f (0) = 0 .$ En nuestra función desplazada, $g (2) = 0 .$ Para obtener el valor de salida de 0 a partir de la función $f,$ tenemos que decidir si un signo de más o menos funcionará para satisfacer $g (2) = f (x - 2) = f (0) = 0 .$ Para este trabajo (w), tendremos que restar 2 unidades de nuestros valores de entrada.

Ejemplo 6

Interpretar el desplazamiento horizontal frente al desplazamiento vertical

La función $G (m)$ da como resultado el número de galones de gasolina que se necesitan para recorrer $m$ millas. Interprete $G (m) + 10$ y $G (m + 10) .$

Solución

$G (m) + 10$ puede interpretarse como sumar 10 al valor de salida, galones. Esta es la cantidad de gasolina que se necesita para recorrer $m$ millas, más otros 10 galones de gasolina. El gráfico indicaría un desplazamiento vertical.

$G (m + 10)$ puede interpretarse como sumar 10 al valor de entrada, millas. Por lo que esta es la cantidad de galones de gasolina que se necesitan para recorrer 10 millas más que $m$ millas. El gráfico indicaría un desplazamiento horizontal.

Inténtelo #2

Dada la función $f (x) = \sqrt{x},$ represente gráficamente la función original $f (x)$ y la transformación $g (x) = f (x + 2)$ en los mismos ejes. ¿Es un desplazamiento horizontal o vertical? ¿Hacia dónde se desplaza el gráfico y en cuántas unidades?

Combinar el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal

Ahora que tenemos dos transformaciones, podemos combinarlas. El desplazamiento vertical es un cambio externo que incide en los valores del eje de salida ( $y$ ) y desplaza la función hacia arriba o hacia abajo. El desplazamiento horizontal es un cambio interno que incide en los valores del eje de entrada ( $x$ ) y desplaza la función hacia la izquierda o hacia la derecha. La combinación de los dos tipos de desplazamiento hará que el gráfico de una función se desplace hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha o la izquierda.

Cómo

Dada una función y tanto el desplazamiento vertical como el horizontal, dibuje el gráfico.

Identifique los desplazamientos verticales y horizontales de la fórmula.
El desplazamiento vertical resulta de una constante sumada a la salida. Mueva el gráfico hacia arriba para una constante positiva y hacia abajo para una constante negativa.
El desplazamiento horizontal resulta de una constante sumada a la entrada. Mueva el gráfico hacia la izquierda para una constante positiva y hacia la derecha para una constante negativa.
Aplique los desplazamientos al gráfico en cualquier orden.

Ejemplo 7

Graficar una combinación de desplazamiento vertical y horizontal

Dados $f (x) = | x |,$ dibuje un gráfico de $h (x) = f (x + 1) - 3 .$

Solución

La función $f$ es la función de valor absoluto de nuestra caja de herramientas. Sabemos que este gráfico tiene forma de V, con el punto en el origen. El gráfico de $h$ ha transformado $f$ de dos maneras: $f (x + 1)$ es un cambio en el interior de la función, lo que arroja un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 1, mientras que la sustracción por 3 en $f (x + 1) - 3$ es un cambio hacia afuera de la función, lo que arroja un desplazamiento vertical hacia abajo en 3. La transformación del gráfico se ilustra en la Figura 9.

Sigamos un punto del gráfico de $f (x) = | x | .$

El punto $(0, 0)$ se transforma primero al desplazar 1 unidad hacia la izquierda $(0, 0) \to (–1, 0)$
El punto $(–1, 0)$ luego se transforma al desplazar 3 unidades hacia abajo $(–1, 0) \to (–1, −3)$

Gráfico de una función absoluta, y=|x|, y cómo se transformó en y=|x+1|-3.

Figura 9

La Figura 10 muestra el gráfico de $h .$

Figura 10

Inténtelo #3

Dados $f (x) = | x |,$ dibuje un gráfico de $h (x) = f (x - 2) + 4.$

Ejemplo 8

Identificar una combinación de desplazamiento vertical y horizontal

Escriba una fórmula para el gráfico que se muestra en la Figura 11, que es una transformación de la función de raíz cuadrada de la caja de herramientas.

Gráfico de una función de raíz cuadrada transpuesta hacia la derecha 1 unidad y 2 unidades hacia arriba.

Figura 11

Solución

El gráfico de la función de la caja de herramientas comienza en el origen, por lo que se ha desplazado 1 unidad hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. En notación de funciones, podríamos escribirlo como

h (x) = f (x - 1) + 2

Utilizando la fórmula para la función de raíz cuadrada, podemos escribir

h (x) = \sqrt{x - 1} + 2

Análisis

Observe que esta transformación ha cambiado el dominio y el rango de la función. Este nuevo gráfico tiene dominio $[1, \infty)$ y rango $[2, \infty) .$

Inténtelo #4

Escriba una fórmula para una transformación de la función recíproca de la caja de herramientas $f (x) = \frac{1}{x}$ que desplace el gráfico de la función una unidad hacia la derecha y una unidad hacia arriba.

