Objetivos del capítulo
Al final de este capítulo el estudiante podrá:
- Reconocer la distribución de probabilidad normal y aplicarla adecuadamente.
- Reconocer la distribución de probabilidad normal estándar y aplicarla adecuadamente.
- Comparar las probabilidades normales convirtiendo a la distribución normal estándar.
La normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Su uso está muy extendido y su abuso aun más. Su gráfico tiene forma de campana. La curva de campana se ve en casi todas las disciplinas. Algunas de ellas son Psicología, Negocios, Economía, Ciencias, Enfermería y, por supuesto, Matemáticas. Algunos de sus instructores pueden utilizar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las calificaciones de coeficiente intelectual (Intelligence Quotient, IQ) se distribuyen normalmente. A menudo, los precios de los inmuebles se ajustan a una distribución normal. La distribución normal es muy importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real.
En este capítulo, estudiará la distribución normal, la distribución normal estándar y las aplicaciones asociadas a ellas.
La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas numéricas descriptivas): la media (μ) y la desviación típica (σ). Si X es una cantidad a medir que tiene una distribución normal con media (μ) y desviación típica (σ), la designamos escribiendo
La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No la memorice. No es necesario.
f(x) =
La función de distribución acumulativa es P(X < x). Se calcula con una calculadora o una computadora, o se busca en una tabla. La tecnología ha hecho que las tablas queden prácticamente obsoletas. Por ese motivo, así como por el hecho de que existen varios formatos de tabla, no incluimos las instrucciones de la tabla.
La curva es simétrica respecto a una línea vertical que pasa por la media, μ. En teoría, la media es la misma que la mediana, porque el gráfico es simétrico con respecto a μ. Como indica la notación, la distribución normal solo depende de la media y de la desviación típica. Dado que el área debajo de la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación típica, σ, provoca un cambio en la forma de la curva; la curva se vuelve más gorda o delgada dependiendo de σ. Un cambio en μ hace que el gráfico se desplace a la izquierda o a la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Una de las más interesantes es la llamada distribución normal estándar.
Ejercicio colaborativo
Su instructor registrará las estaturas de los hombres y las mujeres de su clase, por separado. Dibuje histogramas de sus datos. A continuación, dibuje una curva suave a través de cada histograma. ¿Cada curva tiene una forma de campana? ¿Cree que si hubiera registrado 200 valores de datos para hombres y 200 para mujeres, las curvas tendrían forma de campana? Calcule la media de cada conjunto de datos. Escriba las medias en el eje de x del gráfico correspondiente debajo del pico. Sombree el área aproximada que representa la probabilidad de que un hombre elegido aleatoriamente sea más alto que 72 pulgadas. Sombree el área aproximada que representa la probabilidad de que una mujer elegida aleatoriamente tenga menos de 60 pulgadas. Si el área total bajo cada curva es uno, ¿parece que alguna de las probabilidades es superior a 0,5?