9.5 Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas

Establezca la prueba de la hipótesis:

Ya que el problema es sobre un peso medio, se trata de una prueba de una sola media poblacional.

H₀: μ = 275
H_a: μ > 275
Esta es una prueba de cola derecha.

Calcule la distribución necesaria:

Variable aleatoria: $\overline{X}$ = el peso medio, en libras, levantado por los futbolistas.

Distribución para la prueba: Es normal porque σ es conocido.

$\overline{X}~N\left(275,\frac{55}{\sqrt{30}}\right)$

$\overline{x}=\mathrm{286,2}$ libras (a partir de los datos).

σ = 55 libras (Utilice siempre σ si lo conoce). Asumimos que μ = 275 libras, a no ser que nuestros datos nos muestren lo contrario.

Calcule el valor p con la distribución normal para una media y con la media de la muestra como entrada (vea el G - NOTAS PARA LAS CALCULADORAS TI-83, 83+, 84, 84+ para utilizar los datos como entrada):

$\mathrm{valor}\text{p}=P(\overline{x}>\mathrm{286,2})=\mathrm{0,1323}$.

Interpretación del valor p: Si H₀ es verdadera, entonces hay una probabilidad de 0,1331 (13,23 %) de que los futbolistas levanten un peso medio de 286,2 libras o más. Dado que una probabilidad del 13,23 % es lo suficientemente grande, un levantamiento de peso medio de 286,2 libras o más no es un evento poco común.

Figura 9.8

Compare α y el valor p:

α = 0,025 valor p = 0,1323

Tome una decisión: Dado que α < valor p, no se rechaza H₀.

Conclusión: Al nivel de significación del 2,5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que el verdadero peso medio levantado sea superior a 275 libras.

El valor p se calcula fácilmente.

Establezca la prueba de la hipótesis:

El nivel de significación del 5 % significa que α = 0,05. Se trata de una prueba de la media de una sola población.

H₀: μ = 65 H_a: μ > 65

Ya que el instructor cree que la puntuación promedio es más alta, utiliza un ">". El ">" significa que la prueba es de cola derecha.

Determine la distribución necesaria:

Variable aleatoria: $\overline{X}$ = puntuación promedio en la primera prueba de Estadística.

Distribución para la prueba: Si lee el problema con atención, se dará cuenta de que no se da la desviación típica de la población. Solamente se dan n = 10 valores de datos de muestra. Observe también que los datos proceden de una distribución normal. Esto significa que la distribución para la prueba es una t de Student.

Utilice t_df. En consecuencia, la distribución para la prueba es t₉ donde n = 10 and df = 10 - 1 = 9.

Calcule el valor p con la distribución t de Student:

valor p = P($\overline{x}$ > 67) = 0,0396 donde la media y la desviación típica de la muestra se calculan como 67 y 3,1972 a partir de los datos.

Interpretación del valor p: Si la hipótesis nula es verdadera, existe una probabilidad de 0,0396 (3,96 %) de que la media de la muestra sea igual o superior a 65.

Figura 9.9

Compare α y el valor p:

Dado que α = 0,05 y el valor p = 0,0396. α > valor p.

Tome una decisión: Dado que α > valor p, se rechaza H₀.

Esto significa que se rechaza μ = 65. En otras palabras, cree que la puntuación promedio de los exámenes es superior a 65.

Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, los datos de la muestra aportan suficientes pruebas de que la puntuación media (promedio) de la prueba es superior a 65, tal y como piensa el instructor de Matemáticas.

El valor p se calcula fácilmente.

Establezca la prueba de la hipótesis:

El nivel de significación del 1 % indica que α = 0,01. Se trata de una prueba de una sola proporción de población.

H₀: p = 0,50 H_a: p ≠ 0,50

Las palabras “es igual o diferente de” indican que se trata de una prueba de dos colas.

Calcule la distribución necesaria:

Variable aleatoria: P′ = el porcentaje de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios.

Distribución para la prueba: el problema no contiene ninguna mención a la media. La información se da en términos de porcentajes. Utilice la distribución para P′, la proporción estimada.

$P^{\prime }~N\left(\mathrm{valor},\sqrt{\frac{\mathrm{valor}\cdot q}{n}}\right)$ Por lo tanto, $P^{\prime }~N\left(\mathrm{0,5},\sqrt{\frac{\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}}{100}}\right)$

donde p = 0,50, q = 1−p = 0,50 y n = 100

Calcule el valor p con la distribución normal para las proporciones:

valor p= P (p′ < 0,47 o p′ > 0,53) = 0,5485

donde x = 53, p′ = $\frac{x}{n}\text{ = }\frac{\text{53}}{\text{100}}$ = 0,53.

Interpretación del valor p: Si la hipótesis nula es verdadera, existe una probabilidad de 0,5485 (54,85 %) de que la proporción muestral (estimada) $\mathrm{valor}\text{'}$ sea igual o superior a 0,53 O igual o inferior a 0,47 (vea el gráfico en la Figura 9.10).

Figura 9.10

μ = p = 0,50 proviene de H₀, la hipótesis nula.

p′ = 0,53. Dado que la curva es simétrica y la prueba es de dos colas, la p′ de la cola izquierda es igual a 0,50 - 0,03 = 0,47, donde μ = p = 0,50. (0,03 es la diferencia entre 0,53 y 0,50).

Compare α y el valor p:

Dado que α = 0,01 y el valor p = 0,5485. α < valor p.

Tome una decisión: Como α < valor p, no se puede rechazar H₀.

Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, los datos de la muestra no muestran pruebas suficientes de que el porcentaje de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios sea diferente del 50 %.

Establezca la prueba de la hipótesis:

H₀: p = 0,30 H_a: p ≠ 0,30

Determine la distribución necesaria:

La variable aleatoria es P′ = proporción de hogares que tienen tres teléfonos móviles.