Graficar funciones mediante reflexiones alrededor de los ejes

Otra transformación que puede aplicarse a una función es una reflexión alrededor de los ejes x o y. La reflexión vertical refleja un gráfico verticalmente a través del eje x, mientras que la reflexión horizontal refleja un gráfico horizontalmente a través del eje y. Las reflexiones se muestran en la Figura 12.

Gráfico de la reflexión vertical y horizontal de una función.

Figura 12 Reflexión vertical y horizontal de una función.

Observe que la reflexión vertical produce un nuevo gráfico, que es una imagen especular del gráfico base u original alrededor del eje x. La reflexión horizontal produce un nuevo gráfico, que es una imagen especular del gráfico base u original alrededor del eje y.

Reflexiones

Dada una función $f (x),$ una nueva función $g (x) = - f (x)$ es la reflexión vertical de la función $f (x),$ algunas veces denominada reflexión alrededor (por encima o a través) del eje x

Dada una función $f (x),$ una nueva función $g (x) = f (- x)$ es la reflexión horizontal de la función $f (x),$ a veces denominada reflexión alrededor del eje y.

Cómo

Dada una función, reflejar el gráfico tanto vertical como horizontalmente.

Multiplique todas las salidas por -1 para una reflexión vertical. El nuevo gráfico es una reflexión del gráfico original sobre el eje x.
Multiplique todas las entradas por -1 para una reflexión horizontal. El nuevo gráfico es una reflexión del gráfico original sobre el eje y.

Ejemplo 9

Reflejar un gráfico horizontal y verticalmente

Refleje el gráfico de $s (t) = \sqrt{t}$ (a) verticalmente y (b) horizontalmente.

Solución

Ⓐ
Reflejar el gráfico verticalmente significa que cada valor de salida se reflejará sobre el eje horizontal t, como se muestra en la Figura 13.

Figura 13 Reflexión vertical de la función de raíz cuadrada

Dado que cada valor de salida es el opuesto al valor de salida original, podemos escribir

$V (t) = - s (t) o V (t) = - \sqrt{t}$
Observe que esto es un cambio externo, o desplazamiento vertical, que incide en los valores de salida $s (t)$ , por lo que el signo negativo va por afuera de la función.
Ⓑ
Reflejar horizontalmente significa que cada valor de entrada se reflejará sobre el eje vertical, como se muestra en la Figura 14.

Figura 14 Reflexión horizontal de la función de raíz cuadrada

Dado que cada valor de entrada es el opuesto al valor de entrada original, podemos escribir

$H (t) = s (- t) o H (t) = \sqrt{- t}$
Observe que este es un cambio interno u horizontal, que incide en los valores de entrada, por lo que el signo negativo está en el interior de la función.

Observe que estas transformaciones pueden afectar el dominio y el rango de las funciones. Mientras que la función original de raíz cuadrada tiene el dominio $[0, \infty)$ y rango $[0, \infty),$ la reflexión vertical da a la función $V (t)$ el rango $(- \infty, 0]$ y la reflexión horizontal da a la función $H (t)$ el dominio $(- \infty, 0] .$

Inténtelo #5

Refleje el gráfico de $f (x) = | x - 1 |$ (a) verticalmente y (b) horizontalmente.

Ejemplo 10

Reflejar una función tabular horizontalmente y verticalmente

Una función $f (x)$ viene dada como la Tabla 6. Cree una tabla para las funciones siguientes.

Ⓐ $g (x) = - f (x)$
Ⓑ $h (x) = f (- x)$

$x$	2	4	6	8
$f (x)$	1	3	7	11

Tabla 6

Solución

Ⓐ

Para $g (x),$ el signo negativo fuera de la función indica una reflexión vertical, por lo que los valores de x siguen siendo los mismos y cada valor de salida será lo opuesto del valor original. Vea la Tabla 7.

$x$	2	4	6	8
$g (x)$	-1	-3	–7	–11

Tabla 7

Ⓑ

Para $h (x),$ el signo negativo dentro de la función indica una reflexión horizontal, por lo que cada valor de entrada será lo opuesto del valor original, en tanto que los valores $h (x)$ se mantienen los mismos valores que los valores $f (x)$ . Vea la Tabla 8.

$x$	−2	-4	−6	−8
$h (x)$	1	3	7	11

Tabla 8

Inténtelo #6

Una función $f (x)$ viene dada como la Tabla 9. Cree una tabla para las funciones siguientes.

Ⓐ $g (x) = - f (x)$
Ⓑ $h (x) = f (- x)$

$x$	−2	0	2	4
$f (x)$	5	10	15	20

Tabla 9

Ejemplo 11

Aplicar una ecuación de modelo de aprendizaje

Un modelo común para el aprendizaje tiene una ecuación similar a $k (t) = - 2^{- t} + 1,$ donde $k$ es el porcentaje de dominio que se puede alcanzar después de $t$ sesiones de práctica. Se trata de una transformación de la función $f (t) = 2^{t}$ que se muestra en la Figura 15. Dibuje un gráfico de $k (t) .$

Figura 15

Solución

Esta ecuación combina tres transformaciones en una sola ecuación.

Una reflexión horizontal: $f (- t) = 2^{- t}$
Una reflexión vertical: $- f (- t) = - 2^{- t}$
Un desplazamiento vertical: $- f (- t) + 1 = - 2^{- t} + 1$

Podemos dibujar un gráfico al aplicar estas transformaciones, una a la vez, a la función original. Sigamos dos puntos a través de cada una de las tres transformaciones. Elegiremos los puntos (0, 1) y (1, 2).

Primero, aplicamos una reflexión horizontal: (0, 1) (–1, 2).
Luego, aplicamos una reflexión vertical: (0, −1) (-1, –2).
Por último, aplicamos un desplazamiento vertical: (0, 0) (-1, -1).

Esto significa que los puntos originales, (0,1) y (1,2) se convierten en (0,0) y (-1,-1) después de que aplicamos las transformaciones.

En la Figura 16, el primer gráfico resulta de una reflexión horizontal. El segundo resulta de una reflexión vertical. El tercero resulta del desplazamiento vertical hacia arriba en 1 unidad.

Figura 16

Análisis

Como modelo para el aprendizaje, esta función se limitaría a un dominio de $t \geq 0,$ con el rango correspondiente $[0, 1) .$

Inténtelo #7

Dada la función de la caja de herramientas $f (x) = x^{2},$ grafique $g (x) = - f (x)$ y $h (x) = f (- x) .$ Tome nota de cualquier comportamiento sorprendente de estas funciones.

Determinar las funciones pares e impares

Algunas funciones presentan simetría, de modo que las reflexiones dan lugar al gráfico original. Por ejemplo, reflejar horizontalmente las funciones de la caja de herramientas $f (x) = x^{2}$ o $f (x) = | x |$ dará lugar al gráfico original. Decimos que este tipo de gráficos es simétrico con respecto al eje y. Las funciones cuyos gráficos son simétricos respecto al eje y se denominan funciones pares.

Si los gráficos de $f (x) = x^{3}$ o $f (x) = \frac{1}{x}$ se reflejaran alrededor de ambos ejes, el resultado sería el gráfico original, como se muestra en la Figura 17.

Figura 17 (a) La función cúbica de la caja de herramientas. (b) La reflexión horizontal de la función cúbica de la caja de herramientas. (c) Las reflexiones horizontales y verticales reproducen la función cúbica original.

Decimos que estos gráficos son simétricos respecto al origen. La función cuyo gráfico es simétrico con respecto al origen recibe el nombre de función impar.

Nota: La función no puede ser ni par ni impar si no exhibe alguna simetría. Por ejemplo, $f (x) = 2^{x}$ no es ni par ni impar. También, la única función que es tanto par como impar es la función constante $f (x) = 0 .$

Funciones pares e impares

Una función se define como función par si para cada entrada $x$

f (x) = f (- x)

El gráfico de función par es simétrico respecto al eje $y$ .

Una función se define como función impar si para cada entrada $x$

f (x) = - f (- x)

El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen.

Cómo

Dada la fórmula de una función, determinar si la función es par, impar o ninguna de las dos.

Determine si la función satisface $f (x) = f (- x) .$ En caso afirmativo, es par.
Determine si la función satisface $f (x) = - f (- x) .$ En caso afirmativo, es impar.
Si la función no cumple ninguna de las dos reglas, no es ni par ni impar.

Ejemplo 12

Determinar si una función es par, impar o ninguna de las dos

¿La función $f (x) = x^{3} + 2 x$ es par, impar, o ninguna de las dos?

Solución

Sin mirar ningún gráfico, podemos determinar si la función es par o impar al hallar las fórmulas para las reflexiones y determinar si nos devuelven a la función original. Empecemos con la regla correspondiente a las funciones pares.

f (- x) = {(- x)}^{3} + 2 (- x) = - x^{3} - 2 x

Esto no nos regresa a la función original, por lo que esta función es impar. Ahora podemos probar la regla para las funciones impares.

- f (- x) = - (- x^{3} - 2 x) = x^{3} + 2 x

Dado que $- f (- x) = f (x),$ esta es una función impar.

Análisis

Consideremos el gráfico de $f$ en la Figura 18. Observe que el gráfico es simétrico respecto al origen. Para cada punto $(x, y)$ en el gráfico, el punto correspondiente $(- x, - y)$ también está en el gráfico. Por ejemplo, (1, 3) está en el gráfico de $f,$ y el punto correspondiente $(–1, −3)$ también está en el gráfico.

Gráfico de f(x) con puntos etiquetados en (1, 3) y (-1, -3).

Figura 18

Inténtelo #8

¿La función $f (s) = s^{4} + 3 s^{2} + 7$ es par, impar, o ninguna de las dos?

Graficar funciones mediante estiramiento y compresión

Sumar una constante a las entradas o salidas de una función cambia la posición de un gráfico con respecto a los ejes, pero no afecta la forma de un gráfico. Ahora exploramos los efectos de multiplicar los valores de entrada o de salida por alguna cantidad.

Podemos transformar el interior (valores de entrada) de una función o podemos transformar el exterior (valores de salida) de una función. Cada cambio tiene un efecto específico que puede verse gráficamente.