La distribución para la prueba de hipótesis es $P\text{'}~N\left(\mathrm{0,30},\sqrt{\frac{(\mathrm{0,30})\cdot (\mathrm{0,70})}{150}}\right)$

a. p′ = $\frac{x}{n}$ donde x es el número de aciertos y n es el número total de la muestra.

x = 43, n = 150

p′ = $\frac{\text{43}}{\text{150}}$

b. Un acierto es tener tres teléfonos móviles en un hogar.

c. El nivel de significación es el α preestablecido. Ya que no se da α, se supone que α = 0,05.

d. valor p = 0,7216

e. Suponiendo que α = 0,05, α < valor p. La decisión es no rechazar H₀ porque no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hogares que tienen tres teléfonos móviles no sea del 30 %.

Establezca la prueba de la hipótesis:

H₀: p ≤ 0,25 H_a: p > 0,25

Determine la distribución necesaria:

En palabras, indique CLARAMENTE qué representa su variable aleatoria $\overline{X}$ o P′ representa.

P′ = La proporción de pulgas que elimina el nuevo champú

Indique la distribución que se utilizará para la prueba.

Normal: $N\left(\mathrm{0,25},\sqrt{\frac{(\mathrm{0,25})(1–\mathrm{0,25})}{42}}\right)$

Estadístico de prueba: z = 2,3163

Calcule el valor p con la distribución normal para las proporciones:

valor p = 0,0103

En una o dos frases completas, explique qué significa el valor p para este problema.

Si la hipótesis nula es verdadera (la proporción es 0,25), entonces hay una probabilidad de 0,0103 de que la proporción muestral (estimada) sea 0,4048 $\left(\frac{17}{42}\right)$ o más.

Use la información anterior para dibujar una imagen de esta situación. DE FORMA CLARA, identifique y escale el eje horizontal y sombree la(s) región(es) correspondiente(s) al valor p.

Figura 9.11

Compare α y el valor p:

Indique la decisión correcta ("rechazar" o "no rechazar" la hipótesis nula), la razón para ello y escriba una conclusión adecuada, en frases completas.

Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, los datos de la muestra no indican pruebas suficientes de que el porcentaje de pulgas que elimina el nuevo champú sea superior al 25 %.

Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media o la proporción verdaderas. Incluya un esquema del gráfico de la situación. Etiquete la estimación puntual y los límites inferior y superior del intervalo de confianza.

Figura 9.12

Intervalo de confianza: (0,26,0,55) Tenemos un 95 % de confianza en que la verdadera proporción poblacional p de pulgas que son eliminadas por el nuevo champú está entre el 26 % y el 55 %.

Sigamos un proceso de cuatro pasos para responder esta pregunta estadística.

1. Plantee la pregunta: Tenemos que determinar si, a un nivel de significación de 0,05, la conductividad promedio del vidrio seleccionado es mayor que uno. Nuestras hipótesis serán
   1. H₀: μ ≤ 1
   2. H_a: μ > 1
2. Plan: estamos probando una media muestral sin una desviación típica poblacional conocida. Por lo tanto, tenemos que utilizar una distribución t de Student. Supongamos que la población subyacente es normal.
3. Haga los cálculos: Introduciremos los datos de la muestra en la TI-83 de la siguiente manera.

   Figura 9.13

   Figura 9.14

   Figura 9.15

   Figura 9.16
4. Plantee las conclusiones: Dado que el valor p (p = 0,036) es inferior a nuestro valor alfa, rechazaremos la hipótesis nula. Es razonable afirmar que los datos apoyan la afirmación de que el nivel promedio de conductividad es superior a uno.

Seguiremos el proceso de cuatro pasos.

1. Tenemos que realizar una prueba de hipótesis sobre la tasa de cáncer declarada. Nuestras hipótesis serán
   1. H₀: p ≤ 0,00034
   2. H_a: p > 0,00034

   Si cometemos un error tipo I, estamos aceptando esencialmente una afirmación falsa. Dado que la afirmación describe entornos cancerígenos, queremos minimizar las posibilidades de identificar incorrectamente las causas del cáncer.

2. Probemos una proporción de muestra con x = 172 y n = 420.019. La muestra es suficientemente grande porque tenemos np = 420.019(0,00034) = 142,8, nq = 420.019(0,99966) = 419.876,2, dos resultados independientes y una probabilidad fija de acierto p = 0,00034. Así podremos generalizar nuestros resultados a la población.
3. Los resultados de TI asociados son
   

   Figura 9.17

   Figura 9.18
4. Dado que el valor p = 0,0073 es mayor que nuestro valor alfa = 0,005, no podemos rechazar la nulidad. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que no hay pruebas suficientes para respaldar la afirmación de que los usuarios de teléfonos móviles tienen mayores tasas de cáncer cerebral.

Seguiremos el plan de cuatro pasos.

1. Tenemos que comprobar si la proporción de agresiones sexuales en el condado de Daviess, KY es significativamente diferente del promedio nacional.
2. Ya que se trata de proporciones, utilizaremos la prueba z de una proporción. Las hipótesis de la prueba serán:
   1. H₀: p = 0,00078
   2. H_a: p ≠ 0,00078
3. Las siguientes capturas de pantalla muestran el resumen estadístico de la prueba de hipótesis.

   Figura 9.19

   Figura 9.20
4. Dado que el valor p, p = 0,00063, es inferior al nivel alfa de 0,01, los datos de la muestra indican que debemos rechazar la hipótesis nula. En conclusión, los datos de la muestra apoyan la afirmación de que la proporción de agresiones sexuales en el condado de Daviess, Kentucky, es diferente de la proporción nacional promedio.