Estiramiento y compresión vertical

Cuando multiplicamos una función por una constante positiva, obtenemos una función cuyo gráfico se estira o comprime verticalmente en relación con el gráfico de la función original. Si la constante es mayor a 1, obtenemos un estiramiento vertical; si la constante está entre 0 y 1, obtenemos una compresión vertical. La Figura 19 muestra una función multiplicada por los factores constantes 2 y 0,5 y el estiramiento y la compresión vertical resultantes.

Gráfico de una función que muestra el estiramiento y la compresión vertical.

Figura 19 Estiramiento y compresión vertical

Estiramiento y compresión vertical

Dada una función $f (x),$ una nueva función $g (x) = a f (x),$ donde $a$ es una constante, es un estiramiento vertical o compresión vertical de la función $f (x) .$

Si los valores de $a > 1,$ entonces el gráfico se estirará.
Si los valores de $0 < a < 1,$ entonces el gráfico se comprimirá.
Si los valores de $a < 0,$ entonces habrá la combinación de estiramiento o compresión vertical con reflexión vertical.

Cómo

Dada una función, graficar su tramo vertical.

Identifique el valor de $a .$
Multiplique todos los valores del rango por $a .$
Si los valores de $a > 1,$ el gráfico se estira por un factor de $a .$

Si los valores de $0 < a < 1,$ el gráfico se comprime por un factor de $a .$

Si los valores de $a < 0,$ el gráfico se estira o se comprime y también se refleja alrededor del eje x.

Ejemplo 13

Graficar el estiramiento vertical

Una función $P (t)$ modela la población de moscas de la fruta. El gráfico se muestra en la Figura 20.

Gráfico que representa el crecimiento demográfico de moscas de la fruta.

Figura 20

Un científico compara esta población con otra, $Q,$ cuyo crecimiento sigue el mismo patrón, pero es el doble de tamaño. Dibuje un gráfico de esta población.

Solución

Dado que la población siempre es el doble de grande, los valores de salida de la nueva población serán siempre el doble de los valores de salida de la función original. Gráficamente, esto se muestra en la Figura 21.

Si elegimos cuatro puntos de referencia, (0, 1), (3, 3), (6, 2) y (7, 0) multiplicaremos por 2 todos los valores de salida.

A continuación se muestra dónde se ubicarán los nuevos puntos del nuevo gráfico.

\begin{array}{l} (0, 1) \to (0, 2) \\ (3, 3) \to (3, 6) \\ (6, 2) \to (6, 4) \\ (7, 0) \to (7, 0) \end{array}

Gráfico de la función de población duplicada.

Figura 21

Simbólicamente, la relación se escribe como

Q (t) = 2 P (t)

Esto significa que para cualquier valor de entrada $t,$ el valor de la función $Q$ es el doble del valor de la función $P .$ Observe que el efecto en el gráfico es su estiramiento vertical, donde cada punto duplica su distancia desde el eje horizontal. Los valores de entrada, $t,$ se mantienen iguales, mientras que los valores de salida son el doble de antes.

Cómo

Dada una función tabular, y asumiendo que la transformación sea un estiramiento o una compresión vertical, crear una tabla para la compresión vertical.

Determine el valor de la $a .$
Multiplique todos los valores de salida por $a .$

Ejemplo 14

Hallar la compresión vertical de una función tabular

Una función $f$ viene dada como la Tabla 10. Cree una tabla para la función $g (x) = \frac{1}{2} f (x) .$

$x$	2	4	6	8
$f (x)$	1	3	7	11

Tabla 10

Solución

La fórmula $g (x) = \frac{1}{2} f (x)$ nos dice que los valores de salida de $g$ son la mitad de los valores de salida de $f$ con los mismos valores de entrada. Por ejemplo, sabemos que $f (4) = 3.$ Entonces

g (4) = \frac{1}{2} f (4) = \frac{1}{2} (3) = \frac{3}{2}

Hacemos lo mismo con los demás valores para obtener la Tabla 11.

$x$	$2$	$4$	$6$	$8$
$g (x)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{7}{2}$	$\frac{11}{2}$

Tabla 11

Análisis

El resultado es que la función $g (x)$ se ha comprimido verticalmente por $\frac{1}{2} .$ Cada valor de salida se divide a la mitad, por lo que el gráfico tiene la mitad de la altura original.

Inténtelo #9

Una función $f$ viene dada como la Tabla 12. Cree una tabla para la función $g (x) = \frac{3}{4} f (x) .$

$x$	2	4	6	8
$f (x)$	12	16	20	0

Tabla 12

Ejemplo 15

Reconocer el estiramiento vertical

El gráfico en la Figura 22 es la transformación de la función de caja de herramientas $f (x) = x^{3} .$ Relacione esta nueva función $g (x)$ al $f (x),$ y luego halle una fórmula para $g (x) .$

Gráfico de la transformación de f(x)=x^3.

Figura 22

Solución

Al tratar de determinar el estiramiento o desplazamiento vertical, es útil buscar un punto en el gráfico que sea relativamente claro. En este gráfico, parece que $g (2) = 2.$ Con la función cúbica básica en la misma entrada, $f (2) = 2^{3} = 8.$ En función de esto, parece que las salidas de $g$ son $\frac{1}{4}$ de los valores de salida de la función $f$ porque $g (2) = \frac{1}{4} f (2) .$ De esto podemos concluir con bastante seguridad que $g (x) = \frac{1}{4} f (x) .$

Podemos escribir una fórmula para $g$ con la definición de la función $f .$

g (x) = \frac{1}{4} f (x) = \frac{1}{4} x^{3}

Inténtelo #10

Escriba la fórmula para la función que obtenemos cuando estiramos la función de identidad de la caja de herramientas por un factor de 3, y luego la desplazamos hacia abajo en 2 unidades.

Estiramiento y compresión horizontal

Ahora, consideramos los cambios en el interior de una función. Cuando multiplicamos la entrada de una función por una constante positiva, obtenemos una función cuyo gráfico se estira o comprime horizontalmente en relación con el gráfico de la función original. Si la constante se ubica entre 0 y 1, obtenemos un estiramiento horizontal; si la constante es mayor que 1, obtenemos una compresión horizontal de la función.

Gráfico del estiramiento y de la compresión vertical de x^2.

Figura 23

Dada una función $y = f (x),$ la forma $y = f (b x)$ da como resultado el estiramiento o compresión horizontal. Considere la función $y = x^{2} .$ Observe la Figura 23. El gráfico de $y = {(0,5 x)}^{2}$ es el estiramiento horizontal del gráfico de la función $y = x^{2}$ por un factor de 2. El gráfico de $y = {(2 x)}^{2}$ es la compresión horizontal del gráfico de la función $y = x^{2}$ por un factor de $\frac{1}{2}$ .

Estiramiento y compresión horizontal

Dada una función $f (x),$ una nueva función $g (x) = f (b x),$ donde $b$ es una constante, es un estiramiento horizontal o una compresión horizontal de la función $f (x) .$

Si los valores de $b > 1,$ entonces el gráfico se comprimirá por $\frac{1}{b} .$
Si los valores de $0 < b < 1,$ entonces el gráfico se estirará por $\frac{1}{b} .$
Si $b < 0,$ entonces habrá una combinación de estiramiento o compresión horizontal con reflexión horizontal.

Cómo

Dada la descripción de una función, dibujar una compresión o estiramiento horizontal.

Escriba una fórmula que represente la función.
Establezca $g (x) = f (b x)$ donde $b > 1$ para una compresión o $0 < b < 1$ para un estiramiento.

Ejemplo 16

Graficar una compresión horizontal

Supongamos que un científico compara una población de moscas de la fruta con una población que progresa a lo largo de su vida el doble de rápido que la población original. En otras palabras, esta nueva población, $R,$ progresará en 1 hora lo mismo que la población original en 2 horas, y en 2 horas, progresará lo mismo que la población original en 4 horas. Dibuje un gráfico de esta población.

Solución

Simbólicamente, podríamos escribir

\begin{array}{l} R (1) = P (2), \\ R (2) = P (4), y en general, \\ R (t) = P (2 t) . \end{array}

Consulte la Figura 24 con respecto a la comparación gráfica entre la población original y la población comprimida.

Dos gráficos paralelos. El primer gráfico tiene función para la población original, cuyo dominio es [0,7] y el rango es [0,3]. El valor máximo se produce en (3,3). El segundo gráfico tiene la misma forma que el primero, excepto que es la mitad de ancho. Es un gráfico de población transformada, con un dominio de [0, 3,5] y un rango de [0,3]. El máximo se produce en (1,5, 3).

Figura 24 (a) Gráfico de población original (b) Gráfico de población comprimida

Análisis

Observe que el efecto en el gráfico es la compresión horizontal, donde todos los valores de entrada son la mitad de la distancia original desde el eje vertical.

Ejemplo 17

Hallar el estiramiento horizontal de una función tabular

Una función $f (x)$ viene dada como la Tabla 13. Cree una tabla para la función $g (x) = f (\frac{1}{2} x) .$

$x$	2	4	6	8
$f (x)$	1	3	7	11

Tabla 13

Solución

La fórmula $g (x) = f (\frac{1}{2} x)$ nos indica que los valores de salida para $g$ son los mismos que los de la función $f$ a una entrada de la mitad de tamaño. Observe que no tenemos suficiente información para determinar $g (2)$ porque $g (2) = f (\frac{1}{2} \cdot 2) = f (1),$ y no tenemos un valor para $f (1)$ en nuestra tabla. Nuestros valores de entrada a $g$ deberán ser el doble con el fin de obtener valores de entrada para $f$ que podamos evaluar. Por ejemplo, podemos determinar $g (4) .$

g (4) = f (\frac{1}{2} \cdot 4) = f (2) = 1

Hacemos lo mismo con los demás valores para obtener la Tabla 14.

$x$	4	8	12	16
$g (x)$	1	3	7	11

Tabla 14

La Figura 25 muestra los gráficos de estos dos conjuntos de puntos.

Figura 25

Análisis

Dado que cada valor de entrada se ha duplicado, el resultado es que la función $g (x)$ se ha estirado horizontalmente por un factor de 2.

Ejemplo 18

Reconocer la compresión horizontal en un gráfico

Relacione la función $g (x)$ al $f (x)$ en la Figura 26.

Gráfico de f(x) comprimido verticalmente a g(x).

Figura 26

Solución

El gráfico de $g (x)$ se parece al gráfico de $f (x)$ comprimido horizontalmente. Dado que $f (x)$ termina en $(6, 4)$ y $g (x)$ termina en $(2, 4),$ podemos ver que los valores de $x$ se han comprimido por $\frac{1}{3},$ porque $6 (\frac{1}{3}) = 2.$ También podríamos observar que $g (2) = f (6)$ y $g (1) = f (3) .$ En cualquier caso, podemos describir esta relación como $g (x) = f (3 x) .$ Se trata de una compresión horizontal por $\frac{1}{3} .$

Análisis

Observe que el coeficiente necesario para el estiramiento o compresión horizontal es la reciprocidad del estiramiento o compresión. Así, para estirar el gráfico horizontalmente en un factor de escala de 4, necesitamos un coeficiente de $\frac{1}{4}$ en nuestra función: $f (\frac{1}{4} x) .$ Esto significa que los valores de entrada deberán ser el cuádruple para generar el mismo resultado, lo que exige que la entrada sea mayor, y lo que da como resultado el estiramiento horizontal.

Inténtelo #11

Escriba una fórmula para la función de raíz cuadrada de la caja de herramientas, estirada horizontalmente por un factor de 3.

Realizar una secuencia de transformaciones

Al combinar las transformaciones, es muy importante tener en cuenta el orden de las mismas. Por ejemplo, desplazar verticalmente en 3 y luego estirar verticalmente en 2 no crea el mismo gráfico que estirar verticalmente en 2 y luego desplazar verticalmente en 3, porque cuando desplazamos primero, tanto la función original como el desplazamiento se estiran, mientras que solo se estira la función original cuando estiramos primero.

Cuando vemos una expresión como $2 f (x) + 3,$ ¿con cuál transformación deberíamos comenzar primero? La respuesta se desprende del orden de las operaciones. Dado el valor de salida de $f (x),$ multiplicamos primero por 2, lo que causa el estiramiento vertical, y luego sumamos 3, lo que causa el desplazamiento vertical. Es decir, la multiplicación antes que la suma.

Las transformaciones horizontales son un poco más complicadas. Cuando escribimos $g (x) = f (2 x + 3),$ por ejemplo, tenemos que pensar de qué manera las entradas a la función $g$ se relacionan con las entradas a la función $f .$ Supongamos que sabemos $f (7) = 12.$ ¿Qué entrada a $g$ produciría este valor de salida? En otras palabras, ¿qué valor de $x$ permitirá $g (x) = f (2 x + 3) = 12 ?$ Necesitaríamos $2 x + 3 = 7.$ Para resolver $x,$ primero restamos 3, lo que causa un desplazamiento horizontal, y luego dividimos entre 2, lo que causa una compresión horizontal.

Este formato acaba siendo muy difícil de trabajar, porque suele ser mucho más fácil estirar horizontalmente un gráfico antes de desplazarlo. Podemos evitarlo al factorizar dentro de la función.

f (b x + p) = f (b (x + \frac{p}{b}))

Exploremos un ejemplo.

f (x) = {(2 x + 4)}^{2}

Podemos sacar un factor común 2.

f (x) = {(2 (x + 2))}^{2}

Ahora podemos observar con mayor claridad un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 2 unidades, así como una compresión horizontal. La factorización de este modo nos permite estirar primero en sentido horizontal y luego desplazar en sentido horizontal.

Combinar transformaciones

Al combinar las transformaciones verticales escritas en la forma $a f (x) + k,$ primero se estira verticalmente por $a$ y luego se desplaza verticalmente por $k .$

Cuando se combinan las transformaciones horizontales escritas en la forma $f (b x h),$ primero se desplaza horizontalmente por $\frac{h}{b}$ y luego se estira horizontalmente por $\frac{1}{b} .$

Cuando se combinan las transformaciones horizontales escritas en la forma $f (b (x h)),$ primero se estira horizontalmente por $\frac{1}{b}$ y luego se desplaza horizontalmente por $h .$

Las transformaciones horizontal y vertical son independientes. No importa si se realizan primero las transformaciones horizontales o las verticales.

Ejemplo 19

Hallar la triple transformación de una función tabular

Dada la Tabla 15 para la función $f (x),$ cree una tabla de valores para la función $g (x) = 2 f (3 x) + 1.$

$x$	6	12	18	24
$f (x)$	10	14	15	17

Tabla 15

Solución

Hay tres pasos para esta transformación, y trabajaremos desde adentro hacia afuera. Empezando por las transformaciones horizontales, $f (3 x)$ es una compresión horizontal por $\frac{1}{3},$ lo que significa que multiplicamos cada valor de $x$ por $\frac{1}{3} .$ Vea la Tabla 16.

$x$	2	4	6	8
$f (3 x)$	10	14	15	17

Tabla 16

Al mirar ahora la transformación vertical, comenzamos con el estiramiento vertical, en el que multiplicaremos los valores de salida por 2. Aplicamos esto a la transformación anterior. Vea la Tabla 17.

$x$	2	4	6	8
$2 f (3 x)$	20	28	30	34

Tabla 17

Por último, podemos aplicar el desplazamiento vertical, que sumará 1 a todos los valores de salida. Vea la Tabla 18.

$x$	2	4	6	8
$g (x) = 2 f (3 x) + 1$	21	29	31	35

Tabla 18

Ejemplo 20

Hallar la triple transformación de un gráfico

Utilice el gráfico de $f (x)$ en la Figura 27 para dibujar un gráfico de $k (x) = f (\frac{1}{2} x + 1) - 3,$

Figura 27

Solución

Para simplificar, empecemos por factorizar el interior de la función.

f (\frac{1}{2} x + 1) - 3 = f (\frac{1}{2} (x + 2)) - 3

Al factorizar el interior, primero podemos estirar horizontalmente por 2, como indica el $\frac{1}{2}$ en el interior de la función. Recuerde que el doble de 0 sigue siendo 0, por lo que el punto (0,2) se mantiene en (0,2) mientras que el punto (2,0) se estirará hasta (4,0). Vea la Figura 28.

Gráfico de un semicírculo estirado verticalmente.

Figura 28

A continuación, nos desplazamos horizontalmente hacia la izquierda 2 unidades, como se indica en $x + 2.$ Vea la Figura 29.

Gráfico de semicírculo estirado y trasladado verticalmente.

Figura 29

Por último, nos desplazamos verticalmente en 3 unidades hacia abajo para completar nuestro dibujo, como indica el $- 3$ en el exterior de la función. Vea la Figura 30.

Figura 30

Media

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar la transformación de funciones.

Transformaciones de funciones

1.5 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue el desplazamiento horizontal del desplazamiento vertical?

2.

Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue el estiramiento horizontal del estiramiento vertical?

3.

Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue la compresión horizontal de la compresión vertical?

4.

Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue una reflexión con respecto al eje x de una reflexión con respecto al eje y?

5.

¿Cómo se determina si una función es par o impar a partir de la fórmula de la función?

Algebraicos

6.

Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de $f (x) = \sqrt{x}$ se desplaza hacia arriba 1 unidad y hacia la izquierda 2 unidades.

7.

Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de $f (x) = | x |$ se desplaza hacia abajo en 3 unidades y a la derecha en 1 unidad.

8.

Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de $f (x) = \frac{1}{x}$ se desplaza hacia abajo en 4 unidades y a la derecha en 3 unidades.

9.

Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ se desplaza hacia arriba en 2 unidades y a la izquierda en 4 unidades.

En los siguientes ejercicios, describa en qué medida el gráfico de la función es la transformación del gráfico de la función original $f .$

10.

$y = f (x - 49)$

11.

$y = f (x + 43)$

12.

$y = f (x + 3)$

13.

$y = f (x - 4)$

14.

$y = f (x) + 5$

15.

$y = f (x) + 8$

16.

$y = f (x) - 2$

17.

$y = f (x) - 7$

18.

$y = f (x - 2) + 3$

19.

$y = f (x + 4) - 1$

En los siguientes ejercicios, determine los intervalos en los que la función es creciente y decreciente.

20.

$f (x) = 4 {(x + 1)}^{2} - 5$

21.

$g (x) = 5 {(x + 3)}^{2} - 2$

22.

$a (x) = \sqrt{- x + 4}$

23.

$k (x) = - 3 \sqrt{x} - 1$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de $f (x) = 2^{x}$ que se muestra en la Figura 31 para dibujar un gráfico de cada transformación de $f (x) .$

Figura 31

24.

$g (x) = 2^{x} + 1$

25.

$h (x) = 2^{x} - 3$

26.

$w (x) = 2^{x - 1}$

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función como transformación del gráfico de una de las funciones de la caja de herramientas.

27.

$f (t) = {(t + 1)}^{2} - 3$

28.

$h (x) = | x - 1 | + 4$

29.

$k (x) = {(x - 2)}^{3} - 1$

30.

$m (t) = 3 + \sqrt{t + 2}$

Numéricos

31.

Las representaciones tabulares de las funciones $f, g,$ y $h$ se indican a continuación. Escriba $g (x)$ y $h (x)$ como transformaciones de $f (x) .$

$x$	−2	−1	0	1	2
$f (x)$	−2	−1	−3	1	2

$x$	−1	0	1	2	3
$g (x)$	−2	−1	−3	1	2

$x$	−2	−1	0	1	2
$h (x)$	−1	0	−2	2	3

32.

Las representaciones tabulares de las funciones $f, g,$ y $h$ se indican a continuación. Escriba $g (x)$ y $h (x)$ como transformaciones de $f (x) .$

$x$	−2	−1	0	1	2
$f (x)$	−1	−3	4	2	1

$x$	−3	−2	−1	0	1
$g (x)$	−1	−3	4	2	1

$x$	−2	−1	0	1	2
$h (x)$	−2	-4	3	1	0

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación por cada función graficada mediante el empleo de las transformaciones de los gráficos de una de las funciones de la caja de herramientas.

33.

34.

35.

Gráfico de una función de raíz cuadrada.

36.

37.

38.

39.

40.

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de las transformaciones de la función de raíz cuadrada para hallar una fórmula por cada una de las funciones.

41.

42.

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de las funciones transformadas de la caja de herramientas para escribir una fórmula por cada una de las funciones resultantes.

43.

44.

45.

46.

En los siguientes ejercicios, determine si la función es par, impar o ninguna de las dos.

47.

$f (x) = 3 x^{4}$

48.

$g (x) = \sqrt{x}$

49.

$h (x) = \frac{1}{x} + 3 x$

50.

$f (x) = {(x - 2)}^{2}$

51.

$g (x) = 2 x^{4}$

52.

$h (x) = 2 x - x^{3}$

En los siguientes ejercicios, describa de qué manera el gráfico de cada función es la transformación del gráfico de la función original $f .$

53.

$g (x) = - f (x)$

54.

$g (x) = f (- x)$

55.

$g (x) = 4 f (x)$

56.

$g (x) = 6 f (x)$

57.

$g (x) = f (5 x)$

58.

$g (x) = f (2 x)$

59.

$g (x) = f (\frac{1}{3} x)$

60.

$g (x) = f (\frac{1}{5} x)$

61.

$g (x) = 3 f (- x)$

62.

$g (x) = - f (3 x)$

En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula para la función $g$ que resulta cuando el gráfico de una determinada función de la caja de herramientas se transforma como se ha descrito.

63.

El gráfico de $f (x) = | x |$ se refleja sobre el eje $y$ , además de comprimirse horizontalmente por un factor de $\frac{1}{4}$ .

64.

El gráfico de $f (x) = \sqrt{x}$ se refleja sobre el eje $x$ , a la vez que se estira horizontalmente por un factor de 2.

65.

El gráfico de $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ se comprime verticalmente por un factor de $\frac{1}{3},$ luego se desplaza 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo.

66.

El gráfico de $f (x) = \frac{1}{x}$ se estira verticalmente por un factor de 8, luego se desplaza 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.

67.

El gráfico de $f (x) = x^{2}$ se comprime verticalmente por un factor de $\frac{1}{2},$ luego se desplaza 5 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba.

68.

El gráfico de $f (x) = x^{2}$ se estira horizontalmente por un factor de 3, luego se desplaza 4 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo.

En los siguientes ejercicios, describa cómo la fórmula es la transformación de una función de la caja de herramientas. Luego dibuje un gráfico de la transformación.

69.

$g (x) = 4 {(x + 1)}^{2} - 5$

70.

$g (x) = 5 {(x + 3)}^{2} - 2$

71.

$h (x) = - 2 | x - 4 | + 3$

72.

$k (x) = - 3 \sqrt{x} - 1$

73.

$m (x) = \frac{1}{2} x^{3}$

74.

$n (x) = \frac{1}{3} | x - 2 |$

75.

$p (x) = {(\frac{1}{3} x)}^{3} - 3$

76.

$q (x) = {(\frac{1}{4} x)}^{3} + 1$

77.

$a (x) = \sqrt{- x + 4}$

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico en la Figura 32 para dibujar las transformaciones dadas.

Figura 32

78.

$g (x) = f (x) - 2$

79.

$g (x) = - f (x)$

80.

$g (x) = f (x + 1)$

81.

$g (x) = f (x - 2)$

1.5 Transformación de funciones

Graficar funciones con desplazamiento vertical y horizontal.

Identificación del desplazamiento vertical

Sumar una constante a una función

Solución

Desplazar una función tabular verticalmente

Solución

Análisis

Identificar el desplazamiento horizontal

Sumar una constante a una función

Solución

Análisis

Desplazar una función tabular horizontalmente

Solución

Análisis

Identificar el desplazamiento horizontal de una función de la caja de herramientas

Solución

Análisis

Interpretar el desplazamiento horizontal frente al desplazamiento vertical

Solución

Combinar el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal

Graficar una combinación de desplazamiento vertical y horizontal

Solución

Identificar una combinación de desplazamiento vertical y horizontal

Solución

Análisis

Graficar funciones mediante reflexiones alrededor de los ejes

Reflejar un gráfico horizontal y verticalmente

Solución

Reflejar una función tabular horizontalmente y verticalmente

Solución

Aplicar una ecuación de modelo de aprendizaje

Solución

Análisis

Determinar las funciones pares e impares

Determinar si una función es par, impar o ninguna de las dos

Solución

Análisis

Graficar funciones mediante estiramiento y compresión

Estiramiento y compresión vertical

Graficar el estiramiento vertical

Solución

Hallar la compresión vertical de una función tabular

Solución

Análisis

Reconocer el estiramiento vertical

Solución

Estiramiento y compresión horizontal

Graficar una compresión horizontal

Solución

Análisis

Hallar el estiramiento horizontal de una función tabular

Solución

Análisis

Reconocer la compresión horizontal en un gráfico

Solución

Análisis

Realizar una secuencia de transformaciones

Hallar la triple transformación de una función tabular

Solución

Hallar la triple transformación de un gráfico

Solución

1.5 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Numéricos